Pengantar Persamaan Diferensial dan Klasifikasinya

Hai semuanya, kembali lagi bersama saya di Biomet Official, channel kajian matematika. Oke, pada kesempatan kali ini kita akan mengisi materi untuk kuliah persamaan diferensial. Nah, video pertama untuk materi kuliah persamaan diferensial adalah pengantar persamaan diferensial. Nah, pada pengantar persamaan diferensial ini nanti kita akan membahas Definisi dari persamaan diferensial, kemudian tipe-tipe atau klasifikasi dari persamaan diferensial. Oke, baik kita akan lanjutkan saja langsung ke materi, yaitu tentang persamaan diferensial atau definisinya. Apa sih sebetulnya definisi dari persamaan diferensial itu? Nah, persamaan diferensial itu adalah suatu persamaan Yang memuat turunan. Jadi intinya di sini adalah memuat turunan. Baik itu dari satu atau lebih fungsi sebarang. Atau dalam hal ini adalah variable terikat. Jadi nanti kalian harus mengetahui mana variable terikat. Dan mana variable bebas di sini ya. Nah terhadap satu atau lebih variable bebas di sini ya. Jadi ada beberapa istilah di sini yang tentu. sudah familiar di materi atau kuliah kalkulus ya, di sini ada turunan, kemudian ada variable terikat, kemudian ada variable bebas. Nah, si persamaan diferensial ini, definisinya persamaan yang dia memuat turunan. Turunannya dalam hal ini boleh dari satu atau lebih fungsi, atau dalam hal ini variable terikat, terhadap satu atau lebih variabel bebas. Contoh, kita punya misalkan persamaan diferensial, atau suatu persamaan yang memuat turunan. Dalam hal ini saya akan menunjukkan misalkan dy per dx, dy per dx ditambah misalkan 3xy, sama dengan eksponen x misalkan. Nah, kita punya persamaan diferensial seperti ini. Perhatikan bahwa persamaan ini, ya ini persamaan itu ditandai oleh tanda sama dengan di sini. Persamaan ini, dia memuat turunan. Mana turunannya? Turunannya di sini adalah suku yang pertama ini, dy per dx. Seperti yang kita tahu, ini adalah penulisan Leibniz, dy. Per dx berarti kalau kita cek di sini ada variable y dan variable x. Nah, variable sy ini sendiri ini adalah variable terikat. Ini variable terikat. Kemudian y, x di sini adalah variable bebas. Nah, kalau kita masukkan ini ke dalam definisi. maka persamaan ini dia memuat, ini sudah memuat turunan dari satu, kalau yang ini ya, dari satu fungsi atau variable terikat terhadap satu variable bebas. Jadi ini ada turunan dari satu variable terikat terhadap satu variable bebas. Maka dalam hal ini, ini sudah disebut sebagai persamaan diferensial. Kalau saya tulis dengan notasi singkat yaitu PD ya jadi nanti kedepannya kita akan menggunakan PD di sini untuk mengatakan persamaan diferensial ya Nah itu adalah definisi dari persamaan diferensial atau misalkan kita punya lagi seperti ini ada du per dt misalkan ditambah dengan Apa namanya, saya mau nulis dv per dt. Nah, kemudian ditambah 3, misalkan 3u, 3ut sama dengan 0, misalkan seperti ini ya. Nah, perhatikan bahwa kita punya 2 variable terikat dalam hal ini adalah u dan v. Ini ada u dan v. Ini U, ini V adalah variable terikatnya. Kemudian ini T-nya, ini yang disebut sebagai variable bebas. Berarti kalau kita masukkan ke dalam definisi, ini adalah satu persamaan yang memuat turunan. Mana turunannya? Yang ini turunan yang ini, suku pertama ini adalah suku turunan, suku kedua pun ini adalah suku turunan. Turunannya dari mana? Dalam hal ini, persamaan ini dia memuat dua fungsi sebarang atau dua variable terikat terhadap Variable bebas, satu variable bebas yaitu 1 itu disini T Dan variable bebasnya disini U dan V disini ya Nah maka persamaan yang seperti ini, ini disebut sebagai persamaan diferensial Saya tulis disini adalah BD Oke, kita lanjutkan ke notasinya Di kalkulus sebetulnya sudah dibahas tentang turunan itu, ada beberapa notasi. Yang pertama, penulisan untuk turunan itu ada yang menggunakan notasi libnis seperti ini. Jadi nanti ada dy per dx, ini y ini menunjukkan variable terikatnya, x-nya ini adalah variable bebasnya. Kalau ini ada d2y. Per dx kuadrat ini artinya turunan keduanya. Kemudian yang ini adalah turunan ketiganya. Dan seterusnya sampai turunan ke n. Nah ini kalau ada persamaan yang memuat notasi seperti ini. Maka sudah dipastikan bahwa itu adalah persamaan diferensial. Contoh, kita punya ini. Hati-hati jangan tertipu oleh y dan x-nya di sini. Hati-hati jangan tertipu oleh Y dan X-nya. Karena kalau yang ini kita lihat, yang ini, contoh di sini, pangkat 2X per dt kuadrat ditambah 16X, berarti di sini yang menjadi variable bebasnya adalah T di sini. Ini adalah variable bebasnya. Ini variable bebas. Sementara variable terikatnya di sini adalah X. Ini variable terikat. Beda dengan yang di atas ini, di dalam notasi umum, Y itu disebut sebagai variable terikat, sementara X ini adalah variable bebasnya. Tapi dalam contoh yang ini, variable terikatnya adalah X. Oke, berarti yang bisa diturunkan yaitu adalah variable terikat. Kalau diturunkan terhadap siapa, terhadap siapanya itu berarti yang disebut variable bebasnya. Bebasnya, katakanlah terhadap T, berarti T-nya itu adalah variable terikat. bebasnya itu yang kita apa namanya yang kita gunakan notasinya bisa notasi Leibniz kemudian yang kedua Oke ini adalah satu variabel tak bebas atau dalam hal ini saya katakan ini adalah variabel terikat ya yang ini adalah satu variabel bebas di sini kemudian notasi yang kedua adalah notasi pangkat ya kita juga bisa menggunakan turunan turunan dengan menggunakan notasi pangkat seperti ini ini adalah Y aksen dibacanya kita pakai Y aksen kemudian Y double aksen Y triple aksen kemudian kesininya dari turunan 4 kali kita menggunakan tanda kurung ini kurung kemudian 4 ini untuk menunjukkan apa? untuk menunjukkan bahwa variable tak bebas atau variable terikat ini diturunkan sebanyak 4 kali. Kemudian yang ini Y pangkat dalam kurungnya di sini 5, berarti ini variable terikatnya ini diturunkan terhadap variable bebasnya sebanyak 5 kali, dan seterusnya sampai YN. Jadi ini hati-hati kalau ada tanda kurung seperti ini, jangan dianggap sebagai pangkat ya, tapi ini adalah Proses penurunan beberapa kali. Jadi kalau Y disini 5, saya ulangi bahwa ini variable terikatnya diturunkan terhadap variable bebasnya sebanyak 5 kali. Ya sama halnya dengan Y triple aksen disini berarti si Y ini atau variable terikatnya diturunkan terhadap variable bebasnya sebanyak 3 kali ya. Kalau triple aksen ini. Nah, yang bagian ini untuk notasi pangkat kelemahannya di sini kita tidak mengetahui ya. Tidak mengetahui variable bebasnya apa. Jadi ya kamu juga bisa menentukan variable bebas sebebas-bebasnya. Mau T boleh, mau X boleh, mau S boleh, dia terserah. Kalau di sini tidak dituliskan notasi atau variable bebasnya. Tapi kalau ada penulisan yang seperti ini juga, misalkan Y aksen X. Nah, ini kalau Y aksen X seperti ini, maka kita sudah bisa memastikan bahwa variable bebasnya di sini adalah X. Jadi, Kalau seperti ini, Y double aksen T, misalkan. Di sini Y double aksen T, berarti variable bebasnya di sini T. Tapi kalau misalkan tidak ada, ya di situ artinya kamu bebas menentukan apa notasi untuk variable bebasnya. Boleh X, boleh T, ya terserah. Asalkan jangan bentrok lagi dengan variable terikatnya di sini ya. Contoh, kita punya yang seperti ini. Di sini. Ini di sini y aksen plus 5y sama dengan eksponen x. Nah, di sini memang tidak diketahui y ini fungsi terikatnya terhadap siapa, variable bebasnya itu siapa, tapi di sini kita bisa tahu eksponen x. Oh, berarti y ini nanti solusinya itu adalah yx di sini. Artinya si y adalah variable terikatnya, sementara variable bebasnya adalah x di sini, karena di sini ada eksponen x. Beda dengan yang ini, kalau yang ini Y double aksen dikurangi Y