Cours sur les variations de fonctions

Objectif

• Revoir les éléments clés sur les variations de fonctions : fonctions croissantes, décroissantes, extrémums (minimum et maximum).

Fonctions croissantes et décroissantes

Définition

• Fonction croissante : Pour tout réel $a$ et $b$ dans un intervalle $i$, si $a < b$, alors $f(a) \le f(b)$.
  • Visuellement, ça monte de gauche à droite.
• Fonction décroissante : Pour tout réel $a$ et $b$ dans un intervalle $i$, si $a < b$, alors $f(a) \ge f(b)$.
  • Visuellement, ça descend de gauche à droite.

Exemples

• Fonction croissante : $a = 1$, $b = 2$, $f(a) < f(b)$
• Fonction décroissante : $a = 1$, $b = 3$, $f(a) > f(b)$

Fonction constante

• Ne varie pas ; toutes les images sont égales. Pour tout $a, b$, $f(a) = f(b)$.

Fonction monotone

• Soit croissante soit décroissante sur un intervalle donné.

Extrémums

Maximum

• Point le plus élevé sur une intervalle donné.
• Exemple : Maximum atteint pour $x=2$, $f(x)=3$.

Minimum

• Point le plus bas sur une intervalle donné.
• Exemple : Minimum atteint pour $x=3$, $f(x)=-1$.

Relatif vs Absolu

• Minimum/Maximum relatif : Sur une portion de la courbe.
• Minimum/Maximum absolu : Sur l'ensemble de la courbe.

Tableau de variations

• Outil pour visualiser les variations d'une fonction.
• Contient :
  • L'ensemble de définition.
  • Valeurs de $x$ où la fonction change de variation.
  • Variations schématisées par des flèches.
  • Valeurs précieuses : images en points caractéristiques.

Fonctions de référence

Fonctions affines

• Forme $f(x) = ax + b$.
  • Croissante : $a > 0$
  • Décroissante : $a < 0$
  • Constante : $a = 0$

Fonction carré $f(x) = x^2$

• Décroissante sur $(-\infty, 0)$.
• Croissante sur $(0, \infty)$.

Fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$

• Non définie en 0.
• Décroissante sur $(-\infty, 0)$ et $(0, \infty)$.

Fonction racine carrée

• Définie sur $0, \infty)$ ; croissante sur cet intervalle.

Fonction cube $f(x) = x^3$

• Strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Note finale

• Importance de pratiquer avec des exercices pour bien saisir les concepts.