Доброго дня Вітаю вас на курсі дискретна математика дисципліна сама дискретка у нас відноситься до важливих дисциплін математичних деякому сенсі навіть до фундаментальних хоча на відміну від таких дисциплінок математичних аналіз там лінійна алгебра або ще щось вона немає якоїсь такої стрункої теорії саме глибину Як то кажуть А вона є більше такої математикою в ширину тобто буде декілька розділів ми будемо вивчати прям розділи шматки теми які будуть не дуже сильно пов'язані між собою на перший погляд але які дадуть вам фундамент для взагалі вивчення подальшої математики і не тільки математики І от перша тема яку ми з вами розглянемо це теорія множин А саме основи теорії множин напишу такі заголовок теорія множин це можна без перебільшення сказати мова математики з множинами ви вже стикалися і в житті і в школі множина натуральних чисел таке ви чули 150 раз які множина дійсних чисел множина розв'язків цього рівняння цієї системи множина студентів на фі множина викладачів дискретки і так далі в принципі в кожній книжці дискретний математики або навіть з математичного аналізу дає математики загалом перше означення саме будемо множина і воно саме буде означення тобто скоріш за все люди Таким чином напишуть множина це сукупність елементів деякої природи бла-бла-бла зацікавлене читач можу сказати Та добре А що таке сукупність тоді ну сукупність Ви маєте Так знати да ну це набір Це набір елементів який щось там Окей А що таке набір і тут ми приходимо до того що ми не можемо давати визначення не маючи нічого в Древній Греції був аксіоматичний метод вони розуміли що щоб щось доводити треба з чогось виводити вони брали аксіоми геометрію в даному випадку і доводилось свої твердження теореми називали А ну гаразд що ж у нас у нас я постараюсь вам максимально чітко в тих рамках які у нас є дати наші основні означення але Ми стартуємо якраз з двох неозначених понять тобто множина означення не буде нема через що визначати це базове це наша цеглинка з якою ми все будемо будувати і такі підхід називається наївна теорія множини так і напишу наївна теорія множин містить два неозначених поняття це цікаво чого два на перший ми тільки що проговорили поняття множини Гаразд ми не знаємо значення не можемо його дати але ми приблизно розуміємо про що ми говоримо а що за друге поняття таке друге поняття - це уже лежить в серці взагалі взаємодії з цим неозначеним поняттям Ну нам потрібно щоб взаємодіяти і серце взаємодіє лежить саме в можливості вказати Чи належить елемент множині чи ні тобто маючи собі множину всіх студентів фі і вам дається просто якісь Не знаю 17-річна якась людина ви можете сказати так чи ні він лежить цим множині він є студентом і чи ні він не є і тут я використав слово елемент цього означення У нас поки що немає і в принципі немає такого значення це елемента - це не елемент тому у нас все множини Отже в рамках рівножин У нас є неозначене поняття приналежності чогось чомусь це поняття приналежності і тут можна вказати більш приємно для вух елемента множині оскільки елемент непонятно що то я скажу більш математично приналежності однієї множини інші і для цього я позначення яке я думаю ви бачили що значить що там число належить там дійсним числам або ще щось це значить що А належить B значок є я пишу спеціально зараз великими з обох сторін значка ви могли бачити такі позначення це раціональні числа х належить відрізку 01 х пишуть маленьким якби натякаючи що елементи які вони маленькі а самі множини їх то як би побільше це приємно в принципі писати Ми так і далі будемо писати але оскільки ми намагаємось більш-менш строго побудувати нашу основу на якій будемо стояти то поки що у нас все множини але якщо така ситуація виконується в цьому випадку ми вже кажемо Тобто це вже означення кажуть що А є елементом б тобто немає що типу не елемент тут відносно чогось да х елемент є і множини елемент множини студентів він є студентом Також ми в неївній множин Ну ось ми маємо такі два неозначених поняття але нам хочеться з'ясувати або мати можливість мати ці множини раптом нічого взагалі не існує Ну типу Окей множина неозначене поняття нам тоді треба сказати що щось існують якісь множини які і ось це визначається через так звану схему побудови множин ця схема буде логічно виглядати але вона занадто сильна занадто потужна настільки занадто що насправді вона і мотивує слово наївна в цьому словосполученні наївна теорія множин наївна вона тому що за допомогою дуже потужної схеми побудови множин можна побудувати дуже погані множини і поламається логіка це так звані парадокси теорії множин ними з таких є парадокс Рассел ви Можливо десь колись чули або читали ми до цього напевно дійдемо поговоримо але пізніше Я б не хотів на першій лекції прорасело говорити але схема наступна значить схема така Якщо у вас є якась логічна властивість яку можуть задовольняти елементи ну або множини то у вас існує множина цих елементів які їй задовольняють звучить якби очевидно але саме існує да ось вона є точно в нашій нашому всесвіті вона є тобто якщо є логічна властивість бути студентом фі то є множина студентів Тобто ми тут послуговуємось якби мета математику чимось над такою логікою такою загальнолюдською Отже якщо так і напишу п від слова проперті це логічна властивість яку можуть задовольняти множини задовольняти або не задовольняти слово логічне означає що є варіант або одиничка або нуль у нас так звана булі вологика то існує множина кого усіх множин які її задовольняють так звучить трохи закручено але я так формально почався Ми через те що насправді запис позначення яке ми зараз будемо використовувати ви його теж бачили Це такий флешбек до того що ви вже бачили але ми його трошки можливо у загальному розумінні будемо для себе уявляти означення фігурні дужки приходять фігурні дужки пишеться наприклад а далі ставиться дві крапки і ця логічна властивість що вона задовольняється або замість двокрапок іноді ставлять рисочку це позначення множини тих А які задовольняють певітам властивість пая тут так написав павіта коротко таке Ви точно могли бачити там ті числа які там є наприклад Нам потрібні можемо написати Нам потрібні не знаю раціональні розв'язки якогось там рівняння може написати Ось таким чином це належить множині раціональних чисел та логічна зв'язка наприклад задовольняє якісь рівняння ось таке наприклад це конкретна множина множини можна по-різному описувати Якщо у нас множина скінченна хоча ми не знаємо насправді означення що таке скінченна множина ще Але в цьому курсі ми Познайомимось з цим означенням тобто насправді якщо ми почнемо навіть з такої трошки наївної теорії множин ми можемо дати багато різних означень серйозних Наприклад