Assalamualaikum Wr Wb Ketemu lagi dengan saya Denny Handayani di channel Medlab Ini adalah video pembahasan Transformasi Geometri bagian ketiga Pada video sebelumnya kita Udah belajar translasi Dan refleksi Pada bagian ketiga ini kita akan Belajar rotasi atau perputaran Silahkan siapkan alat tulisnya dan Simak videonya baik-baik Oke, sekarang kita bahas transformasi geometri yang ketiga yaitu rotasi atau perputaran Kita mulai dari rotasi suatu titik dengan titik pusat 0,0 Ilustrasinya, teman-teman perhatikan diagram berikut Ini sumbu X dan ini sumbu Y Misalkan kita punya suatu titik, titiknya misalkan di sini ya Ini absisnya itu X dan ordinatnya adalah Y Kita misalkan titik ini adalah titik A, jadi X, Y. Kita tarik dulu garis dari titik ini ke titik pusat, ke titik 0, 0. Kemudian kita akan bahas titik pusatnya di 0, 0 dulu ya. Ini kita putar sejauh alpha, dengan titik pusat 0, 0. Ini kita putar sejauh alpha ke sini, teman-teman. Sudutnya adalah alpha Jadi kita putar dari sini ke sini Jadi sejauh alpha Maka bayangan hasil rotasi dari titik A itu Dia di sini Absisnya kita sebut aja ini X aksen dan ordinatnya menjadi Y aksen Jadi ini adalah hasil rotasinya Bayangannya A aksen yaitu X aksen, Y aksen Nah pertanyaannya Gimana kita mencari Titik koordinat hasil rotasi. Caranya seperti ini. X-aksen, Y-aksen itu sama dengan ini matrix rotasi.
Ini harus teman-teman ingat. Cos alpha, min sin alpha, sin alpha, cos alpha. Di mana alpha ini adalah putarannya, berapa derajat. Dan X-aksen ini adalah koordinat titik awalnya sebelum kita rotasikan. Sebagai contoh, biar lebih jelas.
Tentukan koordinat bayangan hasil rotasi titik A 3,4 sebesar 90 derajat terhadap titik pusat O 0,0 Caranya kita gunakan cara yang ini Aksen itu sama dengan, ini kan cos alpha min sin alpha, sin alpha cos alpha Dimana alpha ini adalah besar putarannya Pada soal ini, diputar 90 derajat, berarti ini alfanya teman-teman Jadi alfanya itu 90 derajat Jadi kita ganti aja setiap alpha ini dengan 90 derajat Kita peroleh cos 90 derajat, min sin 90 derajat, sin 90 derajat, dan cos 90 derajat Kemudian Xy ini adalah koordinat titik awalnya sebelum kita rotasi Berarti ini X ini Y nya Titik A nya Jadi X Y ini kita ganti dengan 3 dan 4 Nah ini tinggal kita hitung Jadi teman-teman harus tahu trigonometri Bagi yang kesulitan trigonometri Untuk ingat kembali Terutama sudut istimewa silahkan cek link Pada deskripsi Cos 90 itu 0, sin 90 kan 1, disini min sin, oh berarti min 1 Sin 90 derajatnya 1, cos 90 derajat 0, kita kali dengan 3, 4 Nah ini perkalian matriks, yang udah kita pelajari, baris kali kolom 0 kita kali dengan 3 kan 0, kemudian ditambah Negatif 1 kita kali 4, negatif 4 Kemudian baris kedua kali kolom ini. 1 kita kali dengan 3, 3. Kemudian ditambah 0 kali 4. Jadi kita peroleh X aksennya sama dengan 0 ditambah negatif 4 Itu negatif 4, 3 ditambah 0, 3 Jadi kita peroleh X aksennya adalah negatif 4 dan Y aksennya adalah positif 3 Nah ini koordinat bayangannya absis dan ordinatnya Jadi koordinat A aksen adalah negatif 4, 3 Jadi koordinat bayangan hasil rotasi titik A 3,4 sebesar 90 derajat Terhadap titik pusat O 0,0 adalah A aksen yaitu negatif 4,3 Gampang ya Jadi teman-teman harus ingat ini nih Terutama matriks untuk rotasi Oke, contoh lagi Jika titik B negatif 2,5 diputar searah jarum jam sebesar 180 derajat dengan titik pusat putaran adalah O 0,0 Menghasilkan bayangan B aksen, tentukan koordinat bayangan B aksen Nah, di sini ada kata searah jarum jam ya Ini perlu teman-teman ketahui, kalau berlawanan arah jarum jam itu sudutnya positif. Kita kan kalau mengukur kan ke sini kan, berlawanan arah jarum jam itu sudutnya positif. Tetapi kalau searah jarum jam, itu sudutnya negatif.
