Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh. Pada video kali ini saya akan bahas tentang anti turunan atau integral tak tentu. Kita sudah belajar tentang turunan pada video sebelumnya.
Jadi secara umum bahwa fungsi itu akan punya turunan. Bagaimana sekarang kalau misalnya kita punya sebuah fungsi, yang kita ketahui bahwa fungsi itu merupakan turunan dari fungsi yang lain. Kita ingin tahu fungsi asalnya seperti apa. Kalau kita review kembali, misalkan tentang turunan, kita tinjau misalnya. Fungsi dan turunannya ya.
Fungsi dan turunannya. Misalkan pertama kita punya fungsi fx sama dengan x kuadrat. Maka kita dapatkan bahwa turunannya.
f aksen x, atau kita tulis df dx, itu kan ya? df dx sama dengan 2x kan ya? Kemudian yang kedua, kalau kita punya fx sama dengan x kuadrat plus 2, maka kita akan dapatkan turunannya df dx sama dengan 2x juga kan ya? Kemudian yang ketiga, fx, x kuadrat plus 10 misalnya.
Maka turunannya 2x juga. Atau yang keempat, kalau kita punya fx sama dengan x kuadrat plus suatu konstanta, dimana konstanta ini sebarang, maka kita akan dapatkan turunannya apa? 2x juga. Jadi ternyata bahwa banyak fungsi yang turunannya sama.
Contoh ini, 2x. Sekarang kalau dibalik, kita tahu bahwa turunan dari satu fungsi adalah 2x. Bagaimana fungsi tersebut?
Kalau kita mengacu pada hasil di sini, yang turunannya 2 itu kan banyak. Bisa X kuadrat, bisa X kuadrat plus 2, bisa X kuadrat plus 10, atau bisa X kuadrat plus berapapun. Namun kalau kita perhatikan di sini, yang membedakan adalah konstantanya saja.
Jadi ketika kita punya sebuah turunan dari suatu fungsi, maka sekali lagi fungsinya bisa banyak, tetapi yang membedakan fungsi-fungsi tersebut adalah konstantanya. Ketika kita mencari kebalikan dari turunan, maka disebut sebagai anti-turunan. Jadi, 2x adalah turunan dari x kuadrat, atau dari x kuadrat plus 2, atau dari x kuadrat plus c, secara umum, maka x kuadrat plus c adalah anti-turunan dari 2x.
Jadi, kita boleh sebut bahwa di sini, fx Jadi kalau DF, DX adalah turunan dari F terhadap X, maka F adalah antiturunannya, kebalikannya. Antiturunan dari... Df dx gitu kan ya. Nah, antiturunan ini kemudian disebut sebagai integral tak tentu. Jadi integral tak tentu.
Jadi kalau misalkan sekarang kita punya turunannya, kita ingin dapatkan f nih ya. Jadi definisinya atau teoremanya lah ya. Teoremanya.
Misalkan jika fx turunan dari f besar terhadap x, ini dfx ya, anti turunan, anti turunannya, atau anti turunan dari fx ya. Ditulis, ini simbol integral ya, integral fx dx sama dengan fx plus c. Ini rumus dasarnya, dalam hal ini. fx yang diintegralkan disebut integran. Jadi integran itu adalah fungsi yang diintegralkan.
Ini integran. Nah, karena anti-turunan bukan kebalikan dari turunan, kita ingat bahwa di turunan kita punya tiga rumus dasar turunan ya. Kita ingat kembali bahwa ada tiga rumus dasar turunan.
Pertama, turunan fungsi polinom. Jadi kalau kita punya fungsi, misalkan y atau fx, fx sama dengan x pangkat n, maka turunannya, df dx itu sama dengan n, gitu kan ya? kali X pangkat N min 1. Gitu kan ya?
Nah ini bisa diperumum, bisa diperumum plus C lah. Jadi, X pangkat N plus C, maka turunannya adalah pasti ini. Yang kedua, Ini satu saya plus C ya.
Plus C. Yang kedua misalkan kita punya Fx sama dengan sin X plus C. Maka turunannya sama dengan turunan dari sin apa? Cos X ya.
