Title: Econometra Financiera - Modelos ARCH
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## Econometra Financiera
Modelos ARCH Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected]
Vernica Caal Fernndez
Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 1 / 54 .
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1 Introduccin
2 Definiciones y propiedades
3 Modelo ARCH
4 Modelos GARCH Modelo sGARCH
5 Variantes del modelo GARCH Modelo IGARCH Modelo GARCH-M Modelos GARCH asimtricos
Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 2 / 54 .
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1 Introduccin
2 Definiciones y propiedades
3 Modelo ARCH
4 Modelos GARCH
5 Variantes del modelo GARCH
Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 3 / 54 .
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Caractersticas de las series financieras
En Economa: sucesos condicionados o generacin de expec-tativas. P.ej. la estabilidad o inestabilidad en los mercados financieros
En variables financieras el comportamiento en el momento ac-tual responde a una expectativa generada sobre el valor de cam-bio producido en el momento precedente: valor condicionado por la varianza del periodo anterior
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[email protected] Econometra Financiera 4 / 54 .
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Caractersticas de las series financieras
Volatilidad no constante
Supuesto: agentes aversos al riesgo que toman sus decisiones bajo incertidumbre y, por tanto, la varianza de la distribucin de los rendimientos en cada instante de tiempo juega un papel ms importante
Cmo modelizamos este comportamiento estadstico de la var-ianza?
Modelos Autorregresivos Condicionales Heterocedsticos (ARCH)
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Caractersticas de las series financieras
1 Ausencia de estructura regular dinmica en la media (estadsticos Ljung-Box generalmente no significativos)
2 distribuciones leptocrticas o exceso de curtosis
3 suelen ser simtricas
4 agrupamiento de la volatilidad en intervalos de tiempo (funciones de autocorrelacin simple significativas para los cuadrados de las variables)
5 persistencia (long memory) en volatilidad: los efectos de un shock tardan en desaparecer
6 efecto apalancamiento: respuesta asimtrica de la volatilidad al nivel de los rendimientos
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 6 / 54 .
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Caractersticas de las series financieras
Las principales caractersticas compartidas por la gran mayora de las series financieras son la primera y la cuarta. Una vez eliminada cualquier estructura dinmica de la media, un modelo bsico capaz de describir dichas caractersticas empricas es:
yt = t ut (1) donde ut IID (0 , 1) y t se denomina en la literatura financiera
volatilidad . Existen numerosos modelos para t .
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[email protected] Econometra Financiera 7 / 54 .
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Modelos ARCH
Modelos ARCH: aparecen en los aos 80 (Engle, 1982) con el objetivo de recoger los episodios de agrupamiento temporal de volatilidad que suelen observarse en las series de rentabilidades en los mercados financieros.
Modelos GARCH: Bollershev (1986) generaliza los modelos ARCH. La varianza condicional depende de los cuadrados de las perturbaciones (como Engle) y de las varianzas condicionales de periodos anteriores.
Modelos EGARCH: Nelson (1991) postula un comportamiento asimtrico de la varianza condicional para las alzas y bajas de los precios de un activo financiero.
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[email protected] Econometra Financiera 8 / 54 .
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Modelos ARCH
Los modelos de esta familia recogen el comportamiento inercial en volatilidad (fuertes fluctuaciones inesperadas en los mercados vienen seguidas de periodos de iguales caractersticas, mientras que perio-dos de estabilidad tienden a venir seguidos de perodos estables) y el comportamiento dinmico (autocorrelacin que suelen presentar las series financieras). La experiencia emprica lleva a contrastar periodos de gran varianza de error seguidos de otros de varianza ms pequea. Es decir, el valor de la dispersin del error respecto a su media cambia en el pasado, por lo que es lgico pensar que un modelo que atienda en la prediccin a los valores de dicha varianza en el pasado servir para realizar estimaciones ms precisas.
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[email protected] Econometra Financiera 9 / 54 .