aksen ditambah dengan 6Y, disini sama dengan 0 Nah kalau bagian ini kan kita tidak tahu ini tidak ada yang menyebutkan variable bebasnya siapa gitu ya Nah jadi dalam kondisi ini kita atau kalian bisa menentukan variable bebasnya notasinya apapun gitu Misalkan saya nanti solusinya yang ini kita akan menuliskan dalam Variable bebas X misalkan. Jadi kita tulis nanti YX sama dengan bla bla bla bla. Ini solusinya nanti adalah fungsi terhadap X di sini nantinya. Kemudian kalau ini jelas. Atau kalau kita misalkan di sini nanti dari sini saya maunya solusinya terhadap T. Maka nanti solusinya akan merupakan suatu fungsi terikat terhadap variable bebas T di sini. Jadi YT. Maka dia adalah solusinya adalah fungsi terhadap T. Nah, seperti ini adalah penulisan untuk notasi pangkat ya. Jadi, kalau kalian ketemu dengan bentuk pangkat seperti ini, ya, Y aksen, notasi aksen seperti ini, nah, kemudian tidak ada indikator atau tidak ada tanda-tanda untuk menentukan siapa variable bebasnya, maka di situ kalian bebas menentukan notasi variable bebasnya apa, gitu ya. Kemudian berikutnya kita akan melihat notasi penulisan di turunan, itu masih ada di turunan, ini biasanya menggunakan notasi dot. Biasanya ini lazim digunakan untuk menyatakan turunan fungsi terhadap waktu, T. Nah, ini juga akan kita temukan, semisal di sistem dinamik, nanti di mata kuliah sistem dinamik, itu biasanya menggunakan S dot, misalkan atau Y dot. nanti ada y dot, kemudian ada apa lagi, x dot, dan seterusnya, apapun itu ya, yang jelas, dot di sini itu menunjukkan turunan, ya tapi biasanya lazimnya itu digunakan untuk menyatakan turunan terhadap waktu, jadi ini kalau x dot seperti ini, ini sudah dipastikan bahwa lazimnya ya, lazimnya ini variable bebasnya adalah waktu, jadi nanti kalau x dot solusinya adalah xt di sini nantinya. Ya, tapi tidak terikat terhadap waktu juga, tapi biasanya ini lazimnya digunakan bahwa dot ini dia digunakannya menyatakan turunan fungsi terhadap waktu gitu. Karena ini muncul biasanya di sistem dinamik adanya nantinya. Nah, contoh nih, kita punya misalkan D2S per dt kuadrat ditambah 3DS per dt di sini sama dengan min 32. Ini penulisannya bisa juga dengan menggunakan seperti ini. Jadi ini S double dot, ya, S double dot ditambah dengan 3S dot, ya, sama dengan min 32, ya, di sini. Jadi kita bisa pakai notasi dot, ya, untuk menyatakan turunan. Nah, ini juga persamaan diferensial. Kalau kalian ketemu dengan bentuk yang seperti ini, ini juga persamaan diferensial. Kenapa disebut persamaan diferensial? Karena di sini memuat turunan, ya. dari satu atau lebih variabel terikat terhadap variabel bebasnya. Satu atau lebih variabel bebas dalam hal ini, variabel bebasnya adalah T. Kalau di sini tidak ketahuan, S dot, S double dot ditambah 3 S dot sama dengan min 32. Tapi lazimnya ini adalah menyatakan turunan terhadap waktu. Jadi nanti solusi dari sini adalah ST adalah fungsi terhadap waktu. Oke, kemudian yang keempat. Yang keempat ini ada notasi subscribe. Jadi ada indeks ya. Variable bebasnya dibuat menjadi indeks Biasanya ini adanya di parsial ya Biasanya nanti kalau ketemu dengan persamaan diferensial parsial Itu ada yang menggunakan indeks Jadi variable bebasnya dibuat indeks Contoh seperti ini ya Ini ada d2u per dx2 Sama dengan d2u per dt2 Min 2du per dt Ini bisa ditulis menjadi seperti ini Uxx Nah ini xnya ada 2 Berarti ini uxx ini adalah Uxx U-nya adalah variable terikatnya diturunkan terhadap X 2 kali, ya, terhadap variable bebasnya X 2 kali. Kemudian di sini UTT berarti di sini U-nya, variable terikat, ya, diturunkan terhadap variable bebasnya T sebanyak 2 kali di situ. TT kemudian min 2 UT, nah ini UT berarti turunan pertama, ya. Nah, kalau ini dia memuat satu variable bebas, ya, U terhadap T. turunan, ya ini turunan terhadap, apa namanya, satu variable bebas, yaitu u, di sini memuat turunan, satu, apa, turunan fungsi dari satu variable terikat terhadap variable bebasnya, di sini, tapi variable bebasnya dalam hal ini adalah dua, ya ada dua variable, dua variable, variable bebas. Yaitu apa? X dan T. Ini variable bebasnya ada 2. Tapi variable terikatnya cuma 1, yaitu U. Nah, itu nanti akan hubungannya dengan klasifikasi dari persamaan diferensial. Nah, ini juga disebut sebagai persamaan diferensial. Hati-hati ya, ini persamaan diferensial. Oke, kita lihat berikutnya adalah klasifikasi persamaan diferensial. Nah ada beberapa klasifikasi ya, pertama berdasarkan jenisnya. Jadi persamaan diferensial itu berdasarkan jenisnya, ada yang disebut dengan persamaan diferensial biasa, kemudian ada yang disebut dengan persamaan diferensial parsial. Nanti kita lihat definisinya, apa sih sebetulnya persamaan diferensial biasa, dan apa yang membedakan persamaan diferensial biasa dengan persamaan parsial. Nah sebelum itu kita lihat dulu. Klasifikasi-klasifikasinya Yang kedua itu klasifikasinya berdasarkan Orde ya, berdasarkan Orde itu ada persamaan diferensial Orde 1, persamaan diferensial Orde 2, persamaan diferensial Orde 3, dan seterusnya Bisa sampai orde tinggi ya Persamaan diferensial orde tinggi gitu Di beberapa buku, orde 3 itu Dibuat Menjadi orde tinggi ya Tapi kalau di buku yang Kita gunakan yang menjadi referensi utama, yaitu a first course in differential equation, yang dikarang oleh Dennis Geziel, itu mengklasifikasikan seperti yang tadi. Jadi persamaan order pertama, kemudian persamaan order keduanya diklasifikasikan sebagai persamaan differential order tinggi langsung di sini. Beda kalau pakai yang satunya lagi, Boyke itu ya, Boyke itu, dia mendefinisikan atau membuat khusus untuk persamaan diferensial order 2. Baru nanti ada persamaan diferensial order tinggi. Oke. Nah, itu referensi yang sudah dijelaskan dalam Zoom ya. Nanti kita akan dibahas di kelas, di tatap muka ya, pas di tatap muka di Zoom. itu sudah dibahas referensi yang digunakan atau kalau ada yang belum tahu karena tidak ikut kelas ya silahkan langsung masuk ke blog saya disitu ada SAP-nya ini ada blog saya, daniswandi atau nanti ditulis di deskripsi juga daniswandi.wordpress.com biasanya seminggu pas perkuliahan dimulai itu file bukunya saya sertakan di situ untuk di-download, tapi setelah itu saya tutup lagi, khawatir nanti ada pelanggaran hak cipta. Nah ini berdasarkan ordenya, jadi saya ulangi, ada persamaan diferensial order 1, persamaan diferensial order 2, persamaan diferensial order 3, dan seterusnya sampai persamaan diferensial order tinggi. Beberapa buku tadi saya sebutkan ada yang mengklasifikasikan persamaan diferensial order 2 pun disebut sebagai persamaan diferensial order tinggi. Kemudian berikutnya ada berdasarkan linearitas. Kalau berdasarkan linearitas, itu ada yang disebut dengan persamaan diferensiar linear, ada yang linear, kemudian ada yang non-linear. Disini, ya. Nanti kita lihat perbedaannya. Nah, selain ini, sebetulnya masih banyak klasifikasinya. Ada yang berdasarkan fungsi di, apa namanya, variable bebasnya, katakanlah disitu ada homogenitasnya. Jadi nanti ada persamaan diferensial homogen dan ada non-homogen, ya itu nanti dibahas sambil berjalan. Ini hanya ada, saya perkenalkan disini ada tiga klasifikasi persamaan diferensial. Yang pertama berdasarkan jenis, Kedua berdasarkan order, yang ketiga berdasarkan linearitas. Oke, kita lihat berdasarkan jenisnya. Artinya tadi kita punya apa? Persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial pasial ya. Nah, kalau persamaan diferensial biasa di sini, dia memuat turunan. Turunan, oke ini nggak ada biasanya. Ini turunan dari satu atau lebih fungsi. Ini dia... persamaan diferensial biasa tersebut persamaan diferensial biasa itu dia memuat turunan dari satu nah ini yang kita lihat dari satu