Kemudian yang ketiga kita punya Fx sama dengan cos X plus suatu konstanta. maka turunannya df dx adalah minus sin x. Sekarang berarti karena antiturunan, kebalikan dari turunannya, jadi berarti dari sini kita bisa dapatkan bahwa kalau ini kemudian kita integralkan, hasilnya adalah ini.
Atau kalau cos x kita integralkan, jadi kalau fx adalah cos x, maka hasil integralnya adalah ini. Jadi dari sini kita dapatkan tiga rumus dasar integral. Kita bisa dapatkan tiga rumus dasar integral.
Tinggal dibalik saja. Sekarang jadi integral x pangkat n dx. Kita lihat tadi. Kalau ini kita jadikan X pangkat N, atau kalau ini X pangkat N-1, maka hasil integralnya, atau antiturunannya adalah, ini X-nya pangkat N kan ya? Berarti kan asalnya N-1 jadi N.
Berarti bertambah apa? Bertambah 1. Pangkatnya bertambah 1. Lalu di sini asalnya ada N, di sini tidak ada N. Berarti yang ini tinggal dibagi dengan N. Jadi kebanyakan kalau ini pangkatnya tambah 1, lalu kita bagi dengan N, maka hasilnya adalah ini.
Lalu ditambahkan dengan apa? C. Jadi kalau pangkat N, maka N-nya bertambah 1. Berarti X pangkat N plus 1 dibagi dengan N plus 1. Ditambah dengan C. Ini untuk bentuk yang polinom. Yang kedua, rumit dasar yang kedua, yang integral...
Cos x dx. Nah, ingat. Turunan dari sin adalah cos. Maka integral dari cos adalah sin. Jadi, dibalik-balik saja.
Karena antinya. Jadi, untuk mengeceknya, turunan dari sin adalah cos. Kemudian, integral sin x dx. Nah, ingat. Turunan dari cos adalah min sin x.
Maka integral dari sin X adalah dibalik, jadi min cos X. Sekarang pertanyaannya adalah, bagaimana kalau misalnya bentuk integranya tidak seperti ini? Maka kita harus lakukan sedemikian rupa. Sehingga bentuknya menjadi seperti ini.
Nanti ada satu metode yang kemudian kita ambil sebagai metode dasar, yaitu metode substitusi. Kita akan lihat dulu contohnya untuk yang bentuk nomor satu. Kita lihat contoh-contoh, beberapa contoh.
Pertama misalnya integral akar x dx. Ini bentuk polinom. Jadi akar x harus ubah dulu bentuknya.
Menjadi, ingat, akar x itu sama, misalkan x pangkat setengah. Jangan lupa dx-nya harus selalu ada. Jadi tanda integral dengan tanda dx ini harus sebagai satu kesatuan bentuk integral. Atau anti turunan. Jadi bentuk integrannya harus kita sesuaikan dengan rumus dasar.
Kalau bentuk polinom, harus kita sesuaikan dengan ini. Harus bentuknya X pangkat N. Ini berarti X pangkat setengah.
Nah, baru kalau sudah bentuknya seperti ini, ini kan berarti konsepnya tinggal pangkatnya bertambah 1. N plus 1. Jadi ini setengah ditambah 1. Berapa setengah ditambah 1? Setengah ditambah 1 berarti X pangkat 3 per 2. Jangan lupa, dibagi dengan n plus 1. Artinya dibagi dengan pangkat yang baru. Dibagi dengan 3 per 2, tambah dengan c.
Berarti sama dengan, nah ini kan jadi 2 per 3 di balik ya. 2 per 3, x pangkat 3 per 2, ditambah dengan c. Yang kedua, integral 1 per x pangkat 5. Sekali lagi, ini sesuaikan dengan teorema dasarnya ini, 3 rungkus dasar ini. Karena harus bentuknya x pangkat n. Maka ini kita ubah menjadi integral x pangkat, ingat kalau 1 per x pangkat 5 sama dengan x pangkat min 5. Baru ini kita boleh proses.
