[Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre des probabilités l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants du chapitre plus précisément on parlera d'expérience aléatoire de notion de probabilité bien évidemment d'événement et on verra également ce que c'est qu'une expérience à deux épreuves et on finira par la Réunion et l'intersection d'événement pour préparer un contrôle ou même un examen ceci ne suffira évidemment pas il te faudra encore t'entraîner en faisant de nombreux exercices en tout cas pour le cours c'est parti alors la question qu'on pourrait déjà se poser c'est dans quel contexte on se situe lorsqu'on fait des calculs de probabilité et bien on est mené à faire ce qui s'appelle une expérience aléatoire par exemple on lance une pièce de monnaie et on regarde la face supérieure la face qui retombe après l'avoir lancé ou encore on lance un D à six faces et on regarde quel nombre de points s'inscrit sur la face du dessus et bien ceci c'est une expérience ce sont des expériences dites aléatoires alors pourquoi elles sont aléatoires tout simplement parce qu'il y a plusieurs résultats ou plusieurs issues par exemple pour la pièce de monnaie je peux tomber sur faceace ou sur pile pour le D je peux tomber sur les faces 1 2 3 4 5 ou 6 et en plus elle est aléatoire parce que après priori je ne sais pas quand va s'ar va s'arrêter le D donc je ne sais pas quelle sera la face du dessus pareil pour la pièce et l'ensemble des issu donc pour la pièce de monnaie pile et ça s'appelle l'univers on dit aussi l'univers des poss possible pour notre d ça serait 1 2 3 4 5 ou 6 c'est-à-dire toutes les issues possibles alors pour comprendre le chemin qui va nous mener jusqu'à la notion de probabilité on va réaliser une expérience aléatoire enfin plutôt je vais te raconter une expérience aléatoire que j'ai faite avec ma classe j'ai demandé à chaque élève de la classe de lancer 100 fois un D comme celui-ci et un D à si face alors ça prend un peu de temps mais ça va et de noter à chaque fois quelle est la face du dessus et voici les résultats obtenus par un des élèves donc on voit par exemple que il a obtenu 20 fois effectif 20 la face 1 celle-ci il a obtenu 14 fois la face 2 et cetera alors vu que on a S lancé on a immédiatement le résultat en pourent c'est-à-dire on peut dire que 20 % de ces lancés lui ont l'ont mené à la face 1 tout à la fin 18 % de ces lancés 18/ 100 l'ont mené à la face 6 mais quand on y réfléchit un petit peu et qu'on se dit finalement en lançant un D comme celui-ci quelle est la phase qui a le plus de chance de sortir bah on comprend bien que c'est égal il y a il a autant de chance de sortir un 6 que de sortir un 5 que de sortir un 4 un 3 un 2 ou un 1 et quand on regarde pourtant les résultats sur sans lancer et bien finalement on a des résultats qui sont très disparates on a par exemple 10 % seulement pour le 3 alors qu'on a plus de 22 % pour le 4 alors ce qu'on a fait c'est qu'on a décidé de regrouper dans un même fichier sur un même tableau l'ensemble des résultats de la classe et ça donne ceci on a donc 2700 lancés au total et on a obtenu par exemple pour le 1 434 un effectif de 434 pour le 2 un effectif de 456 et cetera et ensuite on a mis ça en pourent parce que là il fallait le calculer hein et donc ça nous donne les résultats de la dernière ligne donc le 1 16,1 % le 2 16,9 % le 3 16,4 et cetera et quand on regarde tous ces résultats là par contre on a quand même l'impression que ça se rapproche un peu plus les fréquences d'apparition sont de plus en plus proches les unes des autres pourquoi ça parce qu'on a augmenté le nombre de lancé et oui on est passé de 100 un effectif total de 100 à un effectif total de 2700 car théoriquement je le répète il y a autant de chance d'obtenir un 1 un 2 un 3 un 4 un 5 ou un 6 et en effectuant un nombre encore plus grand de lancée au-delà de 2700 on pourrait simuler avec un tableur par exemple 50000 ou 100000 lancé et bien on se rapprocherait encore plus toutes ces fréquences se rapprocheraient encore plus les unes des autres et tout cela serait encore plus mis en évidence si on avait encore plus de lancé et la suite de la leçon va nous expliquer justement comment calculer la