ми з вами дамо строги означення функції що таке функція і це не буде те означення яке ви читали в книжках скоріше за все того що в книжках ви можете прочитати значення Ну давайте інтерактив включимо хто не боїться зі мною поспілкуватися що пишуть що таке функція взагалі або розказували у школі або десь хтось додатково читав закон відповідності однієї величини до іншої так так приблизно і пишуть це підхід такий інтуїтивний якби Ось так от ви розумієте приблизно як воно виглядає у нас навпаки ми будемо всю ту інтуїція Яка у вас уже є до цього часу бо ви прийшли не та була раса Да не чистились то вас вже є де я індуїться напрацювання математиці ми попробуємо її формалізувати більш строк і тоді на базі більш строгого і ти глибше тобто займатися вже глибшими концепцією Тобто ви бачите коли би ми провели паралель між множина це сукупність множина - Це набір функція це закон функція це відповідність що таке відповідність закон да знов не строїсть А у нас ми зможемо реально на базі турим строго дати означення що таке функція ми зможемо пояснити що таке FX це взагалі як що це за значок такий F від X і так далі ну це буде пізніше насправді значить тепер щодо множини як ми їх задаємо я хотів підкреслити що скінченні множини да А як за проскінчені значить і насправді на базі поняття і функції можна визначити строго що таке скінченне множина наприклад це не буде загальноприйнятому те що ви знов-таки прочитаєте скрізь якщо вона містить скінченну кількість елементів круто тільки що таке кількість знов неозначене да поняття виходить а ми можемо все строго насправді значить того настільки все потужно Чи ми з вами зможемо визначити що таке Вектор по нормальному наприклад або точка на площині задається парою координат да от кажуть пишуть Так 1:0 є така точка і ми вважаємо що 0:1 - це інша точка Ну типу це різні так а що це за дужки взагалі Це як працює як розуміти це що це насправді знов мені порядкована множина впорядкована множина десь треба якісь означення давати у нас нема поняття впорядковане множини в нашій теорії тому якщо у вас інша теорія вам потрібна якісь такі означення насправді ми можемо дати означення впорядкованої пари в рамках наївна історія машин теж цього достатньо математики люблять менше взяти більше вивести і все ми це побачимо Це дуже цікаво того що це всі концепції які ви знаєте але ми їх просто покажемо як вони залежать від бази Так що я хотів сказати про скінченну зокрема от множину можна скінченну можна задавати переліку елементів Для зручності Це знов таки не строге позначення але з таким ви стикались приклад множина А дорівнює і фігурних дужках перелік елементів 1 2 3 Ось таким чином як би ми могли Цю ж множину задати у вигляді нашої схеми побудови множини що за властивість об'єднує ці елементи ну придумувати властивості Можна по-різному я напишу найтупіший спосіб який тільки може бути це всі такі х що х = 1 або х = 2 або X + 3 проблем нема давайте візьму ще множину бе ми можемо написати наприклад не знаємо множина в буде Нехай 3 4 5 і навіщо я взяв би тому що я хочу взяти множину с яка буде складатися із двох елементів Так це множина яка складається сама з двох множин Але в даний випадку а і б - це елементи кожен з яких також є множиною дуже потужна річ можна накрутити все що завгодно щоб показати що дійсно потужна ми пойдемо далі І в рамках оцієї натурі можемо дати деякі означення ну наступного рівня скажемо тобто означення яке можна дати з яких ми далі будемо рухатись які ми можемо дати уже строго в рамках нашої наїдної теорії значить я ще хотів би наголосити про той приклад про функцію дуже такі цікавий і я вам пообіцяв багато додати строге значення функції хотів би наголосити чому саме підхід що Ну наприклад це відповідність правило яке ставить х єдині ігри і так далі так це не строга Але чому треба строгість чому от я на неї так молюся на цю строю Справа в тому що далі Коли математика піде далі то далі складніші концепції і вони починають ускладнюватись і вже Ось такі нестрогі пояснення викладачів чи та підручника вони не завжди спрацюють ну грубо кажучи візьмемо навіть мене а у мене якісь досвід є в математиці ті роки скільки Я прожив наприклад я стикаюся з новими значенням Я вводжу в Інтернет це все в Google забиває не знаю умовно Хай Вікіпедія англійська Я відкриваю і там зразу йде якби ну філософія тобто спочатку розказується ну цей об'єкт він узагальнення це мені нічого не дає насправді того що я не знайомий з формальними значеннями мені навчатися легше Дайте формальне я сам його зрозумію зі своїм багажем знань а потім я почитаю вашу філософію і ваші ідеї скажу А ну да да дійсно це узагальнює бла-бла-бла і потрібно для того того так і тут Тобто наш Цей підхід на пальцях Він не дасть піднятись вище якогось рівня тому ми зараз у турбуємо те що ви так знаєте але більш формально зможемо сподіваюсь навчимося нормально виводити доводити всякі рівності і так далі перейдемо до функції та дуже-дуже базових понять до такої голої математики тут немає збіжності послідовності мати аналізи алгебри нічого але тут є саме оперування на базовому рівні значить що ми можемо дати ті означення Ну звичайно що у нас є приналежність множин можна дати означення що а не належить б Це доволі очевидно якщо логічна умова не а належить Ну як завжди послуговуємось логікою далі більш цікавіше і уже дуже м'ясна штука Це порожня множина Тобто ми можемо дати означення порожнії множини позначається порожнім множина Ось так то ми ви також бачили і часто знов таки моя апеляція до книжок яким чином дається ну порожнім множина яка не містить елементів знову ж таки хто взагалі сказав що вона існує ваші чи в моїй теорії значить не містить ті елементи ви задали властивість не елементів Да От як в нашій схемі побудові а властивість множини в цілому Я взагалі не впевнений що таким множини існують Але тим не менше якщо ми це хочемо ми можемо насправді визначити бо дуже потужна схема побудови що завгодно я можу написати що це всі такі ікси Давайте розбавимо будемо х а б позначаємо і зараз якусь топу логічну властивість написати топу в плані що вона не виконується жодним точним елементом і тоді оце буде порожня тупа логічна властивість така х належить х або х не належить х ой чого або вибачте це в мене перемкнуло трошки це на парадокса звичайно тут треба значок та тобто одночасно щоб не виконувались це називається порожнім множина Ну і вірити чи ні і з порожньою множини можна зробити собі медоналіз А саме ми з вами можемо визначити за допомогою множини натуральні числа але якщо у нас є натуральні числа то вже недалеко і до цілих маючи цілі дроби вперед серед раціональні перехід від раціональних до дій складніші але можливі От