Catatan Kuliah tentang Pertaksamaan dan Ketaksamaan

Definisi Pertaksamaan dan Ketaksamaan

• Pertaksamaan: Suatu pernyataan yang menyatakan hubungan antara dua nilai menggunakan simbol-simbol ketaksamaan.
  • Contoh: 5 tidak sama dengan 2, 1/4 < 1/2
  • Pertaksamaan dapat benar atau salah tergantung pada nilai variabel yang digunakan.
• Ketaksamaan: Pernyataan yang melibatkan nilai-nilai yang bisa berbeda.
  • Contoh: 1/4 < 1/2 adalah ketaksamaan yang benar.
  • 1/4 > 1/2 adalah ketaksamaan yang salah.

Perbedaan Antara Ketaksamaan dan Pertaksamaan

• Ketaksamaan dapat merujuk pada keadaan yang lebih terbuka, sedangkan pertaksamaan memiliki nilai yang pasti.
• Ketaksamaan dengan variabel (misalnya, 1/X < 1/2) mengharuskan kita mencari nilai yang membuatnya benar.

Menyelesaikan Pertaksamaan

• Penting untuk memahami arti dari kata-kata dalam soal matematika.
• Menyelesaikan pertaksamaan berarti menentukan semua nilai yang memenuhi ketaksamaan tersebut.

Notasi Selang

• Selang buka (A, B): Semua bilangan x antara A dan B, tidak termasuk A dan B.
• Selang tertutup [A, B]: Semua bilangan x antara A dan B, termasuk A dan B.
• Simbol minus tak hingga dan plus tak hingga: Menunjukkan batasan dalam notasi himpunan.

Langkah-langkah Menyelesaikan Pertaksamaan

1. Bawa semua elemen ke ruas kiri untuk menyederhanakan.
2. Gunakan sifat-sifat aljabar dan urutan untuk memanipulasi pertaksamaan tanpa mengubah tanda.
3. Memeriksa tanda pada garis bilangan untuk menentukan interval solusi.

Tanda pada Garis Bilangan Real

• Memeriksa tanda (positif/negatif) dari hasil kali dua faktor untuk menentukan solusi pertaksamaan.
• Solusi akhir bisa melibatkan dua interval (contoh: x < 0 atau x > 2).

Nilai Mutlak

• Definisi: Jarak dari 0 ke x pada garis bilangan real.
• Nilai mutlak x (|x|) dapat berbeda tergantung pada tanda x.
• Sifat-sifat nilai mutlak:
  • |A * B| = |A| * |B|
  • |A + B| ≤ |A| + |B| (hukum segitiga)

Ketaksamaan Segitiga

• Ketaksamaan |X| < A setara dengan -A < X < A, dengan A > 0.
• Penting untuk mengingat bahwa ini berlaku untuk nilai A yang positif.

Kesimpulan

• Memahami pertaksamaan dan ketaksamaan adalah penting untuk menyelesaikan masalah matematika.
• Keterampilan dalam memanipulasi dan memahami notasi matematika sangat diperlukan untuk mendapatkan solusi yang benar.