Лекція з Дискретної Математики

Вступ

• Дискретна математика є однією з фундаментальних дисциплін.
• Відрізняється від математичного аналізу та лінійної алгебри тим, що не має стрункої теорії.
• Курс складатиметься з різних тем, не завжди взаємопов'язаних.

Тема 1: Теорія множин

Основи теорії множин

• Множина - це сукупність елементів.
• Приклади множин:
  • натуральні числа
  • дійсні числа
  • множина розв'язків певних рівнянь
• Основні поняття:
  • Поняття множини: не має строгого визначення.
  • Приналежність: елемент належить множині.

Наївна теорія множин

• Включає два неозначених поняття:
  1. Множина.
  2. Приналежність елемента до множини.
• Аксіоматичний метод: історично використовувався для виведення теорем.

Логічна схема побудови множин

• Якщо множина має логічну властивість, то існує множина елементів, що їй задовольняють.
• Позначення множини:
  • Фігурні дужки, визначення через логічну властивість.

Означення та властивості

Порожня множина

• Порожня множина: не містить жодного елемента.
• Визначається через логічну властивість.
• Важливе: порожня множина є підмножиною всіх множин.

Рівність множин

• Множини A і B рівні, якщо кожен елемент A є елементом B і навпаки.
• Позначення включення: A ⊆ B або A ⊂ B.

Операції над множинами

• Перетин (A ∩ B): елементи, які належать обом множинам.
• Об’єднання (A ∪ B): елементи, які належать хоча б одній з множин.
• Різниця (A - B): елементи, які належать A, але не належать B.
• Симетрична різниця: (A Δ B): елементи, що належать A або B, але не обом.
• Властивості операцій:
  • Комутативність:
    • A ∩ B = B ∩ A
    • A ∪ B = B ∪ A
  • Асоціативність:
    • (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
    • (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
  • Ідемпотентність:
    • A ∩ A = A
    • A ∪ A = A
  • Закони поглинання:
    • A ∩ (A ∪ B) = A
    • A ∪ (A ∩ B) = A

Закони Де Моргана

• Доповнення перетину двох множин:
  • (A ∩ B)' = A' ∪ B'
• Доповнення об’єднання двох множин:
  • (A ∪ B)' = A' ∩ B'

Висновок

• Подальші теми: нескінченні множини, функції.
• Дискретна математика є важливою для розуміння більш складних концепцій.

Запитання та обговорення

• Питання по темам курсу.
• Проблеми з групами та організація практичних занять.