Jadi kalau searah jarum jam, berarti sudutnya nanti negatif. Oke, nah ini perlu teman-teman ketahui. Kemudian, teman-teman... juga harus tahu aturan sudut negatif untuk sin dan cos.
Sin negatif alfa itu sama dengan negatif sin alfa. Jadi kalau sudutnya negatif, berarti nilai trigonometrinya juga negatif untuk sin. Tapi untuk cos, cos negatif alfa itu sama dengan positif cos alfa.
Jadi sudut negatif di cos tidak berarti. Negatifnya bisa teman-teman abaikan. Ini juga penting teman-teman ketahui. Langsung saja kita bahas soal ini. Di sini kan diputar searah jarum jam sebesar 180 derajat.
Jadi kalau gitu alfanya itu negatif. Alfanya adalah negatif 180 derajat. Kita gunakan cara yang tadi. Sama dengan cos alfa min sin alfa sin alfa cos alfa kali xy. Sama dengan alfanya kita ganti dengan negatif 180 derajat.
Cos negatif 180 derajat. negatif sin negatif 180 derajat sin negatif 180 derajat dan cos negatif 180 derajat X, Y nya kita ganti dengan koordinat titik B Negatif 2 dan 5 Nah kita cari nilai trigonometrinya Oh iya ini negatif di cos Seperti ini Cos negatif alpha kan sama dengan cos alpha Ini kita abaikan negatifnya Jadi cos 180 Ini juga negatif cos tetap cos 180 Tetapi untuk sin Sin min alpha Sin min alpha itu min sin alpha Nah disini negatif sin negatif 180 Berarti negatif kali negatif Dia jadi positif sin Tapi untuk ini sin negatif 180 Negatifnya pindah ke depan Jadi negatif sin 108 Kita cari cos 180 itu negatif 1 Sin 180 derajat itu 0 Ini negatif Sin 180 nya 0 Cos 180 itu negatif 1 Ini kita kalikan saja Negatif 1 kita kali dengan negatif 2 kan positif 2 Ditambah 0 kali 5, 0 Kemudian baris keduanya 0 kali negatif 2 itu 0 Negatif 1 kali 5 itu negatif 5 Jadi pastikan teman-teman sudah bisa perkalian matriks ya Ini kita jumlahkan aja 2 tambah 0, 2 0 tambah negatif 5, itu negatif 5 Jadi kita peroleh X aksennya itu 2 Dan Y aksennya adalah negatif 5 Oke, jadi koordinat bayangannya adalah 2 Koma negatif 5 Gampang kan? Nah yang barusan kita pelajari itu pusat rotasinya kan O 0,0 Sekarang gimana kalau rotasinya bukan Pusatnya itu bukan di 0,0 Akan kita pelajari berikutnya Oke sekarang kita pelajari rotasi terhadap titik pusat P,Q Caranya hampir sama seperti rumus yang tadi sudah saya berikan Nah ini rumus yang tadi ya Cuman bedanya itu di X-aksen, Y-aksen dan X-C-nya Itu kita kurangi dengan absis dan ordinat titik pusat putaran jadi X aksennya kita kurangi dengan P dan Y aksennya kita kurangi dengan Ki, dimana P Ki ini adalah absis ordinat dari pusat putarannya, pusat rotasinya nah X Y juga sama ini kita kurangi dengan P dan Ki jadi rumusnya cuma ini teman-teman bedanya kita kurangi dengan koordinat titik pusat putaran, itu saja Oke, langsung aja ke contoh soal. Tentukan koordinat bayangan hasil rotasi A3,4 sebesar 90 derajat terhadap titik pusat P2, negatif 3. Jadi ini alfanya, alfanya 90 derajat. Jadi kalau tidak ada kata searah atau berlawanan arah jarum jam itu sudah pasti alfanya itu positif.