вам і Мати аналіз порожнії множини як сказав Леопольд принекер математика що натуральні числа придумав Бог все інше вже ми придумали я перефразуюсь скажу що Бог придумав порожнім множення все інше можна насправді ну Можливо трошки пізніше я про це поговорю Зараз ми про якісь легкі речі на першій лекції будемо говорити А що ще ми можемо ми можемо визначити означення це важливе дуже важливе рівності множин коли ми будемо вважати їх рівним для цього у нас Треба допоміжне означення яке Також ви бачили це поняття підмножини що значить бути підмножиною ось а називається підмножиною б якщо що якщо Кожен елемент який є елементом А є елементом і б тобто якщо із отакого х лежить в бачте вже х маленьким пишу слідує що х належить і B для всіх іксів позначення які ми використаємо при цьому також я думаю ви могли зустрічатися ось таке називається значок включення а включається в А є частиною в на картинках ми можемо рисувати діаграмки так звані діаграми венна або Ейлера венна Ну а це якась частина б натуральні числа є підмножиною дійсних от таким чином Значить тут я хотів би зауважити що ви могли зустрічати значок ось такий або в книжках використовується ось такий значок яка різниця між ними чому одні пишуть так а інші пишуть як я пишу просто без риски знизу Ну тут повну аналогію автори і взагалі люди які це використовують проводять за цими значками тобто вони вважають що строга це строге включення як строга нерівність себто А я під ножною б але а не дорівнює б не строга значить не строга рівність допускається тут і множин У нас дуже різко коли потрібно не строгість так чисто і з досвідом тому мені просто лінь тягнути цю палку знизу постійно тому палки у нас не буде У нас такий значок за домовленістю буде позначати не строге включення тобто допускається рівність але що таке рівність в нашій теорії ми визначимо рівність множини А і Б називаються рівними якщо і далі іде дуже логічна умова якщо ая підмножиною B і b і множиною а позначення буде таке саме як і рівність будь-яких об'єктів просто наш значок дорівнює так якщо є якісь питання можете задавати давайте одну хвилину Можливо хтось має питання будь ласка можете ще раз розказати про ці замечательно значок із паличкою внизу Я прослухав Що саме він значить давайте швиденько то есть значок включення множин часто Ось так позначають люди просто інші автори я позначаюсь так я не хочу писати паличку а чого вони позначають паличку бо вони мають на увазі що наше включення допускає рівність тому вони проводять аналогію між такими знаками на числах Дякую для нас ось це буде нестрого бо дуже рідко коли нам буде треба писати що при цьому а не дорівнює б це майже ніколи таки не зустрічається Ну колись зустрінеться тоді напише Так Значить що ми можемо вже насправді довести але не знаючи це потрібно Я хотів би просто зауважити ми можемо визначити ми визначили вже порожнім множину і зараз ми з вами можемо сформулювати твердження перше прохарактеризацію це саме я даю як властивість характеризаційну саме означення з інших книжок саме множина є порожньою якщо вона не містить елементів множина А є порожньою тут буде знак еквівалентності тоді тільки тоді я замість довгої конструкції пишу такий знак це скажімо наша логіка знов таки це не математика над математик коли для кожної х у нас виконується що х не лежить в і ми це з вами можемо обґрунтувати насправді довівши в обидва боки давайте попробуємо це зробити що це може для вас здаватися вже зовсім не цікавим якимось коприсанням в деталях в принципі я можливо можу тут погодитись що це не дуже цікаво давайте напевно я не буду вас зараз перегружати ось цим А по доводимо щось більш цікаве давайте ще наслідок приведу тоді що доведення не дам можемо сказати що порожня є підмножиною для всіх множина Я підмножиною кожний множини цей наслідок може бути очевидним або не дуже очевидним тобто якщо ви знали зустрічались поняттям порожнім множина до того що ви сьогодні послухали від мене ці півгодини то для вас Це очевидно тепер з миємо значення може щось я тут накидав щось якось складене ясно але давайте подивимось чи це складно і не ясно це як наслідок я провів ствердження але насправді можна і окремо було б сформулювати ну в будь-якому випадку так давайте подивимось тобто значок включення останнє питання про нього було він у нас прям строго визначено ось давайте поміркуємо обгрунтуємо чому порожня множина є підмножиною а чому Кожен елемент звідси лежить і тут Чому ця логічна умова Ось ця от вона я її прям підкреслюю зараз давайте червоним це важливий момент він важливий не в плані математики А в плані логіки тобто якщо наприклад для вас ці речі не рідні вони для вас чужі то з математики важко буде тут оце виходить перевірка це одна з перевірок логіки на те чи є здібності до математики Насправді це дуже цікаво себе перевірити але я не можу відповісти розуміти ви чи ні це тільки ви можете це рефлексія філософська це теж частина математики завжди сумніватися і питати А чи я розумію дійсно що написано да чи ні і не обманюватись тобто є підкресна червоним логічна властивість якщо Х належить а то х належить B Якщо коротко чому вся ця конструкція вся ця конструкція логічна властивість виконується для отаких от множин порожня і якась справа Я навіть в принципі можу написати так щоб вас не плутати ось тут б для всіх б Це ще один прикол математики а саме поняття зв'язаних зміни з нову логікою але вже другого порядку більш складна тобто коли ви пишете функція FX = Sin x то X не грає ніякої ролі можна в текста вправа не в х або Т справа в синусі Саме так і тут справа не в а б що хочете поста справа от в тому відношенні які виконуються Але це так відступ ліричний чому ось це виконується в такому значенні значить я не буду вас зараз спитати обґрунтування А я занурю це в ширший контекст в контекст логіки у нас логіка буде в цьому курсі насправді Так звана матлогіка числення висловлювань ми спробуємо нашу логіку математичну якось записати до якого до якої мірою і розібратись А зараз у нас цього ще нема І ми поговоримо чисто з вами філософські давайте оцінимо твердження я викладач дискретної математики твердження у нас в логіці може бути істинними або хибним одиничка або нуль це істинне твердження тепер оцініть наступне твердження якщо на вулиці гуляє динозавр то я викладач математики питання до вас це істинне чи хибне як ми його вважаємо істини ніяке якою умовою [музика] так тобто от давайте послухаємо що зараз відбулося я поки не буду казати про правильну Ну тут нема правильно ніколи не буде да це оце дуже важливий момент взагалі в усій математиці зараз 2 хвилини на нього значить у мене була лекція з дискретки тільки що перед вами у іпз спеціальності Я читаю