fréquence théorique car ça c'est une fréquence euh réelle celle issue de la vie mais théoriquement quelle devrait être la fréquence que je vais obtenir et bien c'est la suite c'est juste justement les calculs de probabilité qui vont nous le dire et bien on dispose d'une loi qui s'appelle la loi des grands nombres et on va tout de suite comprendre pourquoi elle porte ce nom et qui nous dit que les fréquences obtenues se rapprochent de plus en plus d'une valeur théorique pourvu que le nombre d'expérien augmente c'est bien ce qu'on a constaté à l'instant quand on est passé d'un effectif total de 100 lancé un effectif total de 2700 lancé on a vu que toutes les fréquences se rapprochaient les des autres c'est ce qu'on peut attendre et bien cette fréquence vers laquelle on tend cette fréquence théorique s'appelle la probabilité de l'événement qu'on va considérer on va tout de suite expliquer ce que c'est qu'un événement mais on peut déjà dire que cette fréquence théorique la fréquence qu'on imagine qui devrait être là dans la théorie mais qui finalement dans la pratique n'est jamais là ou ou très peu et bien cette fréquence théorique s'appelle la probabilité par exemple ma pièce de monnaie si je lance 10 fois une pièce de monnaie théoriquement puisque j'ai une chance sur deux d'avoir pile ou face je devrais obtenir CQ piles et cinq faces mais en fait dans la pratique on se rend compte que si je lance 10 fois une pièce de monnaie j'auraai que très rarement cinq piles et C faces par contre si je lance un million de fois cette pièce de monnaie le calcul de cette fréquence se rapproche d'une fréquence théorique qui est la probabilité et cette probabilité pour notre expérience de tout à l'heure on peut la calculer quelle est la probabilité d'obtenir la face 1 oner P1 cette probabilité elle est très facile à calculer et bien j'ai qu'une seule face et j'ai en tout j'ai donc une chance sur 6 d'obtenir la 1 1/ et ça ça calcule 1/ ça fait environ 07 6 doncarr à 0,167 bien si on met ça en pourcent ça nous fait 16,7 % et si tu te souviens bon on peut nouveau l'afficher de ce qu'on avait obtenu tout à l'heure pour 2700 lancé on avait finalement des valeurs de notre fréquence obser celle-là pas théorique qui était autour de 16 17 bah voilà la fréquence théorique c'est 16,6666 qu'en est-il pour P2 la probabilité d'obtenir un 2 bien j'ai pas besoin de refaire le calcul j'ai une chance sur 6 d'obtenir un 2 soit 0,167 en pour donc c'est environ également 16, 7 %. et il en est de même pour P3 pour P4 et pour P5 alors parlons maintenant d'événement puisqueen fait quand on fait des calculs de probabilité on calcule en réalité la probabilité d'un événement tout à l'heors par exemple on a calculé la probabilité d'obtenir un 1 en lançant note D et bien là on avait déjà défini un événement qui est obtenir un 1 mais voyons un autre exemple on a ici une roue qui tourne sur elle-même avec une flèche en haut qui all les fixe quand on fait tourner la roue et bien elle va s'arrêter sur un des secteurs on a des secteurs de différentes couleurs il y en a huit mais en fait on a quatre couleurs qui sont donc bleu vert jaune ou rouge on a donc différentes issu qui sont donc bleu vert jaune ou rouge et chaque issu en fait correspond à un événement élémentaire on définit comment un événement élémentaire et bien c'est un événement qui est réduit à une unique issue de l'expérience mais alors du coup il existe des événements plus larges qui ne sont pas élémentaires et bien c'est très simple à comprendre un événement de façon générale est constitué de plusieurs issues d'une même expérience aléatoire alors voilà là j'ai deux événements le premier qui nous dit la roue s'arrête sur un secteur bleu le deuxième nous dit la roue s'arrête sur un secteur bleu ou rouge je pense que c'est assez simple et bien e l'événement e le premier est un événement élémentaire puisque il est constitué d'une seule issue F par contre est un événement tout court puisqu'il est constitué de deux issues bleu ou roues et je peux calculer la probabilité que ces événements se réalisent par exemple si calculer P et bien je vais compter le nombre de secteurs bleus puisque là on s'arrête sur un secteur bleu il y en a de et je vais