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Modelizacin de la varianza
La modelizacin de la varianza condicional de una serie financiera puede ser interesante desde distintos puntos de vista:
La construccin de carteras de valores con un cierto nivel de riesgo.
Los modelos de valoracin de opciones
los modelos sobre la estructura temporal de los tipos de inters.
En Macroeconoma las varianzas condicionales son importantes en la estimacin de modelos con incertidumbre. P. ej. modelos sobre inflacin. Si no se tiene en cuenta la heterocedasticidad puede haber prdidas de eficiencia en la estimacin de los parmetros as como en la con-struccin de intervalos de prediccin
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[email protected] Econometra Financiera 10 / 54 .
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1 Introduccin
2 Definiciones y propiedades
3 Modelo ARCH
4 Modelos GARCH
5 Variantes del modelo GARCH
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Conceptos bsicos para el desarrollo de los modelos ARCH
Definimos un tipo de proceso estocstico muy importante. Definicin
El proceso {Xt }tT en tiempo discreto T es fuertemente estacionario si la funcin de distribucin conjunta (fdc) es invariante ante valores igualmente espaciados. Es decir, con t 1 < t2 < ... < tn, t i T y h cualquier valor real se verifica que las variables
(Xt1 , ..., Xtn )(Xt1+h, ..., Xtn+h)
son idnticamente distribuidas.
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Conceptos bsicos para el desarrollo de los modelos ARCH
Como en la prctica es casi imposible conocer la verdadera funcin de distribucin de una variable, se confirma la estacionariedad en sentido estricto solo para el primer y segundo momentos, es decir, para la media y la varianza del proceso. Segn esta nueva definicin de estacionariedad en sentido amplio o dbil , un proceso estocstico ser estacionario cuando se cumplan las siguientes condiciones:
E (Yt ) = , o valor esperado constante
Var (Yt ) = E (Yt )2 = 2, o varianza constante (varianza incondicional)
Cov (Yt , Ytj ) = Cov (Yt+m, Yt+mj )
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Conceptos bsicos para el desarrollo de los modelos ARCH
Ruido blanco: caso particular de proceso estacionario
Las tres condiciones anteriores se reescriben para {t } del siguiente modo:
E (t ) = 0
Var (t ) = E (t 0) 2 = 2
Cov (t , tj ) = 0
El hecho de que no exista autocorrelacin entre observaciones del ruido blanco desplazadas en el tiempo, no significa necesaria-mente que no haya dependencia entre estas de un modo no lineal .
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1 Introduccin
2 Definiciones y propiedades
3 Modelo ARCH
4 Modelos GARCH
5 Variantes del modelo GARCH
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Modelo ARCH
Fue el primer modelo que modeliza la volatilidad (Engle, 1982). La idea bsica del modelo ARCH es que:
las innovaciones (o shocks) t de la rentabilidad de un activo no estn autocorrelacionadas, es decir, no existen relaciones lineales entre sus valores en distintos instantes de tiempo. Sin embargo, sus cuadrados si estn autocorrelacionados, es decir, son dependientes puesto que estn relacionadas a travs de sus momentos de orden dos (varianza).
la dependencia de t se describe como una funcin cuadrtica de sus valores retardados. Por tanto, el modelo ARCH(m) asume que:
t = t ut , 2
t = 0 + 12
t1 + ... + m2
tm (2)
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Modelo ARCH
t = t ut ,2
t = 0 + 12
t1 + ... + m2
tm
}
(3)
{ ut } es una secuencia de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas con media 0 y varianza unitaria (no tiene que ser normal, puede tener colas ms pesadas, p.ej. la t-Student).
0 > 0, y i 0, i > 0
m
i=1
i < 1 para asegurar que la varianza incondicional sea positiva en todos los perodos (estacionariedad).