atau lebih fungsi sebarang tapi yang diperhatikan terhadap hanya satu variable bebas jadi turunannya dari fungsi sebarangnya atau variable terikatnya boleh banyak variable terikatnya tapi variable bebasnya hanya satu gitu ya Nah, contoh kita punya ini. Jadi, ini ada dy per dx plus 5y sama dengan eksponen x yang tadi ya. Kemudian ini ada d kuadrat y per dx kuadrat min dy per dx plus 6y sama dengan 0. Atau yang ini dx per dt plus dy per dt sama dengan 2x plus y. Nah, ini juga sama. Perhatikan yang ini, untuk yang pertama, ini contoh yang pertama. Di sini hanya satu variable. bebas disini saya ganti tintanya oke disini hanya satu variable bebas yaitu y saja sorry variable terikat ya y saja dan disini ada satu variable bebasnya yaitu x ya ini variable bebasnya jadi variable bebasnya hanya satu disini juga sama variable bebasnya satu variable terikatnya satu tapi perhatikan yang terakhir ini yang ketiga disini ada dua variable bebasnya Terikat di sini, ada X dan Y di sini ya. Kemudian satu variable, variable bebasnya, yaitu T di sini ya. T adalah variable bebasnya. Nah, walaupun di sini ada dua variable terikat, tapi di sini tetap dikatakan sebagai persamaan diferensial biasa. Karena apa? Karena di sini hanya diturunkan terhadap satu variable bebas saja. Jadi yang membedakan... Diturunkan terhadap seberapa variable bebas gitu ya. Di sini. Kita lihat yang persamaan diferensial parsial ya. Ini nanti saya tulis PDB ya. Atau ODE ya. Kemudian ini persamaan diferensial parsial. PDI oke lah dibacanya. Saya nanti akan nulisnya PDP saja. Kalau ketemu dengan persamaan diferensial parsial seperti ini nanti. Oke, jika persamaan diferensial ini, parsial ini akan disebut sebagai parsial kalau dia melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih fungsi sama sebarang. Tapi ini, perhatikan bahwa dia turunannya terhadap dua atau lebih variable bebas di sini. Dua atau lebih variable bebas. Jadi itu yang membedakan antara persamaan diferensial biasa dengan persamaan diferensial. Yaitu di jumlah variable bebasnya. Kalau persamaan diferensial biasa, dia hanya terikat pada satu variable bebas. Sementara yang ke persamaan diferensial parsial, dia terikat pada dua atau lebih variable bebas. Coba perhatikan contoh yang ini. Ini ada u, turunan u-nya adalah variable terikat. Kemudian di sini ada variable bebasnya yaitu x dan y. Nah, ini merupakan suatu persamaan diferensial parsial karena dia diturunkan terhadap dua variable bebas, walaupun nanti di sini variable terikatnya hanya satu, yaitu U saja, walaupun demikian. Nah, berikutnya yang ini, ada U juga sama, tapi variable bebasnya ada dua, yaitu X dan T di sini, atau yang ini. Nah, yang ini perhatikan bahwa yang terakhir ini, ini ada dua variable bebas. ada Y dan X di situ kemudian di sini pun ini juga mempunyai 2 variable terikat yaitu U dan V ya disini U dan V variabel-variabel terikatnya jadi nanti disini solusinya itu pasti akan akan bergantung pada misalkan yang ini ya X Y ini akan bergantung pada dua variabel dua variabel bebas disini U X Y nantinya solusinya bla bla bla jadi nanti dia adalah solusinya fungsi X Y fungsi terhadap yang terikat pada X dan Y disini Oke, nah itu adalah klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan jenisnya. Berikutnya, kita lihat persamaan diferensial berdasarkan orde. Nah, di sini pertanyaannya bagaimana cara kita menentukan orde dari suatu persamaan diferensial. Nah, di sini kita bisa menentukan orde dari suatu persamaan diferensial dengan cara kita melihat orde tertinggi dari turunannya. Turunan yang ada pada... Persamaan diferensial tersebut, contoh. Kita misalkan punya persamaan diferensial seperti ini ya. Ini ada d kuadrat y per dx kuadrat plus 5 dikali dengan dy per dx dipangkatkan 3 min 4y sama dengan eksponen x. Perhatikan turunan yang ada di sini, order turunannya. Order turunan untuk suku pertama yang ini, order turunan suku pertama itu 2 karena di sini diturunkan sebanyak 2 kali ya. Ini diturunkan sebanyak 2 kali berarti disini order turunan ini adalah 2. Atau kita bisa juga menyebutnya kalau turunan beberapa kali turunan. Disini 2 kali diturunkan. Berapa kali diturunkannya? Disini 2 kali. Nah itu berarti order turunan ini adalah 2. Kemudian yang ini 5 dy per dx disini hanya 1 kali. Ini satu kali diturunkan ya. Ini satu kali diturunkan berarti suku yang kedua ini disini memuat turunan orde pertama. Ini memuat orde pertama. Nah, cara menentukan bagaimana orde dari persamaan diferensial ini atau berapa orde dari persamaan diferensial ini, kita hanya melihat turunan orde turunan tertingginya. Orde turunan tertingginya di sini berapa? Berarti ini tadi kita lihat di sini orde 2, di sini orde 1. Maka yang tertinggi di dalam persamaan ini adalah turunan orde turunannya yang tertinggi adalah 2. Maka persamaan diferensial ini disebut sebagai persamaan diferensial orde kedua. Gitu ya. Nah, adapun yang ini, 3 ini bukan menyatakan orde, tapi ini derajat. Jadi ini saya bedakan saja penyebutannya dengan yang order tadi Ini derajatnya atau pangkatnya disini ya Ini order turunannya turunan pertama Tapi turunan pertamanya dipangkatkan 3 gitu loh Ini kalau dipangkatkan 3 Tapi ini kita tidak melihat bagian pangkatnya Tapi kita melihat order turunannya disini Nah atau dengan kata lain Berapa kali diturunkan gitu loh ya Berapa kali diturunkan fungsi terikatnya terhadap variable bebasnya gitu kalau disini 2 kali maka disitu turunan ini adalah order 2 disini 1 kali berarti order 1 nah untuk menentukan persamaan diferensial itu order berapa lihat saja order turunan tertinggi dalam persamaan ini berapa nah dalam hal ini adalah 2 maka disitu disebut sebagai persamaan diferensial order ke 2 oke itu berdasarkan ordernya ya nah berikutnya berdasarkan linearitasnya Berdasarkan linearitasnya, kalau kita lihat dari persamaan diferensial biasa yang linear, kita tulis sebagai bentuk seperti ini, ANXY pangkat N. Nah, ini adalah bentuk dari persamaan diferensial yang berbentuk linear di sini. Ini sebetulnya ada bentuk umum juga, atau bentuk standar, kalau order pertama kita punya DY per... D x misalkan ini untuk yang kasus-husus order 1, ini f, f ini bergantung pada y variable terikatnya dan bergantung juga pada x variable bebasnya. Nah ini fungsi yang bergantung pada y dan bergantung pada x di sini. Nah untuk mengatakan apakah dia linear atau tidak, kita bisa melihat persamaan diferensial tersebut dari fungsinya. Fungsi yang amaksin fungsi di sini adalah variable terikatnya. Variable terikat yang ada di situ apakah linear pada variable terikat itu sendiri dan turunan-turunannya atau tidak. Kalau misalkan dia tidak linear, variable terikatnya tidak linear, maka persamaan diferensialnya itu merupakan persamaan diferensial yang non-linear. Tapi kalau misalkan variable terikatnya linear, maka kita katakan bahwa variable terikat persamaan diferensial itu adalah persamaan diferensial yang linear. Nah, non-linear contohnya, misalkan ini beberapa saya tuliskan, misalkan ini variable terikatnya dalam hal ini adalah y, berarti yang non-linear itu nanti misalkan ada fungsi trigonometrinya, misalkan ya, fungsi trigonometri, nah ini sudah, Misalkan ada sin y nya di dalam persamaan itu Atau sin y aksen atau sin y aja misalkan Itu sudah dikatakan bahwa fungsi itu atau persamaan diferensial itu tidak linear Karena apa? Karena ada variable terikat yang tidak linear Di sini adalah ada memuat fungsi trigonometri Kemudian ada perkalian Misalkan saya tidak tulis Misalkan ada perkalian variable terikat dengan variable terikat yang Yang lainnya, maksudnya dengan variable terikat itu sendiri atau yang lainnya ya kalau misalkan ada dua variable terikatnya, nah disini