Variations des fonctions mathématiques

Bonjour ! Dans cette vidéo, je te propose de revoir tout le cours sur les variations de fonctions. L'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre. Plus précisément, on parlera de fonctions croissantes, de fonctions décroissantes, d'extrémum, c'est-à-dire de minimum ou de maximum, et on verra toute une série d'exemples. Pour préparer un contrôle ou même un examen, ceci ne suffira évidemment pas. Il faudra encore t'entraîner avec de nombreux exercices. C'est pour ça, n'hésite pas à cliquer sur le lien ici qui te mènera vers une playlist avec de nombreux exemples et de nombreuses vidéos. Pour le cours, en tout cas, c'est parti. Alors, on va commencer par parler de fonctions croissantes et de fonctions décroissantes. Déjà, comment reconnaît-on graphiquement qu'une fonction est croissante ? Alors, quand c'est croissant, quand ça croît, c'est que ça grandit. Donc, ça doit monter. Donc, on doit garder l'idée de monter. Ici, j'ai en fait représenté une courbe d'une fonction qui est croissante. Enfin, elle est au moins croissante sur cette partie-là, je ne sais pas ce qu'elle fait ailleurs, mais en tous les cas, cette fonction est croissante. Pourquoi ? Parce que pour la parcourir, je vais monter. Si je me place ici et que je commence à gravir la pente, d'ailleurs en disant gravir la pente, on entend bien qu'on est en train de monter, on sent bien ici qu'on a une fonction croissante. Mais alors on pourrait dire, oui, ok, ceci est vrai, Mais si on part de l'autre côté, si on part ici de la droite, et qu'on descend, justement, on descend, eh bien, on aurait là, du coup, une fonction qui est décroissante. Alors, il faudrait se mettre d'accord. Est-ce que cette courbe, je dois la parcourir de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche ? Parce que dans un sens, je monte, et dans l'autre sens, je descends. Et du coup, je ne vais pas conclure la même chose. Eh bien, la réponse est ici. Là, j'ai une flèche qui me dit que les abscisses, ici, ça c'est l'axe des abscisses, sont rangés dans l'ordre croissant. Et donc une courbe, ça se lit bien de la gauche vers la droite, dans le sens des abscisses. Donc il n'y a pas à réfléchir très longtemps. Cette courbe est bien croissante, parce que si je me promène dessus de la gauche vers la droite, je suis en train de monter, de croître. On a bien là une fonction croissante. Alors ça c'est l'idée. Maintenant, la définition. La définition est un tout petit peu plus compliquée. On nous dit que dire qu'une fonction f est croissante, alors sur un intervalle i, donc voilà, là, par exemple, sur cet intervalle, ça signifie que dès que je prends deux réels a et b, n'importe lesquels sur i, si a est plus petit que b, alors f de a est également plus petit que f de b. Alors, on ne regarde pas là encore si c'est une inégalité stricte ou une inégalité large. On va simplement s'attarder sur la notion générale qui nous dit que si a est plus petit que b, alors f de a est plus petit que f de b. Alors, on va essayer de voir sur un exemple qu'est-ce que ça signifie. Si je prends a égale 1 et b égale 2, je les ai donc mis en dessous, j'ai bien a qui est plus petit que b. Donc, je respecte bien ce qui est écrit ici dans la propriété. Et ça tombe bien parce que si on se souvient de ce que j'ai dit tout à l'heure, On a dit qu'une courbe, ça se parcourt de la gauche vers la droite, dans le sens des abscisses croissantes, justement. Donc, c'est bien d'avoir dit A est plus petit que B, c'est dans l'ordre. Qu'arrive-t-il ? Qu'arrive-t-il à F de A ? Qu'arrive-t-il à F de B ? Pour cela, il suffit juste d'aller chercher F de A et F de B. On sait faire sur une courbe. Alors, commençons par A. A est ici, A égale à 1. Je rejoins la courbe et je vais chercher son image. qui est un peu en dessous de 1. En tous les cas, on dirait que f de a se trouve par ici. Ensuite, pour b, je fais de même, je rejoins la courbe et je vais chercher son image par la fonction f. Je trouve ici f de b. Et qu'est-ce qu'on constate ? On constate que f de b est au-dessus de f de a. C'est normal quelque part, puisque a vient avant b et que je monte. Donc forcément, f de a va se trouver plus bas que f de b. Algébriquement, ça veut dire que f de a est inférieur à f de b. C'est ce qui est écrit ici. Si a est plus petit que b, alors f de a est plus petit que f de b. Et on comprend bien pourquoi. Tout simplement parce qu'on est en train de monter, donc on obtient des valeurs qui sont de plus en plus grandes. Ça, c'est pour une fonction qui est croissante. Mais qu'arrive-t-il avec une fonction décroissante ? Une fonction où on descend ? Eh bien, regardons. Alors voilà une nouvelle courbe d'une fonction f. qui est décroissante. On va faire ce qu'on a fait tout à l'heure. On va se promener sur la courbe, toujours en allant de la gauche vers la droite. Et bien, qu'arrive-t-il ? On remarque qu'on est en train ici de descendre. On descend, on décroît. Donc, on a bien ici une fonction qui est décroissante. L'idée est strictement la même. On est toujours en train de parcourir notre courbe de la gauche vers la droite. Seulement, cette fois-ci, au lieu de monter, fonction croissante comme tout à l'heure, On descend, fonction décroissante maintenant. Et qu'est-ce que cela signifie en termes de définition d'une fonction décroissante ? Eh bien, on dira qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle i dès que je prends deux réels a et b quelconques, mais tels que a est plus petit que b. Eh bien, si a est plus petit que b, on garde toujours la même chose, a plus petit que b puisqu'on est toujours en train d'aller de la gauche vers la droite, f de a devient... plus grand que f de b. Cette fois-ci, l'inégalité se retourne par rapport à tout à l'heure. Essayons de le comprendre graphiquement. Alors, j'ai pris un a égal à 1 et un b égal à 3. On est d'accord que a est bien plus petit que b. Regardons ce qui se passe maintenant pour f de a et f de b. Donc, cherchons les images de a et b par la fonction f. Alors, commençons par a. A est ici. Je