у їпз іука і я те саме питання задав і від перші три відповіді були ті самі як у вас це просто неймовірно То есть мені як викладачу це це дуже прикольно просто у них було ще швидше і там треба нарізати тож дійсно одна людина сказала хибна інший не треба третя сказала залежно від домови вас хтось сказав Ніякий три взагалі спектр абсолютно Отут Я хочу це сказати що тут це є Ось ця базова логіка математична Я ще не знайшов ключа як переконувати людей в тому що от те що я скажу один з цих трьох варіантів правильні оце правильно так треба думати поїхали далі я це поки що Вважаю що є люди яких це всередині є уже а є в яких цього нема і відповідно різні стартові можливості значить останній що Андрій сказав да от ви як це обґрунтували те що хибно умова хибна завжди ну як сказати тоді ми виходимо переходимо до стейтмада але умова ну ніколи по вулиці не буде бігати динозаврик так правильно і це абсолютно неправильна відповідь То есть є інші студенти зараз які обґрунтовували Ну багато хто людей зараз одночасно говорили когось було чути такі навпаки обґрунтовували вашу обґрунтування з висновком що навпаки все Все вірно і тут треба на ось такі речі Наприклад якщо там не знаю динозавр стрілка там я викладач математики якісь логічні умови напишемо треба читати не Ось так як ви сказали можливо це підхід не якщо умов виконується і ми переходимо до висновку а розглядати в загальному не так локально в загальному як величезному таку от штуку тобто фокусуватися більше на висновку сам от Андрій сфокусуйтесь на висновок Яка різниця якщо що там я ж все одно викладач математики отаке пояснення Тобто це істинне твердження це істин тварин але справи ще гірше ніж у Андрія насправді у нас ще ще гірша ситуація Тобто це такі локальне пояснення що дійсно із нуля одиниця це істина тому що я все одно мене не бентеж Якщо щось то там я викладач математики це вся конструкція Правильно бо я викладач математики але є що у нас У нас є проблеми Хьюстон того що я давайте Таке твердження візьму якщо на вулиці гуляє динозавр то як космонавт і тут моя хибне завжди насправді твердження істини завжди того ж тут якраз от пояснити дуже важко можливо це в розділі логіці ми з вами якось пояснимо чистий з алгебраїчних операцій типу щоб ми хотіли щоб було Тому ми так беремо але насправді я попробую не факт що я зможу можливо дійсно Ми сфокусуємось на цьому якщо і скажемо якщо це зліва не виконується то вся конструкція істина по дефолту і все мені обгрунтувати дуже важко насправді тепер щодо наших баранів повернімося до нашого твердження і наше твердження наступне якщо Х належить зліва то х лежить вправо так а зліва немає слів Ну підтвердження скоріше для кожного ікса X не належить порожній то есть якщо отут нуль то все одно що справа після стрілки тобто вся конструкція істина дуже слизький момент дуже слизький момент а але в математиці так часто вот зустрічаються такі моменти типу в принципі немає елементів тому про ці елементи можна говорити все що завгодно зокрема що вони не належать B Ну давайте тоді щось більш простіше можливо тут Я вас трошки замучився давайте Таке твердження яке покажу різницю між значками бути елементом і включенням все-таки значки схожі і це твердження покаже різницю значить різниця наступна а належить B тоді тільки тоді коли одное елементна множина яка складається з елемента А є підмножиною B Ну Ось таким чином це більш приємне ніж всякі порожні множини Тобто ми тут показуємо різницю все-таки елементи вони типу на рівень менші ми таких зображаємо часто маленькими літерами А коли ти уже в дужках то ти вже сам елемент і ця множина Ось ця вона мені ніяк не позначали Вона має лише один елемент вона є підмножиною B бо кожен її елемент є елементом B бо у неї лише один елемент от у порожньої нічого не було а тут є А так аж належить B от це доведення в один бік Ну давайте я не буду тут вас мучити сильно з цим А перейду до того що нам дійсно потрібно вже для побудови далі нам множини потрібні не просто так ми хочемо будувати тобто з чогось простого будувати складне Це складне воно виникає природним чином тому що множина може бути така Всі ці ікси які є студентами кн-1 зараз та грають на гітарі це логічно властивість але тут явно зашиті дає множини бути студентом і грати на гітарі і це якби спільне між ними ну це спільне називається перетин двох множин і ми з цього почнемо наш наступний підрозділ операції над множинами що ми можемо Якби робити Ми хочемо розвивати якісь складні на більш прості перша операція - це перетин ми про нього поговорили У нього є спецпозначення перетин позначається Таким чином а перетнути з б схожість значок до включення але повернете трошки вниз формально це всі ті ікси що якась умова ну яка яку ми вже з вами описали X є студентом kn1 і X грає на гітарі одночасно Чудово все це зображати діаграма діаграма тут доволі очевидна ось це перетин так дуальне дуальне означення дуальна конструкція це об'єднання об'єднання двох множин цей дуалізм підкреслюється самим значком а об’єднати з б позначається це множина тих іксів що і тут я зупинюсь Я знаю що я хочу отримати в кінці І ви теж знаєте а саме звичайно я хочу отримати об'єднання доволі очевидно що таке об'єм Ну все коротше це все об'єднує А яку тоді логічну мову мені записати питання до вас інтерактив знову х належить а або х належить B абсолютно вірно тут або це цікавий момент теж напівслиський типу комусь це зразу очевидно комусь Не дуже Тут або коли ми запишемо то дійсно стає очевидним Ну так воно або там або там хоча українською мовою можна і помилитись мені здається говорячи що ті елементи які Ну коли ми так скажемо типу беремо беремо і а і б елементи елементи із А із б отак от трошки розмию я формулюванням то ти якби присутній зв'язок і але це не той і так наступна властивість різниця позначається а - б ось такий мінус визначається як ті елементи які лежать в а і не лежать в без звичайно зображення вже більше очевидне хоча тут все очевидно ось таке це А це б багато можна властивості наліпити ще стандартно називається симетрично різниця її вводять по-різному ми можемо ввести в такому ж стилі тобто логічною умовою але ця логічно мова буде достатньо довго я лише покажу що ми хочемо А ви мені скажете означення самостійно Ми хочемо щоб у нас тут а тут б були оце заштриховане давайте визначимо симетричну трикутничку можна позначається через те що вже є Запропонуйте мені х не належить а перетнути з б об'єднані це те що перше сказав студент і потім правильно двоє підтвердили да чи чудова ідея Давайте так і визначимо об'єднання мінус перетину Хоча я люблю саме визначати інакше Ну давайте тоді порадуємо мене інше значення або уже в вашій теорії це твердження давайте ще