Arkadaşlar merhabalar. 3D TYT konu anlatım matematik defterimizde mutlak değerin son kısmındayız. Bu mutlak değerde bayağı bakın uğraştık arkadaşlar.
Konu kısmında bir sürü ayrıntı vardı. Biri biri özseğime de güzel sorulara baktık. Şimdi artık beceri temel sorularla son noktayı koyuyoruz.
İlk sorumuzla başlayalım. Bir elma sembolü konmuş. Elma sembolü dört işlemden birini temsil etmek üzere. Denklemenin çözüm kümesi dört elemandır.
Buna göre mutlak x... Elma 2 aşağıdakilerden hangisi olabilir denmiş. Şimdi bir bakalım çarpımlarının değeri sorulmuş.
Şimdi arkadaşlar burada dikkat etmemiz gereken 4 tane işlemimiz var. Çarpım, bölüm, toplam ve fark. Ben 4'ünü de deneyecek miyim?
Deneyeceğiz ama hızlı denemeler yapacağız. Bakın şimdi arkadaşlar mutlak değerde bu soruda hem eksi hem de hem çarpım hem bölümün olmayacağını şöyle görürüz. Bir kere bakın.
Hemen hızlıca çarpı 4 yazarsak zaten bu içerisi ya 2 olabilir çarpı 4 içerisi eksi 2 olabilir. E zaten bir mutlak değer asla negatif olamaz. Buradan bir kere kök gelmeyecek.
Mutlak eksi 3. 2 bölü 4'ten de kaç tane kök gelir? 2 tane değer gelir. Ama çözüm kömesi ne demiş?
4 eleman. Bak bu kadar hızlı deneyebilirim. Bölüyü yapalım şimdi. Aynı yorum.
Mutlak x eksi 3 bölü 4. Ne olacaktır? Ya 2 olacaktır ya da mutlak x-3 bölü 4 eksi 2 olacaktır. Bir mutlak değer asla negatif olamaz bu da gitti. Buradan da iki tane kök geldi bakın.
Mutlak x-3 içler dışlardan 8 dersem bir 11 olur bir de eksi 5 olur. Gelelim şimdi artıya. O da gider. Çok hızlı deneyelim. Mutlak x-3 artı 4 eşittir 2. Böylece mutlak x-3 artı 4 eksi 2 olursa buradan bakın çözüm gelmeyecek.
Gitti. Mutlak x eksi 3 artı 4. 2 olursa mutlak x eksi 3 direkt eksi 2 olacak. Hatta buradan boş küme geldi.
O zaman bakın yani toplamda yaklaşık 20 saniyede bu işi halledebiliyoruz. Çok göz koru kutucu bakmayın. Bazen mecburen denemek zorundasınız.
Ama hızlı görürsünüz bunu. Ya zaten buradan gelmez deyip gözücüyle bile bakıp görürseniz süper olur. Zaten çok zoru çözmek.
Sabırla çalışmak biraz bu işe yarıyor. Artık ne olduğunu gördük. Demek ki tek işlemimiz x eksi 3 eksi 4 eşittir 2 olmalıymış.
Gerçekten bakın şimdi. İçerisi arkadaşlar 2 olabilir. Veya içerisi eksi 2 olabilir.
Buradan da mutlak x eksi 3 6 olabilir. Veya mutlak x eksi 3 2 olabilir. Gerçekten bak x buradan ne gelir?
Eksi 3. Böyle bir ok çıkarayım. 9 gelebilir. Sonra buradan arkadaşlar 1 olabilir veya kaç olabilir? 5 olabilir.
Gördüğünüz gibi artık buradan arkadaşlar alacağı değerleri bu şekilde görmüş olduk. Bizden ne istiyor? Şu denklemin sağlayan değerlerini soruyor.
Tamam buradan şimdi biz aslında fazladan bu kökleri tek tek bulduk ama bize bunları sormuyormuş. Şurayı sileyim ben bir an onları soruyor diye hatırladım nedense. Şimdi artık bu denkleme dönelim. Artık bunun zaten mutlak x eksi 2 eşitleri 4 olduğunu anladığım için mutlak x 6 oldu. Bir değerimiz 6 bir değerimiz eksi 6 sağlayan değerlerin çarpımı eksi 6. Şurada yaptığım işlemler evet burada 4 tane çözüm kümesi olduğu için eksi olduğunu anladık ama şu x'leri biraz fazladan bulduk arkadaşlar.
