Pengantar Persamaan Diferensial dan Klasifikasinya

Sep 30, 2024

Catatan Kuliah Persamaan Diferensial

Pengantar Persamaan Diferensial

  • Kuliah kali ini membahas pengantar persamaan diferensial.
  • Materi yang akan dibahas:
    • Definisi persamaan diferensial
    • Tipe atau klasifikasi persamaan diferensial

Definisi Persamaan Diferensial

  • Persamaan Diferensial: Suatu persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih fungsi terhadap satu atau lebih variabel bebas.
  • Variabel Terikat: Variabel yang bergantung pada variabel bebas.
  • Variabel Bebas: Variabel yang dapat diubah tanpa mempengaruhi nilai variabel terikat.

Contoh:

  • Persamaan: ( \frac{dy}{dx} + 3xy = e^x )
    • Turunan: ( \frac{dy}{dx} ) (variabel terikat: y, variabel bebas: x)

Notasi Turunan

  • Notasi Leibniz: ( \frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3} )
  • Notasi Aksen: ( y', y'', y''' ) (menunjukkan turunan pertama, kedua, ketiga, dsb)
  • Notasi Titik: ( .y, .\dot{x} ) (biasanya digunakan untuk turunan terhadap waktu)
  • Notasi Subskrip: ( u_{xx}, u_{tt} ) (untuk persamaan diferensial parsial)

Klasifikasi Persamaan Diferensial

Berdasarkan Jenis

  1. Persamaan Diferensial Biasa (PDB): Memuat turunan terhadap satu variabel bebas.
  2. Persamaan Diferensial Parsial (PDP): Memuat turunan terhadap dua atau lebih variabel bebas.

Berdasarkan Orde

  • Orde ditentukan dari turunan tertinggi yang ada dalam persamaan.
    • Contoh: ( \frac{d^2y}{dx^2} + 5 \frac{dy}{dx} - 4y = e^x ) adalah orde kedua.

Berdasarkan Linearitas

  1. Linear: Tidak ada perkalian antara variabel terikat dan turunannya.
  • Contoh: ( y'' + 3y' + 2y = 0 )
  1. Non-Linear: Ada perkalian antara variabel terikat dan turunannya, atau memuat fungsi non-linear (seperti sin, cos, eksponensial).
  • Contoh: ( y'' + 2y' y + y^2 = 0 )

Contoh Klasifikasi

  1. ( y - x , dx + 4x , dy = 0 ) - PDB, linear, orde 1.
  2. ( y'' - 2y + y = 0 ) - PDB, linear, orde 2.
  3. ( rac{d^3y}{dx^3} + x rac{dy}{dx} - 5y = e^x ) - PDB, linear, orde 3.
  4. ( y' y = 0 ) - PDB, non-linear, orde 1.
  5. ( y'' + ext{sin}(y) = 0 ) - PDB, non-linear, orde 2.

Kesimpulan

  • Penting untuk memahami definisi, notasi, dan klasifikasi persamaan diferensial.
  • Persamaan diferensial memiliki berbagai aplikasi di berbagai bidang, terutama dalam kalkulus dan sistem dinamik.

Terima kasih telah mengikuti kuliah, nantikan materi selanjutnya!