vais sur la courbe, je cherche son image. Je trouve f de a. Continuons avec B, je rejoins la courbe, je cherche son image par F et je trouve F de B. Et là, qu'est-ce qu'on constate ? On constate que maintenant, c'est F de A qui est au-dessus de F de B. Ce qui signifie qu'ici, c'est F de A qui est supérieur à F de B. On retrouve bien ce qui est écrit dans la définition, F de A supérieur ou égal à F de B. Et si on veut l'interpréter ? La courbe est décroissante, ce qui veut dire que en avançant, je descends, je vais plus bas. Donc si je vais plus bas, je vais forcément trouver une image f de b, si on parle en termes de hauteur, moins haute que celle de f de a, puisqu'on est en train de descendre. Ce qui signifie bien que le f de a est plus grand que le f de b et cela justifie graphiquement tout à fait ce qui est écrit ici dans la définition. Et enfin, qu'est-ce que c'est qu'une fonction constante ? Eh bien, comme son nom nous le dit, elle est... constante, c'est constant, ça ne varie pas. Et on l'écrit comment ? Eh bien, on dit qu'une fonction est constante. Dès qu'on prend deux réels, A et B quelconques, eh bien, dans ce cas-là, on a F2A égale F2B. Mais ça, on s'en doutait un petit peu, puisqu'elle est constante. Donc, toutes les images sont égales. On peut également le visualiser graphiquement. Ici, avec une fonction constante, quand je me promène sur la courbe, eh bien, on voit que je ne monte pas, je ne descends pas. C'est du plat. Si je prends deux réels A et B, tels que A est plus petit que B, et que je recherche leurs images par la fonction f, eh bien, on constate que f de A se trouve ici, et f de B se trouve à la même hauteur, forcément. f de A est bien égal à f de B, comme la définition nous l'explique. Et enfin, un dernier petit élément de vocabulaire. Qu'est-ce que c'est qu'une fonction monotone ? Bon, ça c'est très simple, c'est une fonction qui est soit croissante, soit décroissante sur un intervalle i donné. Enfin, ce qu'il faut se souvenir, pour résumer tout ça, c'est que pour une fonction croissante, comme on a a plus petit que b qui entraîne f de a plus petit que f de b, cela signifie que l'ordre est conservé. On voit bien que les deux inégalités sont dans le même sens. Alors que pour une fonction décroissante, on a vu que cela se retourne. f de a passe au-dessus. Donc, pour une fonction décroissante A plus petit que B impliquant F de A plus grand que F de B, on dira que pour une fonction décroissante, l'ordre s'inverse. On peut maintenant passer aux extrémums. On va donc parler de maximum et de minimum. Mais pour cela, il faudrait déjà comprendre quelque chose. Tout à l'heure, on a vu un exemple de fonction croissante et un exemple de fonction décroissante. Mais il existe des fonctions qui sont à la fois les deux, qui sont croissantes sur un intervalle et décroissantes sur un autre. Et là, on en a une. On a une fonction, on le voit ici, qui est d'abord croissante, je monte, jusqu'à 2, et ensuite décroissante à partir de 2. Et cela provoque quelque chose à ce niveau-là. Eh bien, cela provoque un maximum ici. Alors, on comprend bien l'idée du maximum. Qu'est-ce que cela signifie, un maximum ? Si... Le point le plus élevé, c'est le sommet. Si on imagine que c'est une montagne, Eh bien, pour cette fonction, la fonction qui possède cette courbe, on pourrait même lire la valeur de ce maximum. On aurait envie de penser qu'il est égal à 3. Et puis ce maximum, on pourrait également dire où il est atteint. Pour quelle valeur de x il est atteint ? On aurait envie de dire environ 2. Eh bien là, oui, on a un maximum. C'est un point, ce maximum, qui est atteint pour x égale 2 et qui vaut 3. Et comment on définit un maximum ? On dit que f admet un maximum en a. Donc ici, on a a qui vaut 2. Sur un intervalle i, on va expliquer ensuite pourquoi. Cela signifie que pour n'importe quelle valeur x de notre intervalle, f de x est toujours plus petit que ce maximum, que ce maximum m. Vérifions-le. Si je me place ici, son image est bien plus petite que 3. Si je me place ici, son image est bien plus petite que 3. Et on a beau chercher, on n'arrivera pas à trouver l'image d'un x qui dépasse la valeur 3. Alors, on peut être très très près, forcément, quand je me rapproche de a égale à 2, je suis assez proche du maximum, mais je ne dépasserai jamais la valeur 3. Eh bien, c'est ce que nous dit la propriété, c'est que m est un maximum à condition que pour n'importe quelle valeur de x, f de x soit plus petit que ce m. Et ce m, en fait, on peut le calculer, ce m, c'est f de a. C'est l'image de a par la fonction f. Ce m, ici, vaut 3. Voilà pour le maximum. Voilà une autre courbe qui, celle-ci, admet un minimum. Alors, pareil, cette fonction est ni croissante ni décroissante. Elle est les deux. Elle est décroissante, ici, jusqu'à 3, on dirait. Et elle est croissante. à partir de 3. Ce qui fait qu'il y a un moment où on se trouve tout en bas. On se trouve au minimum. Ce minimum, on dirait, a pour valeur moins 1. Et sa valeur est atteinte en x égale à 3. C'est ce que nous dit la définition du minimum. Dire que f admet un minimum petit m en b. Alors ici, b est égale à 3. Cela signifie que dès que je prends un x, toujours dans l'intervalle considéré, eh bien f de x sera toujours plus grand que ce minimum. Là aussi, on peut essayer. Si je prends ici x égale 1,5, son image f de x est plus grande que moins 1. Si je vais ici, son image est même positive, alors que moins 1 est négative. Je suis également au-dessus. Un petit dernier, en 3,5, son image sera également supérieure à moins 1. Donc cela signifie bien que et c'est normal, c'est la définition même d'un minimum, que dès que je prends une valeur x dans l'intervalle considéré, f de x sera plus grand que ce petit m, et ce petit m est égal à f de b. Donc ici, f de b vaut moins 1. Mais attention, là je parle d'un minimum sur un intervalle. Je l'ai dit tout à l'heure. Mais qu'arriverait-il si on prolongeait un petit peu la représentation de notre courbe et qu'on observe ceci ? Vérifions maintenant. Si ce qui est écrit