misalkan ada satu variable terikat, jadi dia ada perkalian terhadap turunannya, misalkan ada Y kali Y aksen gitu ya, atau ada Y kuadrat di dalam situ nah ini sudah mengatakan bahwa di dalam persamaan diferensial itu merupakan persamaan diferensial yang non-linear disini ya, ini non-linear... Kalau yang non-linear dia memuat fungsi trigonometri, ada perkalian, kemudian ada perkaliannya terhadap variable terikatnya, atau turunannya di sini. Terhadap variable terikat itu sendiri atau turunannya. Kemudian ada juga misalkan eksponensial, bentuk eksponensial, nah ini juga sudah mengatakan ini tidak linear. Jadi nanti kalau ini termuat di dalam persamaan, maka persamaan diferensial tersebut, kalau dia disebut sebagai persamaan diferensial, itu digatakan sebagai persamaan diferensial yang non-linear. Oke, kita lihat contohnya. Nah, yang pertama ini ada Y double aksen. Nah, ini apakah bukan perkalian? Ini bukan perkalian di sini ya. Jadi di sini ini tidak ada perkalian dengan variable terikat lainnya, karena ini adalah kalau saya tulis lain adalah Y double aksen. Ditambah ini adalah 3Y, aksen di sini ditambah dengan 4Y. Perhatikan variable terikatnya di sini. Variable terikatnya di sini tidak ada perkalian, ataupun turunan-turunannya, variable terikat dan turun-turunannya itu yang kita perhatikan. Di sini tidak ada turunan dan tidak ada perkalian, tidak ada fungsi trigonometri, tidak ada eksponensial. Ini semua, maka karena tidak memuat. non-linear di variable terikatnya maka disini disebut sebagai persamaan diferensial linear order 1 sorry, salah ini harusnya order 2 disini ini order 2 karena disini ada turunan terhadap variable bebasnya 2 kali, berarti ini ordernya order 2 sifatnya apa? linear Linear karena di sini Y-nya tidak ada atau variable terikatnya tidak ada perkalian dengan yang lainnya. Kemudian yang kedua, yang kedua di sini adalah linear juga. Kenapa? Padahal di sini ada eksponensial, kemudian ada pangkat, ada perkalian dengan jadinya sendiri. Yang di sini perkaliannya itu bukan variable terikatnya, tapi variable bebasnya. Jadi dalam hal ini, pengetahuan tentang variable bebas... dengan variable terikat itu menjadi sangat penting ya, apa namanya, diketahui mana variable bebas, mana variable terikatnya. Nah, ini variable bebasnya adalah Y, sorry, variable terikatnya adalah Y di sini, variable terikatnya adalah Y, diturunkan terhadap X. Di sini tidak ada perkalian dengan variable terikatnya itu sendiri, atau perkalian dengan turunan-turunannya. maksudnya variable terikat dengan turunan-turunannya, tidak ada juga bentuk eksponensial terhadap variable terikatnya, di sini hanya ada bentuk eksponen terhadap variable bebasnya saja, ini tidak masalah kalau yang seperti ini, jadi ini tidak mempengaruhi linearitas dari suatu persamaan diferensial. Oke, ini juga tidak ada, jadi ini disebut sebagai persamaan diferensial linear. Ordenya berapa? Ordenya order 4, karena di sini ada turunan, sebanyak 4 kali ya Kemudian yang ketiga, ini kita lihat di sini ada non-linear. Kenapa non-linear? Nah perhatikan aja di sini ada Y pangkat 3 selesai. Jadi di sini ada variable terikat yang dikalikan dengan variable terikat itu sendiri sebanyak 3 kali di sini. Jadi ada Y pangkat 3 ini tentu di sini mengatakan bahwa variable terikat itu tidak linear. Jadinya persamaan diferensial ini disebut sebagai persamaan diferensial yang non-linear, ordenya berapa? Di sini tentu ada turunan kedua, paling tinggi, maka di sini sebut sebagai persamaan differential non-linear, orde kedua. Kemudian yang terakhir, di sini contoh terakhir, ini juga masih sama, non-linear. Kenapa di sini non-linear? Walaupun ini ada eksponen, ini kan katanya eksponennya terhadap variable bebasnya, tapi perhatikan di bagian ini, Ada turunan yang dipangkatkan sebanyak 2 kali. Di sini ada dikalikan 2 kali. Jadi ini pangkat 2 kuadrat. Maka di sini disebut sebagai non-linear. Karena turunan atau variable terikat dan turunan-turunannya di situ tidak linear. Tidak linear di sini. Ada kuadratnya. Maka karena hal tersebut, persamaan diferensial ini disebut sebagai non-linear. Persamaan diferensial non-linear. Ordenya mana? Ordenya di sini ada 4. Jadi, order 4, karena ini paling tinggi di sini. Oke, itu adalah klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan linearitasnya. Nah, berikutnya, ini adalah contoh klasifikasi dari persamaan diferensial lagi. Di sini, secara keseluruhan, berarti nanti kita bisa menyebutkan ordernya berapa. apakah dia persamaan diferensial biasa atau parsial, nah kita bisa menyebutkannya ini. Jadi kita lengkapi penyebutannya di sini, kalau kita punya seperti ini, Y-X DX plus 4X DY sama dengan 0, di sini disebut sebagai, nah ini lengkapi persamaan diferensial biasa, jadi sekarang ada kata biasanya, karena di sini diturunkan terhadap satu variable bebas saja. Nah kemudian linear, lalu order, ya. Di dalam hal ini kita bisa mengatakan persamaan diferensial ini, yang pertama adalah persamaan diferensial biasa linear order 1, begitu cara menyebutkannya ya. Atau bisa juga persamaan diferensial biasa order 1 yang linear juga boleh, nggak masalah ya. Di situ, kalau kita tulis ini dalam bentuk lain kan sebetulnya ini akan menjadi apa? Ini kalau kita bagi dengan dx semuanya, ini akan menjadi 4x. Y aksen yang ini dy per dx ditambah y sama dengan x kan. Nah ini kalau bentuk lainnya kan seperti ini. Jadi ini kalau kita lihat di sini tidak ada perkalian antara variable terikat dengan variable terikat lainnya dan turunan-turunannya itu tidak ada perkalian atau tidak ada yang bersifat non-linear. Karena ini perkalian tapi ini perkalian dengan Variable bebas itu tidak masalah kalau perkalian dengan variable bebas. Ya, oke, maka disebut sebagai linear. Kemudian yang kedua, ini ada Y double aksen min 2Y plus Y sama dengan 0. Ini disebut sebagai, nah ini ada persamaan diferensial biasa, atau PDB, nanti saya tulisnya di pertemuan-pertemuan berikutnya. Linear, kemudian order 2. Ya, ordernya order 2, karena di sini memuat Ini ada aksen kayaknya di sini, 2y aksen ya. Ini y double aksen berarti di sini adalah order 2. Oke. Kemudian yang ketiga, di sini ada d pangkat 3y per dx pangkat 3, plus x dy per dx, min 5y sama dengan eksponen x. Di sini juga PD-nya, persamaan diferensialnya biasa, linear pula, kemudian ordernya order 3. Di sini karena yang, apa, Orde tertinggi di turunan yang ada di persamaan ini adalah orde 3 Jadi yang tertingginya orde 3 maka PD-nya PD orde 3 Dan linear karena di sini tidak ada perkalian Antara variable terikat dengan variable terikat itu sendiri Atau dengan turunan-turunannya Atau ya jelas secara singkat tidak ada unsur non-linear pada variable terikatnya Disitu ya Oke, kemudian berikutnya yang keempat, nah baru di sini ada perkalian, ini Y dengan Y aksen, Y dengan Y aksen, ini ada perkalian dengan turunannya, maka di sini disebut sebagai persamaan diferensial non-linear, yang ini ordenya orde 1 karena di sini memuat turunan pertama di situ. Kemudian yang berikutnya, yang kelima, di sini ada non-linear juga, Kenapa disebut non-linear? Karena bagian ini ada sin-nya, ada fungsi trigonometrinya di sini ya. Ada sin y, berarti di sini dikatakan sebagai persamaan diferensial yang non-linear. Di sini ada order 2 ya, karena memuat turunan ke 2. Kemudian berikutnya ini ada turunan ke 4, di situ ditambah dengan y kuadrat, sama dengan 0. Di sini disebut sebagai non-linear juga, karena memuat y kuadrat di sini. Nah, Itu adalah klasifikasi dari persamaan diferensial. Terima kasih sudah menonton untuk video kali ini. Nantikan kelanjutan materi untuk materi kuliah persamaan diferensial biasa di video berikutnya. Sampai ketemu di video berikutnya.