якось через дві різниці можемо визначити так А що саме дві різниці А коли Х належить а і не належить б і без часа от в такому ж стилі ви правильно сказали до круті ну є дві різниці що з ними зробити додати об’єднати це абсолютно вірне Давайте так визначимо не будемо через х розписувати Ось таким чином так далі хотів би зауважити що часто в задачах І взагалі у нас всі множини які розглядаються вони є частиною якоїсь більшої яка називається універсальним множиною Наприклад ми лише з числами працюємо і такі числа скільки але всі не вилазять наприклад за дійсні числа значить зауваження буде таке що якщо у нас така ситуація є то у нас є одне красиве позначення яке значно спрощує життя це не строя означення Звичайно що всім множини в задачі підмножинами якоїсь множини великої по-різному позначають от часто і позначають отак це такі Черв'ячок Омега то сама ось цього мега називається універсальним множиною Це нікому не потрібно називати але потрібно простіше позначення для різниці деякої а саме коли ми від омеги віднімемо будь-яку її підмножину А ось це позначають дві крапки тут поставлю схоже на програмування дві крапки дорівнює а з кришкою це називається доповненням до множини А яка є під множиною ось цієї омеги рисунок дуже простий Я люблю цього ми його позначати не кружечками якимось квадратиком Це де ми працюємо тут є а не а це Ось це або доповнення і Якщо у нас є таке то насправді з кришкою краще працювати ніж з наприклад різницею різниця складніше сприймається завжди але кайф в тому що ми можемо виразити різницю через кришку тобто от в цій ситуації а саме якщо Всі є підмножинами омеги і ми вже адаптували позначення для кришки а - б де чому дорівнює Давайте подумаємо чому воно дорівнює Поки ви думаєте я не рисую ситуацію коли є універсальним множина і уже дві а і б напевно так давайте подивимось не б або доповнення доби це гарна ідея але в ньому є ще Отакі точки тобто треба уточнити Отакі точки не кажу які щоб не підказувати відповідь Але ви бачите на рисунку що це трошки не ті точки які треба вони не заштриховані але вони належать Давайте уточнимо без кришкою буде тут в нашій рівності Але буде ще щось Що буде як докрутити А це уся множина - уся множина -5 ну це тільки що було сказано Ось ця множина мінус б це значить без кришкою в ньому зокрема оці крапочки які я нарисував це не те що треба це занадто багато ця штука лежить є під множиною без кришкою звичайно але не бета є а так лежить в небе та в а але слово Та це те саме що слово і Отже в нашій Так це перетин в наших конкретних позначеннях У нас є перетин з цим зручне працювати коли якісь оздовгий вираз є якісь різниці можна спростити так приємніше чисто візуально ніякої нової математики не додалося просто позначення Так значить якщо ми визначимо через пояснити що означає ця буква зверху це все те що не є а але в рамках якоїсь множини нехай велике це Омега шматок кружечок значить все що не кружечок це Астрід от він тут нарисований всі ці елементи доповнення до А щоб отримати всю якби множину нашу які ми працюємо тобто а об’єднатись а з кришкою буде Ось ця отмена і вони не перетинаються доповнення гарну назву тому можемо це використати саме для різниці це буде зручно для задач так у наших операцій над множинами є властивості є деякі властивості які притаманні лише одні операції ну кожній з них або деяким з них точніше є властивості які пов'язують пари це вже цікавіше я це сформулюю не знаю Можна теорема але просто напишу ладно властивості властивості операцій для цих властивостей мені буде потрібно ну там було а б такі бінарні Як то кажуть операції мені тут треба трошки більше множин значить нехай У нас є а б і ще C множини тоді мають місце такі рівності тобто у нас всі властивості будуть рівностями множин деякі з них буде тривіальними деякі не дуже але вони всі дуже цікаві і математиці зустрічаються постійно перше не цікаве тривіальне а перетнутись а дорівнює а а об’єднатись а дорівнює а це дуже не цікаво в рамках теорії множини даних операцій але давайте паралель проводити таку уявімо собі що у нас замість об'єднання або перетину Ми б хотіли підставити якусь бінарну операцію яку ми вже знаємо наприклад плюсик чи помножити щось якось так не дуже працює а + а = а ну не завжди м'яко кажучи які а помножити на один оця якась цікава властивість бінарних операцій яка для наших відомих нам на числах операцій Ну майже ніколи не виконується Ця властивість має назву і в більших екзотичних розділах математики вона з'являється це ідемпотентність операції та на випадку Ідем по тентність двох операцій такої І такої загалом означення бінарної операції я не давав і насправді На даному розвитку нашої теорії Я ще не можу його щоб бінарна операція - це теж функція вона бере пару чогось когось не знаю х у порядковану пару а Ми ще не знаємо що це таке і ставить у відповідність якісь один елемент даної множини можуть бути числа можуть бути множини можуть бути не знаю ще щось часто красиво позначають X6 y кружечок красиве можна зірочку можна плюс можна крапочку можна трикутник є перетинами це все на інтуїтивно це можна строго визначити Можливо пізніше але це більше вже до алгебри любить взять два і зробить Один і така загальна властивість називається ідемтентністю операції У нас вони такі операції і демпотенції давайте друга друга також алгебраїчна але вже більш приємна для ока з якою ми знайомі і якусь 100 500 раз використовували це комутативність комутативність означає що порядок запису не важливий а перетнути з б - це те саме щоби перетнутися Ну і об’єднатись б це те саме щоби об'єднати сам а ну і ще виявляється і симетрична різниця також це називається комутативність наших конкретних операцій Так це нам більш відомо 2 + 3 = 3 + 2 з добутком так само але з різницею зовсім не так само чисел такого у нас давайте запишу - B = до мінуса такого у нас немає Ну і насправді Як ви бачите із властивостей такого і немає для різниці множин у нас схожа на різницю чисел всі ці штуки яких немає навіть в першій навіть в елементарні якісь властивості такого плану у нас не присутня мінус і трикутник все це можна як задачки потім розглянути а саме Ну гаразд ладно наприклад різниця некомутативна Добре підловили а чи можна описати такі пари елементів давайте прямо тут задача ось воно йде В потоці давайте пограємось задача опишіть такі множини пари множин для яких все-таки буде така дивна річ виконуватись і давайте прямо може це ті які не перетинаються взагалі давайте прокинемо якщо би а і б не перетинались то а - b c A а а б - АС в рівні а вони навіть не перетинаються вони дуже сильно нерівність рівнів множини тоді просто рівні повинен бути так чудово гіпотеза Значить да це для тільки