ici, la définition du minimum, est toujours vrai. On nous dit que dès que je prends un x quelconque, f de x est plus grand que petit m. Petit m qui, je rappelle, est moins 1. Alors, je vais prendre un x à ce niveau-là, et je vais aller chercher son image. Et j'arrive à moins 2. Et moins 2, c'est en dessous de moins 1. Donc, ça ne marche plus. Ce n'est pas vrai, ce qui est écrit ici. Alors, ce n'est plus vrai, effectivement. Moins 1... pour cette courbe-là, n'est pas un minimum de la fonction f. Tout simplement parce que je trouve des valeurs qui sont plus petites. Parfois, c'est vrai sur l'ensemble de définition de la fonction, mais pas ici, on le voit. Alors, c'est pour ça qu'on peut parler de minimum relatif ou de minimum absolu. Ici, j'ai un minimum relatif, c'est-à-dire que j'ai un minimum dans cette zone-là seulement, mais pas sur toute la courbe. On parlera de minimum absolu à condition que... on puisse chercher aussi loin qu'on veuille sur la courbe, d'un côté ou de l'autre, on ne peut pas descendre plus bas que moins 1. Ce n'est pas le cas ici. De même là, on constate qu'on a un maximum. Mais ce n'est pas un maximum absolu. Parce qu'à ce niveau-là de la courbe, je suis plus haut. Là, ce maximum, il est un petit peu en dessous de 1. Alors qu'ici, je me trouve bien au-dessus de 1, même bien au-dessus de 2. Donc là, j'ai également un maximum relatif dans cette zone-là. Mais c'est intéressant quand même, parce que lorsqu'on étudie une courbe, On est souvent amené à étudier une courbe au voisinage d'un nombre, sur un intervalle très très restreint. Et ça peut être très intéressant de savoir qu'on a déjà un minimum sur une zone restreinte. Alors toujours dans les généralités, avant d'attaquer les exemples, on va voir comment on construit un tableau de variation et qu'est-ce que c'est qu'un tableau de variation. Alors on va partir d'une courbe, d'une courbe représentative d'une fonction f, et ce qu'on voudrait, c'est avoir un outil qui nous permette de visualiser très rapidement les variations de notre fonction. Et en plus, nous donner quelques valeurs particulières. En particulier justement, un minimum, un maximum, relatif ou absolu, peu importe. Mais... avoir comme ça des éléments qui sont très caractéristiques de notre courbe et donc qui vont nous permettre de mieux comprendre la fonction qu'il y a derrière. Préparons ce tableau de variation. Voilà ça c'est la base, un tableau de variation très simple donc qui est composé de deux lignes. Alors une assez fine, une un peu plus grande puisque là on va y mettre les variations donc représentées par des flèches. Tu verras plus tard des tableaux de variation un peu plus étoffés avec un outil qui s'appelle la dérivée et qui nous permet d'établir par calcul les variations. Là, on les établit simplement graphiquement. On n'y est pas encore. Alors, en tous les cas, deux lignes, on a dit. La première ligne, c'est pour les x, les valeurs prises par x. Donc là, ici, je vais x. La deuxième ligne, c'est pour, bien évidemment, f de x, la fonction f. Donc là, on peut écrire f ou f de x. Ensuite, on y fait figurer, ici, eh bien l'ensemble de définition de notre fonction f ou l'intervalle d'étude. Donc ici, la fonction, elle est définie sur 0, 5. On va s'appuyer sur ce qui est représenté ici par la courbe. Elle commence pour x égale 0 et elle s'arrête en 5. Donc, on va mettre ces valeurs extrêmes 0 et 5. Et ensuite, c'est là que ça se complique. Il va falloir maintenant faire figurer ici. les valeurs de x où la fonction change de variation. Alors, il n'y aura pas que ça. En fait, on fait figurer là toutes les valeurs de x où il se passe quelque chose. Mais commençons déjà par ça en cherchant pour quelle valeur de x la fonction change de variation. Alors, on voit sur la représentation graphique qu'elle est d'abord croissante, puis ensuite décroissante. Ce qui veut dire qu'on va aller chercher tout là-bas en haut. ce qui s'appelle un maximum. Donc, la question est maintenant, cherchons pour quelle valeur ce maximum est atteint. Et là, on le voit ici, il semblerait que ce soit en 2,5. Donc, cette valeur 2,5 doit figurer dans ton tableau de variation. Alors, je le répète, tu verras par la suite des exemples un peu plus complexes encore, où il y a d'autres valeurs qui interviennent, particulièrement là où la fonction n'est pas définie. On va le voir tout à l'heure. avec la fonction 1 sur x qui n'est pas définie en 0. Alors, il n'y a ni un maximum, ni un minimum, ni même un changement de variation, mais il y a un trou. Donc bon, mais ne brûlons pas les étapes, on verra ça tout à l'heure. Reste maintenant à faire figurer ici dans la deuxième ligne les variations de la fonction. Et on a dit, cette fonction, elle est d'abord croissante, ensuite décroissante. On va schématiser ça par deux flèches, une flèche qui monte et une flèche qui descend. Voilà pour la flèche qui monte. La fonction est d'abord croissante. Croissante, elle commence en 0 jusqu'à 2,5, là où le maximum est atteint. Puis ensuite, elle est décroissante. Donc, je fais une flèche qui descend à partir de 2,5 et jusqu'à 5. Alors, quand on arrive à ça, c'est déjà pas mal. Mais on peut faire un peu mieux parce qu'on pourrait calculer quelques images. Enfin, plutôt lire que calculer quelques images en 0, en 5 et en 2,5. Et ça, c'est tout à fait possible de le lire graphiquement. Quand je regarde ma courbe ici, j'ai envie de penser que l'image de 0, c'est 0, puisqu'on voit qu'au départ, cette courbe part par l'origine du repère. Donc ici, je peux écrire 0. F de 0 égale à 0. En 5, c'est la même chose. F de 5 se trouve sur l'axé zapsis, ce qui signifie que là, je me retrouve en 0 également. Reste le maximum. Quelle est la valeur de ce maximum ? C'est-à-dire F... de 2,5. C'est bien ce que nous donnait la définition tout à l'heure. Et bien là encore, on peut le lire graphiquement. On a envie de penser que ce maximum est égal à 6. F2, 2,5 est égal à 6. Et là, on a notre tableau de variation qui est complet. Et on voit que ce tableau de variation, il a l'avantage de résumer