Als nächstes schauen wir uns die Bruchrechnung an. Sie ist auch eine sehr wichtige Grundlage, die häufig im Studium auftauchen wird, egal welches Fach Sie letztendlich studieren. Die Bruchrechnung hat nicht besonders viel Beliebtheit in der Schule vermutlich gesammelt, dennoch ist sie sehr, sehr grundlegend.
Wir haben einerseits das Problem, dass wenn wir immer mit Dezimalzahlen arbeiten, dass wir schnell Rundungsfehler erzeugen, während wir eigentlich mit Brüchen immer sehr präzise arbeiten können. Weiterhin gibt es unglaublich viele Anwendungen in sehr, sehr vielen Formeln. Also egal, welches Fach Sie studieren werden, sehr, sehr viele Formeln werden Brüche enthalten. Und diese Brüche sind nicht in Dezimalzahlen umzurechnen, da sie Variablen enthalten und Sie damit auch umgehen können müssen.
Sie müssen die Formel umstellen können und entsprechend vielleicht auch eigene Formeln entwickeln können, die wiederum aus Brüchen bestehen. Auch ist es oft einfacher, selbst mit simplen Zahlen, mit Brüchen zu rechnen, anstatt mit Dezimalzahlen. Wenn ich jetzt das Beispiel mal heranziehe, 3 Achtel mal 4 Drittel, dann rechne ich einfach 3 mal 4 ist 12 und 3 mal 8 ist 24. Und jetzt kürze ich noch das Ganze zu 1 Halb und bin fertig. Während ich auf Dezimalschreibweise meine Probleme habe, 3 Achtel kann ich als 0,375 schreiben, aber 4 Drittel ist bereits eigentlich eine Zahl, die unendlich... weit aufgeschrieben werden müsste.
Das heißt, wir können sie wiederum nur abkürzen. Wir fangen an zu runden und dementsprechend kriegen wir auch kein exaktes Ergebnis, wenn wir hier runden und bekommen nicht 0,5, was das richtige Ergebnis ist, sondern 0,49999 raus. Natürlich haben Dezimalzahlen auch ihre Vorteile, gerade wenn man sich ein Bild von der Zahl machen möchte, ist es einfacher mit einer Dezimalzahl zu arbeiten. Wenn ich zum Beispiel Zahlen auf dem Zahlenstrahl eintragen möchte, oder grundsätzlich eine Vorstellung für eine Größe machen möchte, dann ist das natürlich sehr angebracht. Aber Rechnen ist normalerweise immer wesentlich besser mit Brüchen.
Kommen wir zu den Rechenregeln. Sie kennen sicherlich die meisten aus der Schule. Es ist deswegen auch nur eine kurze Wiederholung an der Stelle.
Die Multiplikation ist so ziemlich das Einfachste, denn sie läuft genauso intuitiv, wie man sich das vorstellen würde. Wir multiplizieren die Zähler miteinander und die Nenner miteinander. Also einfach A mal C durch B mal D.
Ein Beispiel habe ich hier oben schon gegeben, deswegen wiederhole ich es nicht nochmal. Wir müssen Brüche erweitern können, wenn wir addieren wollen. Das liegt daran, das können Sie sich ja einfach vorstellen, wenn Sie verschiedene Stücke miteinander vergleichen wollen.
Sie haben zum Beispiel einen Kuchen zerschnitten in drei Teile und Sie wollen dann diese Teile an die Leute ausgeben. Oder Sie haben eben einen Kuchen in Viertel geschnitten, dann können Sie nicht einfach vergleichen, wie viel ist jetzt das eine Stück und wie viel ist das andere Stück, sondern Sie müssen sie auf den gleichen Nenner bringen, auf die gleiche Anzahl an Teilungen, um einen Vergleich herstellen zu können, was ist mehr, was ist weniger. Und um das zu können, müssen wir erweitern können, gegebenenfalls auch kürzen, was die Umkehrung letztendlich ist.
Und zwar erweitern wir hier den Bruch A durch B einfach mal mit C. a durch b kann ich auch einfach schreiben als a durch b mal 1. Erweitern bedeutet nichts anderes als eine geschickte Multiplikation mit einer 1, die nichts ändert letztendlich. Eine 1 kann ich auch immer schreiben, wie ich möchte, in Form von irgendwas geteilt durch irgendwas, immer das Gleiche geteilt durch das Gleiche.
Das heißt in diesem Fall einfach c durch c, weil ich ja mit c erweitern möchte. Also kann ich jetzt wieder meine Multiplikationsregel anwenden. Ich erhalte a mal c durch b mal c.
Sprich, erweitern bedeutet einfach nur, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. 3 Viertel erweitere ich beispielsweise mit der Zahl 2, indem ich einfach daraus 6 Achtel mache, indem ich oben mal 2 und unten mal 2 gerechnet habe. Und wenn ich in diese Richtung etwas ändern kann, letztendlich nur in der Darstellung eigentlich, kann ich die Darstellung auch wieder rückgängig machen, indem ich kürze. Indem ich einfach nämlich den gleichen Teil oben und unten wegstreiche. Beispielsweise hätte ich minus 9 Sechstel.
Dann habe ich oben eine 3 und unten auch eine 3 drinstecken. Hier auf minus 3 mal 3, unten 2 mal 3, kürze ich die beiden 3 raus, erhalte ich minus 3 halbe. Bei der Addition muss ich jetzt eben darauf achten, dass ich auf einem gleichen Nenner bin, weil sonst ist ein Vergleich nicht möglich der verschiedenen Brüche und das Zusammenrechnen dementsprechend auch nicht.