Şimdi bir duvar saatinde akrep ile yelkovan arasındaki kalan açı dakika saat olmak üzere. Akrebi kırılan yukarıdaki saatte Akrep ile yelkovan arasındaki açı 95 derecedir. Buna göre saatin gösterdiği saatten en az kaç saat sonra 7 olur demiş. Şimdi formülü bize vermiş aslında. Dakikayı D yerine koy.
Saati S yerine koy. Aradaki açıyı göreceksin. O zaman bakalım.
11 D eksi 60. Saatimiz bu akrep mi yelkovan mı bakalım. Burada akrep kırılmış. O zaman D gördüğün yere 10 yazacaksın.
Çünkü 2 demek saat bilmem neyi 10 geçiyor demek. Eksi 60 çarpı s mutlak değer içinde bölü 2 eşittir 95 derece. Buradan da 110 eksi 60 s eşittir 190. 110 eksi 60 s 190 olursa buradan arkadaşlar eksi 80 eşittir 60 s olur ki saat negatif olamaz. Bak bu gitti yani pozitif olamayacağını gördüm.
İkinci durum 110 eksi 60 s. Eksi 190 olabilir. Buradan da 300 eşittir 60S'den S5 geldi. Gerçekten bakın saat 5'i 10 geçe.
Şöyle arkadaşlar hafif ilerler. Bunların arasındaki açıda bak 95 derece oldu. O zaman 5'e 10 geçeden nereye gideceğiz? Saat 7.00'a.
O zaman 7.00 aslında bize neyi anlatıyor? Tabii ki burada 7.00'dan 5.10'u çıkarınca olsaydı tam 2 saat 120 dakika olacaktı. Ama o zaman 10 dakika çıkarmalıyım çünkü 7 değil.
değil 7 saatimiz. Demek ki 110 dakika geçmesi gerekiyormuş. Bu şekilde bakın saat 5'e 10 geç olur.
Peki neden en az demiş hocam? Neden böyle cevap direkt buldunuz siz? Çünkü arkadaşlar bu da olabilirdi.
Saat 10'u 10 geçe de aralarındaki açı 95 derece olurdu. O zaman 7'ye ulaşmak için bakın burada bu kadar saat ilerlemem gerekirdi. O yüzden sorumuz en az sorusu.
Aşağıdaki tabloda ABC kentleri arasındaki uzaklıklar kilometre cinsinden gösterilmiştir. X diye Z tam sayıları olduğuna göre Z aşağıdakilerden hangisi olamaz. Şimdi arkadaşlar bir kere A'nın A'ya uzaklığı 0'dır. Burada sonuçta kentler arasındaki uzaklıklar dediğine göre A eksi A 0. Bana ne mesajı vermişti rekordu onu fark etmeliydiniz. X eksi 4 olmalı.
Bu 1. B'nin C'ye uzaklığı C'nin B'ye uzaklığına eşittir. Şimdi onu da görelim arkadaşlar. A'nın C'ye uzaklığı C'nin A'ya uzaklığına eşittir. Bakalım burada A'nın C'ye uzaklığı ne?
4. O zaman C'nin de A'ya uzaklığı 4. Yani 4 mutlak değer içinde Y artı Z. 2. Burada bakın kontrol edersek C'nin B'ye uzaklığı X artı Y. X'i ne bulduk?
Eksi 4. B'nin C'ye uzaklığı ne? 6. Demek ki mutlak eksi 4 artı Y. 6'ymış arkadaşlar.
Artık bunda bulduğumuz değeri gideceğiz. Burada yerine yazacağız. O zaman 10'a 6 alalım. Buna göre değer vereceğiz.
Bunu da üstte alayım. Değeri deneyelim şimdi. Mutlak y eksi 4 6 ise y eksi 4 6 olabilir.
Veya y eksi 4 eksi 6 olabilir. Buradan y 10 oldu. Buradan y eksi 2 oldu. Şimdi arkadaşlar y 10 olduğuna göre şu denklemde yerine yazalım.