compter le nombre de secteurs en tout il y en a j'ai en fait de Chan sur que la roue s'arrête sur un secteur bleu c'estàdire 1/4 on a calculer la probabilité que l'événement e se réalise p p2f on veut s'arrêter cette fois-ci sur un secteur bleu ou un secteur rouge bleu et rouge ensemble ça me fait trois secteurs sur 8 en tout et bien la probabilité que l'événement F se réalise est de 3/8 et on peut calculer comme ça toutes sortes de probabilités par exemple ici dans ce schéma qui s'appelle un arbre de probabilité on a représenter et bien la probabilité de chaque issue élémentaire notre bleu qu'on retrouve 1/4 le rouge 1/8 le jaune 3/8 et le vert 1/4 et bien ici on remarque que la probabilité de chaque issue élémentaire n'est pas égale on a du 1/4 du 1/8 du 3/8 et cetera et bien dans ce cas-là on dira qu'il n'y a pas équiprobabilité il y a écrit équiprobabilité lorsque chaque issue a la même probabilité du coup on se souvient d'une expérience aléatoire où il y a et qui probabilité c'est celle-ci lancer un D la probabilité d'obtenir un 1 est égal à 1/6e 1 2 est égal à 1/6e 1 3 est ég à 1/6e et cetera là chaque issue a la même chance de sortir on dit qu'il y a qui probabilité en conséquence deux petites propriétés la première qui nous dit que dès qu'on a un événement e quelconque et ben la probabilité que cet événement se réalise donc P de E est compris entre 0 et 1 bon on comprend bien 0 bah on peut pas avoir moins de chance que nul qu'un événement se réalise 1 au plus bah si on regarde notre histoire avec notre rou bien euh l'événement le plus large ça serait de tomber sur un secteur bleu un secteur rouge un secteur jaune ou un secteur vert on peut pas avoir quelque chose euh d'autre que cette situationlà c'est-à-dire cette probabilité elle est donc de 8 secteurs sur 8 en tout 8/ 8 8 sur 8 ça fait 1 on comprend bien donc que au maximum la probabilité d'un événement est égale à 1 et ensuite on a une deuxième propriété qui nous dit que la somme des probabilité de tous les événements élémentaires est égal à 1 là également on comprend bien pourquoi puisque euh si on fait la somme de toutes les issu il y a pas autre chose elles sont toutes là donc forcément en faisant la somme des probabilités correspondantes on va trouver 1 et on peut le faire enfin je veux pas le faire je te laisse le faire si tu fais 1/4 + 1/8 + 3/8 + 1/4 tu verras que tu trouves bien 1 et enfin grâce à cette cet arbre alors bon là c'est présenté sous forme d'un arbre mais c'est souvent présenté dans un tableau on peut définir ce qui s'appelle la loi de probabilité et bien la loi de probabilité c'est l'ensemble des probabilités de tous les événements élémentaires c'est-à-dire c'est ça la loi de probabilité c'est dire la probabilité de tomber sur bleu é=ale 1/4 la probabilité de tomber sur rouge égale 1/ de sur jaune é= 3/8 sur vert é= 1/4 et là de cette façon-là on a totalement défini les probabilités qui correspondent à cette expérience aléatoire alors ici c'est un peu long à écrire mais des fois c'est pire hein euh mais pour certaines lois de probabilité on n pas besoin de la définir comme ça en prenant toutes les issues on peut le la définir à l'aide d'une formule alors il existe des lois de probabilité que tu étudieras plus tard comme par exemple la loi de bernouli ou encore la loi exponentielle la loi géométrique et ces lois sont gérées à l'aide d'une formule qui parfois est même une fonction d'ailleurs et du coup c'est très pratique pour définir ces lois parce que on n'est pas obligé de tout détailler comme on l'a fait ici alors on va en finir maintenant avec la notion d'événement il nous reste encore à parler rapidement de ce que c'est qu'un événement contraire euh si on revient à notre exemple où tout à l'heure on avait lancé un D à si face et donc on regardait la face du dessus une fois que le D s'arrête et je vais définir un événement e qui dit la phase du dessus est supérieure ou égale à 2 alors ça ça renferme beaucoup d'information parce que si c'est supérieur ou égal à 2 ça peut donc être 2 ça peut être 3 ça peut être 4 5 ou 6 du coup quand on aura un calcul de probabilité à faire par rapport à cet événement ça peut tout de suite donner du travail alors pas vraiment ici