рівні множини схожість відповідь тоді тільки тоді коли а = в навпаки не перетиналися дуже сильно перетинаються так сильно що це одна множина ми насправді можемо такі штуки доводити Я ще нічого не доводив тут це теж не складно Давайте спробуємо довести от я прям критерій написав зараз це така подвійна Стрілка то есть одне тоді тільки тоді коли інше такі речі в математиці так і кажуть тоді і тільки тоді критерії і доводять в обидва боки зліва направо справа наліво у цих боків є нас тобто якщо у вас теорема сформульована Таким чином P тоді і тільки тоді коли якісь логічні умови динозавр або ще щось то кажуть що необхідність - це доведення зліва направо доведення достатності - Це справа наліво з таким чином тому що читається якби зліва направо от як ми читаємо так і це наприклад для того щоб P необхідно щоб куб було це читається стрілкою так якщо пити і навпаки якщо із q- слідує Пета це значить Що Q достатньо для виконання п тому називається необхідність достатність звичайно Воно залежить від порядку написання Ви ту саму теорему могли так сформулювати в інший бік то есть все-таки залежить від того як ми читаємо читаємо зліва направо сприйнята в культурі Так Значить що у нас Ну давайте я слова необхідність достатність притримує поки Що а поки що запишу повністю щоби я хотів довести із цього слідує ось це це перше що Треба довести що Треба довести в інший бік так Дозвольте мені довести спочатку друге тому що воно виглядає більш очевидним якщо вони рівні то різниці рівні як я тут доведу незважаючи на те що рівність множин треба доводити включення ми у мене є хитринка одна якщо отут саме хитринка якщо вони рівні то за означенням не важко зрозуміти що а-в - це порожня множина а також порожнім множиною буде і в мінус а оскільки вони рівні одній тій самій множині порожній то вони рівні ну таке трохи читерське доведення тобто як я доведу що це порожня множина наприклад якби ви причепились до мене поповнину Я скажу що немає елементів тут і скористаюсь цим твердженням Ось і все давайте не будемо фокусуватись на другому це досить легко А сфокусуємось на першому попробуємо його довести якщо такі дивні різниці доволі рівні то і множини мають бути рівні як можна було поґрунтувати це ну такого читерство явно тут не буде тут прийдеться включення ми доводити що А включається в цей значок і б є підмноженою а тоді вони рівні це означення Слава Богу тут доволі симетрична конструкція треба лише в один бік Ну от нехай х належить а давайте якось обґрунтуємо чому завжди х належить B Так я не знаю чому завжди х належить B Ну якщо Х належить без разом то у нас виходить що все нормально короче все окей нам це підходить А що буде якщо Х не належить B тоді буде виконуватись за означенням що х належить а - б Це просто означення різниці це завжди А це уже опціонально за умовою ця штука дорівнює б а ну і тут ми отримаємо або суперечність Як хочете або просто що хочеш того що це підмножиною в і тому знову х належить B тобто А я підмножиною б Може трошки тупувати доведення от я тому і не хотів вперше штуки доводити бо вони якісь кострубацію очевидні без інсайтів абсолютно але вони настільки простіше можна затопити є ще там така опція значить я напишу того що аналогічно доводиться включення таке Отже а просто дорівнює b насправді це я спробував строго обґрунтувати Може трошки вас цей занудився Так це була така собі відступ ліричний Так звана задача перші дві властивості досить легенькі насправді і вони стосувалися відповідно окремих операцій у кожної прямого типу перейдений демпотентним об'єднання ці всі комунітивні У нас ще є одна властивість надважлива для бінарної операції окремо а потім перейдемо до властивостей двох зразу дуже важливо властивість не настільки важливо що навколо неї навколо одне властивості цілий розділ алгебри вибудовувався звучить як із андрієл Але це так і Ця властивість Я її хочу змотивувати таким чином уявімо що ви придумали бінарну операцію якусь самі на якісь множині не знаю на множині будь-чого кружечок називається До речі Ви вмієте робити аж кружечок B А я у вас спитаю а Підкажіть мені він що оце таке можете мені порахувати таке щоб ви робили спочатку виконали в операцію із а і б а потім результат на виконали операцію з результатом на це так або навпаки або з іншими або навпаки як ще є варіант БЦ Ну спочатку операція на BC і потім над а ми ще один варіант де тут спочатку із АС потім із B Ну це вже жорстко для нас давайте поки такі два варіанти без перестановки всі ці перестановки - це комутативність якраз це треба тоді простя говорити Що ви можете цей б переставити щоб підійти Ну ми саме розглядаємо як вам три штуки я на кіт а от в такому порядку на ось тут два варіанти суттєвих так от операція називається асоціативною якщо не суттєвих що це дорівнює завжди на всіх трійках і Це мега крута властивість дуже важка Як виявилось хоча господи для плюсика вона є для множення щодо важкого а для мінуса наприклад не є вже до шкіри вставляння дужок важливо коли не важливо за оця асоціативність У нас є операції з наших конкретних на множинах які асоціативні перші дві легкі і очевидні це наш перетин улюблений і об'єднання тобто а перетнути з б перетнути с або до шкіри ставити в інший бік не грає ніякої ролі так само і з об'єднанням Виявляється що трикутник теж Асоціативний симетрична різниця теж асоціативна так Ну це вже веселіше це називається в своєму стилі асоціативність конкретних операцій для нас вони такі Так чого веселіше трикутник тому що менш очевидно Давайте спробуємо замість того щоб було б це доводити пересувати давайте нарисуємо якусь із цих двох боків давайте АВС нарисують діаграму і попробуємо намалювати давайте ось цю другу частину спочатку А трикутник б потім трикутник з C так А трикутник б я забуду про це це якби сказали об'єднання мінус перетин так і зробимо так гаразд і тепер візьмемо якийсь інший колір А тепер з зеленим треба трикутник з це зробити давайте теж інтерактив попробуємо чи є у когось варіанти Підкажіть мені де мені штрихувати тепер давайте візьмемо друге означення трикутника саме об'єднання двох різниць давайте це - зелене що то буде таке це - зелене де воно взагалі буде той трикутник 3 який утворюється і остальне і остальне так а тепер Зелена мінус Це треба додати зелений - це виходить ось це і ось це тобто права частина виглядає Ось так шматочки ABC які не лежать в інших і їхні спільний перетин потрібний який дорівнює одному з цих двох сил асоціативності перед також можете почати з другого зробити і будете сам Це звичайно не доведення але натяк що вони рівні доводити можна нашими включеннями бо використовуючи і скажімо більш перетворення з рівностей через кришку простіше буде але це трошки