4 eşittir. 10 artı z olursa ne yazarım buraya? Eksi 6 yazarsam 4 mutlak değer dışına 4 olarak çıkar. Veya eksi kaç yazarım? 14 değil mi?
Bunu denklem yoluyla da görebilirsiniz. Hocam ben şimdi böyle göremedim diyenler. Bir, içerisi 4 olabilir. Veya içerisi eksi 4 olabilir.
Bu da ne yaptı bak? Z artı 10 eşittir. Eksi 4. Gerçekten z eksi 6 geldi. Z eksi 14 geldi.
Şıklarda ikisi de var. Tamam bunlar gitti. Sonra arkadaşlar ikinci durum. Y ne olabilir dedik? Eksi 2. O zaman 4 eşittir.
Eksi 2 artı Z. İçerisi yani Z eksi 2 4 olabilir. Ki Z buradan 6 gelir.
6 da elendi. Son durum Z eksi 2 eşittir. Eksi 4 olabilir. Z buradan eksi 2 oldu.
Bu da elendi. Yani cevabımız arkadaşlar eksi 4 olamazmış. Bir hastalık çeşidi için kandaki CR aktif proteini, CRP yani bu kısaca CRP diye gösteriliyor.
Şöyle arkadaşlar mikrobiyeli hastalığınız olursa, kanında mikrop artarsa bilmeniz zorunda değil ben ekstra söylüyorum. Ateşli hastalığınız varsa, işte romatizmal hastalıklar varsa bu CRP bayağı artıyor arkadaşlar. CRP'nin referans aralığı, sağlıklı kabul edilebilirlik aralığı yani en az 1 mg en fazla 3 mg olarak verilmiştir.
Referans aralığı bakın burada yazmış. CRP 1'den 3'e kadar. X hasta kişinin kanındaki CRP miktarı. Y sağlıklı kişinin kanındaki CRP miktarı.
Mutlak x-1 artı mutlak y-3 5 olduğuna göre hasta kişinin kanındaki CRP miktarının alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır? Şimdi burada arkadaşlar bir yıldız koyalım bu sorumuza. Neye dikkat etmeliyiz?
Bir kere iki bilinmeyen var. Bunun da... tam değerini bilmiyoruz. Bunun da değerini bilmiyoruz. Ama en azından sağlıklı kişiyle ilgili bir bilgimiz var.
Y'nin alabileceği değerler maksimum 3 minimum 1 arkadaşlar. Bu aralıkta değer verebiliriz o zaman. Peki bu soruda ne yapacağız? Değer vereceğiz.
Çünkü arkadaşlar bunun en büyük olmasını istiyorum. Bir de en küçük olmasını istiyorum. Doğal olarak şu mutlak x eksi 1'in en büyük olması. Max yazayım kısaca.
Bunun en büyük olması neye bağlıdır? Mutlak y eksi 3'ün Minimum olmasına bağlıdır. Toplamları böylece 5 olsun. Buna çok kalsın buna az. Peki bir mutlak değerin en küçük değeri kaçtır arkadaşlar?
0. O zaman şunu söyleyeceğiz. Mutlak y eksi 3 0 olabiliyor mu? y'ye 3 verebiliyor muyum?
Evet neden? Sağlıklı bir insanın crp değeri maksimum 3 olabiliyor. O zaman gerçekten burayı minimum yaptım. Böylece arkadaşlar mutlak x eksi 1. Artı 0 eşittir 5'den. Mutlak x eksi 1 5 oldu.
x buradan 6 olur. x arkadaşlar eksi 4 olamaz. Çünkü malum bir şeyin miktarı negatif olabilir mi?
Bu protein 0'dır veya 0'dan büyüktür. Birinci çözümümüz bu. Gelelim ikinci çözüme.
Şimdi ikinci de ne diyeceğiz? Bu sefer mutlak x eksi 1 artı y eksi 3 5. Burası max olursa. Burası o zaman minimum olur. Toplamları 5 olduğunda.
Peki y eksi 3'ü nasıl maksimum yaparım? Şimdi bir sayıdan 3'ü çıkaracağım ya. O zaman arkadaşlar burayı olabildiğince küçük yapmaya çalışırım ki mutlağı büyük olsun.