toutes les propriétés de la courbe, enfin pas toutes, mais beaucoup quand même, de façon schématique et simple à lire. On ne s'embête pas à tracer la courbe avec précision, à faire des mesures, mais... simplement à écrire les propriétés. Elle est d'abord croissante, elle est ensuite décroissante, elle a un maximum, maximum égal à 6 en 2,5, j'ai des valeurs particulières, etc. Alors, voyons maintenant quelques situations particulières, c'est-à-dire, en fait, quelques fonctions, souvent appelées fonctions de référence, et on va, pour chacune d'elles, regarder ces variations. Et on va commencer par les fonctions affines. Alors, les fonctions affines, on rappelle, ce sont des fonctions qui s'écrivent sous la forme f de x égale ax plus b. a et b sont donc deux nombres réels. Et le cas particulier où b égale à 0, dans ce cas-là, on appelle ça une fonction linéaire, mais bon, de façon générale, c'est également une fonction affine. La seule différence, c'est que si b égale à 0, on se retrouve avec une droite, puisque une fonction affine est représentée par une droite, une droite qui passe par l'origine. Alors, on a une propriété qui nous dit que pour une fonction affine f, qui s'écrit sous la forme f de x égale à x plus b, ces variations dépendent du coefficient a. Et si a est strictement positif, la fonction est croissante. Si a est strictement négatif, la fonction est décroissante. Et si a égale à 0, alors si a égale à 0, du coup, qu'est-ce qui se passe ? Il ne me reste plus que du b, puisque le ax s'en va, et on arrive sur une fonction constante. Alors, on peut l'observer, ça, avec quelques exemples. On voit là, par exemple, donc je joue avec le curseur pour montrer toute une série de fonctions affines avec un a positif, et on voit qu'à chaque fois, on se retrouve avec une courbe qui monte. Alors qu'à l'inverse, si... je vais chercher des a négatifs, on se retrouve cette fois-ci avec une fonction décroissante. Et donc, le cas où a égale 0, avec une fonction constante. Autre exemple, la fameuse fonction carré. f de x égale x au carré. Celle-ci, elle est d'abord décroissante, on le voit, ça descend, et ensuite croissante. Sa courbe s'appelle une parabole. Il existe des paraboles qui sont orientées dans l'autre sens. Mais en tout cas, quand on parle de la fonction carré, f de x égale à x au carré, elle est d'abord décroissante. Alors plus précisément, elle est décroissante sur l'intervalle moins l'infini, 0. Et elle est croissante sur l'intervalle 0 plus l'infini. Regardons ce qui se passe pour la fonction inverse. Alors la fonction inverse, c'est aussi une jolie courbe qui porte également un nom et qui s'appelle là une hyperbole. Et qu'est-ce qu'on sait de la fonction inverse ? La fonction inverse s'exprime sous la forme f de x égale 1 sur x. Et cette fonction, elle a l'originalité de ne pas être définie en 0. Elle est définie partout, de moins l'infini 0 ouvert et 0 plus l'infini, mais elle n'est pas définie en 0. On comprend bien pourquoi. Parce qu'il n'est pas possible de calculer l'image de 0 par cette fonction. Sinon je suis obligé de calculer 1 sur 0, et 1 sur 0 ça n'existe pas. Du coup, quand on regarde la représentation graphique de la fonction inverse, on voit qu'il y a un trou en 0. C'est le trou dont je parlais tout à l'heure. Et oui, parce que comme il n'y a pas d'image en 0, eh bien forcément, il n'y a pas de courbe qui passe par le point d'abscisse 0. Et on se retrouve avec une fonction qui est décroissante, puis décroissante. On ne dira pas qu'elle est décroissante sur moins l'infini 0 union 0 plus l'infini. On dira qu'elle est décroissante sur moins l'infini 0. et qu'elle est décroissante sur 0 plus l'infini toujours ouvert. On sépare en deux, puisqu'en fait, il y a une rupture dans le tracé de la courbe. Plus tard, on dira que cette courbe n'est pas continue, c'est-à-dire que je ne peux pas la tracer d'un seul coup de crayon, je suis obligé de lever le crayon, et ça nous oblige à répéter deux fois la même chose. Puis arrive la fonction racine carré. Alors la fonction racine carré, elle est définie sur 0 plus l'infini. 0 est accepté, mais pas les valeurs négatives. Racine de moins 5, ça n'existe pas. Ce qui signifie que quand on observe la courbe de la fonction racine carré, on n'a rien sur les abscisses négatives. Et quand on regarde ces variations, c'est assez simple, ça ne fait que monter. Alors ça monte tranquillement, au début ça monte fort, et après ça monte tranquillement, tranquillement, mais en tout cas, ça ne fait que monter. On dira que la fonction racine carré est croissante, même strictement croissante, sur l'intervalle 0 plus l'infini. Et enfin la fonction... cube, donc défini par f de x égale x au cube, qu'on retrouve ici, et on remarque que cette fonction est également tout le temps croissante, même strictement croissante sur R. D'ailleurs, je n'ai pas précisé la différence entre croissante tout court et strictement croissant. Pareil d'ailleurs pour décroissant. Pour le comprendre, peut-être un rapide petit schéma, je vais représenter une fonction qui n'est pas strictement croissante, qui est juste croissante. Bien celle-ci. Il y a un palier ici. Il y a un petit palier où la fonction... elle ne croit plus. Mais elle ne décroît pas. Il y a un petit morceau où la fonction est constante. Ce qui veut dire qu'on est tout le temps en train de monter, sans jamais descendre, mais il y a un moment quand même où on arrête de monter. Cette fonction-là est juste croissante. Elle n'est pas strictement croissante. Une fonction qui est strictement croissante, on n'arrête pas de monter. Et c'est justement le cas de la fonction cube. On voit qu'on est tout le temps en train de monter. Alors, on a l'impression comme ça, autour de zéro, qu'il y a un palier, mais pas du tout. On monte très faiblement, mais on monte toujours. et après sur les positifs ça repart et ça repart très fort. Voilà pour les variations de fonctions. Je le dis et le répète encore, il est maintenant important de faire des exercices. En tout cas, cette séquence est terminée.