Nah, pada pengantar persamaan diferensial ini nanti kita akan membahas Definisi dari persamaan diferensial, kemudian tipe-tipe atau klasifikasi dari persamaan diferensial. Oke, baik kita akan lanjutkan saja langsung ke materi, yaitu tentang persamaan diferensial atau definisinya. Apa sih sebetulnya definisi dari persamaan diferensial itu? Nah, persamaan diferensial itu adalah suatu persamaan Yang memuat turunan. Jadi intinya di sini adalah memuat turunan.

Baik itu dari satu atau lebih fungsi sebarang. Atau dalam hal ini adalah variable terikat. Jadi nanti kalian harus mengetahui mana variable terikat.

Dan mana variable bebas di sini ya. Nah terhadap satu atau lebih variable bebas di sini ya. Jadi ada beberapa istilah di sini yang tentu. sudah familiar di materi atau kuliah kalkulus ya, di sini ada turunan, kemudian ada variable terikat, kemudian ada variable bebas. Nah, si persamaan diferensial ini, definisinya persamaan yang dia memuat turunan.

Turunannya dalam hal ini boleh dari satu atau lebih fungsi, atau dalam hal ini variable terikat, terhadap satu atau lebih variabel bebas. Contoh, kita punya misalkan persamaan diferensial, atau suatu persamaan yang memuat turunan. Dalam hal ini saya akan menunjukkan misalkan dy per dx, dy per dx ditambah misalkan 3xy, sama dengan eksponen x misalkan.

Nah, kita punya persamaan diferensial seperti ini. Perhatikan bahwa persamaan ini, ya ini persamaan itu ditandai oleh tanda sama dengan di sini. Persamaan ini, dia memuat turunan.

Mana turunannya? Turunannya di sini adalah suku yang pertama ini, dy per dx. Seperti yang kita tahu, ini adalah penulisan Leibniz, dy.

Per dx berarti kalau kita cek di sini ada variable y dan variable x. Nah, variable sy ini sendiri ini adalah variable terikat. Ini variable terikat.

Kemudian y, x di sini adalah variable bebas. Nah, kalau kita masukkan ini ke dalam definisi. maka persamaan ini dia memuat, ini sudah memuat turunan dari satu, kalau yang ini ya, dari satu fungsi atau variable terikat terhadap satu variable bebas.

Jadi ini ada turunan dari satu variable terikat terhadap satu variable bebas. Maka dalam hal ini, ini sudah disebut sebagai persamaan diferensial. Kalau saya tulis dengan notasi singkat yaitu PD ya jadi nanti kedepannya kita akan menggunakan PD di sini untuk mengatakan persamaan diferensial ya Nah itu adalah definisi dari persamaan diferensial atau misalkan kita punya lagi seperti ini ada du per dt misalkan ditambah dengan Apa namanya, saya mau nulis dv per dt.

Nah, kemudian ditambah 3, misalkan 3u, 3ut sama dengan 0, misalkan seperti ini ya. Nah, perhatikan bahwa kita punya 2 variable terikat dalam hal ini adalah u dan v. Ini ada u dan v. Ini U, ini V adalah variable terikatnya. Kemudian ini T-nya, ini yang disebut sebagai variable bebas.

Berarti kalau kita masukkan ke dalam definisi, ini adalah satu persamaan yang memuat turunan. Mana turunannya? Yang ini turunan yang ini, suku pertama ini adalah suku turunan, suku kedua pun ini adalah suku turunan.

Turunannya dari mana? Dalam hal ini, persamaan ini dia memuat dua fungsi sebarang atau dua variable terikat terhadap Variable bebas, satu variable bebas yaitu 1 itu disini T Dan variable bebasnya disini U dan V disini ya Nah maka persamaan yang seperti ini, ini disebut sebagai persamaan diferensial Saya tulis disini adalah BD Oke, kita lanjutkan ke notasinya Di kalkulus sebetulnya sudah dibahas tentang turunan itu, ada beberapa notasi. Yang pertama, penulisan untuk turunan itu ada yang menggunakan notasi libnis seperti ini. Jadi nanti ada dy per dx, ini y ini menunjukkan variable terikatnya, x-nya ini adalah variable bebasnya.

Kalau ini ada d2y. Per dx kuadrat ini artinya turunan keduanya. Kemudian yang ini adalah turunan ketiganya. Dan seterusnya sampai turunan ke n.

Nah ini kalau ada persamaan yang memuat notasi seperti ini. Maka sudah dipastikan bahwa itu adalah persamaan diferensial. Contoh, kita punya ini.

Hati-hati jangan tertipu oleh y dan x-nya di sini. Hati-hati jangan tertipu oleh Y dan X-nya. Karena kalau yang ini kita lihat, yang ini, contoh di sini, pangkat 2X per dt kuadrat ditambah 16X, berarti di sini yang menjadi variable bebasnya adalah T di sini.

Ini adalah variable bebasnya. Ini variable bebas. Sementara variable terikatnya di sini adalah X. Ini variable terikat.

Beda dengan yang di atas ini, di dalam notasi umum, Y itu disebut sebagai variable terikat, sementara X ini adalah variable bebasnya. Tapi dalam contoh yang ini, variable terikatnya adalah X. Oke, berarti yang bisa diturunkan yaitu adalah variable terikat.

Kalau diturunkan terhadap siapa, terhadap siapanya itu berarti yang disebut variable bebasnya. Bebasnya, katakanlah terhadap T, berarti T-nya itu adalah variable terikat. bebasnya itu yang kita apa namanya yang kita gunakan notasinya bisa notasi Leibniz kemudian yang kedua Oke ini adalah satu variabel tak bebas atau dalam hal ini saya katakan ini adalah variabel terikat ya yang ini adalah satu variabel bebas di sini kemudian notasi yang kedua adalah notasi pangkat ya kita juga bisa menggunakan turunan turunan dengan menggunakan notasi pangkat seperti ini ini adalah Y aksen dibacanya kita pakai Y aksen kemudian Y double aksen Y triple aksen kemudian kesininya dari turunan 4 kali kita menggunakan tanda kurung ini kurung kemudian 4 ini untuk menunjukkan apa? untuk menunjukkan bahwa variable tak bebas atau variable terikat ini diturunkan sebanyak 4 kali.

Kemudian yang ini Y pangkat dalam kurungnya di sini 5, berarti ini variable terikatnya ini diturunkan terhadap variable bebasnya sebanyak 5 kali, dan seterusnya sampai YN. Jadi ini hati-hati kalau ada tanda kurung seperti ini, jangan dianggap sebagai pangkat ya, tapi ini adalah Proses penurunan beberapa kali. Jadi kalau Y disini 5, saya ulangi bahwa ini variable terikatnya diturunkan terhadap variable bebasnya sebanyak 5 kali. Ya sama halnya dengan Y triple aksen disini berarti si Y ini atau variable terikatnya diturunkan terhadap variable bebasnya sebanyak 3 kali ya. Kalau triple aksen ini.

Nah, yang bagian ini untuk notasi pangkat kelemahannya di sini kita tidak mengetahui ya. Tidak mengetahui variable bebasnya apa. Jadi ya kamu juga bisa menentukan variable bebas sebebas-bebasnya.

Mau T boleh, mau X boleh, mau S boleh, dia terserah. Kalau di sini tidak dituliskan notasi atau variable bebasnya. Tapi kalau ada penulisan yang seperti ini juga, misalkan Y aksen X. Nah, ini kalau Y aksen X seperti ini, maka kita sudah bisa memastikan bahwa variable bebasnya di sini adalah X. Jadi, Kalau seperti ini, Y double aksen T, misalkan.

Di sini Y double aksen T, berarti variable bebasnya di sini T. Tapi kalau misalkan tidak ada, ya di situ artinya kamu bebas menentukan apa notasi untuk variable bebasnya. Boleh X, boleh T, ya terserah. Asalkan jangan bentrok lagi dengan variable terikatnya di sini ya.

Contoh, kita punya yang seperti ini. Di sini. Ini di sini y aksen plus 5y sama dengan eksponen x.

Nah, di sini memang tidak diketahui y ini fungsi terikatnya terhadap siapa, variable bebasnya itu siapa, tapi di sini kita bisa tahu eksponen x. Oh, berarti y ini nanti solusinya itu adalah yx di sini. Artinya si y adalah variable terikatnya, sementara variable bebasnya adalah x di sini, karena di sini ada eksponen x. Beda dengan yang ini, kalau yang ini Y double aksen dikurangi Y aksen ditambah dengan 6Y, disini sama dengan 0 Nah kalau bagian ini kan kita tidak tahu ini tidak ada yang menyebutkan variable bebasnya siapa gitu ya Nah jadi dalam kondisi ini kita atau kalian bisa menentukan variable bebasnya notasinya apapun gitu Misalkan saya nanti solusinya yang ini kita akan menuliskan dalam Variable bebas X misalkan. Jadi kita tulis nanti YX sama dengan bla bla bla bla.