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Modelo ARCH
La especificacin ARCH:
t = t ut ,2
t = 0 + 12
t1 + ... + m2
tm
}
(4) La ecuacin (4) establece que si {2
ti }mi=1 son grandes, la varianza de la siguiente observacin condicionada a estos valores de {2
ti }
(2
t ) ser elevada para la innovacin t , lo que hace ms probable que el valor de 2
t sea elevado (clsteres de volatilidad observados en la rentabilidad de los activos).
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Propiedades de los modelos ARCH
Para un modelo ARCH(1):
t = t ut ,2
t = 0 + 12
t1
}
(5)
0 > 0, y 1 0.
La media incondicional de t es cero:
E (t ) = E [E (t |Ft1)] = E [t E (t )] = 0 ;porque t es un proceso estacionario con E (t ) = 0 ,
Var (t ) = Var (t1) = E (2
t1);
Ft1 es el conjunto de informacin disponible en t 1.
La varianza incondicional de t se obtiene como:
Var (t ) = E (2
t ) = E [E (2
t |Ft1)] = = E (0 + 12
t1) = 0 + 1E (2
t1) (6)
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Propiedades de los modelos ARCH
Por tanto, tenemos que:
Var (t ) = 0 + 1Var (t ) (7) Despejando Var (t ):
Var (t ) = 0
(1 1) (8)
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Propiedades de los modelos ARCH
Con la ecuacin del modelo ARMA(1,0) y la del ARCH(1) se tiene:
yt = 0 + 1yt1 + t , t N(0 , ht )
ht = 0 + 12
t1 con ht = 2
t
}
(9) En los modelos ARCH
La autocorrelacin en la volatilidad es modelada permitiendo que la varianza condicional del trmino de error, ht , dependa de los retardos del error al cuadrado.
Esta es una debilidad del modelo ya que tanto las innovaciones positivas como negativas tienen el mismo efecto sobre la volatil-idad. Sin embargo, el precio de los activos financieros vara de diferente forma dependiendo de si estas innovaciones tienen signo positivo o negativo.
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Construccin del modelo
La construccin de un modelo para series finanancieras consta de los siguientes pasos:
Modelizamos la media, mediante un modelo ARMA o ARIMA.
Con los residuos al cuadrado de la ecuacin de la media se realiza un test para comprobar si el efecto ARCH es signicativo (test LM de efectos ARCH).
Si rechazamos la hiptesis nula, se construye un modelo de heterocedasticidad condicional que se combinar con el modelo para la media.
Para determinar el orden del modelo se utiliza la PACF sobre los residuos al cuadrado (no sobre las rentabilidades para determinar el orden de los modelos AR).
Se valida el modelo.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 22 / 54 .
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1 Introduccin
2 Definiciones y propiedades
3 Modelo ARCH
4 Modelos GARCH Modelo sGARCH
5 Variantes del modelo GARCH
Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 23 / 54 .
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1 Introduccin
2 Definiciones y propiedades
3 Modelo ARCH
4 Modelos GARCH Modelo sGARCH
5 Variantes del modelo GARCH
Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 24 / 54 .
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Modelo GARCH de Bollerslev
Modelo GARCH estndar: sGARCH
Debido a la gran persistencia (long memory) de la volatilidad, el modelo ARCH que recoge la estructura de autocorrelacin en la varianza requiere un elevado nmero de retardos (p) para ajustarse a los datos. Para evitar que el alto nmero de coeficientes autorre-gresivos, generalmente bastante relacionados, produzca una prdida de precisin en la estimacin, se utiliza el modelo GARCH, depen-diente de un nmero reducido de parmetros (ms parsimonioso).
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 25 / 54 .