Pour préparer un contrôle ou même un examen, ceci ne suffira évidemment pas. Il faudra encore t'entraîner avec de nombreux exercices. C'est pour ça, n'hésite pas à cliquer sur le lien ici qui te mènera vers une playlist avec de nombreux exemples et de nombreuses vidéos. Pour le cours, en tout cas, c'est parti.

Alors, on va commencer par parler de fonctions croissantes et de fonctions décroissantes. Déjà, comment reconnaît-on graphiquement qu'une fonction est croissante ? Alors, quand c'est croissant, quand ça croît, c'est que ça grandit. Donc, ça doit monter.

Donc, on doit garder l'idée de monter. Ici, j'ai en fait représenté une courbe d'une fonction qui est croissante. Enfin, elle est au moins croissante sur cette partie-là, je ne sais pas ce qu'elle fait ailleurs, mais en tous les cas, cette fonction est croissante.

Pourquoi ? Parce que pour la parcourir, je vais monter. Si je me place ici et que je commence à gravir la pente, d'ailleurs en disant gravir la pente, on entend bien qu'on est en train de monter, on sent bien ici qu'on a une fonction croissante. Mais alors on pourrait dire, oui, ok, ceci est vrai, Mais si on part de l'autre côté, si on part ici de la droite, et qu'on descend, justement, on descend, eh bien, on aurait là, du coup, une fonction qui est décroissante.

Alors, il faudrait se mettre d'accord. Est-ce que cette courbe, je dois la parcourir de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche ? Parce que dans un sens, je monte, et dans l'autre sens, je descends.

Et du coup, je ne vais pas conclure la même chose. Eh bien, la réponse est ici. Là, j'ai une flèche qui me dit que les abscisses, ici, ça c'est l'axe des abscisses, sont rangés dans l'ordre croissant. Et donc une courbe, ça se lit bien de la gauche vers la droite, dans le sens des abscisses. Donc il n'y a pas à réfléchir très longtemps.

Cette courbe est bien croissante, parce que si je me promène dessus de la gauche vers la droite, je suis en train de monter, de croître. On a bien là une fonction croissante. Alors ça c'est l'idée. Maintenant, la définition. La définition est un tout petit peu plus compliquée.

On nous dit que dire qu'une fonction f est croissante, alors sur un intervalle i, donc voilà, là, par exemple, sur cet intervalle, ça signifie que dès que je prends deux réels a et b, n'importe lesquels sur i, si a est plus petit que b, alors f de a est également plus petit que f de b. Alors, on ne regarde pas là encore si c'est une inégalité stricte ou une inégalité large. On va simplement s'attarder sur la notion générale qui nous dit que si a est plus petit que b, alors f de a est plus petit que f de b. Alors, on va essayer de voir sur un exemple qu'est-ce que ça signifie.

Si je prends a égale 1 et b égale 2, je les ai donc mis en dessous, j'ai bien a qui est plus petit que b. Donc, je respecte bien ce qui est écrit ici dans la propriété. Et ça tombe bien parce que si on se souvient de ce que j'ai dit tout à l'heure, On a dit qu'une courbe, ça se parcourt de la gauche vers la droite, dans le sens des abscisses croissantes, justement.

Donc, c'est bien d'avoir dit A est plus petit que B, c'est dans l'ordre. Qu'arrive-t-il ? Qu'arrive-t-il à F de A ? Qu'arrive-t-il à F de B ?

Pour cela, il suffit juste d'aller chercher F de A et F de B. On sait faire sur une courbe. Alors, commençons par A. A est ici, A égale à 1. Je rejoins la courbe et je vais chercher son image.

qui est un peu en dessous de 1. En tous les cas, on dirait que f de a se trouve par ici. Ensuite, pour b, je fais de même, je rejoins la courbe et je vais chercher son image par la fonction f. Je trouve ici f de b.

Et qu'est-ce qu'on constate ? On constate que f de b est au-dessus de f de a. C'est normal quelque part, puisque a vient avant b et que je monte. Donc forcément, f de a va se trouver plus bas que f de b.

Algébriquement, ça veut dire que f de a est inférieur à f de b. C'est ce qui est écrit ici. Si a est plus petit que b, alors f de a est plus petit que f de b. Et on comprend bien pourquoi. Tout simplement parce qu'on est en train de monter, donc on obtient des valeurs qui sont de plus en plus grandes.

Ça, c'est pour une fonction qui est croissante. Mais qu'arrive-t-il avec une fonction décroissante ? Une fonction où on descend ? Eh bien, regardons. Alors voilà une nouvelle courbe d'une fonction f.

qui est décroissante. On va faire ce qu'on a fait tout à l'heure. On va se promener sur la courbe, toujours en allant de la gauche vers la droite.

Et bien, qu'arrive-t-il ? On remarque qu'on est en train ici de descendre. On descend, on décroît. Donc, on a bien ici une fonction qui est décroissante. L'idée est strictement la même.

On est toujours en train de parcourir notre courbe de la gauche vers la droite. Seulement, cette fois-ci, au lieu de monter, fonction croissante comme tout à l'heure, On descend, fonction décroissante maintenant. Et qu'est-ce que cela signifie en termes de définition d'une fonction décroissante ? Eh bien, on dira qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle i dès que je prends deux réels a et b quelconques, mais tels que a est plus petit que b. Eh bien, si a est plus petit que b, on garde toujours la même chose, a plus petit que b puisqu'on est toujours en train d'aller de la gauche vers la droite, f de a devient...

plus grand que f de b. Cette fois-ci, l'inégalité se retourne par rapport à tout à l'heure. Essayons de le comprendre graphiquement.

Alors, j'ai pris un a égal à 1 et un b égal à 3. On est d'accord que a est bien plus petit que b. Regardons ce qui se passe maintenant pour f de a et f de b. Donc, cherchons les images de a et b par la fonction f. Alors, commençons par a.

A est ici. Je vais sur la courbe, je cherche son image. Je trouve f de a. Continuons avec B, je rejoins la courbe, je cherche son image par F et je trouve F de B.

Et là, qu'est-ce qu'on constate ? On constate que maintenant, c'est F de A qui est au-dessus de F de B. Ce qui signifie qu'ici, c'est F de A qui est supérieur à F de B.