Ini solusinya nanti adalah fungsi terhadap X di sini nantinya. Kemudian kalau ini jelas. Atau kalau kita misalkan di sini nanti dari sini saya maunya solusinya terhadap T. Maka nanti solusinya akan merupakan suatu fungsi terikat terhadap variable bebas T di sini. Jadi YT.

Maka dia adalah solusinya adalah fungsi terhadap T. Nah, seperti ini adalah penulisan untuk notasi pangkat ya. Jadi, kalau kalian ketemu dengan bentuk pangkat seperti ini, ya, Y aksen, notasi aksen seperti ini, nah, kemudian tidak ada indikator atau tidak ada tanda-tanda untuk menentukan siapa variable bebasnya, maka di situ kalian bebas menentukan notasi variable bebasnya apa, gitu ya. Kemudian berikutnya kita akan melihat notasi penulisan di turunan, itu masih ada di turunan, ini biasanya menggunakan notasi dot. Biasanya ini lazim digunakan untuk menyatakan turunan fungsi terhadap waktu, T.

Nah, ini juga akan kita temukan, semisal di sistem dinamik, nanti di mata kuliah sistem dinamik, itu biasanya menggunakan S dot, misalkan atau Y dot. nanti ada y dot, kemudian ada apa lagi, x dot, dan seterusnya, apapun itu ya, yang jelas, dot di sini itu menunjukkan turunan, ya tapi biasanya lazimnya itu digunakan untuk menyatakan turunan terhadap waktu, jadi ini kalau x dot seperti ini, ini sudah dipastikan bahwa lazimnya ya, lazimnya ini variable bebasnya adalah waktu, jadi nanti kalau x dot solusinya adalah xt di sini nantinya. Ya, tapi tidak terikat terhadap waktu juga, tapi biasanya ini lazimnya digunakan bahwa dot ini dia digunakannya menyatakan turunan fungsi terhadap waktu gitu.

Karena ini muncul biasanya di sistem dinamik adanya nantinya. Nah, contoh nih, kita punya misalkan D2S per dt kuadrat ditambah 3DS per dt di sini sama dengan min 32. Ini penulisannya bisa juga dengan menggunakan seperti ini. Jadi ini S double dot, ya, S double dot ditambah dengan 3S dot, ya, sama dengan min 32, ya, di sini. Jadi kita bisa pakai notasi dot, ya, untuk menyatakan turunan. Nah, ini juga persamaan diferensial.

Kalau kalian ketemu dengan bentuk yang seperti ini, ini juga persamaan diferensial. Kenapa disebut persamaan diferensial? Karena di sini memuat turunan, ya. dari satu atau lebih variabel terikat terhadap variabel bebasnya.

Satu atau lebih variabel bebas dalam hal ini, variabel bebasnya adalah T. Kalau di sini tidak ketahuan, S dot, S double dot ditambah 3 S dot sama dengan min 32. Tapi lazimnya ini adalah menyatakan turunan terhadap waktu. Jadi nanti solusi dari sini adalah ST adalah fungsi terhadap waktu.

Oke, kemudian yang keempat. Yang keempat ini ada notasi subscribe. Jadi ada indeks ya. Variable bebasnya dibuat menjadi indeks Biasanya ini adanya di parsial ya Biasanya nanti kalau ketemu dengan persamaan diferensial parsial Itu ada yang menggunakan indeks Jadi variable bebasnya dibuat indeks Contoh seperti ini ya Ini ada d2u per dx2 Sama dengan d2u per dt2 Min 2du per dt Ini bisa ditulis menjadi seperti ini Uxx Nah ini xnya ada 2 Berarti ini uxx ini adalah Uxx U-nya adalah variable terikatnya diturunkan terhadap X 2 kali, ya, terhadap variable bebasnya X 2 kali. Kemudian di sini UTT berarti di sini U-nya, variable terikat, ya, diturunkan terhadap variable bebasnya T sebanyak 2 kali di situ.

TT kemudian min 2 UT, nah ini UT berarti turunan pertama, ya. Nah, kalau ini dia memuat satu variable bebas, ya, U terhadap T. turunan, ya ini turunan terhadap, apa namanya, satu variable bebas, yaitu u, di sini memuat turunan, satu, apa, turunan fungsi dari satu variable terikat terhadap variable bebasnya, di sini, tapi variable bebasnya dalam hal ini adalah dua, ya ada dua variable, dua variable, variable bebas.

Yaitu apa? X dan T. Ini variable bebasnya ada 2. Tapi variable terikatnya cuma 1, yaitu U. Nah, itu nanti akan hubungannya dengan klasifikasi dari persamaan diferensial. Nah, ini juga disebut sebagai persamaan diferensial.

Hati-hati ya, ini persamaan diferensial. Oke, kita lihat berikutnya adalah klasifikasi persamaan diferensial. Nah ada beberapa klasifikasi ya, pertama berdasarkan jenisnya.

Jadi persamaan diferensial itu berdasarkan jenisnya, ada yang disebut dengan persamaan diferensial biasa, kemudian ada yang disebut dengan persamaan diferensial parsial. Nanti kita lihat definisinya, apa sih sebetulnya persamaan diferensial biasa, dan apa yang membedakan persamaan diferensial biasa dengan persamaan parsial. Nah sebelum itu kita lihat dulu. Klasifikasi-klasifikasinya Yang kedua itu klasifikasinya berdasarkan Orde ya, berdasarkan Orde itu ada persamaan diferensial Orde 1, persamaan diferensial Orde 2, persamaan diferensial Orde 3, dan seterusnya Bisa sampai orde tinggi ya Persamaan diferensial orde tinggi gitu Di beberapa buku, orde 3 itu Dibuat Menjadi orde tinggi ya Tapi kalau di buku yang Kita gunakan yang menjadi referensi utama, yaitu a first course in differential equation, yang dikarang oleh Dennis Geziel, itu mengklasifikasikan seperti yang tadi. Jadi persamaan order pertama, kemudian persamaan order keduanya diklasifikasikan sebagai persamaan differential order tinggi langsung di sini.

Beda kalau pakai yang satunya lagi, Boyke itu ya, Boyke itu, dia mendefinisikan atau membuat khusus untuk persamaan diferensial order 2. Baru nanti ada persamaan diferensial order tinggi. Oke. Nah, itu referensi yang sudah dijelaskan dalam Zoom ya.

Nanti kita akan dibahas di kelas, di tatap muka ya, pas di tatap muka di Zoom. itu sudah dibahas referensi yang digunakan atau kalau ada yang belum tahu karena tidak ikut kelas ya silahkan langsung masuk ke blog saya disitu ada SAP-nya ini ada blog saya, daniswandi atau nanti ditulis di deskripsi juga daniswandi.wordpress.com biasanya seminggu pas perkuliahan dimulai itu file bukunya saya sertakan di situ untuk di-download, tapi setelah itu saya tutup lagi, khawatir nanti ada pelanggaran hak cipta. Nah ini berdasarkan ordenya, jadi saya ulangi, ada persamaan diferensial order 1, persamaan diferensial order 2, persamaan diferensial order 3, dan seterusnya sampai persamaan diferensial order tinggi.

Beberapa buku tadi saya sebutkan ada yang mengklasifikasikan persamaan diferensial order 2 pun disebut sebagai persamaan diferensial order tinggi. Kemudian berikutnya ada berdasarkan linearitas. Kalau berdasarkan linearitas, itu ada yang disebut dengan persamaan diferensiar linear, ada yang linear, kemudian ada yang non-linear.

Disini, ya. Nanti kita lihat perbedaannya. Nah, selain ini, sebetulnya masih banyak klasifikasinya. Ada yang berdasarkan fungsi di, apa namanya, variable bebasnya, katakanlah disitu ada homogenitasnya.

Jadi nanti ada persamaan diferensial homogen dan ada non-homogen, ya itu nanti dibahas sambil berjalan. Ini hanya ada, saya perkenalkan disini ada tiga klasifikasi persamaan diferensial. Yang pertama berdasarkan jenis, Kedua berdasarkan order, yang ketiga berdasarkan linearitas. Oke, kita lihat berdasarkan jenisnya.

Artinya tadi kita punya apa? Persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial pasial ya. Nah, kalau persamaan diferensial biasa di sini, dia memuat turunan.