Ich habe a durch b plus c durch d und die Holzhammer-Methode, die einfachste Variante ist es, über Kreuz zu erweitern. Also ich erweitere den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten und den zweiten Bruch erweitere ich mit dem Nenner des ersten. Dann kriege ich garantiert den gleichen Nenner.
Mitunter geht es auch einfacher, das kommt auf die Zahlen an, wenn ich hier Teile vorliegen habe oder Vielfache voneinander, dann kann ich gucken, ob ich vielleicht auch eine kleinere Zahl nehme, aber die Holzhammer-Methode funktioniert garantiert. Also ich erweitere A durch B mit D, dann habe ich einfach oben und unten ein D dran multipliziert und C durch D erweitere ich mit B, dann habe ich also oben und unten ein B dran multipliziert. Ich war so vorhin und habe den Nenner direkt gedreht, sodass der identisch ist, wegen der Kommutativität, also der Möglichkeit. Zahlen umzudrehen, bei der Multiplikation ist die Darstellung auch identisch.
Jetzt habe ich beides auf dem gleichen Nenner und dann darf ich entsprechend auch addieren. Das heißt, ich habe dann noch a mal d plus c mal b durch b mal d, also durch den gleichen Nenner entsprechend. Ein Beispiel hier, zwei Drittel plus ein Viertel.
Die Nenner sind nicht identisch, also muss ich die Brüche gleichnamig machen. Ich multipliziere 2 Drittel, ich erweitere 2 Drittel mit 4, das heißt ich habe 2 mal 4 durch 3 mal 4 und ein Viertel erweitere ich mit 3, also habe ich 1 mal 3 durch 4 mal 3 oder beziehungsweise 3 mal 4. Das rechne ich jetzt aus und habe ich hier 8 und 3 und der gemeinsame Nenner ist 12, also kann ich es auf einen gemeinsamen Nenner schreiben. Wenn ich das verrechne, erhalte ich das Ergebnis von 11 Zwölftel.
So weit dann zur Addition. Subtraktionen verläuft genauso. Ich könnte also auch hier statt einem Plus einfach ein Minus überall hinschreiben. Läuft auch dasselbe hinaus.
Der Kehrwert ist etwas, was sehr häufig auftaucht, und zwar in verschiedenen Schreibweisen. Es gibt im Grunde diese beiden hauptsächlich. Wir haben entweder die Schreibweise hoch minus 1. Das werden wir in den Potenzgesetzen an einem anderen Vorkurstag noch kennenlernen. Oder wir schreiben eben 1 geteilt durch das, was wir... in den Kehrwert setzen wollen.
Kehrwert bilden bedeutet beim Bruch einfach nur, wir drehen es um. Das heißt, a durch b hoch minus 1 wird zu b durch a. Die Notation mit dem hoch minus 1 wird uns an verschiedenen Stellen noch wieder begegnen.
Grundsätzlich bedeutet immer, irgendeine Zahl hoch minus 1 bedeutet einfach nur in Bruchschreibweise 1 durch diese Zahl. Es kommt immer darauf an, in welchem Kontext wir uns befinden, welche Notation für uns angenehmer ist. Wenn wir eher mit Potenzen zu tun haben, schreiben wir eher hoch minus 1. Wenn wir eher mit Brüchen zu tun haben, schreiben wir ja 1 durch x.
Ein Beispiel dazu. Wir haben 2 Drittel und wollen davon den Kehrwert bilden. Dann machen wir einfach 3 Halbe daraus.
Negative Vorzeichen machen überhaupt keine Probleme. Die schleppen wir einfach mit. Minus 5 Achtel wird im Kehrwert zu minus 8 Fünftel. Die Kehrwertbildung brauchen wir zum Beispiel, wenn wir Brüche durcheinander teilen wollen, das heißt, wenn wir sogenannte Doppelbrüche betrachten wollen.
Das heißt, wir haben zum Beispiel c durch d geteilt durch a durch b. Schauen wir uns mal an, warum da jetzt irgendwie Kehrwert drin vorkommt. Nun, zunächst einmal habe ich hier eine Zahl und ich habe unten eine Zahl.
Und ich kann die Zahl oben auch einfach davor schreiben. Das heißt, ich habe dann c durch d mal 1 durch. a durch b und 1 durch a durch b ist, jetzt ist einfach nur die Notation gewechselt worden, das ist absolut einfach nur das gleiche, andere Schreibweise, nämlich das ist dasselbe wie a durch b hoch minus 1. Wir erinnern uns an die Notation.
Das bedeutet, wir bilden einen Kehrwert, also haben wir einfach nur c durch d mal b durch a. Und das können wir wieder nach der ersten Regel, nämlich der Multiplikationsregel, einfach wieder zusammenführen, c mal b durch d mal a und sind fertig. Also, das ist natürlich jetzt eine sehr lange Form.
In kurz können wir das direkt am Beispiel aufschreiben. Wir wollen 2 Drittel durch minus 5 Achtel teilen. Das rechnen wir also 2 Drittel mal den Kehrwert des Nenners.
2 Drittel mal minus 8 Fünftel. 2 mal 8 gibt 16, 3 mal 5 gibt 15 und das Vorzeichen nehmen wir mit. Und damit haben wir so die wichtigsten Regeln für die Bruchrechnung behandelt.