mais dans des situations plus complexes mais il est possible de définir cet événement e en en utilisant un autre qui est son complémentaire ou plutôt son contraire l'événement contraire quel est le contraire de la face obtenue est supérieure ou égale à 2 bien c'est assez simple la face est 1 ça c'est bien le contraire si c'est pas 2 3 4 5 ou 6 bah c'est forcément 1 et bien cet événement qui s'appelle l'événement contraire de E et qui se note e bar et donc l'événement qui va compléter e par rapport à l'univers des possibles alors si l'événement de départ s'appelle a bah il va se noter bien sûr a̅ mais ce qui ce qui est intéressant c'est que en terme de probabilité ces deux événements donc l'événement et son contraire sont liés par une formule qui nous dit que P de e bar est égal à 1 - P de E ou dans l'autre sens P de e = 1 - P Dee bar donc quand on a l'un et bien on a l'autre du coup très rapidement quand on est habitué si par exemple on sait que P2 e vaut 2/3 et bien P de e bar vaut 1 - 2/ c'est-à-dire 1/3 si on a P de qui vaut 4/5e l'autre vaut 1/5e et cetera parlons maintenant d'expérience aléatoire à deux épreuves et bien c'est un peu comme s'il y avait deux expériences dans l'expérience pour comprendre voici un exemple on nous dit qu'on lance deux fois de suite deux épreuves une pièce de monnaie il s'agit donc bien ici d'une expérience aléatoire à deux épreuves je lance une première fois ma pièce je regarde sur quelle face elle s'arrête je lance une deuxième fois ma pièce et je regarde à nouveau sur quelle face elle retombe on va considérer l'événement e on obtient au moins une fois la face pile et on pourrait se poser la question quelle est la probabilité que l'événement e se réalise alors on va y répondre assez rapidement je t'invite à visionner la vidéo qui est liée là-haut si tu veux aller un peu plus loin dans la résolution ici on va juste euh voir les grandes lignes et pour cela et bien on va s'appuyer sur l'Arbre des Possibles c'est l'Arbre des Possibles qui va nous aider à répondre à cette question parce que autant c'est assez évident assez intuitif lorsqu'on est dans le cadre de calcul de probabilité à une seule épreuve que lorsqu'il y a deux épreuves ça allit un petit peu moins alors construisons cet arbre des possibles et bien cet arbre a deux niveaux deux niveaux comme les deux épreuves le premier niveau et bien c'est le premier lanc le premier lancé où on a donc deux possibilités qui sont pile ou face ensuite arrive le deè niveau qui correspond donc à la deuxème épreuve au deuxème lancé et on a à nouveau comme choix possible arbre des possibles pile ou face c'est-à-dire dans le cas où au premier lancé à la première épreuve j'ai obtenu pile et bien je peux avoir pile ou face et dans le cas où à à au premier à la première épreuve j'ai obtenu face et bien j'ai de nouveau le choix entre pile ou face ce qui veut dire qu'on va pouvoir faire le bilan des choix possibles soit on obtient pile et pile soit on obtient Pile et Face soit face et pile soit enfin face et face et là on a tout les choix possibles toutes les possibilités lorsqu'on effectue ces deux lancer ces deux épreuves du coup on compte au total qure issues possibles quatre issu possibles et et on peut également dénombrer le nombre d'issu qui correspond à notre événement on rappelle qu'on voudrait avoir au moins une fois pile c'est-à-dire une fois pile ou deux fois pile et on en compte combien et bien là on en compte trois finalement il y a trois issus possibles pour notre événement e 3 sur 4 nombre d'issus favorbles à notre événement e sur nombre d'US en tout et bien la réponse est 3//4 c'est-à-dire que la probabilité de E est égale à 3/4 il y a donc trois chances sur 4 d'obtenir au moins une fois pile lorsqu'on lance deux fois de suite une pièce de monnaie parlons maintenant d'intersection de réunion de deux événements on va déjà commencer par l'intersection pour le comprendre on peut faire un petit schéma comme celui-ci où on a un événement a qui est représenté donc en bleu et un événement B qui est représenté en rouge et on remarque que ces deux en emble se chevauche ça veut dire qu'ils ont des éléments en commun et bien on dira que l'événement a interb l'intersection de des