Notes sur la Factorisation d'une Expression du Second Degré

Introduction

• Objectif: Apprendre à factoriser une expression du second degré.
• Fonction étudiée: f(x) = 2x² + 4x - 6.

Étape 1: Conjecturer une Racine

• Racine: Un nombre qui annule le polynôme.
• Conjecture: Tester des valeurs simples (0, 1, 2, -1, -2).
• Vérification:
  • Tester x = 1 : f(1) = 2(1)² + 4(1) - 6 = 2 + 4 - 6 = 0.
  • Conclusion: 1 est une racine de f.

Étape 2: Factoriser l'Expression

• Forme générale d'un polynôme du second degré: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂).
• Identification de a:
  • Coefficient du terme en x²: a = 2.
• Remplacer a dans la forme factorisée:
  • f(x) = 2(x - x₁)(x - x₂).

Trouver x₁ et x₂

• Connaissance préalable: x₁ = 1 (racine trouvée).
• f(x) devient: f(x) = 2(x - 1)(x - x₂).
• Il reste à trouver x₂.

Étape 3: Déterminer x₂

• Utiliser l'égalité des deux formes de f:
  • f(x) = 2x² + 4x - 6
  • f(x) = 2(x - 1)(x - x₂).
• Choisir x = 0 pour simplifier les calculs:
  • f(0) = 2(0)² + 4(0) - 6 = -6.
  • Équation: -6 = 2(-1)(-x₂).
• Résoudre pour x₂:
  • 2(-1)(-x₂) = -2 → 2x₂ = -6 → x₂ = -3.

Conclusion

• Expression factorisée finale:
  • f(x) = 2(x - 1)(x + 3).
• C'est la forme factorisée de la fonction polynôme f.