довго Так значить давайте перейдемо до чогось більш цікавого хоча це вже веселіше було не очевидно є щось цікавіше давайте задачу 2 бахнемо в такому ж стилі Як задачу один Тобто ми бачимо що з 4-3 нормальні а одно не дуже і я вам пропоную вже набагато цікавіша задача задача два буде тепер або прошу вас опишіть трійки трійки ABC множин для яких виконується якби рівність асоціативності для різниці саме конкретна дивна річ Ну це ще Веселіше буде значить Зараз ми не будемо цим займатися давайте це буде як додаткова задача на умовні домашні або не домашнє Хто хоче можете зробити і надіслати мені або на пошту або в телеграмі не хочете не робіть Можливо потім поговоримо Те що виникає природним чином тут я підкреслюю що трійки у нас впорядковані але ми поки що навіть не знаємо що це таке відсилочка до вектора не знаю що ти впорядкована пара строго ми не знаємо Тим паче що таке впорядкована трійка також строго Ну але дізнаємось тут я хочу сказати що тут уже умова несиметрична Якщо ця умова вона симетрична на а і б тому я тут через кому написав і тут Відповідь має бути симетрична відповідь і є симетрична дорівнює B тут явна відповідь навряд буде симетрично відносно перестановок будь-яких от як Андрій казав що я йому дав типу ABC він всі годів перестановки взяти на три елементні це не дуже нам треба то тут не прокатить Мені здається відповідь тут немає тут важливо хто посередині хто по краям Так це я не хочу зараз спойлерити відповідь і розбиратися Давайте ви самі покопаєте Подивіться Мені потрібен критерій Ось так щоб ви могли обґрунтувати в разі чого тоді тільки тоді прям Максим від вас прошу ви могли оці дві стрілки довести вас тоді тільки тоді якась умова вона БЦ цьому вони обов'язково має бути в стилі рівності типу щось дорівнює це можуть бути включення і ще якісь приколи тут відкрита задача така Квазі Наукова тепер щоб довго час не витрачати у нас в принципі його достатньо на цьому курсі я хочу сказати Вам повезло що виникає в розрізі дискретної математики по-перше якось відносини у мене з Кейном складається найкраще за всіх за інші спеціальності Я зараз викладаю тут в могилянці зокрема і дискретку п'ятий рік то есть у мене 4 роки 4 суперкни і я думаю що ви не поламаєте цю традицію супер вони в плані не те що вони класно учаться і все А те що у нас хороші відносини і всім подобається завжди дискретка сподіваюсь що так і буде А але велика частина цього подобається уподобання дискретки в тому що достатньо пар і у нас проблема з вами Ось цим що я писав що ми не можемо тепер зробити собі 14 практичних от такого В мене ще не було я писав чатик пояснював Да У нас проблеми з розкладом серйозні більш серйозніші ніж завжди і схоже ми це не зможемо зробити тут вже дискретка Вам може не сподобатись А я буду старатись максимально і також в другому семестрі Я дискретка наприклад якщо ми порівняємо з іпзешниками у них всього 10 + 10 в першому семестрі 10 лекцій 10 практичних і все це дуже мало насправді поема 14 + 14 там уже можна розігнатися нормально Ну тим не менше Я намагаюсь час приділяти важливим аспектам Можливо десь доведення будуть не такі точні як я хочу але прорвемось так і ще у нас є 12 хвилин Сьогодні я хочу дописати основні властивості тепер отой спойлер що оказав що це якби кожна операція може отакою бути соціальна комутативна і темпотентна А тепер є цілком натуральна одна властивість А ще буде цілком не натурально одна властивість але почнемо з натуральної яка може пов'язувати дві бінарних операцій і називається вона дистрибутивність скажіть хтось знає що це таке може чули якщо нас Вони чули то ви прекрасно все одно знаєте суть а я навіть можу не розписувати повністю цю рівність дистрибутивності лише написати одну частину і Ви зрозумієте наскільки ви з цим уже добре вже добре знайомий тож я думаю далі зрозуміло що буде далі після дорівнює можна розкривати дужки я тут запишу дужки спеціально підкреслюють щоб збити ту інтуїцію яка за домовленістю що множення з першого робиться потім додавання в загальному плані немає ніяких домовленостей тому дужки важливі у нас так і відбувається між взаємо скажемо дуальними операціями перетину і об'єднання то есть Я стверджую що перетин у нас дистрибує з об'єднанням і навпаки тобто а перетнути з об'єднанням дорівнює а тепер Давайте ви мені допоможіть Якщо ж множеннями плюсом дуже легко тому що ви звикли до цього що я маю написати далі а перетин б об'єднання а перетину все та правильно тобто я люблю казати що А входить в дужку зі своїми цим зовнішнім зв'язкою абсолютно вірно Молодці так і те саме виконується навпаки для якщо ми їх поміняємо а входить з об'єднанням дужку перетину і зовнішньо стає перетин насправді то есть вони якби на рівних правах на відміну відмноження і плюсика Так це дистрибутивність перетина відносно об'єднання об'єднання в нас на перетину і напишу одної відносно іншої Ось таким чином А багато-багато ще різних можна подивитися варіантів Я вже не пам'ятаю всі комбінації хто відносно кого дистрибутивний того що у нас із вами 4 операції чотири операції і ми можемо з них комбінації Скільки ви зараз коментарку хтось руку підняв там було якщо випадково нічого страшного так скільки у нас може бути варіантів на дистрибутивність значить щоб вони різні були на першому місці напевно у нас може бути 4 на другому три Ну там якісь тривіальні будуть скоріш за все тобто у нас 12 варіантів на дослідження це забагато такі навіть вам не буду задавать що в минулому році по-моєму задав ніхто не робив або Одна людина зробила і неправильно Тобто всі можливі варіанти перевірити там Типу трикутник відносно різниці так Ага мені написали в ці в приватні відповідь на задачу Два Ось на цю точку хтось серйозно а підійшов до цього так Ну значить я скажу що те що ви мені написали по-моєму Дуже схоже на відповідь я не пам'ятаю так відповідь але по-моєму це вона так що мені цього достатньо Дякую Да я вас вітаю але доведіть тоді то есть і фенолів доведіть в обидва боки тоді так добре значить що ще я хотів сказати Я хотів продовжити ось дистрибутивність достатньо логічна штука вона виникає лише коли досліджує дві бідарні операції на множині цим алгебра теж займається то есть алгебра займається не тільки дослідженням властивостей одної бінарної операції їх може бути декілька властивостей комутативність асоціативність ще щось І такі є серйозні розділи алгебра і навіть є серйозний розділ алгебра який я читаю в якості вибіркового курсу зветься основи теорії груп теорія груп Центральна штука але ще є звичайно дослідженням двох бінарних операцій на множині яке виросло з таких прекрасних структур як дійсні числа комплексні числа цілі там є множення плюс дистрибутивність цими всім знайомим