On retrouve bien ce qui est écrit dans la définition, F de A supérieur ou égal à F de B. Et si on veut l'interpréter ? La courbe est décroissante, ce qui veut dire que en avançant, je descends, je vais plus bas. Donc si je vais plus bas, je vais forcément trouver une image f de b, si on parle en termes de hauteur, moins haute que celle de f de a, puisqu'on est en train de descendre.

Ce qui signifie bien que le f de a est plus grand que le f de b et cela justifie graphiquement tout à fait ce qui est écrit ici dans la définition. Et enfin, qu'est-ce que c'est qu'une fonction constante ? Eh bien, comme son nom nous le dit, elle est...

constante, c'est constant, ça ne varie pas. Et on l'écrit comment ? Eh bien, on dit qu'une fonction est constante.

Dès qu'on prend deux réels, A et B quelconques, eh bien, dans ce cas-là, on a F2A égale F2B. Mais ça, on s'en doutait un petit peu, puisqu'elle est constante. Donc, toutes les images sont égales. On peut également le visualiser graphiquement. Ici, avec une fonction constante, quand je me promène sur la courbe, eh bien, on voit que je ne monte pas, je ne descends pas.

C'est du plat. Si je prends deux réels A et B, tels que A est plus petit que B, et que je recherche leurs images par la fonction f, eh bien, on constate que f de A se trouve ici, et f de B se trouve à la même hauteur, forcément. f de A est bien égal à f de B, comme la définition nous l'explique. Et enfin, un dernier petit élément de vocabulaire. Qu'est-ce que c'est qu'une fonction monotone ?

Bon, ça c'est très simple, c'est une fonction qui est soit croissante, soit décroissante sur un intervalle i donné. Enfin, ce qu'il faut se souvenir, pour résumer tout ça, c'est que pour une fonction croissante, comme on a a plus petit que b qui entraîne f de a plus petit que f de b, cela signifie que l'ordre est conservé. On voit bien que les deux inégalités sont dans le même sens. Alors que pour une fonction décroissante, on a vu que cela se retourne. f de a passe au-dessus.

Donc, pour une fonction décroissante A plus petit que B impliquant F de A plus grand que F de B, on dira que pour une fonction décroissante, l'ordre s'inverse. On peut maintenant passer aux extrémums. On va donc parler de maximum et de minimum. Mais pour cela, il faudrait déjà comprendre quelque chose.

Tout à l'heure, on a vu un exemple de fonction croissante et un exemple de fonction décroissante. Mais il existe des fonctions qui sont à la fois les deux, qui sont croissantes sur un intervalle et décroissantes sur un autre. Et là, on en a une.

On a une fonction, on le voit ici, qui est d'abord croissante, je monte, jusqu'à 2, et ensuite décroissante à partir de 2. Et cela provoque quelque chose à ce niveau-là. Eh bien, cela provoque un maximum ici. Alors, on comprend bien l'idée du maximum.

Qu'est-ce que cela signifie, un maximum ? Si... Le point le plus élevé, c'est le sommet.

Si on imagine que c'est une montagne, Eh bien, pour cette fonction, la fonction qui possède cette courbe, on pourrait même lire la valeur de ce maximum. On aurait envie de penser qu'il est égal à 3. Et puis ce maximum, on pourrait également dire où il est atteint. Pour quelle valeur de x il est atteint ?

On aurait envie de dire environ 2. Eh bien là, oui, on a un maximum. C'est un point, ce maximum, qui est atteint pour x égale 2 et qui vaut 3. Et comment on définit un maximum ? On dit que f admet un maximum en a.

Donc ici, on a a qui vaut 2. Sur un intervalle i, on va expliquer ensuite pourquoi. Cela signifie que pour n'importe quelle valeur x de notre intervalle, f de x est toujours plus petit que ce maximum, que ce maximum m. Vérifions-le. Si je me place ici, son image est bien plus petite que 3. Si je me place ici, son image est bien plus petite que 3. Et on a beau chercher, on n'arrivera pas à trouver l'image d'un x qui dépasse la valeur 3. Alors, on peut être très très près, forcément, quand je me rapproche de a égale à 2, je suis assez proche du maximum, mais je ne dépasserai jamais la valeur 3. Eh bien, c'est ce que nous dit la propriété, c'est que m est un maximum à condition que pour n'importe quelle valeur de x, f de x soit plus petit que ce m. Et ce m, en fait, on peut le calculer, ce m, c'est f de a.

C'est l'image de a par la fonction f. Ce m, ici, vaut 3. Voilà pour le maximum. Voilà une autre courbe qui, celle-ci, admet un minimum.

Alors, pareil, cette fonction est ni croissante ni décroissante. Elle est les deux. Elle est décroissante, ici, jusqu'à 3, on dirait.

Et elle est croissante. à partir de 3. Ce qui fait qu'il y a un moment où on se trouve tout en bas. On se trouve au minimum.

Ce minimum, on dirait, a pour valeur moins 1. Et sa valeur est atteinte en x égale à 3. C'est ce que nous dit la définition du minimum. Dire que f admet un minimum petit m en b. Alors ici, b est égale à 3. Cela signifie que dès que je prends un x, toujours dans l'intervalle considéré, eh bien f de x sera toujours plus grand que ce minimum.

Là aussi, on peut essayer. Si je prends ici x égale 1,5, son image f de x est plus grande que moins 1. Si je vais ici, son image est même positive, alors que moins 1 est négative. Je suis également au-dessus.

Un petit dernier, en 3,5, son image sera également supérieure à moins 1. Donc cela signifie bien que et c'est normal, c'est la définition même d'un minimum, que dès que je prends une valeur x dans l'intervalle considéré, f de x sera plus grand que ce petit m, et ce petit m est égal à f de b. Donc ici, f de b vaut moins 1. Mais attention, là je parle d'un minimum sur un intervalle. Je l'ai dit tout à l'heure. Mais qu'arriverait-il si on prolongeait un petit peu la représentation de notre courbe et qu'on observe ceci ?

Vérifions maintenant. Si ce qui est écrit ici, la définition du minimum, est toujours vrai. On nous dit que dès que je prends un x quelconque, f de x est plus grand que petit m.