Pangkatnya bertambah 1. Min 5 tambah 1, min 4. Dibagi dengan ini, pangkat ini. Dibagi dengan min 4. Baru jangan lupa, tambahkan apa? C. Berarti kita tulis minus. X pangkat min 4 bisa dijadikan seper X pangkat 4. Berarti ini min 1 per...
4x pangkat 4 ditambah dengan C. Yang ketiga, integral dari, sekarang x kuadrat plus. 5x Minus per x kuadrat Plus 3 Dx Sama dengan gimana? Masing-masing aja Kalau ada penyumlahan ya Maka kita integralkan dari masing-masing Ini saja ya Ini berarti jadi apa?
X pangkat 3 ya X pangkat 3 Dibagi apa? Dibagi 3 Kita tulis seper 3 X pangkat 3. Jadi pangkatnya baru 3, ini 3 sebagai pembaginya. Ini kan jadi X pangkat berapa?
Pangkat 2. X pangkat 2. Nah ingat ini 2 sebagai pembagi. Berarti ini korepisnya 5. Berarti di sini 5 per 2. Ini kan kita ubah jadi apa? X pangkat.
Jadi bayangkan di sini. Ini jadi. Yang ini menjadi X pangkat minus 2. Berarti pangkatnya bertambah 1. Pangkatnya bertambah 1. Jadi X pangkat apa?
Minus 1. X pangkat minus 1. Dibagi lagi dengan minus 1. Jadi ini min. Min dibagi minus 1. Jadi plus 1 kan ya? Berarti plus.
Tadi tinggal X pangkat minus 1. Berarti seper X. Baru tambah dengan yang ini. 3. Konstanta. Ini bayangkan menjadi 3x pangkat 0. Karena x pangkat 0 kan 1 kan ya? Ingat, pangkatnya bertambah 1. Berarti x pangkat 1. Dibagi dengan 1. Tetap 3 kan ya?
Berarti di sini tinggal 3x. Jangan lupa terakhirnya, tambahkan apa? Konstan. Oke, jadi sementara kita contoh yang ini dulu ya. Karena yang ini...
Nanti harus ada satu metode dulu. Ini masih bisa kita langsung buat menjadi bentuknya seperti nomor satu. Bagaimana kalau misalnya tidak bisa ke sini? Ada satu metode yang kita sebut dengan metode substitusi. Jadi kita bisa pandang bahwa integrannya itu sebagai fungsi komposisi.
Jadi ada satu metode yang kita sebut sebagai metode substitusi. Ini mengubah bentuk integral. Mengubah bentuk integral.
Cara seperti apa? Langsung saja beginilah, kita lihat contohnya ya. Saya tulis, jadi dari integral bentuk fx dx diubah menjadi berbentuk integral fu du, di mana u sebagai fungsi x, dengan u sebagai fungsi x. Jadi fungsi komposisi. Kita lihat langsung contohnya saja.
Beberapa contoh atau contoh-contoh. Pertama misalkan, ini berarti contoh yang keempat. Bagaimana integral x plus 1 plus 1 dipangkatkan dengan 5 dx. Nah, caranya kita lihat ke rumus dasar kembali. Ini berarti kalau X plus 1 pangkat 5, maka bentuknya seperti rumus nomor 1 ini.
Jadi bayangkan ini X plus 1 seperti X pangkat 5, atau jadi X pangkat N. Berarti ya rumusnya rumus yang ini. Namun catatan di sini kan ada X plus 1 yang kita ganti.
Jadi kalau kita ubah menjadi misalkan U, U-nya adalah X plus 1. Maka kita ubah bentuk integral fx dx ini menjadi fu du. U-nya adalah x plus 1. du-nya bagaimana? du-nya dipulang dari sini.
du-nya apa? Lihat diferensialnya. Tinggal turun dari ini kan ya? Turun dari x berapa?
1 kan ya? Berarti du sama dengan dx. Jadi integral ini kita ganti menjadi integral Ini penggantinya, ini integral penggantinya. X plus 1-nya kita ganti dengan U, jadi U pangkat. 5, DX-nya kita ganti dengan apa?
Dengan DU. Jadi ini sudah mirip dengan rumus ini, kan? Hanya mengganti parabelnya.
