Résolution d'un exercice d'équilibre chimique

Données initiales

• Réaction considérée : $ \text{CO} + \text{H}_2\text{O} \leftrightarrow \text{CO}_2 + \text{H}_2 $ (phase gazeuse)
• Constante d'équilibre (K) : 0,63 (donnée)
• Volume : 1 L (simplification des calculs)
• Quantités de matière initiales :
  • $\text{CO}$ : 2 moles
  • $\text{H}_2\text{O}$ : 1 mole
  • $\text{CO}_2$ : 0 mole (initial)
  • $\text{H}_2$ : 0 mole (initial)

Objectifs

• Déterminer les quantités de matière à l'équilibre
• Déterminer les concentrations à l'équilibre

Tableau d'avancement

1. Initial :
   • $\text{CO}$ : $2$ moles
   • $\text{H}_2\text{O}$ : $1$ mole
   • $\text{CO}_2$ : $0$ mole
   • $\text{H}_2$ : $0$ mole
2. À l'équilibre :
   • $\text{CO}$ : $2-x$ moles
   • $\text{H}_2\text{O}$ : $1-x$ moles
   • $\text{CO}_2$ : $x$ moles
   • $\text{H}_2$ : $x$ moles

Expression de la constante d'équilibre

• Formule :

$$ K = \frac{[\text{CO}_2][\text{H}_2]}{[\text{CO}][\text{H}_2\text{O}]} = 0,63 $$

• Substitution des valeurs :

$$ 0,63 = \frac{x \cdot x}{(2-x)(1-x)} $$

Résolution de l'équation du second degré

1. Développement :

$$ 0,63 = \frac{x^2}{(2-x)(1-x)} $$ $$ 0,63(2 - 3x + x^2) = x^2 $$ $$ 0,63 \cdot 2 - 0,63 \cdot 3x + 0,63x^2 = x^2 $$ $$ 1,26 - 1,89x + 0,63x^2 = x^2 $$ $$ 0,63x^2 - x^2 - 1,89x + 1,26 = 0 $$ $$ -0,37x^2 - 1,89x + 1,26 = 0 $$

2. Formule du discriminant (Delta) :

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ $$ a = -0,37, b = -1,89, c = 1,26 $$

3. Calcul du Delta :

$$ \Delta = b^2 - 4ac $$ $$ \Delta = (-1,89)^2 - 4(-0,37)(1,26) $$ $$ \Delta = 3,5721 + 1,8648 $$ $$ \Delta = 5,4369 $$

4. Calcul des solutions :

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$ $$ x_1 \approx 0,6 $$ $$ x_2 \approx -5,7$$

5. Interprétation chimique :

• La solution $x_2 = -5,7$ est rejetée car elle est négative (pas de sens chimique)

Quantités de matières à l'équilibre

• $ x = 0,6 $ moles
• Substitution dans le tableau:
  • $\text{CO}$ : $2 - 0,6 = 1,4$ moles
  • $\text{H}_2\text{O}$ : $1 - 0,6 = 0,4$ moles
  • $\text{CO}_2$ : $0,6$ moles
  • $\text{H}_2$ : $0,6$ moles

Concentrations à l'équilibre

• Puisque le volume est 1 L, les concentrations sont numériquement égales aux quantités de matière (moles).
  • $\text{CO}$ : $1,4$ mol/L
  • $\text{H}_2\text{O}$ : $0,4$ mol/L
  • $\text{CO}_2$ : $0,6$ mol/L
  • $\text{H}_2$ : $0,6$ mol/L

Vérification de la constante d'équilibre

• Calcul :

$$ K = \frac{[\text{CO}_2][\text{H}_2]}{[\text{CO}][\text{H}_2\text{O}]} = \frac{0,6 \times 0,6}{1,4 \times 0,4} = \frac{0,36}{0,56} \approx 0,64 $$

• Comparaison avec $K = 0,63$ (légère différence due aux approximations)

• Conclusion : Les calculs sont cohérents, validation faite.