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Modelo GARCH estndar: sGARCH
La varianza condicional de un modelo GARCH(p,q) general es:
2
t = 0 +
p
i=1
i 2
ti +
q
j=1
j 2
tj (10) con las siguientes restricciones: 0 > 0, i 0, i = 1 , ..., p,
j 0, j = 1 , ..., q. Adems, la condicin:
p
i=1
i +
q
j=1
j < 1 (11) es una condicin suficiente pero no necesaria para que la Var( t )sea finita (estacionaria en varianza), mientras que su varianza condi-cional 2
t , al ser un modelo de herocedasticidad condicional, vara a lo largo del tiempo. Mide la persistencia (long memory) en volatili-dad del proceso.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 26 / 54 .
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Modelo GARCH de Bollerslev
El modelo ARCH es como un modelo AR para la volatilidad:
AR(1): media condicional no constante y varianza condicional constante
ARCH(1): media condicional constante y varianza condicional no constante El modelo GARCH es como un ARMA para la volatilidad:
Si la media condicional y la varianza condicional dependen del pasado, entonces combinamos los dos modelos AR/ARCH. De hecho, podemos combinar cualquier modelo ARMA con cualquier GARCH.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 27 / 54 .
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Modelo GARCH de Bollerslev
Para ver esto, partimos de un modelo GARCH(1,1):
2
t = 0 + 12
t1 + 12
t1 (12) y realizamos una nueva representacin mediante la transformacin:
t = 2
t 2
t . Despejando la varianza condicional 2
t y sustituyendo en la ecuacin (12):
2
t t = 0 + 12
t1 + 1(2
t1 t1)
llegamos a:
2
t = 0 + ( 1 + 1)2
t1 1(t1) + t (13) donde {t } tiene E (t ) = 0 y cov (t , tj ) = 0 , j 1 (martin-gala). Sin embargo, en general, no es una secuencia de variables IID. La expresin (13) es un proceso ARMA(1,1) aplicado sobre la serie de los cuadrados de los residuos.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 28 / 54 .
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Modelo GARCH estndar: sGARCH
Como en los modelos ARCH, la varianza incondicional de las innovaciones t es homocedstica:
2 = Var (t ) = E (2
t ) = 0
1 i j
(14) siendo el denominador positivo debido a la condicin (11) de varianza estacionaria impuesta. Si
p
i=1
i +
q
j=1
j = 1 (15) hay una raz unitaria en la varianza. Por tanto, debemos estimar un modelo GARCH integrado o IGARCH.
Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 29 / 54 .
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Modelo GARCH estndar: sGARCH
Estimacin del modelo
El modelo GARCH se estima utilizando el mtodo de mxima verosimilitud. La razn es que el mtodo de mnimos cuadrados ordinarios (OLS) minimiza la suma de los cuadrados de los residuos que depende slo de los parmetros de la media condicional y no de los de la varianza condicional. Por tanto, minimizar la suma de los cuadrados de los residuos no es adecuado. Adems, el R2 no debe interpretarse.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 30 / 54 .
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Modelo GARCH estndar: sGARCH
Validacin del modelo
Para validar el modelo GARCH se utilizan los residuos estandarizados (serie de variables aleatorias IID) definidos como:
t = t
t
(16) Este proceso es similar al del modelo ARMA, pero utilizando los residuos estandarizados al cuadrado en lugar de la serie de residuos. El estadstico Q de Lijung-Box permite verificar que la serie t no presenta autocorrelacin. Tambin se pueden representar las fun-ciones de autocorrelacin y comprobar si los coeficientes son nulos. Si las observaciones no son aleatorias, es decir, si existe autocor-relacin en la serie t , las predicciones sern menos precisas y el modelo no sera vlido.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 31 / 54 .
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1 Introduccin
2 Definiciones y propiedades
3 Modelo ARCH
4 Modelos GARCH
5 Variantes del modelo GARCH Modelo IGARCH Modelo GARCH-M Modelos GARCH asimtricos
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1 Introduccin
2 Definiciones y propiedades
3 Modelo ARCH
4 Modelos GARCH
5 Variantes del modelo GARCH Modelo IGARCH Modelo GARCH-M Modelos GARCH asimtricos
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Modelo GARCH Integrado (Engle y Bollerslev, 1986)
Los modelos ARIMA se construyen cuando el modelo ARMA presenta races unitarias.
