Bonjour, dans cette vidéo nous allons apprendre à factoriser une expression du second degré. Alors la fonction avec laquelle on va travailler c'est la fonction suivante f de x égale à 2x au carré plus 4x moins 6. Dans la première question on va nous demander de conjecturer une racine de la fonction polynôme f et ensuite d'en déduire dans la deuxième question l'expression factorisée. Alors ici, on s'est quand même arrangé pour choisir une fonction dont la racine est à peu près évidente.
De toute façon, il ne faut pas chercher très loin. Si on te demande de déterminer comme ça, à tâton, une racine d'une fonction polynôme, en général, c'est 1, 2, ou moins 1, moins 2, ou même 0. Ça va rarement guère plus loin. Alors ici, quand on regarde les coefficients, on a 2, on a 4, on a moins 6, 2 et 4 font 6. avec le moins 6, ça fait 0, eh bien tiens, on pourrait peut-être essayer de prendre x égale 1 comme racine.
Alors, je rappelle quand même qu'une racine d'un polynôme, c'est un nombre qui fait que ce polynôme s'annule. C'est-à-dire, quand je vais remplacer x par cette racine, normalement, ça doit me renvoyer comme image 0. Alors, la question, on va conjecturer donc que 1 est racine de ce polynôme, il faudrait normalement que f de 1 soit égale à 0. C'est ce qu'on va vérifier. Alors f de 1, donc je remplace 1 par x, ça nous fait 2 fois 1 au carré plus 4 fois 1 moins 6. Soit 2 fois 1 au carré, 2 fois 1, 2, plus 4 fois 1, plus 4, moins 6, et tout ça, ça nous donne bien 0. Eh bien oui, cela signifie effectivement que 1 est racine de notre polynôme, puisque 1 fait que la fonction... s'annule en 1. Alors deuxième question, on nous demande maintenant de factoriser l'expression de la fonction f, et pour cela on va s'appuyer sous la forme générale d'une forme factorisée pour une fonction polynôme du second degré. Et bien une fonction polynôme du second degré sous sa forme factorisée s'écrit comme ceci.
f de x égale à a, x moins x1, x moins x2. Mais ce a c'est quoi ? Eh bien, ce a, c'est le fameux a, toujours le même, le a qui est coefficient du x². Mais ce a, du coup, je l'ai.
Si je regarde l'expression qui nous est donnée dans l'énoncé, on nous dit que f de x est égal à 2x² plus 4x moins 6. Eh bien, cela signifie que ce a, il est tout simplement égal à 2. Je peux donc directement ici remplacer a par 2. Alors, poursuivons maintenant avec x1 et x2. On peut rappeler la propriété. qui nous dit à quoi correspondent x1 et x2.
Eh bien, x1 et x2, il se trouve que ce sont les racines de ma fonction polynôme. Tiens, tiens, ça, ça doit te rappeler quelque chose, parce que des racines, eh bien, j'en ai déjà une. Je l'ai calculée tout à l'heure dans la question petit a. J'ai trouvé dans la question petit a que 1 est racine de ma fonction polynôme.
Du coup, je peux déjà remplacer soit x1, soit x2, c'est pareil, c'est symétrique, ça n'a pas d'importance, par 1. Eh bien, on a quand même déjà sacrément avancé. Parce que quand on regarde l'expression factorisée de f, donc c'est la question, on a déjà 2, facteur de x moins 1, facteur de x moins x2. Autrement dit, il ne nous reste plus qu'à déterminer x2, et on a terminé. Et pour déterminer x2, eh bien, on va se servir de la fonction de départ.
Parce que la fonction de départ, elle s'écrit, on le voit, 2x² plus 4x moins 6. Et la fonction. s'écrit également sous sa forme factorisée, 2 facteur de x moins 1, facteur de x moins 2. Du coup, on peut dire que ces deux expressions sont égales. Donc voilà, j'ai recopié la fonction qui est donnée dans l'énoncé, donc f de x de l'énoncé, et le f de x sous sa forme factorisée, enfin voilà, il nous manque juste le x2. Ceci doit être vrai pour n'importe quelle valeur de x, forcément, puisque c'est la même fonction, c'est la même expression, donc ça doit être vrai pour n'importe quel x.
Alors je vais en choisir un, si ça doit être vrai pour n'importe quel x, ça doit être vrai pour un x en particulier. Et moi je vais en choisir un, alors tu peux choisir celui que tu veux, tu peux vraiment choisir au pif, mais le mieux c'est de choisir 0, parce que du coup ça va simplifier grandement les calculs. C'est-à-dire que si ça c'est vrai pour n'importe quelle valeur de x, ça doit être vrai en particulier pour x égale à 0. Alors pour x égale à 0, ça nous donne quoi ?
Ça nous donne 2 fois 0 au carré, pas 0, plus 4 fois 0. encore 0, moins 6, donc là il ne reste plus que moins 6, égal à 2. fois 0 moins 1, 0 moins 1 ça fait moins 1, fois 0 moins x2, 0 moins x2 ça fait juste moins x2. Voilà cette égalité-là dans le cas particulier où x égale à 0, et j'ai bien le droit de le faire parce que ça doit être vrai pour tous les x. Et bien là maintenant, J'ai plus qu'à simplifier un tout petit peu et on va voir qu'on va pouvoir trouver x2.
Parce que 2 fois moins 1, ça fait moins 2. Avec le moins qui est derrière, ça va faire plus 2. Autrement dit, tout ça, ça fait 2 fois x2, ou 2x2, égale à moins 6. Et je divise encore partout par 2, pour me débarrasser du 2 ici. Moins 6 divisé par 2, ça fait moins 3. Et 2x2 divisé par 2, ça fait x2 tout court. Eh bien, on voit là que c'est gagné. J'ai trouvé x2, j'ai trouvé la valeur de x2.
Je peux donc maintenant remplacer dans l'expression de ma fonction x moins moins 3, que je peux écrire plus simplement en x plus 3. Eh bien, une forme factorisée de ma fonction polynôme f est 2. Facteur de x moins 1. Facteur de x plus 3 et cette séquence est terminée.