X, ini menjadi apa? U. Dengan demikian, ini jadi pangkatnya bertambah 1, jadi berapa? Pangkat 6-nya. Dibagi lagi dengan 6. Berarti seper...
6 U pangkat 6 ditambah dengan C. Jangan lupa. Baru kita kembalikan ke fungsi asalnya ini X.
Berarti sama dengan 1 per 6. U-nya kita ganti dengan X plus 1 pangkat 6. Tambah dengan C. Itu metode substitusi. Kita lihat contoh berikutnya.
Nomor 5 berarti sekarang. Nomor 5, misalkan integral X akar X kuadrat plus 1, plus 15 lah, jangan satu-satu. DX, jangan lupa ada DX-nya ya.
Nah, bagaimana ini? Kembali ini bentuknya bentuk pangkat. Untuk yang kasus seperti ini, kita ambil yang pangkatnya lebih tinggi sebagai pemisahan. Jadi U adalah X kuadrat plus 15. Maka kita dapatkan DU-nya dengan turunkan ini kan ya, 2X-nya.
2x dx. Maka kita ganti integranya. Pertama kita ganti dalam akarnya dulu. Ini kan x kuadrat plus 15 berarti apa?
U kan ya? U. Kita punya U. Tapi dipangkat berapa? Diakarkan ya.
Diakarkan, boleh kita tulis akar U lah. Lalu dx, ada x dx. Nah, dari sini kita dapatkan ada x dx.
Ada x dx. Berarti kalau kita ingin tuliskan x dx saja, maka duanya pindah sini, kan? Berarti setengah du, kan?
Maka ini berarti muncul setengah du. Setengah du. Atau bisa kita tulis jadi apa? Setengahnya karena konstata boleh kita keluarkan.
Setengah integral. U pangkat setengah D itu berarti apa hasilnya ini? U pangkat setengah jadi U pangkat 3 per 2 ya jadi setengah kali U pangkat 3 per 2 kan ditambah 1 ya dibagi dengan pangkat ini 3 per 2 ditambah dengan C berarti sama dengan nah ini setengahnya coret ya ini kan jadi 2 per 3 sih ini berarti tinggal 1 per 3 1 per 3 U pangkat 3 per 2 plus C. Baru kita kembalikan ke variabel sebelumnya, yaitu X.
Berarti jadi 1 per 3 U-nya adalah X kuadrat plus 15 pangkat 3 per 2 plus C. Nah, ini hasilnya. Jadi kita harus lihat-lihat prinsipnya adalah mengubah integran ini menjadi bentuknya seperti rumus dasar integral yang tadi. Yang ke-6, integral cos 2x dx.
Sekarang mulai ke cos ya. Kita ingat bahwa tadi... yang ada integranya adalah integral cos x dx. Cos x dx. Jadi bayangkan ini, berarti ini harus kita ganti nih.
Seperti cos x dx. Jadi u lah ya. Jadi kalau kita pilih u-nya adalah 2x, berarti turunannya atau du-nya, turunan dari 2x, 2 kan ya?
Tinggal kalikan dengan dx. Yaudah, berarti ini sama dengan cos u ya. Cos u, dx-nya apa? Nah dari sini kita dapatkan bahwa dx sama dengan apa?
du dibagi 2. du per 2 atau 2 nya kita pindahkan ke depan jadi setengah integral cos u du nah baru ini kita gunakan rumus dasar yang harus kita mirip ya cos integral nya adalah sin ya berarti setengah sin u plus c kembalikan sekarang ke variabel sebelumnya ya berarti setengah sin U-nya adalah 2X. Sin 2X plus C. Contoh yang ke-7 sekarang. Integral.
SIN akar X per akar X DX. Bagaimana ini? Nah ini yang kita ingat, termasuk dasar adalah SIN X. Kita coba ganti ini.
U adalah apa? U adalah akar X. Maka, DU.
Turunan dari akarnya ke apa? Turunan dari akarnya kan 1 per 2 akar X. Kalikan dengan DX-nya.