El modelo GARCH Integrado (IGARCH) es una variante del modelo GARCH cuando ste tiene una raz unitaria en el poli-nomio autorregresivo de la expresin (13). Esto se verifica cuando se cumple la condicin (15) en un modelo GARCH(p,q).
El modelo IGARCH(1,1) se define como:
t = t ut
2
t = 0 + (1 1)2
t1 + 12
t1, 0 < 1 < 1
}
(17) La propiedad ms importante de este tipo de modelos es la persis-tencia (long memory) en la volatilidad, es decir, el impacto de un shock en la volatilidad persiste a lo largo del tiempo sin llegar a desaparecer.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 34 / 54 .
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1 Introduccin
2 Definiciones y propiedades
3 Modelo ARCH
4 Modelos GARCH
5 Variantes del modelo GARCH Modelo IGARCH Modelo GARCH-M Modelos GARCH asimtricos
Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 35 / 54 .
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Modelo GARCH en Media (Engle, Lilien y Robins, 1987)
En finanzas, la rentabilidad de un activo puede depender de su volatilidad (riesgo). Para modelar este tipo de fenmenos, el modelo GARCH-M aade un trmino de heterocedasticidad en la ecuacin de la media. El modelo GARCH(1,1)-M se define como:
rt = + c2
t1 + t , t = t ut
2
t = 0 + 12
t1 + 12
t1
}
(18) donde y c son constantes. Si c es positivo indica que la rentabil-idad est positivamente relacionada con la volatilidad pasada. En-tonces c puede ser interpretado como una prima de riesgo. La ex-istencia de una prima de riesgo es, por tanto, otra de las razones por las que algunos rendimientos histricos de las acciones presentan correlaciones seriales.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 36 / 54 .
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1 Introduccin
2 Definiciones y propiedades
3 Modelo ARCH
4 Modelos GARCH
5 Variantes del modelo GARCH Modelo IGARCH Modelo GARCH-M Modelos GARCH asimtricos
Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 37 / 54 .
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Qu hay qu modelizar? Asimetrias
Al estudiar la relacin dinmica entre las volatilidades de los rendimien-tos de empresas hay que tener en cuenta la volatilidad y covarianza asimtrica.
El comportamiento asimtrico de la volatilidad hace referencia a la evidencia emprica segn la cual un shock negativo so-bre los rendimientos (cada inesperada del precio) conlleva un aumento de la volatilidad mayor que un shock positivo sobre los rendimientos (aumento inesperado del precio) de la misma magnitud.
La covarianza asimtrica, por su parte, se refiere a la evidencia emprica segn la cual la covarianza entre los rendimientos de los activos financieros aumenta ms tras shocks negativos que positivos.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 38 / 54 .
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Qu hay qu modelizar? Asimetrias
Inconveniente de los modelos GARCH
El carcter simtrico de las respuestas de la volatilidad ante shocks positivos y negativos. Esto se debe a que la varianza condicional en SGARCH es funcin de los cuadrados de los residuos retardados.
2
t = 0 +
p
i=1
i 2
ti +
q
j=1
j 2
tj
Sin embargo, los resultados empricos muestran que una pertur-bacin negativa en las series temporales financieras provoca un au-mento de la volatilidad mayor que una perturbacin positiva de la misma magnitud.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 39 / 54 .
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Qu hay que modelizar? Asimetrias
En la literatura financiera se han propuesto dos explicaciones a la asimetra de volatilidad de los mercados de acciones. La primera de ellas est fundamentada en la hiptesis del efecto apalancamiento (leverage effect ); segn la cual, una disminucin en el valor de la ac-cin, es decir, un rendimiento negativo, aumenta el apalancamiento financiero, lo que provoca que la accin sea ms arriesgada y au-mente su volatilidad (Black (1976) y Christie (1982)). La segunda explicacin recibe el nombre de efecto feedback en la volatilidad.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 40 / 54 .