Petit m qui, je rappelle, est moins 1. Alors, je vais prendre un x à ce niveau-là, et je vais aller chercher son image. Et j'arrive à moins 2. Et moins 2, c'est en dessous de moins 1. Donc, ça ne marche plus. Ce n'est pas vrai, ce qui est écrit ici. Alors, ce n'est plus vrai, effectivement.

Moins 1... pour cette courbe-là, n'est pas un minimum de la fonction f. Tout simplement parce que je trouve des valeurs qui sont plus petites. Parfois, c'est vrai sur l'ensemble de définition de la fonction, mais pas ici, on le voit.

Alors, c'est pour ça qu'on peut parler de minimum relatif ou de minimum absolu. Ici, j'ai un minimum relatif, c'est-à-dire que j'ai un minimum dans cette zone-là seulement, mais pas sur toute la courbe. On parlera de minimum absolu à condition que...

on puisse chercher aussi loin qu'on veuille sur la courbe, d'un côté ou de l'autre, on ne peut pas descendre plus bas que moins 1. Ce n'est pas le cas ici. De même là, on constate qu'on a un maximum. Mais ce n'est pas un maximum absolu.

Parce qu'à ce niveau-là de la courbe, je suis plus haut. Là, ce maximum, il est un petit peu en dessous de 1. Alors qu'ici, je me trouve bien au-dessus de 1, même bien au-dessus de 2. Donc là, j'ai également un maximum relatif dans cette zone-là. Mais c'est intéressant quand même, parce que lorsqu'on étudie une courbe, On est souvent amené à étudier une courbe au voisinage d'un nombre, sur un intervalle très très restreint.

Et ça peut être très intéressant de savoir qu'on a déjà un minimum sur une zone restreinte. Alors toujours dans les généralités, avant d'attaquer les exemples, on va voir comment on construit un tableau de variation et qu'est-ce que c'est qu'un tableau de variation. Alors on va partir d'une courbe, d'une courbe représentative d'une fonction f, et ce qu'on voudrait, c'est avoir un outil qui nous permette de visualiser très rapidement les variations de notre fonction.

Et en plus, nous donner quelques valeurs particulières. En particulier justement, un minimum, un maximum, relatif ou absolu, peu importe. Mais... avoir comme ça des éléments qui sont très caractéristiques de notre courbe et donc qui vont nous permettre de mieux comprendre la fonction qu'il y a derrière.

Préparons ce tableau de variation. Voilà ça c'est la base, un tableau de variation très simple donc qui est composé de deux lignes. Alors une assez fine, une un peu plus grande puisque là on va y mettre les variations donc représentées par des flèches. Tu verras plus tard des tableaux de variation un peu plus étoffés avec un outil qui s'appelle la dérivée et qui nous permet d'établir par calcul les variations. Là, on les établit simplement graphiquement.

On n'y est pas encore. Alors, en tous les cas, deux lignes, on a dit. La première ligne, c'est pour les x, les valeurs prises par x. Donc là, ici, je vais x. La deuxième ligne, c'est pour, bien évidemment, f de x, la fonction f.

Donc là, on peut écrire f ou f de x. Ensuite, on y fait figurer, ici, eh bien l'ensemble de définition de notre fonction f ou l'intervalle d'étude. Donc ici, la fonction, elle est définie sur 0, 5. On va s'appuyer sur ce qui est représenté ici par la courbe.

Elle commence pour x égale 0 et elle s'arrête en 5. Donc, on va mettre ces valeurs extrêmes 0 et 5. Et ensuite, c'est là que ça se complique. Il va falloir maintenant faire figurer ici. les valeurs de x où la fonction change de variation.

Alors, il n'y aura pas que ça. En fait, on fait figurer là toutes les valeurs de x où il se passe quelque chose. Mais commençons déjà par ça en cherchant pour quelle valeur de x la fonction change de variation.

Alors, on voit sur la représentation graphique qu'elle est d'abord croissante, puis ensuite décroissante. Ce qui veut dire qu'on va aller chercher tout là-bas en haut. ce qui s'appelle un maximum. Donc, la question est maintenant, cherchons pour quelle valeur ce maximum est atteint.

Et là, on le voit ici, il semblerait que ce soit en 2,5. Donc, cette valeur 2,5 doit figurer dans ton tableau de variation. Alors, je le répète, tu verras par la suite des exemples un peu plus complexes encore, où il y a d'autres valeurs qui interviennent, particulièrement là où la fonction n'est pas définie. On va le voir tout à l'heure. avec la fonction 1 sur x qui n'est pas définie en 0. Alors, il n'y a ni un maximum, ni un minimum, ni même un changement de variation, mais il y a un trou.

Donc bon, mais ne brûlons pas les étapes, on verra ça tout à l'heure. Reste maintenant à faire figurer ici dans la deuxième ligne les variations de la fonction. Et on a dit, cette fonction, elle est d'abord croissante, ensuite décroissante. On va schématiser ça par deux flèches, une flèche qui monte et une flèche qui descend. Voilà pour la flèche qui monte.

La fonction est d'abord croissante. Croissante, elle commence en 0 jusqu'à 2,5, là où le maximum est atteint. Puis ensuite, elle est décroissante.

Donc, je fais une flèche qui descend à partir de 2,5 et jusqu'à 5. Alors, quand on arrive à ça, c'est déjà pas mal. Mais on peut faire un peu mieux parce qu'on pourrait calculer quelques images. Enfin, plutôt lire que calculer quelques images en 0, en 5 et en 2,5. Et ça, c'est tout à fait possible de le lire graphiquement. Quand je regarde ma courbe ici, j'ai envie de penser que l'image de 0, c'est 0, puisqu'on voit qu'au départ, cette courbe part par l'origine du repère.

Donc ici, je peux écrire 0. F de 0 égale à 0. En 5, c'est la même chose. F de 5 se trouve sur l'axé zapsis, ce qui signifie que là, je me retrouve en 0 également. Reste le maximum.

Quelle est la valeur de ce maximum ? C'est-à-dire F... de 2,5.