Penyelesaiannya. Oke jadi ini sama seperti yang tadi rumusnya Alpha nya adalah 90 derajat Jangan lupa X asin Y asin dan X Y nya X Y ini adalah titik awal ya 3 dan 4 Itu kita kurangi dengan pusat Koordinat pusat Jadi kita kurangi dengan 2 dan negatif X aksen kita kurangi 2 Y aksen kita kurangi dengan negatif 3 Nah bagian sini juga sama Ini kita kurangi dengan koordinat titik pusat Jadi kita kurangi dengan 2 4 nya kita kurangi dengan negatif 3 X aksen dikurangi 2 Y aksen dikurangi negatif 3 Dikurangi negatif itu sama aja dengan ditambah Kalau 90 derajat itu 0 Sin 90 kan 1 Ini negatif sin berarti negatif 1 Sin 90 derajatnya 1, cos 90 itu 0 3 dikurangi 2 kan 1 4 dikurangi negatif 3 itu hasilnya 7 Jadi R asin min 2, Y asin plus 3 Sama dengan ini kita kalikan 0 kita kalikan dengan 1 kan 0 Negatif 1 kalikan dengan 7, min 7 Jadi 0 plus min 7 Kemudian yang baris keduanya, 1 kita kalikan dengan 1 itu 1, ditambah 0 kita kalikan dengan 7 itu 0. Jadi, X asin min 2, Y asin plus 3 sama dengan 0 ditambah negatif 7 itu negatif 7, kemudian 1 ditambah 0, hasilnya 1. Lihat baris pertama, bagian sini nilainya adalah ini. Jadi, X asin min 2 sama dengan negatif 7. Jadi, kalau gitu X asinnya berapa?
Negatif 7 kita tambah. Dengan 2 atau negatif 5 Jadi X-nya adalah negatif 5 Kemudian lihat baris keduanya Y-aksen tambah 3 itu nilainya harus 1 Y-aksen tambah 3 sama dengan 1 Jadi Y-aksennya adalah 1 dikurangi 3 Y-aksen sama dengan negatif 2 Nah ini absis dan ordinat bayangannya Jadi koordinat bayangan hasil rotasi titik A Sebesar 90 derajat terhadap titik pusat 2, negatif 3 adalah Negatif 5, negatif 2 Gampang kan? Oke, sekarang kita pelajari komposisi rotasi Komposisi itu gabungan ya Gabungan dari beberapa rotasi Nah, teman-teman perhatikan ilustrasi berikut Kita mulai dari rotasi yang titik pusat 0,0 Komposisi rotasi terhadap titik pusat 0,0 Misalkan kita punya suatu titik di sini, titik A, X, Y. Ini kita rotasi dengan titik pusat O, 0,0, O itu di sini. 0,0, ini titik O, sejauh alpha. Berarti dari titik A ini kita putar sejauh alpha.
Nah, hasilnya kan di sini, ya enggak? Menghasilkan A aksen, koordinatnya X aksen, Y aksen. Ini X aksen, ini Y aksen. Jadi A aksen itu di sini.
Nah ini komposisi Jadi kita rotasi lagi Si A aksen ini kita putar lagi Sejauh beta Sejauh beta Dengan titik pusat Masih O sejauh beta maka bayangannya kan disini kita sebut aja a double aksen koordinatnya x double aksen, y double aksen jadi disini Nah kalau kita perhatikan ini kan dua kali rotasi ya pertama sejauh Alpha dulu ke sini kemudian Kita rotasi lagi sejauh beta ke sini Dengan pusat yang sama Itu sama aja dengan titik awal yang A ini Kita putar satu kali putaran ke sini Ya enggak? Berarti sudutnya mana? Ya dari sini ke sini Alpha tambah beta Jadi kita bisa langsung saja menghitungnya cuma 1 kali, tidak 2 kali perhitungan Tapi sudutnya kita tambah secara langsung Alpha tambah beta, alpha tambah beta, ini juga sama, ini juga sama Jadi teman-teman tidak usah menghitung 2 kali Kita cari dulu A aksen, kemudian kita hitung lagi, kita cari A double aksen Kalau pusatnya sama, jadi perhitungan cukup 1 kali, tapi sudutnya langsung teman-teman tambahkan Nah ini untuk pusat yang 0,0 Sekarang bagaimana kalau pusatnya P,Q Tapi ingat ini komposisi dengan pusat yang sama Nah misalkan ini Titik pusat putarannya di P,Q A aksen A nya kita putar dulu sejauh alpha Dengan pusatnya P Dan ini sudutnya alpha Maka bayangannya disini A aksen itu disini Kemudian aksennya kita putar lagi sejauh beta, maka bayangannya kan di sini.