Turunan, oke ini nggak ada biasanya. Ini turunan dari satu atau lebih fungsi. Ini dia...

persamaan diferensial biasa tersebut persamaan diferensial biasa itu dia memuat turunan dari satu nah ini yang kita lihat dari satu atau lebih fungsi sebarang tapi yang diperhatikan terhadap hanya satu variable bebas jadi turunannya dari fungsi sebarangnya atau variable terikatnya boleh banyak variable terikatnya tapi variable bebasnya hanya satu gitu ya Nah, contoh kita punya ini. Jadi, ini ada dy per dx plus 5y sama dengan eksponen x yang tadi ya. Kemudian ini ada d kuadrat y per dx kuadrat min dy per dx plus 6y sama dengan 0. Atau yang ini dx per dt plus dy per dt sama dengan 2x plus y. Nah, ini juga sama.

Perhatikan yang ini, untuk yang pertama, ini contoh yang pertama. Di sini hanya satu variable. bebas disini saya ganti tintanya oke disini hanya satu variable bebas yaitu y saja sorry variable terikat ya y saja dan disini ada satu variable bebasnya yaitu x ya ini variable bebasnya jadi variable bebasnya hanya satu disini juga sama variable bebasnya satu variable terikatnya satu tapi perhatikan yang terakhir ini yang ketiga disini ada dua variable bebasnya Terikat di sini, ada X dan Y di sini ya.

Kemudian satu variable, variable bebasnya, yaitu T di sini ya. T adalah variable bebasnya. Nah, walaupun di sini ada dua variable terikat, tapi di sini tetap dikatakan sebagai persamaan diferensial biasa. Karena apa?

Karena di sini hanya diturunkan terhadap satu variable bebas saja. Jadi yang membedakan... Diturunkan terhadap seberapa variable bebas gitu ya. Di sini.

Kita lihat yang persamaan diferensial parsial ya. Ini nanti saya tulis PDB ya. Atau ODE ya. Kemudian ini persamaan diferensial parsial. PDI oke lah dibacanya.

Saya nanti akan nulisnya PDP saja. Kalau ketemu dengan persamaan diferensial parsial seperti ini nanti. Oke, jika persamaan diferensial ini, parsial ini akan disebut sebagai parsial kalau dia melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih fungsi sama sebarang.

Tapi ini, perhatikan bahwa dia turunannya terhadap dua atau lebih variable bebas di sini. Dua atau lebih variable bebas. Jadi itu yang membedakan antara persamaan diferensial biasa dengan persamaan diferensial.

Yaitu di jumlah variable bebasnya. Kalau persamaan diferensial biasa, dia hanya terikat pada satu variable bebas. Sementara yang ke persamaan diferensial parsial, dia terikat pada dua atau lebih variable bebas. Coba perhatikan contoh yang ini.

Ini ada u, turunan u-nya adalah variable terikat. Kemudian di sini ada variable bebasnya yaitu x dan y. Nah, ini merupakan suatu persamaan diferensial parsial karena dia diturunkan terhadap dua variable bebas, walaupun nanti di sini variable terikatnya hanya satu, yaitu U saja, walaupun demikian. Nah, berikutnya yang ini, ada U juga sama, tapi variable bebasnya ada dua, yaitu X dan T di sini, atau yang ini. Nah, yang ini perhatikan bahwa yang terakhir ini, ini ada dua variable bebas.

ada Y dan X di situ kemudian di sini pun ini juga mempunyai 2 variable terikat yaitu U dan V ya disini U dan V variabel-variabel terikatnya jadi nanti disini solusinya itu pasti akan akan bergantung pada misalkan yang ini ya X Y ini akan bergantung pada dua variabel dua variabel bebas disini U X Y nantinya solusinya bla bla bla jadi nanti dia adalah solusinya fungsi X Y fungsi terhadap yang terikat pada X dan Y disini Oke, nah itu adalah klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan jenisnya. Berikutnya, kita lihat persamaan diferensial berdasarkan orde. Nah, di sini pertanyaannya bagaimana cara kita menentukan orde dari suatu persamaan diferensial. Nah, di sini kita bisa menentukan orde dari suatu persamaan diferensial dengan cara kita melihat orde tertinggi dari turunannya. Turunan yang ada pada...

Persamaan diferensial tersebut, contoh. Kita misalkan punya persamaan diferensial seperti ini ya. Ini ada d kuadrat y per dx kuadrat plus 5 dikali dengan dy per dx dipangkatkan 3 min 4y sama dengan eksponen x.

Perhatikan turunan yang ada di sini, order turunannya. Order turunan untuk suku pertama yang ini, order turunan suku pertama itu 2 karena di sini diturunkan sebanyak 2 kali ya. Ini diturunkan sebanyak 2 kali berarti disini order turunan ini adalah 2. Atau kita bisa juga menyebutnya kalau turunan beberapa kali turunan. Disini 2 kali diturunkan. Berapa kali diturunkannya?

Disini 2 kali. Nah itu berarti order turunan ini adalah 2. Kemudian yang ini 5 dy per dx disini hanya 1 kali. Ini satu kali diturunkan ya.

Ini satu kali diturunkan berarti suku yang kedua ini disini memuat turunan orde pertama. Ini memuat orde pertama. Nah, cara menentukan bagaimana orde dari persamaan diferensial ini atau berapa orde dari persamaan diferensial ini, kita hanya melihat turunan orde turunan tertingginya. Orde turunan tertingginya di sini berapa?

Berarti ini tadi kita lihat di sini orde 2, di sini orde 1. Maka yang tertinggi di dalam persamaan ini adalah turunan orde turunannya yang tertinggi adalah 2. Maka persamaan diferensial ini disebut sebagai persamaan diferensial orde kedua. Gitu ya. Nah, adapun yang ini, 3 ini bukan menyatakan orde, tapi ini derajat.

Jadi ini saya bedakan saja penyebutannya dengan yang order tadi Ini derajatnya atau pangkatnya disini ya Ini order turunannya turunan pertama Tapi turunan pertamanya dipangkatkan 3 gitu loh Ini kalau dipangkatkan 3 Tapi ini kita tidak melihat bagian pangkatnya Tapi kita melihat order turunannya disini Nah atau dengan kata lain Berapa kali diturunkan gitu loh ya Berapa kali diturunkan fungsi terikatnya terhadap variable bebasnya gitu kalau disini 2 kali maka disitu turunan ini adalah order 2 disini 1 kali berarti order 1 nah untuk menentukan persamaan diferensial itu order berapa lihat saja order turunan tertinggi dalam persamaan ini berapa nah dalam hal ini adalah 2 maka disitu disebut sebagai persamaan diferensial order ke 2 oke itu berdasarkan ordernya ya nah berikutnya berdasarkan linearitasnya Berdasarkan linearitasnya, kalau kita lihat dari persamaan diferensial biasa yang linear, kita tulis sebagai bentuk seperti ini, ANXY pangkat N. Nah, ini adalah bentuk dari persamaan diferensial yang berbentuk linear di sini. Ini sebetulnya ada bentuk umum juga, atau bentuk standar, kalau order pertama kita punya DY per...

D x misalkan ini untuk yang kasus-husus order 1, ini f, f ini bergantung pada y variable terikatnya dan bergantung juga pada x variable bebasnya. Nah ini fungsi yang bergantung pada y dan bergantung pada x di sini. Nah untuk mengatakan apakah dia linear atau tidak, kita bisa melihat persamaan diferensial tersebut dari fungsinya.

Fungsi yang amaksin fungsi di sini adalah variable terikatnya. Variable terikat yang ada di situ apakah linear pada variable terikat itu sendiri dan turunan-turunannya atau tidak. Kalau misalkan dia tidak linear, variable terikatnya tidak linear, maka persamaan diferensialnya itu merupakan persamaan diferensial yang non-linear.

Tapi kalau misalkan variable terikatnya linear, maka kita katakan bahwa variable terikat persamaan diferensial itu adalah persamaan diferensial yang linear. Nah, non-linear contohnya, misalkan ini beberapa saya tuliskan, misalkan ini variable terikatnya dalam hal ini adalah y, berarti yang non-linear itu nanti misalkan ada fungsi trigonometrinya, misalkan ya, fungsi trigonometri, nah ini sudah, Misalkan ada sin y nya di dalam persamaan itu Atau sin y aksen atau sin y aja misalkan Itu sudah dikatakan bahwa fungsi itu atau persamaan diferensial itu tidak linear Karena apa? Karena ada variable terikat yang tidak linear Di sini adalah ada memuat fungsi trigonometri Kemudian ada perkalian Misalkan saya tidak tulis Misalkan ada perkalian variable terikat dengan variable terikat yang Yang lainnya, maksudnya dengan variable terikat itu sendiri atau yang lainnya ya kalau misalkan ada dua variable terikatnya, nah disini misalkan ada satu variable terikat, jadi dia ada perkalian terhadap turunannya, misalkan ada Y kali Y aksen gitu ya, atau ada Y kuadrat di dalam situ nah ini sudah mengatakan bahwa di dalam persamaan diferensial itu merupakan persamaan diferensial yang non-linear disini ya, ini non-linear... Kalau yang non-linear dia memuat fungsi trigonometri, ada perkalian, kemudian ada perkaliannya terhadap variable terikatnya, atau turunannya di sini. Terhadap variable terikat itu sendiri atau turunannya.