Jadi, diferensi agak betul. Sehingga, kalau begitu, ini sama saja dengan integral sin U. Ini sin U, ya.
DX-nya apa? Nah, dari sini. dx dibagi akar x. dx dibagi akar x, berarti dx per akar x. Sama dengan apa?
2 du kan ya? Berarti integral 2-nya pindah ke depan. Ini hati-hati, ini bukan u dikalikan, ini bukan.
Jadi 2-nya pindah ke depan. Kita keluarkan aja langsung sekalian. 2 integral sin u du. Nah ini, rumusnya sudah. Ini ya, sin itu adalah min cos ya.
Jadi kalikan dengan min cos. Min cos U tinggal plus C. Berarti min 2 cos U plus C. Sekarang kita kembalikan ke fungsi asalnya.
Berarti min 2 cos U-nya adalah akar X. plus C. Satu lagi lah ya. Oke, kita lihat. Integral cos pangkat 3, X sin X DX.
Bagaimana ini? Nah, kalau kita perhatikan dari salah satu komponen integrannya, Ini kan pangkat, bentuk pangkat. Kalau bentuk pangkat berarti ke rumus yang polinom. Seperti rumus ini.
Atau rumus tadi nomor 1, di rumus dasarnya. Ingat, cos pangkat 3 sama saja dengan cos x pangkat 3. Jadi kalau misalkan kita pilih u-nya adalah cos x, maka cos pangkat 3x berarti u pangkat 3. Lalu dari sini kita ganti dx-nya juga. Kita harus ganti. dapatkan DO ya.
Cos turunannya apa? Cos min sin ya. Berarti min sin X.
Jangan lupa nih, kalau dalam beberapa resi lain dikalikan dengan apa? Dx. Nah berarti kita bisa lihat dari sini. Ini bisa kita ganti menjadi cos pangkat 3X jadi U pangkat 3 kan ya? U pangkat 3. Lalu sin X DX.
Nah ini sin X DX. SIN Ini kita negatifkan, jadi min du kan ya? Berarti ini kalikan du, minus di sini.
Jadi kita akan dapatkan ini berarti minus u-nya. Jadi pangkat berapa? Tambah 1, u pangkat 4 ya?
Dibagi dengan 4, berarti seper 4 u pangkat 4 ditambah dengan c. Kita kembalikan ke variable awalnya, berarti min. 1 per 4 U pangkat 4 punya apa? Cos.
Maka berarti cos pangkat 4 dari X. Jangan lupa tambah C. Oke? Jadi sementara kita gunakan disini kita gunakan dulu metode substitusi. Jadi kalau seandainya integrannya, integrannya tidak seperti rumus dasar.
Tinggal kita lihat-lihat mirip dengan rumus dasar yang mana. Kalau yang nomor 5 contohnya, contoh 5 ini mirip dengan rumus dasar yang X pangkat N. Kalau yang ini berarti rumus dasar yang cos X.
Kalau yang ini, ini rumus dasar yang sin X. Sementara yang ini, ini sudah kombinasi sebenarnya. Tapi kalau kita perhatikan ini bentuk pangkatnya dulu.
Jadi berarti mirip dengan rumus dasar yang X pangkat N. Ini nanti pemilihan U-nya. Pemilihan U-nya itu harus hati-hati. Intinya tujuannya untuk mempermudah integralnya. Sehingga integralnya menjadi seperti pada rumus dasar.
Ketika integralnya menjadi tidak seperti rumus dasar, berarti ada kekeliruan dalam memilih U. Sebenarnya banyak metode untuk memecahkan pengintegralan, karena integrannya tidak selalu sesederhana seperti ini. Nanti ada teknik-teknik pengintegralan, kemudian ada juga pengintegralan dengan cara parsial, atau bagaimana cara mengintegralan fungsi rasional, dan lain-lain.
Namun di matematika dasar ini kita hanya akan menggunakan satu metode dulu, yaitu metode substitusi. semester berikutnya di matematika teknik yang pertama, baru kita akan dapatkan, untuk belajar bagaimana teknik-teknik pengintegralan. Oke, sementara sampai di sini saja dahulu. Terima kasih.
Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.