Pusatnya masih sama P, sudutnya itu beta, maka hasilnya adalah bayangannya ada double aksen itu di sini. Nah ini sudutnya sama aja dengan A, kita putar sejauh alpha tambah beta. Maka bayangannya akan sama kan di sini. Jadi perhitungannya sama, sudutnya tinggal kita jumlahkan aja. Jadi kalau pusatnya P dan Ki, pusatnya itu P, Ki atau titik P, itu tinggal kita kurangi aja.
Bayangannya kita kurangi, koordinat titik awalnya juga sama kita kurangi Cuma sudutnya kita jumlahkan saja Sebagai contoh Tentukan koordinat bayangan hasil rotasi titik A 3,4 sebesar 110 derajat terhadap titik pusat P 2,1 Dilanjutkan rotasi sebesar 70 derajat terhadap titik pusat P 2,1 Ini pusatnya kan sama Nah kalau pusatnya sama kita perhitungan cukup 1 kali Sudutnya tapi ditambahkan dulu 110 ditambah 70 Berarti kan alfanya itu sama dengan 180 derajat Sudutnya itu 180 derajat Atau kita sebut aja ini alfa ini beta Ya X double aksen, Y double aksen kita kurangi dengan koordinat titik pusat. Kemudian ini matrix rotasi, sudutnya itu kita jumlahkan alpha dan beta. Kemudian titik awalnya juga kita kurangi dengan titik pusat. Di sini titik pusatnya itu 2,1. Jadi X double aksen dikurangi 2, Y double aksen dikurangi 1. Kos alpha-nya itu 110 derajat, beta-nya adalah 70. Jadi ini sudutnya semuanya sama.
Alfa tambah beta Atau 110 ditambah 70 Kemudian X dan Y itu titik awalnya 3 2,4 ini. Kemudian kita kurangi dengan pusat putarannya. 2 dan 1. Jadi X double aksen min 2, Y double aksen min 1. Sama dengan cos 180. Ini jumlahkan aja ya. Ini juga sama.
Min sin 180, sin 180, cos 180. 3 dikurangi 2 itu 1. 4 dikurangi 1, 3. Cos 180 itu negatif 1. SIN 180 Negatif SIN 180 itu 0 SIN 180 nya 0 Dan kos 180 adalah negatif 1 Ini kita kalikan saja Negatif 1 x 1 kan negatif 1 0 x 3, 0 Jadi negatif 1 tambah 0, kemudian baris keduanya 0 x 1 itu 0 Ditambah negatif 1 x 3 Negatif 3, jadi kita peroleh X double aksen min 2 Y double aksen min 1 sama dengan Negatif 1 tambah 0, negatif 1 0 ditambah negatif 3, itu negatif 3 Teman-teman lihat baris pertama X double aksen min 2 sama dengan negatif 1 Jadi X double aksennya berapa? Negatif 1 ditambah 2 yaitu positif 1 Kemudian sekarang lihat baris kedua Y double aksen min 1 sama dengan negatif 3 Jadi ya double aksennya adalah Negatif 3 ditambah 1 Yaitu negatif 2 Jadi koordinat bayangannya adalah X aksen Koma Y aksen Oh ya ini double aksen harusnya Sama aja 1, negatif 2, jadi ini bayangannya jelas ya tapi kalau titik pusatnya beda, misalkan titik pusat pertama 2,1, titik pusat putaran keduanya bukan 2,1 teman-teman tidak bisa langsung dijumlahkan sudut Berarti mau tidak mau harus dua kali menghitung Kita cari A aksennya dulu Kemudian baru cari A double aksen Oke sekarang kita bahas bagian terakhir Yaitu rotasi garis atau kurva Langsung aja ke contoh soal Garis L 4X-2Y sama dengan 3 Dirotasikan sebesar 90 derajat terhadap titik pusat P2,1 Tentukan persamaan garis hasil rotasi garis L Caranya itu sama Kita gunakan ini Cuman X, Y nya itu tidak kita ganti dengan angka Kalau koordinat titik kan ada angkanya ya Ini biarkan aja dia X dan Y Alpha nya disini berapa? 