Şimdi buraya kaç verebilirim o zaman normalde en az? 0 verebilirim değil mi? Yalnız 0 verebiliyor muyum? Fark ettiniz mi?
Veremiyorum. Niye? Y'nin alacağı en küçük değer 1. O zaman mecburen y'ye en az 1 verirsem 1 eksi 3'den bu farkı bakın maksimum yaparım. Eksi 2 olur. Oradan da mutlaka 2 gelir.
Gördüğünüz gibi bu mutlak y eksi 3'ün alabileceği en büyük değeri 2 gördük. Doğal olarak artık mutlak x eksi 1'e kaç kalmış oldu? 3 kaldı.
En küçük değeri de buradan mutlak x eksi 1 3 ise kaç gelecektir? 4. Neden eksi 2 olmaz? Çünkü dediğim gibi miktar negatif olamaz. Böylece bu 4, bu 6, alacağı en büyük 6, en küçük 4 toplamları 10 oldu. Şimdi böyle uzun bir soru ama...
Gerçekten kolay bir soru. Burcu evini boyatmak için iki farklı ustaya gitmiş ve aralarında şu konuşma geçmiş. Usta evimi boyatmak istiyorum.
Boya kaç TL tutar? Evi görmem lazım ancak tahmini 1200-1800 arası çıkar. Diğer usta da şunu demiş. Ev kaç metrekare bilmiyorum ama 1000 TL ile 1500 TL arasında bir fiyat çıkar. Her iki usta da evin boya fiyatlarını doğru tahmin ettiğine göre bu boyama fiyatını gösteren aralık aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Tamam o zaman bakalım. Burada boya fiyatımız başlangıçta ustanın verdiği 1200-1800 arası. Diğerinin de verdiği miktar neymiş bakalım. Y yine aynı.
Aynı boyayı alacağız. Bu da 1000 lirayla ne kadar arası demiş? 1500 arası demiş gördüğünüz gibi. Şimdi o zaman burada ne olacak?
İkisini alabileceği değer bunların aralığında olacak. İkisi de doğru tut. Tutturduğuna göre bu aralığın içinden bir değer demek istiyor bana. O zaman bu aralığın içinden değer aralığı daralt. Bunun ve bunun kesişimi nedir?
1200 ile 1000'den 1200 alırsın. 1500 ile de 1800 alırsan ikisinin de aralığını sağlamış olur. Bakın şu aralık hem Bekir Usta'nın hem Ahmet Usta'nın aralığını sağlıyor.
Doğal olarak size kesişim hükümesi sorduğu zaman aralıklarda ne söylüyorduk? Küçüğün büyüğünü al. Büyüğünde küçüğünü al.
Böyle bir ezber de var değil mi okullarda öğretilen. Doğal olarak arkadaşlar boyanın fiyatı 1200-1500 arasında olması lazım. Hangi şık bunu veriyor?
Bakın D şıkkına dikkat edin. Eksi 150, x eksi 1350 ve 150. At bu tarafa 1200. At sağ tarafa yine 1000 kaç oldu? 500 oldu.
Böyle hocam siz hemen D'yi söylediniz. Evet cevabı biliyorum tabii o yüzden ama. Normalde de hakikaten tek tek denersin.
Ama neleri denemem biliyor musunuz? Bir kere bunu denemem. Zaten 1000'e 150 eklersen 1150 olur. 1250 etme şansım yok.
Şunu yine denemem. Çünkü 1000 yapıyor öbür tarafa attığımda. Bunu denemem.
2400 oluyor öbür tarafa attığımda. Bunu denerim. 1500 oluyor sağ tarafa atınca bak. O zaman bir de diğerini deneyeyim derim. Bunu yine denerim.
Neden biliyor musunuz? Öbür tarafa atınca 1500 oluyor. Yani D ve E'yi denerim aslında. Zaten böylece.
Öbür tarafa attığımda bu 1200'ü evet sağ tarafı sağladığını ama sağ taraf 900 geldiği için sağlamını da görürüm. Şıklardan gitme sorusu tabii ki sınavda var merak etmeyin. Ama abartıp her soruda şıklarda gidilmez. Peki hangi sorularda şıkta gidip gitmeyeceğimi nasıl anlayacağım? Hiç merak etmeyin.
