en esta breve sección veremos el ejemplo más importante de sitma álgebra el conjunto base son los números reales existen varias formas equivalentes de definir esta sigma libra esta es una de ellas la sigma álgebra de borel de r está dada por la mínima sigma álgebra generada por la colección de intervalos de la forma menos infinito x en donde x es cualquier número real a los elementos dvd-r se les llama conjuntos por el medibles conjuntos de borel o simplemente morelianos aquí nos hacemos la pregunta cuáles subconjuntos de r se encuentran en esta sigla álgebra primeramente todos los intervalos de la forma menos infinito x cerrado pues ellos conforman la colección original tenemos además los siguientes ejemplos de elementos en vez de r los intervalos de la forma x abierto como infinito son morelianos puesto que se pueden expresar como el complemento de los intervalos menos infinito coma x cerrado siendo br una sigma álgebra es cerrada por lo tanto bajo complementos este conjunto es un moreliano todos los intervalos de la forma menos infinito como x abierto también son morelianos puesto que cada uno de ellos se puede expresar como la unión numerables de intervalos de la forma menos infinito coma x menos 1 entre n tomando la unión desde uno hasta infinito siendo br una sigma álgebra ésta es cerrada abajo uniones numerables y por lo tanto esta unión debe pertenecer a ver los intervalos de la forma x cerrado como a infinito son morelianos puesto que se pueden expresar como el complemento del intervalo abierto menos infinito coma x un intervalo abierto de la forma x que es un moreliano puesto que se puede expresar como la diferencia de estos dos por el ya nos podemos también considerar el intervalo x cerrado como abierto y establecer que este es un conjunto moreliano puesto que se puede expresar también como la diferencia de estos dos conjuntos de borel los siguientes son otros ejemplos los intervalos de la forma x abierto y cerrado son morelianos puesto que se pueden escribir como la diferencia de estos dos conjuntos de burela los intervalos cerrados x coma también son morelianos puesto que se pueden escribir de manera análoga como la diferencia de estos dos conjuntos de borel cualquier conjunto que consta de un solo punto o número es un moreliano puesto que se puede escribir como esta diferencia de conjuntos de borel el conjunto de números naturales también es un moreliano puesto que se puede expresar como la unión numerables de todos aquellos conjuntos que constan de un solo número entero natural de manera análoga tenemos también que el conjunto de números enteros es un moreliano más aún tenemos que el conjunto de números racionales también es un moreliano puesto que se puede expresar como la unión innumerable de conjuntos que constan de los números de la forma n entre m el complemento de este conjunto es el conjunto de números irracionales y pertenece también a b de r parecería entonces que todo subconjunto de r es un moreliano pero esto no es así tenemos la siguiente observación no daremos un ejemplo porque no es fácil obtenerlo pero existen subconjuntos de r que no pertenecen a b de r las siguientes son algunas otras formas equivalentes de construir la sigma álgebra de borel de r podemos tomar todos los intervalos de la forma menos infinito como x abierto y la mínima sigma álgebra generada por esta colección es nuevamente bd-r o bien podemos tomar todos los intervalos abiertos de la forma x coma y en donde x y jenson cualesquiera dos números reales y la mínima si mal que verá generada por esta nueva colección es ver otra vez y también podemos tomar la colección de intervalos cerrados de la forma x mayer y la misma sin mal fibra generada por esta colección es nuevamente bd-r se puede demostrar entonces que todas estas colecciones generan la misma sigma álgebra los morelianos y es un ejercicio interesante demostrar estas equivalencias se puede definir además la sigma álgebra de borel de r2 de la siguiente forma para definir ddr2 consideramos el producto cartesiano dvd-r consigo mismo en general este producto cartesiano no es una sigma álgebra pero se considera la sigma álgebra generada por los elementos de este producto y el resultado será ddr2 más generalmente se define de trm como la mínima sigma álgebra generada por este producto cartesiano bd-r multiplicado por sí mismo m veces con esto concluimos esta sección haremos uso de la sigma álgebra de borel cuando definamos formalmente el concepto de variable aleatoria