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Qu hay que mejorar? Asimetrias
En el caso de la rentabilidad de las acciones, estas asimetrias se atribuyen a efectos de apalancamiento (leverage effects ), por los que una cada del valor de las acciones de una empresa hace que aumente la ratio deuda/capital de la empresa. Esto lleva a los accionistas, que soportan el riesgo sistemtico de la empresa (riesgo de mercado), a percibir un mayor riesgo para su empresa en lo que se refiere a la posibilidad de hacer frente a sus deudas con los recursos de que dispone.
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 41 / 54 .
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Qu hay que modelizar? Asimetrias
Hiptesis del efecto feedback en la volatilidad
(volatility feedback )
Esta explicacin mantiene que la asimetra de volatilidad responde al hecho de que los rendimientos podran reflejar simplemente la existencia de primas por riesgo variables. Si a la volatilidad se le pone precio, un aumento no anticipado en la volatilidad aumenta el rendimiento exigido a la accin provocando una disminucin del precio y, por lo tanto, agravando la repercusin de una mala noticia y suavizando el efecto de una buena noticia (Campbell y Hentschel (1992), Pindyck (1984), French, et al. (1987)).
> Departamento de Economa Cuantitativa
[email protected] Econometra Financiera 42 / 54 .
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Qu hay que modelizar? Asimetrias
En consecuencia, se observa que la causalidad de la asimetria en los mercados de acciones es diferente en cada una de las explicaciones. Segn el efecto leverage , los shocks en rendimientos producen cam-bios en la volatilidad condicional, mientras que en la hiptesis del efecto feedback en la volatilidad, la causalidad es a la inversa. Segn esta hiptesis, la volatilidad es valorada en el mercado y, por tanto, los cambios en la volatilidad producirn cambios en el rendimiento esperado, lo cual implica primas por riesgo variables a lo largo del tiempo.
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Modelo Threshold GARCH
Modelos TGARCH/GJR
Este modelo, tambin denominado GARCH umbral divide la dis-tribucin de los shocks en intervalos disjuntos para aproximar una funcin lineal por tramos. El valor cero acta como umbral para separar los impactos de los shocks pasados.
Modelo TGARCH (Zakoian, 1994): utiliza el valor absoluto de los residuos t1 y la desviacin estndar condicional t1.
Modelo GJR (Glosten, Jaganathan y Runkle, 1993): se utiliza los cuadrados de los residuos 2
t1 y la varianza condicional
2
t1.
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Modelo TGARCH/GJR
La varianza condicional viene dada por:
En TGARCH:
2
t = 0 + 1|t1| + 1t1 + |t1|It1 (19)
En GJR:
2
t = 0 + 12
t1 + 12
t1 + 2
t1It1 (20) donde la funcin indicador It1:
It1 =
{1 si t1 < 00 en otro caso (21) El efecto apalancamiento (leverage effect ) vendra dado por > 0.Ahora la condicin de no negatividad ser 0 > 0, 1 > 0, 1 0,y 1 + 0. El modelo sigue siendo vlido aunque < 0, siempre que 1 + 0.
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Modelo TGARCH/GJR
A partir de la formulacin del GJR:
Si t1 es positivo, It1 = 0 , el efecto total ser 12
t1.
Si t1 es negativo, It1 = 1 , el efecto total ser (1 + )2
t1.
El efecto apalancamiento implica que > 0
TGARCH/GJR son estacionarios en covarianza siempre que la persistencia (P):
P =
q
i=1
(i + i
2 ) +
p
j=1
j < 1 (22)
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Modelo EGARCH
GARCH Exponencial (Nelson, 1991)
Los cambios en la volatilidad asociados a una cada en el mercado del precio de las acciones son mayores que las cadas que explica por s solo el apalancamiento. Para este tipo de cadas, se postula una relacin negativa entre la volatilidad y las rentabilidades pasadas (Black, 1976). El modelo EGARCH captura esta asimetra entre innovaciones positivas y negativas.