Bu tarz soruları kendi kendinize cevap veriyor olacaksınız. Hissederek değil tabii. Bağlantılarınız kuvvetli olunca arkadaşlar.
Beyin malum bizim zannettiğimizden çok daha kapasiteli bir varlık. Kesinlikle ve kesinlikle. onu siz sonra farkında olmadan halledeceksiniz.
Özel bir yöntem sakın düşünmeyin. Yukarıda mavi, siyah ve kırmızı renklerle boyanmış sayı doğrusu ile ilgili sayı doğrusu üzerindeki hangi sayının 5 sayısına olan uzaklığı ile 9 sayısına olan uzaklığı toplama 6'dır sorusuna cevap veren bir kişinin bulduğu sayı bölgelerin hangisinde bulunabilir demiş. Şimdi birinci yol lazım olduğu için uzun olmasına rağmen bir konuşalım arkadaşlar. Birinci yol Uzaklık mutlak değer demektir.
X sayısının 5'e olan uzaklığı bak bu. X sayısının 9'a olan uzaklığı bu. Eşit olmalı 6'ya.
Hemen neye dikkat edeceğiz? Mutlak değerlerde içeriği sıfır yapan değerler ayrı ayrıysa mecburen şuna bakılır. 1 İçeriyi sıfır yapan değer 5, 9. Dersiniz ki x 9'dan da büyük olursa ne olur?
x 5'den de küçük olursa ne olur veya eşit olursa? Bir de bu aralığın içinde olursa ne olur? Bunları ayrı ayrı çözeriz. Mutlak değerde işin içinden çıkamadığınız her durumda bu yöntem işinize yarar. Biraz uzar sadece ama.
9'dan büyükse x'de olduğu gibi çıkar. 2x eksi 14 eşittir 6'dan. x arkadaşlar 20 bölü 2, 10 gelir. Sonra o zaman burada bir cevap buldum.
Gerçekten 10 9'dan büyük kırmızı bölgede olabilirmiş bu nokta. İkincisi x 5'den küçükse eksiyle çarpılarak çıkar. Eksiyle çarpılarak çıkar. 9 eksi x. Buradan da o zaman 14 eksi 2 x eşittir 6 olur.
x de arkadaşlar ne gelir? Öbür tarafa attığımız zaman 8. x de 4 gelir. E 4 gerçekten 5'den küçük bir sayı. Burası da oldu arkadaşlar. Yani mavi bölge de olurmuş.
5 ile 9 aralığında. Bu zaten olmayacak ama göstereyim. 5 x x-5 olduğu gibi çıkar.
9 x x eksiyle çarpılarak çıkacak. Daha büyük 9. Böylece bunlar gitti. Buradan da 4 eşittir 6 oldu.
Bunlar birbirine eşit olmadığına göre bu aralıktan çözüm gelmedi arkadaşlar. Cevabımız 1-3 oldu. Peki bunu başka nasıl yaparız? Hemen bence... mutlak değerin uzaklık kavramı olduğunu görerek.
Zaten soru uzaklık aslında. Birinci durum şu yanlıştan başlayalım hatta. Tek tek hepsini göstereceğim.
Diyelim sayımız burada. X'in 5'e olan uzaklığı K olsun. X'in 9'a uzaklığı L olsun.
E K artı L ne geldi arkadaşlar? Uzaklıklar toplamı 4. Ne olmalıydı? 6. O zaman demek ki 5 ve 9 arasında yani siyah bölgede noktamız olamazmış.
Hemen gelelim ikinci duruma. 9'dan büyük olursa Sildim buranın olmadığını. Hatta ayrı ayrı yapayım görün ya orası kalsın.
İkinci durum. 5, 9 sayımızı 9'un sağında aldık. Bir a sayısı olsun. Bir x sayısı olsun yine.
A demeyelim. Sorun değil de x ile başladık x ile devam edelim. Şimdi bak x'in 9'a uzaklığına k diyelim. X'in 5'e uzaklığına da şurası 4 olduğu için k artı 4 diyeceğim değil mi?
X'in 5'e olan uzaklığı k artı 4. X'in 9'a uzaklığı k. Topla kaça eşit olmalı? Burada 6'ya eşit olmalı değil mi? Ne diyordu soru?