C'est bien ce que nous donnait la définition tout à l'heure. Et bien là encore, on peut le lire graphiquement. On a envie de penser que ce maximum est égal à 6. F2, 2,5 est égal à 6. Et là, on a notre tableau de variation qui est complet. Et on voit que ce tableau de variation, il a l'avantage de résumer toutes les propriétés de la courbe, enfin pas toutes, mais beaucoup quand même, de façon schématique et simple à lire. On ne s'embête pas à tracer la courbe avec précision, à faire des mesures, mais...

simplement à écrire les propriétés. Elle est d'abord croissante, elle est ensuite décroissante, elle a un maximum, maximum égal à 6 en 2,5, j'ai des valeurs particulières, etc. Alors, voyons maintenant quelques situations particulières, c'est-à-dire, en fait, quelques fonctions, souvent appelées fonctions de référence, et on va, pour chacune d'elles, regarder ces variations.

Et on va commencer par les fonctions affines. Alors, les fonctions affines, on rappelle, ce sont des fonctions qui s'écrivent sous la forme f de x égale ax plus b. a et b sont donc deux nombres réels.

Et le cas particulier où b égale à 0, dans ce cas-là, on appelle ça une fonction linéaire, mais bon, de façon générale, c'est également une fonction affine. La seule différence, c'est que si b égale à 0, on se retrouve avec une droite, puisque une fonction affine est représentée par une droite, une droite qui passe par l'origine. Alors, on a une propriété qui nous dit que pour une fonction affine f, qui s'écrit sous la forme f de x égale à x plus b, ces variations dépendent du coefficient a.

Et si a est strictement positif, la fonction est croissante. Si a est strictement négatif, la fonction est décroissante. Et si a égale à 0, alors si a égale à 0, du coup, qu'est-ce qui se passe ? Il ne me reste plus que du b, puisque le ax s'en va, et on arrive sur une fonction constante. Alors, on peut l'observer, ça, avec quelques exemples.

On voit là, par exemple, donc je joue avec le curseur pour montrer toute une série de fonctions affines avec un a positif, et on voit qu'à chaque fois, on se retrouve avec une courbe qui monte. Alors qu'à l'inverse, si... je vais chercher des a négatifs, on se retrouve cette fois-ci avec une fonction décroissante. Et donc, le cas où a égale 0, avec une fonction constante.

Autre exemple, la fameuse fonction carré. f de x égale x au carré. Celle-ci, elle est d'abord décroissante, on le voit, ça descend, et ensuite croissante. Sa courbe s'appelle une parabole. Il existe des paraboles qui sont orientées dans l'autre sens. Mais en tout cas, quand on parle de la fonction carré, f de x égale à x au carré, elle est d'abord décroissante.

Alors plus précisément, elle est décroissante sur l'intervalle moins l'infini, 0. Et elle est croissante sur l'intervalle 0 plus l'infini. Regardons ce qui se passe pour la fonction inverse. Alors la fonction inverse, c'est aussi une jolie courbe qui porte également un nom et qui s'appelle là une hyperbole. Et qu'est-ce qu'on sait de la fonction inverse ? La fonction inverse s'exprime sous la forme f de x égale 1 sur x.

Et cette fonction, elle a l'originalité de ne pas être définie en 0. Elle est définie partout, de moins l'infini 0 ouvert et 0 plus l'infini, mais elle n'est pas définie en 0. On comprend bien pourquoi. Parce qu'il n'est pas possible de calculer l'image de 0 par cette fonction. Sinon je suis obligé de calculer 1 sur 0, et 1 sur 0 ça n'existe pas. Du coup, quand on regarde la représentation graphique de la fonction inverse, on voit qu'il y a un trou en 0. C'est le trou dont je parlais tout à l'heure.

Et oui, parce que comme il n'y a pas d'image en 0, eh bien forcément, il n'y a pas de courbe qui passe par le point d'abscisse 0. Et on se retrouve avec une fonction qui est décroissante, puis décroissante. On ne dira pas qu'elle est décroissante sur moins l'infini 0 union 0 plus l'infini. On dira qu'elle est décroissante sur moins l'infini 0. et qu'elle est décroissante sur 0 plus l'infini toujours ouvert.

On sépare en deux, puisqu'en fait, il y a une rupture dans le tracé de la courbe. Plus tard, on dira que cette courbe n'est pas continue, c'est-à-dire que je ne peux pas la tracer d'un seul coup de crayon, je suis obligé de lever le crayon, et ça nous oblige à répéter deux fois la même chose. Puis arrive la fonction racine carré. Alors la fonction racine carré, elle est définie sur 0 plus l'infini. 0 est accepté, mais pas les valeurs négatives.

Racine de moins 5, ça n'existe pas. Ce qui signifie que quand on observe la courbe de la fonction racine carré, on n'a rien sur les abscisses négatives. Et quand on regarde ces variations, c'est assez simple, ça ne fait que monter. Alors ça monte tranquillement, au début ça monte fort, et après ça monte tranquillement, tranquillement, mais en tout cas, ça ne fait que monter. On dira que la fonction racine carré est croissante, même strictement croissante, sur l'intervalle 0 plus l'infini.

Et enfin la fonction... cube, donc défini par f de x égale x au cube, qu'on retrouve ici, et on remarque que cette fonction est également tout le temps croissante, même strictement croissante sur R. D'ailleurs, je n'ai pas précisé la différence entre croissante tout court et strictement croissant. Pareil d'ailleurs pour décroissant.

Pour le comprendre, peut-être un rapide petit schéma, je vais représenter une fonction qui n'est pas strictement croissante, qui est juste croissante. Bien celle-ci. Il y a un palier ici. Il y a un petit palier où la fonction...

elle ne croit plus. Mais elle ne décroît pas. Il y a un petit morceau où la fonction est constante.

Ce qui veut dire qu'on est tout le temps en train de monter, sans jamais descendre, mais il y a un moment quand même où on arrête de monter. Cette fonction-là est juste croissante. Elle n'est pas strictement croissante. Une fonction qui est strictement croissante, on n'arrête pas de monter. Et c'est justement le cas de la fonction cube.

On voit qu'on est tout le temps en train de monter. Alors, on a l'impression comme ça, autour de zéro, qu'il y a un palier, mais pas du tout. On monte très faiblement, mais on monte toujours.

et après sur les positifs ça repart et ça repart très fort. Voilà pour les variations de fonctions. Je le dis et le répète encore, il est maintenant important de faire des exercices. En tout cas, cette séquence est terminée.

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