виявляється є ще одна структура і вона вже трошки пізніше з'являється в математиці і їм так не сильно підсвітлюється так звані решітки ми до них дійдемо з вами Напевно тільки в другому семестрі цього предмету а з іпземи не дійдемо взагалі а ПМ Я не знаю чи дійдуть Напевно це інші електрички і ця структура вона можна нею дивитися з алгебраїчні точки зору і там дуже дивна властивість виконується між операціями і От ця дивна властивість виконується і у нас для наших прекрасних операцій перетину і об'єднання і властивість називається поглинання значить Для нас вона буде очевидна насправді а перетнути з об'єднанням б об’єднатись а це буде а і змінюється далі значки а об’єднати б перетнути з А це теж буде це закони поглинання ну це дуже дивна річ насправді але вона такі теж має сенс не просто щось видумане воно теж має сенс математичні достатньо цікавий тобто у нас є [музика] є деякі недісних числах навіть аналогії у таких речей які так і працюють це не плюси помножити як отут було це дещо інше дещо інше яке задає зовсім інша алгебраїчна структура Але вона теж із R вилізло це такий тізер від мене так я ще хочу встигнути сказати про закони деморгана і на цьому закінчимо така страшна назва Але насправді нічого страшного Нема розклад такий Якщо у нас допустимий кришка значить я тут запишу таке нехай це універсальна множина тоді можна користуватись кришкою тоді і виконується дві рівності ми красиво можемо накинути кришку на перетини на об'єднання а саме яким чином це працює перетин - це щось маленьке Я зараз поясню так дуже Вільно а доповнення до Маленького це щось велике тому тут буде об'єднання доповнень тобто чисто механічно кришка входить в дужку і змінює як би знак міняє об'єднання на перетин перетин на об'єднання це закони деморгана називається так Спробуємо проілюструвати Живемо ми в Омега замість одної вже дві Ну тут проілюструвати складнувата напевно буде та адекватно тобто перетин - це щось маленьке беремо доповнення до перетину бачити що це дуже велика множина це все в обмезі окрім маленького перетину Ну і це буде об'єднанням доповнення бо якщо ви візьмете доповнення до А ви покриєте все окрім аміноз б Ну а доповнює до без забере собі а мінус б теж я би так пояснив Ось таким чином Так звичайно ми можемо це довести напевно давайте Якраз це спробуємо щось обґрунтувати бо пояснення таке собі так доведемо швиденько [музика] доведемо цю рівність Значить ще раз техніка та сама тобто два включення пробуємо двома включеннями це зробити якщо Х лежить отут що з цього слідує за означенням з цього слідующа він лежить в доповненні в нашій омега-3 ну або слова ми можемо написати що він не лежить в перетині тепер основна проблема в доведення нашого буде перейти би Логічно що це означає от розкрити перетин цей тільки логічно тобто якби не виконується не умова того що їх лежить в перетині давайте напишу не х лежить в перетині Це означає не х лежить а і х лежить в а далі Мені потрібно логіка тут уже не математика А ось саме та математика за допомогою якої ми доводимо якщо не це і Це то як це переписати для нас ну це Омега -2 Додайте логічне поки що Поки логічно тобто не одночасно дві події що це значить значить що одна з них не виконується є умова одночасно xа і ХБ А я кажу ні це Заперечує Цю умову кажучи а і б давайте повернемося там студентка ену іграєш на гітарі і студенткени граєш на гітарі Я заперечністю значить ти або не то або не то або не студену або не граєш на гітарі ось х не належить а або х не належить B Ну так а це те що треба це якраз іде збірка до нашого об'єднання ми збираємо собі уже нічого розумного просто лебедичні дії розумне було там де знаковкою це в один бік доведення включення оцей бік треба ще в цей бік але тут зручно користатися трошки читерським методом а саме так званий розворот Стрілок перевіримо чи Він працює Він завжди працює то есть ми якби можемо написати нехай х належить справа і всю цю розписувати знову А справа наліво писать х належить цьому тоді от сюди Ну але треба перевіряти щоб всі стрілки працюють це теж працює це теж складна логічна Ну А далі просто вже таке означення теж буде підходити ой незначні Вибачте доведення якщо там на контрольній я так і задачі задам ви так довести нормально доведете то буде нормально але головне щоб правильно може я тобі задачу здам Що там в інший бік не виконується так все у нас по часу вже закінчилось наша пара далі ми з вами розглянемо наступного разу уже нескінченну кількість множин попробуємо тобто коли є дві множини нормально заб'єднання з перетином якщо три теж можна підкрутити якщо 100 теж норма А якщо нескінченне Як правильно визначити і які властивості воно має Ну буде схоже на ці властивості і перейдемо вже ближче до поняття функції що ж це таке з чим його їдять все дякую формальне закінчили якщо є питання Я готова відповісти кому треба бігти біжіть давайте якщо якісь питання по курсу чи і загалом а я як ти плану наших лекцій там де він по темам розбитий Так у нас з вами є так званий силабус курсу я його написав в принципі Я по-моєму скинув на сторінку дісне до Подивіться там має бути В мене є питання що робити якщо у мене зарахували на курси але не зарахували до якоїсь певної групи Я не знаю з цими групами зараз трошечки проблемно Давайте тоді зробимо як оскільки ми схоже не зможемо я ж кажу все 14 практичних Тютю ми по сім будемо ходити Давайте тоді я даю вам можливість Куди Вам зручніше ходити але попробуйте можливо саме організуватись приблизно fifty Fifty щоб Якщо є можливість того що на цьому курсі Ну я пізніше хотів розказати вже на практиці там про те що я буду задавати можливо деякі задачі там домашки потім ми будемо розбирати загалом будемо конкретно щось робити Я буду просити відмічати вашу активність на практичних і за це також планую в кінці виставити невелику кількість балів тому ходити важливо але якщо у вас 50 прийде на одного пару а на іншу одна людина то у цієї одної людини перевага вона буде частіше зі мною спілкуватися Ну коротше важче заробити бали з 50 людей тому приблизно прошу розбитись 50 на 50% Я не знаю В яку групу я ж кажу деканат Якщо зараз це не зробили то я тим паче не знаю куди вас ставити бо це ж зв'язано з іншими предметами коли ми написали що паралельно у когось програмування я подивився розклад тісно Давайте зробимо максимально комфортно і щоб близько було до половинки так добре дякую вам Якщо у вас є вже староста або ви якось вибрали то також контактуйте зі мною Можливо так буде теж зручніше хоча у нас є чатик але все одно якісь локальні питання все дякую я все це викладу в чатик буде все в доступі нормальному все бажаю вам удачі до зустрічі дякую дякую вам дякую Дуже дякую вам До побачення [музика]