Evet 6 diyordu. O zaman artık baktığımız zaman K ne geldi arkadaşlar? Öbür tarafa atınca 1 geldi.
K1 olduğuna göre X'ini attı 10. Gerçekten bu sağdaki bir aralıktan bir nokta seçebiliyormuşum bakın. Son durumum 5, 9 burayı hallettik olmadı. Burayı hallettik oldu.
5'in solunda olabilir. Buraya yine X diyeceğim. Buraya onun uzaklığına şimdi.
T diyelim. X'in 5'e uzaklığı T ise şu 5 ile 9'un arasındaki uzaklık 4 olduğu için X'in 9'a uzaklığı nedir? T artı 4. Ve bu 6'ya eşit olunca T yine 1 oldu.
Tamam problem değil. Bir birim geri geldim. X'ine geldi 4. Gerçekten mavi bölgede ve kırmızı bölgede sağlayan bir değer bulduk. Ama içteki bölgede uzaklık toplamı zaten 4 olduğu için 6'ya eşit olmadı. Cevabımızı her türlü görmüş olduk.
Bence ikinci yolu uzaklık kavramıyla önemseyin. Şimdi meraklısına soru 1'e bakalım. Son iki sorumuz artık mutlak değeri bitiriyoruz. Sonra bu aralar bu konularda sanki sizi bilmiyorum ama ben en azından sizin adınıza tabii kendi adıma rahat hissetmem önemli değil. Basit yaşasızlık mutlak değer çok fazla yorumu vardır ama benim için böyle bir rasyonel sayıdan açıkçası daha güzel.
Öbürü daha kolay olmasına rağmen. Üstlü köklü. Çok bizi zorlayacağını düşünmüyorum.
Çünkü üstlü köklü de aslında ara geçiş konustur. Sınavda güzel çıkar hani bu zamana kadar aşırı zorlamadılar. Bilemeyiz bundan sonra ama. İyi sorulardır, şey iyi konulardır. Çok bizi yormaz, üzmez.
Sonrasında artık oran orantıyla birlikte ikinci aşamaya geçiyoruz. Oralarda her zaman şunu söyleyeceğim. Kendi çözümünüz bir yana, benim çözümüm bir yana.
Muhakkak bazen benimki uzun olsa bile benimkisini kale alın diyeceğim. Şimdiden uyarayım. Çünkü... problemlerde en önemli kısım denklem kurabilmek, soruyu matematiğe döndürmek. Bu soru şimdi o kadar aslında güzel, hafif bir soru ki, bakmayın böyle sıkıntılı olduğuna.
Size bir şey söyleyeceğim. Bir mutlak değerin yanına bir pozitif sayı eklesem, bir de dışarı mutlak koysam. ÖSYM'de bir kere bunu yaptı. Oradan ilham alarak sorduğumuz bir soru.
Bak. Burada arkadaşlar, bu zaten pozitif olduğuna göre kesinlikle A ne olursa olsun, mutlak A'ya bir pozitif sayı eklersem pozitif olur değil mi? Dışarıdaki mutlak gereksiz.
Yanıltmak için demeyeyim ama acaba olayı görüyor musun diye verilmiş. Zaten bu kesin sıfır veya pozitif. Bir de üzerine pozitif eklersem kesin pozitif.
O zaman pozitif mutlak değer olduğu gibi çıkar. Bu yüzden şuradaki mutlak bilerek gereksiz aslında. Komple şuraya şimdi bir A diyeyim tamam mı? A artı 5 20 olduğu için A ne geldi arkadaşlar? 15. Bu bir.
Bak şimdi olaya yine aynıyorum. Şu 3'e kadar yeşilliyim burayı. Yeşil bölge artı 4. Yeşil bölge zaten bir mutlak değer içinde. 4 de mutlağın içinde. Bu yine 15. Bu mutlak gereksiz yine.
Mutlak Y zaten pozitiftir. Demek ki mutlak Y buradan neymiş? 11. Mutlak Y dediğim ne?
Yeşil bölge. Şimdi dikkat et lütfen. Şurasına da. Bir K diyeyim arkadaşlar. K mutlak içinde artı 3 eşittir kaça?