Kemudian ada juga misalkan eksponensial, bentuk eksponensial, nah ini juga sudah mengatakan ini tidak linear. Jadi nanti kalau ini termuat di dalam persamaan, maka persamaan diferensial tersebut, kalau dia disebut sebagai persamaan diferensial, itu digatakan sebagai persamaan diferensial yang non-linear. Oke, kita lihat contohnya.

Nah, yang pertama ini ada Y double aksen. Nah, ini apakah bukan perkalian? Ini bukan perkalian di sini ya.

Jadi di sini ini tidak ada perkalian dengan variable terikat lainnya, karena ini adalah kalau saya tulis lain adalah Y double aksen. Ditambah ini adalah 3Y, aksen di sini ditambah dengan 4Y. Perhatikan variable terikatnya di sini. Variable terikatnya di sini tidak ada perkalian, ataupun turunan-turunannya, variable terikat dan turun-turunannya itu yang kita perhatikan.

Di sini tidak ada turunan dan tidak ada perkalian, tidak ada fungsi trigonometri, tidak ada eksponensial. Ini semua, maka karena tidak memuat. non-linear di variable terikatnya maka disini disebut sebagai persamaan diferensial linear order 1 sorry, salah ini harusnya order 2 disini ini order 2 karena disini ada turunan terhadap variable bebasnya 2 kali, berarti ini ordernya order 2 sifatnya apa?

linear Linear karena di sini Y-nya tidak ada atau variable terikatnya tidak ada perkalian dengan yang lainnya. Kemudian yang kedua, yang kedua di sini adalah linear juga. Kenapa?

Padahal di sini ada eksponensial, kemudian ada pangkat, ada perkalian dengan jadinya sendiri. Yang di sini perkaliannya itu bukan variable terikatnya, tapi variable bebasnya. Jadi dalam hal ini, pengetahuan tentang variable bebas...

dengan variable terikat itu menjadi sangat penting ya, apa namanya, diketahui mana variable bebas, mana variable terikatnya. Nah, ini variable bebasnya adalah Y, sorry, variable terikatnya adalah Y di sini, variable terikatnya adalah Y, diturunkan terhadap X. Di sini tidak ada perkalian dengan variable terikatnya itu sendiri, atau perkalian dengan turunan-turunannya.

maksudnya variable terikat dengan turunan-turunannya, tidak ada juga bentuk eksponensial terhadap variable terikatnya, di sini hanya ada bentuk eksponen terhadap variable bebasnya saja, ini tidak masalah kalau yang seperti ini, jadi ini tidak mempengaruhi linearitas dari suatu persamaan diferensial. Oke, ini juga tidak ada, jadi ini disebut sebagai persamaan diferensial linear. Ordenya berapa? Ordenya order 4, karena di sini ada turunan, sebanyak 4 kali ya Kemudian yang ketiga, ini kita lihat di sini ada non-linear.

Kenapa non-linear? Nah perhatikan aja di sini ada Y pangkat 3 selesai. Jadi di sini ada variable terikat yang dikalikan dengan variable terikat itu sendiri sebanyak 3 kali di sini. Jadi ada Y pangkat 3 ini tentu di sini mengatakan bahwa variable terikat itu tidak linear. Jadinya persamaan diferensial ini disebut sebagai persamaan diferensial yang non-linear, ordenya berapa?

Di sini tentu ada turunan kedua, paling tinggi, maka di sini sebut sebagai persamaan differential non-linear, orde kedua. Kemudian yang terakhir, di sini contoh terakhir, ini juga masih sama, non-linear. Kenapa di sini non-linear?

Walaupun ini ada eksponen, ini kan katanya eksponennya terhadap variable bebasnya, tapi perhatikan di bagian ini, Ada turunan yang dipangkatkan sebanyak 2 kali. Di sini ada dikalikan 2 kali. Jadi ini pangkat 2 kuadrat. Maka di sini disebut sebagai non-linear.

Karena turunan atau variable terikat dan turunan-turunannya di situ tidak linear. Tidak linear di sini. Ada kuadratnya.

Maka karena hal tersebut, persamaan diferensial ini disebut sebagai non-linear. Persamaan diferensial non-linear. Ordenya mana? Ordenya di sini ada 4. Jadi, order 4, karena ini paling tinggi di sini.

Oke, itu adalah klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan linearitasnya. Nah, berikutnya, ini adalah contoh klasifikasi dari persamaan diferensial lagi. Di sini, secara keseluruhan, berarti nanti kita bisa menyebutkan ordernya berapa. apakah dia persamaan diferensial biasa atau parsial, nah kita bisa menyebutkannya ini. Jadi kita lengkapi penyebutannya di sini, kalau kita punya seperti ini, Y-X DX plus 4X DY sama dengan 0, di sini disebut sebagai, nah ini lengkapi persamaan diferensial biasa, jadi sekarang ada kata biasanya, karena di sini diturunkan terhadap satu variable bebas saja.

Nah kemudian linear, lalu order, ya. Di dalam hal ini kita bisa mengatakan persamaan diferensial ini, yang pertama adalah persamaan diferensial biasa linear order 1, begitu cara menyebutkannya ya. Atau bisa juga persamaan diferensial biasa order 1 yang linear juga boleh, nggak masalah ya.

Di situ, kalau kita tulis ini dalam bentuk lain kan sebetulnya ini akan menjadi apa? Ini kalau kita bagi dengan dx semuanya, ini akan menjadi 4x. Y aksen yang ini dy per dx ditambah y sama dengan x kan. Nah ini kalau bentuk lainnya kan seperti ini. Jadi ini kalau kita lihat di sini tidak ada perkalian antara variable terikat dengan variable terikat lainnya dan turunan-turunannya itu tidak ada perkalian atau tidak ada yang bersifat non-linear.

Karena ini perkalian tapi ini perkalian dengan Variable bebas itu tidak masalah kalau perkalian dengan variable bebas. Ya, oke, maka disebut sebagai linear. Kemudian yang kedua, ini ada Y double aksen min 2Y plus Y sama dengan 0. Ini disebut sebagai, nah ini ada persamaan diferensial biasa, atau PDB, nanti saya tulisnya di pertemuan-pertemuan berikutnya.

Linear, kemudian order 2. Ya, ordernya order 2, karena di sini memuat Ini ada aksen kayaknya di sini, 2y aksen ya. Ini y double aksen berarti di sini adalah order 2. Oke. Kemudian yang ketiga, di sini ada d pangkat 3y per dx pangkat 3, plus x dy per dx, min 5y sama dengan eksponen x.

Di sini juga PD-nya, persamaan diferensialnya biasa, linear pula, kemudian ordernya order 3. Di sini karena yang, apa, Orde tertinggi di turunan yang ada di persamaan ini adalah orde 3 Jadi yang tertingginya orde 3 maka PD-nya PD orde 3 Dan linear karena di sini tidak ada perkalian Antara variable terikat dengan variable terikat itu sendiri Atau dengan turunan-turunannya Atau ya jelas secara singkat tidak ada unsur non-linear pada variable terikatnya Disitu ya Oke, kemudian berikutnya yang keempat, nah baru di sini ada perkalian, ini Y dengan Y aksen, Y dengan Y aksen, ini ada perkalian dengan turunannya, maka di sini disebut sebagai persamaan diferensial non-linear, yang ini ordenya orde 1 karena di sini memuat turunan pertama di situ. Kemudian yang berikutnya, yang kelima, di sini ada non-linear juga, Kenapa disebut non-linear? Karena bagian ini ada sin-nya, ada fungsi trigonometrinya di sini ya. Ada sin y, berarti di sini dikatakan sebagai persamaan diferensial yang non-linear. Di sini ada order 2 ya, karena memuat turunan ke 2. Kemudian berikutnya ini ada turunan ke 4, di situ ditambah dengan y kuadrat, sama dengan 0. Di sini disebut sebagai non-linear juga, karena memuat y kuadrat di sini.

Nah, Itu adalah klasifikasi dari persamaan diferensial. Terima kasih sudah menonton untuk video kali ini. Nantikan kelanjutan materi untuk materi kuliah persamaan diferensial biasa di video berikutnya.

Sampai ketemu di video berikutnya.

Transcript for:Pengantar Persamaan Diferensial dan Klasifikasinya

Transcript for:
Pengantar Persamaan Diferensial dan Klasifikasinya