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Modelo EGARCH
Definimos t = t ut donde ut IID (0 , 1) .La expresin de la varianza condicional del modelo EGARCH es:
ln (2
t ) = 0 +
q
i=1
i
|ti | + i ti
ti
+
p
j=1
j ln (2
tj ) (23) Este modelo presenta varias ventajas con respecto a la especificacin del modelo general GARCH:
Dado que se modela ln (2
t ), aunque los parmetros sean neg-ativos, 2
t ser positiva. Por tanto, no es necesario imponer artificialmente restricciones de no negatividad a los parmetros del modelo.
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Modelo EGARCH
La formulacin EGARCH permite las asimetras. Sabiendo que
ut1 = ti
ti :
Si t1 es positivo o hay "buenas noticias", el efecto total de
t1 es (1 + i )|uti |.
Si t1 es negativo o hay "malas noticias", el efecto total de
t1 es (1 i )|uti |.
Las malas noticias (shocks negativos) tienden a tener un mayor impacto sobre la volatilidad que las buenas (shocks positivos), es decir, el efecto apalancamiento i de i1 ser negativo.
El modelo es estacionario en covarianza siempre que:
P =
p
j=1
j < 1 (24) donde el parmetro P mide la persistencia en volatilidad del proceso.
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Modelo EGARCH en rugarch
La especificacin del modelo EGARCH en el paquete rugarch es diferente:
ln (2
t ) = 0 +
q
i=1
(i uti + i (|uti | E [|uti |])) +
p
j=1
j ln (2
tj )
(25)
i captura el efecto del signo: efecto apalancamiento i < 0
i captura el efecto de tamao: cuanto mayor sea i mayor ser el efecto apalancamiento. Por tanto, i > 0.
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Modelo ARCH de potencia asimtrica
Modelo APARCH/PGARCH
Ding, Granger y Engle (1993) propusieron este modelo para estu-diar la persistencia (long memory) de la volatilidad, un compor-tamiento que se observa cuando se producen fuertes variaciones en las rentabilidades y los efectos se desvanecen lentamente. El modelo utiliza la relacin que existe entre la persistencia y la autocorrelacin de analizando la asimetra a partir del parmetro i .
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Modelo APARCH/PGARCH
Un modelo APARCH(p,q) general es:
rt = t + t , t = t ut
t = 0 +
q
i=1
i (|ti | + i t1) +
p
j=1
j
tj
(26) donde t es la media condicional, > 0 y 0, i , i y j satisfacen algunas condiciones de regularidad para que la volatilidad sea posi-tiva.
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Modelo APARCH/PGARCH
El efecto apalancamiento implia que i > 0 (si ti < 0 y
i > 0 , entonces i ti > 0. Por tanto, rentabilidades negativas aumentan
t ).
Si = 0 , obtenemos el modelo EGARCH.
= 1 , el modelo utiliza la volatilidad directamente en la ecuacin de volatilidad. Es ms robusto para valores atpicos que = 2 .
Si = 2 , tenemos el modelo TGARCH/GJR, modelo estndar con efecto apalancamiento.
Se puede fijar un valor determinado de o bien estimarse por Mxima Verosimilitud (MV).
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Modelo NGARCH
Engle y Ng (1993) proponen el ARCH no lineal (NGARCH) basado en los modelos de la familia GARCH para captar las respuestas asimtricas de la volatilidad a las perturbaciones positivas y neg-ativas del pasado. Se asume que:
rt = t + t , t = t ut
2
t = 0 + 12
t1 + 1(t1 2
t1)2
}
(27) El modelo (27) hace referencia a un GARCH(1,1) no simtrico o NGARCH(1,1). Si = 0 se reduce a un GARCH estndar (1,1).
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