11'e. Yine aynı mantık işte bak göremezseydiniz. Yine mutlığın dışında bir daha mutlak var gereksiz. Mutlak K buradan ne? 8. Geldik artık bu kırmızı bölge böyle.
Onun içinde ne var arkadaşlar? Mutlak x artı 1 var artık yazalım. Artı 2 var.
Zaten mutlak x artı 1 kesin 0 veya pozitif. Bir de üzerine 2 eklenmiş kesin pozitif o zaman gerek yok. Kaldır mutlağı bu 8. Mutlak x artı 1 arkadaşlar. Buradan ne oldu? 1, 6. Artık şunu söyleyebilirim.
x artı 1, 6 olabilir. Mutlağın içinde çünkü artık başka mutlak kalmadı. x artı 1 eşittir. Eksi 6 olabilir. x buradan 5'tir.
Veya eksi 7'tir. Alacağı değerler çarpımı eksi 35 olabilir. Oradaki mutlakların...
Bilerek gereksiz verildiğini fark edersen soru bu kadar basit işte. Geldik son sorumuza. Şimdi mutlak x-1 artı mutlak x-6 küçüktür. 23 eşitsizliğinin çözüm aralığı aşağıdakilerden hangisidir? Şimdi arkadaşlar birinci yol.
A biricaysa dara düştüğümüzde bizi kurtaran yol uzun olmasına rağmen zahmetlidir ama sonuç getirir. İçeriyi sıfır yapan değerler farklıysa birbirinden. Birisi bakın bir birisi 6. Birden küçük olursa ne olur? Sonra 1 ile 6 arasında olursa ne olur?
Böyle. Ve en son birisine dahil değilse birine dahil yapın yalnız. Hangisine yapacağım hocam hiç sorun değil.
Bunu yaparsan bunu boş bırak. Bunu boş bırakırsan bunu doldur. O hiç önemli değil. Sonuçta bütün real sayılarda inceliyoruz.
Mesela benim canım bunu boş mu bırakmak istedi? O zaman ama muhakkak bunu doldur. Tamam mı? Böylece büyük değerler... 6'dan büyük değerlerde ne olur?
1 ile 6 arasında ne olur? Ve 1 ile eksi sonuç arasında ne olur? Bakacağız.
1'den küçük değerlerde eksi ile çarpılarak çıkar. 1'den 6'dan küçük zaten doğal olarak. 6 eksi x diye çıkar.
Küçüktür 23. Buradan da 7 eksi 2 x küçüktür 23. Ne gelmiş oldu? Eksi 16 2 x. X küçüktür. X büyüktür.
Eksi 8. Şimdi arkadaşlar. Birden küçük değerlerde o zaman artık yazalım. Bu ne oldu?
Eksi 8 bir aralığı. Çözüm kömümüz gerçekten. Eksi 8'den büyük sayılar.
Nereye kadar gitmeli? Bire kadar. Çünkü biz ne demiştik? Birden küçük değerlerde bu çözümü yapıyoruz. Bu aralığı sağladı bak.
Ne verirsen ver. Eksi 8'den büyük olacak. Birden küçük olacak. Bunu sağlar. 1 ile 6 arasında x eksi 1 olduğu gibi çıkar.
Sonra x eksi 6 eksi ile çarpılarak çıkar. Küçüktür 23. Bunlar gitti. Güzel bir durum oldu bak.
5 küçüktür 23. Bu sana ne diyor? 5 23'den küçüktür gerçekten. Şu mesajı veriyor. 1 ile 6 arasında ne verirsen ver çözüm sağlanıyormuş. O zaman birleştiriyorum artık çözümü.
Bu aralıkta 1, şöyle kapatalım. 1, 6 aralığında ne verirsen vereyim. Cevabımız arkadaşlar 5 küçüktür 23 oluyor. E 5 ile 23'den küçüktür doğru bir ifadedir.
Verdiğin sayı önemli değil. Hepsi sağlar manasında. Son durum 6'dan büyükte olduğu gibi çıkar.
Olduğu gibi çıkar. Küçüktür 23. Buradan da 2x. Küçüktür öbür tarafa atarsak ne oluyor? 23. 7 daha 30. X küçüktür 10 geldi değil mi?
Buradan da o zaman arkadaşlar. Bakayım bir. Kontrol edeyim.
