Introducción a la Sigma Álgebra de Borel

Conceptos Básicos

• Conjunto base: Números reales (ℝ)
• Sigma álgebra de Borel (𝔹(ℝ)): Mínima sigma álgebra generada por la colección de intervalos de la forma (-∞, x], donde x es cualquier número real.
• Elementos de 𝔹(ℝ): Llamados conjuntos Borelianos.

Subconjuntos en 𝔹(ℝ)

1. Intervalos de la forma (-∞, x]: Conforman la colección original.
2. Intervalos (x, ∞):

• Se expresan como el complemento de (-∞, x].
  • 𝔹(ℝ) es cerrada bajo complementos.

3. Intervalos (-∞, x):

• Se expresan como la unión numerable de intervalos (-∞, x - 1/n), con n de 1 a ∞.
  • 𝔹(ℝ) es cerrada bajo uniones numerables.

4. **Intervalos x, ∞):**

• Se expresan como el complemento de (-∞, x).

5. Intervalos (x, y):

• Se pueden expresar como diferencia de conjuntos Borelianos.

6. **Intervalos x, y):**

• Se expresan como la diferencia de dos conjuntos de Borel.

7. Conjuntos de un solo punto:

• Se pueden expresar como diferencia de conjuntos de Borel.

8. Conjunto de números naturales (ℕ):

• Se expresan como la unión numerables de conjuntos que constan de un solo número entero natural.

9. Conjunto de números enteros (ℤ):

• Es un conjunto de Borel.

10. Conjunto de números racionales (ℚ):

• Se expresan como la unión numerables de conjuntos que constan de números de la forma n/m.
  • Su complemento, el conjunto de números irracionales (ℝ\ℚ), también pertenece a 𝔹(ℝ).

Observaciones Importantes

• No todos los subconjuntos de ℝ son Borelianos.
• Existen subconjuntos de ℝ que no pertenecen a 𝔹(ℝ).

Formas Equivalentes de Construir la Sigma Álgebra de Borel

• Intervalos de la forma (-∞, x):
  • La mínima sigma álgebra generada es 𝔹(ℝ).
• Intervalos abiertos (x, y):
  • La mínima sigma álgebra generada por esta colección es 𝔹(ℝ).
• Intervalos cerrados [x, y]:
  • La mínima sigma álgebra generada por esta colección es 𝔹(ℝ).

Sigma Álgebra de Borel en ℝ²

• Se define mediante el producto cartesiano 𝔹(ℝ) x 𝔹(ℝ).
• En general, el producto cartesiano no es una sigma álgebra, pero la sigma álgebra generada por sus elementos es 𝔹(ℝ²).

Sigma Álgebra de Borel en ℝ^m

• Definida como la mínima sigma álgebra generada por el producto cartesiano 𝔹(ℝ)^m.

Nota: La sigma álgebra de Borel será utilizada al definir formalmente el concepto de variable aleatoria.