des événements A et B est réalisé lorsque les deux événements A et B sont simultanément réalisé il faut que les deux soient réalisés pour obtenir l'intersection c'est pour ça que l'intersection on le trouve justement à l'intersection de ce schéma la zone qui est un peu en violet on dit dira que l'événement a union B donc la réunion des événements A et B est réalisé lorsque au moins l'un des deux événements est réalisé c'est-à-dire soit l'un soit l'autre soit les deux donc a union B c'est en fait l'ensemble du schéma alors pas ce qui se trouve à l'extérieur bien sûr mais la partie bleue la partie rose et la partie mauve également alors ça c'est la théorie euh c'est pas compliqué mais c'est beaucoup plus simple à comprendre sur un exemple tu vas tout de suite alors on va prendre un jeu de 32 cartes cartes à jouer et on va considérer les événements suivants l'événement a qui nous dit on tire un valet l'événement B qui nous dit on tire un cœur du coup comment est défini l'intersection des événements A et B il faut donc dans l'intersection retrouver des les éléments communs à a et commun à B et bien il y en qu'un seul il faut que ça soit un valet il faut que ça soit un cœur donc du coup ça ne peut être que le valet de cœur et bien on dira que l'événement a inter B c'est tout simplement on tire le valet de cœur mais alors du coup qu'est-ce que c'est que la réunion des événements A et B bien on a dit c'est soit l'un soit l'autre soit les deux c'est-à-dire ça peut être n'importe quelle Vallet le Vallet de carreau le vet de trèle ça peut-être n'importe quel cœur ça peut-être le valet de cœur peu importe et bien cet événement qu'on pourrait définir en on tire le valet de pic le valet de TRF le valet de cœur ou un cœur tout simplement et bien cet événement on le note à union B et on a une propriété qui nous permet de gérer les événements réunion et intersection elle nous dit de façon générale que la probabilité de a union B est égale à la de a plus la probabilité de B moins la probabilité de a inter B on a donc bien une relation entre la Réunion et l'intersection c'est une formule qui est très intéressante pour passer de l'un à l'autre alors on peut quand même expliquer cette formule assez simplement j'ai représenté de nouveau mes ensembles A et B qui ont des éléments en commun on le voit ici lorsque je fais P un B on a dit que c'est tout ça je l'ai donc reproduit ici donc ça c'est a union B et si je si je fais ce qui est écrit dans la formule je fais donc P de A + P B ça nous donne quoi ça nous donne ça l'ensemble des éléments dans a plus l'ensemble des éléments en B mais on voit que ce n'est pas égal les deux pourquoi parce que ici il y a cette partie là c'est-à-dire l'intersection que je retrouve deux fois je la retrouve une fois ici et une fois ici alors en réalité dans la Réunion elle n'apparaît qu'une seule fois donc elle est là une fois de trop il faudrait encore l'enlever cette intersection et si j'enlève cette intersection qu'est-ce que je fais et bien je vais faire ici Mo a inter B et en enlevant cette intersection et bien je vais l'enlever maintenant j'obtiens ceci et quand on met maintenant ces deux ensembles ensemble on voit bien qu'on retrouve notre réunion donc le problème c'est qu'en faisant P de a la probabilité de a plus la probabilité de B et bien je vais compter deux fois l'intersection c'est pour ça que dans la formule on l'enlève une fois à la fin et comme ça on retombe bien sur une réunion comme il faut mais du coup on a une propriété qui nous donne une formule pour des événements incompatibles alors c'est quoi des événements incompatibles c'est des événements qui ont pas d'intersection du coup c'est des événements qui se retrouvent totalement 10jint ça donne ceci ce qui fait que quand je vais appliquer la formule P DEA union B = pa + pb pa inter B bien le P de a interb il est où il est nulle part donc comme il est nulle part il est nul donc comme il est nul il est pas là et c'est pour ça qu'il n'est pas là et c'est pour ça qu'on dit que si deux événements A et B sont incompatibles c'est-à-dire leur intersection est vide et ben p p de a union B est tout simplement égal à pa DEA + P B et c'est ceci qui va nous permettre de clore cette vidéo