Hesse-Matrix

Einführung

• Thema des Videos: Berechnung der Hesse-Matrix einer gegebenen Funktion.
• Wichtig: Alle partiellen Ableitungen sind erforderlich.

Schritte zur Ableitung

1. Ableitung nach x

• Funktion: 3x² + y² - 2z² + xy - 4x + 5yz
• Ableitungen:
  • f'(x) = 6x
  • f'(y) = y
  • f'(z) = 0
  • f'(x) = -4

2. Ableitung nach y

• Ableitung nach y:
  • f'(x) = 0
  • f'(y) = 2y
  • f'(z) = 5z
  • f'(x) = x

3. Ableitung nach z

• Ableitung nach z:
  • f'(x) = 0
  • f'(y) = 0
  • f'(z) = -4
  • f'(x) = 5y

Zweite Ableitung

• Notwendig, um die Hesse-Matrix zu erstellen.
• Anwendung des Satzes von Schwarz für gemischte partielle Ableitungen:
  • f'(xy) = f'(yx)

4. Berechnung der gemischten partiellen Ableitungen

• f''(x, y) = 0
• f''(x, z) = 0
• f''(y, z) = 5

Hesse-Matrix aufstellen

• Struktur der Hesse-Matrix:

[ H = \begin{pmatrix} f''{xx} & f''{xy} & f''{xz} \ f''{yx} & f''{yy} & f''{yz} \ f''{zx} & f''{zy} & f''{zz} \ \end{pmatrix} ]

• Einsetzen der Werte:
  • f''_{xx} = 6
  • f''_{xy} = 1
  • f''_{xz} = 0
  • f''_{yx} = 1
  • f''_{yy} = 2
  • f''_{yz} = 5
  • f''_{zx} = 0
  • f''_{zy} = 5
  • f''{zz} = -4

Ergebnis

• Die Hesse-Matrix ist:

[ H = \begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 5 \ 0 & 5 & -4 \ \end{pmatrix} ]

Schlussfolgerung

• Hesse-Matrix vollständig berechnet.
• Nächste Schritte und Themen im nächsten Video angedeutet.