Hallo, in dem heutigen Video geht es um die Hesse-Matrix. Dafür haben wir diese Funktion hier gegeben und davon sollen wir die Hesse-Matrix ausrechnen. Hier unten habe ich die Form nochmal hingeschrieben, also wie die Hesse-Matrix aufgebaut ist.
Wir sehen hier, dass wir alle partiellen Ableitungen brauchen. Also fangen wir an mit der Ableitung f nach x. 3x hoch 2 nach x abgeleitet ergibt 6x. Dann sehen wir hier, dass es kein x gibt. Also fällt dieser Teil hier weg, y hoch 2. Dann geht es weiter mit minus 2z hoch 2. Da ist auch kein x dabei, also fällt das auch weg.
Plus xy, da ist jetzt das x dabei. Wenn wir das nach x ableiten, dann bleibt nur noch y übrig. Also plus y minus 4x, da ist das x dabei.
Und wenn wir das nach x ableiten, bleibt minus 4 übrig. Plus 5yz, da ist kein x dabei, also fällt das weg. Dann leiten wir das Ganze nach y ab.
3x hoch 2, da ist kein y dabei, also fällt das weg. Plus y hoch 2, nach y abgeleitet, ergibt 2y. Minus 2z hoch 2, da ist kein y dabei, also fällt das weg.
Plus xy, nach y abgeleitet, ergibt das plus x. Minus 4x, da ist kein y dabei. Plus 5yz, da ist das y dabei, wenn wir es da ableiten, erhalten wir plus 5z. Jetzt noch nach z ableiten.
3x hoch 2, da ist kein z dabei, plus y hoch 2, da ist auch kein z dabei, minus 2z hoch 2, nach z abgeleitet, ergibt minus 4z, plus xy, da ist kein z dabei, minus 4x, da ist auch kein z dabei, plus 5yz, wenn wir das nach z ableiten, bleibt plus 5y übrig. So, jetzt haben wir das einmal abgeleitet und jetzt müssen wir das nochmal ableiten, also einmal fx nochmal nach x. fx ist ja das hier, das müssen wir nochmal nach x ableiten, 6x abgeleitet ergibt 6, plus y, da ist kein x dabei, also fällt das weg, minus 4, da ist auch kein x dabei, also fällt das auch weg.
Jetzt das hier nochmal nach y ableiten, also fx nach y, 6x, da ist kein y dabei, also fällt das weg, plus y, nach y abgeleitet ergibt 1, minus 4, nach y abgeleitet, das fällt weg. Und jetzt das hier noch nach z ableiten, also fx nochmal nach z ableiten. 6x, da ist kein z dabei.
y, da ist auch kein z dabei. Und minus 4, da ist auch kein z dabei. Also erhalten wir hier die 0. Jetzt geht es weiter f von y nach x ableiten.
Da rechnen wir jetzt nicht nochmal alles aus, sondern verwenden den Satz von Schwarz, der besagt, wenn alle zweiten Ableitungen stetig sind, dann sind die gemischpartiellen Ableitungen immer gleich. Gemischtpartielle Ableitungen sind zum Beispiel xy oder yx und da können wir die Variablen vertauschen. Also ob jetzt fxy steht oder fyx.
Bei beiden kommt dasselbe raus. Also können wir hier die einzeln schreiben. Dann geht es weiter mit fyy. Das ist keine gemischtpartielle Ableitung, weil da ist nur y und y enthalten.
Also das gleiche. Das müssen wir ausrechnen. Fy ist das und das nochmal nach y abgeleitet. 2y, wenn wir das ableiten, erhalten wir hier die 2. Plus x, da ist kein y dabei, also fällt es weg.
Plus 5z, da ist auch kein y dabei, also fällt das auch weg. Dann Fyz, das hier nach z abgeleitet. 2y, da ist kein z dabei, also fällt das weg. Plus x, da ist auch kein z dabei, also fällt das auch weg.
Plus 5z, abgeleitet ergibt 5. Jetzt müssen wir noch Fz ableiten. nach x und das haben wir hier auch schon gemacht, fx nach z ergibt 0 und fz nach x ist dasselbe, also ergibt das auch 0. Dann fz nach y, das haben wir auch hier, fy nach z ergibt 5, also fz nach y ergibt auch 5. Und noch das letzte, fz nach z, das müssen wir jetzt ausrechnen, minus 4z nach z abgeleitet ergibt minus 4 und plus 5y, da ist kein z dabei, also fällt das weg. So und jetzt brauchen wir das Ganze nur noch in diese Formel einzusetzen und dann sind wir fertig. Also machen wir das noch. af von x, y, z ist gleich fxx, das ist die 6, dann fyx, das ist die 1, fzx, das ist die 0, fxy, das ist die 1, fy, das ist die 2, fzy.
das ist die 5, jetzt noch die letzte Spalte, fxz, das ist die 0, fyz, das ist die 5 und zuletzt noch fzz, das ist minus 4. Also ist die Hesse-Matrix von dieser Funktion hier das hier. Das war es dann für heute. Ich hoffe, das hat euch weitergeholfen.
Und wir sehen uns dann hoffentlich im nächsten Video. Bis dann!