90 derajat ini alpha nya Kemudian P dan Q itu titik pusat Ini 2,1 Jadi X aksen Y aksen dikurangi 2 Dikurangi 1 Kemudian cos alpha nya Cos 90 derajat Alpha nya ganti aja dengan 90 Negative sin 90 Sin 90 cos 90 X dan Y nya Gak usah diganti apapun Tetep aja X dan Y dikurangi P dan Q Dikurangi 2 1 X dikurangi 2, Y nya dikurangi 1 Cos 90 itu 0 Min sin 90 itu min 1 Sin 90 nya 1 Dan cos 90 nya 0 Ini kita kalikan aja 0 kali X min 2 itu kan 0 Negatif 1 kita kalikan dengan Y-1 menjadi negatif Y ditambah 1. Kemudian baris kedua, 1 kita kali dengan X-2.
Itu X-2. Kemudian 0 kali Y-1 itu 0. Ini kita jumlahkan saja. 0 ditambah min y plus 1 itu min y plus 1 Kemudian x min 2 ditambah 0 itu x min 2 Teman-teman lihat baris pertama Kita peroleh x min 2 sama dengan negatif y tambah 1 Nah ini usahakan teman-teman ubah menjadi Y sama dengan atau x sama dengan Pokoknya jangan sampai aksen sama dengan gitu Ini negatif y nya kita pindah kiri Kemudian negatif X-aksennya pindah kanan jadi negatif X-aksen 1 tetap di kanan, ini negatif 2 ke kanan jadi plus 2 Jadi Y sama dengan negatif X aksen tambah 3 Nah sekarang lihat baris keduanya Bagikan sini Y aksen minus 1 sama dengan X minus 2 Jadi negatif X sama dengan negatif Y aksen Dikurangi 2 tambah 1 Negatif X sama dengan Negatif Y aksen negatif 2 ditambah 1 itu negatif 1 Ini kita kali dengan negatif 1 Biar positif ya Jadi X sama dengan Y aksen ditambah 1 Nah berikutnya baru persamaan garis ini kita gunakan 4X-2Y sama dengan 3 X nya kita ganti dengan ini teman-teman Dan Y nya ini kita ganti dengan ini Jadi 4 kali X, X nya kita ganti jadi Y aksen tambah 1 Dikurangi 2Y, Y nya kita ganti jadi min X aksen tambah 3 Kita kalikan aja, 4 kali Y aksen itu 4 ya Aksen 4 kali 1 nya 4 Negatif 2 kali negatif X aksen itu positif 2 X aksen Negatif 2 kali 3 negatif 6 Jadi 4 Y aksen tambah 2 X aksen 4 tambah negatif 6 kan negatif 2 Jadi ini 3 tambah 2 3 tambah 2, 5 Atau saya ulangi 3 kita tambahkan dengan 6, 9 Kemudian 9 kita kurangi dengan 4 Jadi positif 5 Nah urutannya biasanya itu X dulu Nah kalau gini aksennya teman-teman gak usah ditulis lagi ya Jadi 4 ya tambah 2X sama dengan 5 Ini kita balik karena urutannya umumnya itu X dulu Jadi 2X tambah 4Y sama dengan 5 Nah ini adalah persamaan garis hasil rotasinya Gampang kan? Oke sampai sini dulu Sampai ketemu di video berikutnya kita bahas dilatasi Assalamualaikum Wr Wb Terima kasih.