Pardon ya. 30'u ben de diyorum bir hata hissettim orada. Işıklar da yok oradan uyandım. 2x 30 olduğu için.
30'u 2'ye böldüm 15. O zaman bakın. 15'den küçük ama 6'dan da büyük. Birleştirdim.
6, 15 gördüğünüz gibi. O zaman artık bunların hepsini birleştirirsem hiç boşluk yok. Bak, eksi 8'den 15'e kadar her değer sağladı arkadaşlar. Doğal olarak cevabımız eksi 8'e 15 oldu.
Ayrı ayrı çözüm yaptığımız için çözümleri birleştiririz arkadaşlar. Birleştirdiğimiz çözümlerde bak hiç boşluk var mı? Birden yine 1'e atlıyorum. 6'dan yine 6'da devam ediyorum.
Bir tane aralıkta diğerinin başlangıç kısmı oluyor. Doğal olarak hiç sekmeden, 8'den 15'e kadar bütün sayılar sağladı. İkinci çözüm ne olur? Onu söyleyeyim şimdi size.
İkinci yolda arkadaşlar yine biraz uzaklık kavramı. Sayı doğrusunda bakarsınız böyle. Burası 1, burası 6 olsun dersiniz.
Birinci başlayalım. X'i 1 ile 6 aralığında alırsam bunun buna uzaklığına K diyelim. Bilmediğimiz X sayısının 6 sayısına uzaklığına da M diyelim.
K artı M kaçı eşit şu an? 5'e. 5 23'den küçük mü? Evet. O zaman ben 1 ile 6 arasında ne verirsem vereyim kesinlikle cevap sağlanıyor.
Bunu hallettik. İkincisi x diyelim böyle bir yerde. Yani 6'dan büyük.
O zaman hemen kontrol ediyorum. 6'ya olan uzaklığına k diyelim. Şu x sayısının. Buraya olan uzaklığına da arkadaşlar kaç diyelim.
Bir kontrol edelim. Burası 5 zaten. k artı 5. O zaman yapıyorum. k artı k artı 5. Neyden küçük olmalı? 23'den.
Böylece k neyden küçük geldi arkadaşlar? 23'den 5 çıkar 18. 2 9'dan küçük geldi. Şimdi k 9'dan küçük olduğuna göre k dediğim ne?
x'in 6'ya uzaklığı. O zaman x neymiş? 15'den küçük. Hakikaten demin bulduğum şeyler fark ettiniz mi? Ama 6'dan da büyük olsun dedik.
O zaman birleştirdim yine. 6 15 oldu. Son kısım x bunların da ikisinin de solunda olursa.
O zaman bakın birinci uzaklığa şöyle l diyelim. Şu x sayısının biri olan uzaklığı l. Sonra 6'ya uzaklığı sadece buraya odaklanın bakın. Sadece 6'ya uzaklığını L'ye artı 5. Bu da yine 23'den küçük olmalı.
L buradan ne geldi yine aynı mantıkla tabii doğal olarak fark etmez. 9'dan küçük geldi. Şimdi burası ne ama?
X bu sefer bakın solunda. Yani 1-X değil mi? Uzaklık asla negatif olamaz.
1'den X'i çıkaracaksın. Bu 9'dan küçük olmalı. Böylece arkadaşlar bu da ne geldi?
Eksi 8 büyüktür X geldi. Hakikaten demin böyle bulmuştum. Birleştirdim. 1'den küçük olacağı için. Eksi 8'den büyük ama bir de duruyorum.
Gördüğünüz gibi 3'ünün toplamı da eksi 8 15 aralığı oldu. Bu şekilde uzaklık kavramıyla da yapabiliriz arkadaşlar. Hiçbir problem yok. Hangisi kolayınıza geliyorsa daha da abartıp fonksiyonlar konusunda grafik çizerek de bunu yaptığımızı göreceksiniz arkadaşlar. Mutlak değerli grafiklerde.
Böylece bugün artık toplamda da mutlak değere noktayı koyduk. Yeni konumuz bize çok yormayacağını düşündüm ama tabii ki size bağlı ne olursa olsun. Üstü sayılar konusu arkadaşlar.
Kitaplarınızla birlikte inşallah diğer konuda görüşeceğiz. İyi çalışmalar, başarılar.