Darstellung und Erweiterung von Zahlenbereichen

Einführung

• Zahlen sind menschliche Erfindungen.
• Älteste Zahlen: natürliche Zahlen.
• Zahlreiche Erweiterungen der Zahlenbereiche im Laufe der Zeit.

Natürliche Zahlen ((\mathbb{N}))

• Symbol: (\mathbb{N})
• Darstellung: (0, 1, 2, 3, \ldots)
• Unendliche Fortsetzung, keine größte natürliche Zahl.
• Variante ohne Null: (\mathbb{N}^* = {1, 2, 3, \ldots})
• Verwendung zum Zählen (z.B. Finger).*

Ganze Zahlen ((\mathbb{Z}))

• Symbol: (\mathbb{Z})
• Darstellung: (\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots)
• Verwendung zur Darstellung von Schulden und negativen Temperaturen.
• Natürliche Zahlen sind Teilmenge der ganzen Zahlen.

Rationale Zahlen ((\mathbb{Q}))

• Symbol: (\mathbb{Q})
• Darstellung durch Brüche: (\frac{z}{n}) mit (z \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}^*)
• Beispiele: (\frac{1}{2}, \frac{5}{6}, -\frac{12}{17})
• Zwei Darstellungsformen:
  • Bruchdarstellung: (\frac{13}{10}, \frac{5}{7} )
  • Dezimaldarstellung: z.B. 0,25 ((\frac{1}{4}))
• Periodische und endliche Dezimalzahlen sind rational.*

Reelle Zahlen ((\mathbb{R}))

• Darstellung: alle rationalen und irrationalen Zahlen.
• Beispiele für irrationale Zahlen: (\sqrt{2}, \pi, e)
• Natürliche, ganze und rationale Zahlen sind Teilmenge der reellen Zahlen.

Komplexe Zahlen ((\mathbb{C}))

• Komplexe Zahlen beinhalten reelle und imaginäre Teile.
• Symbol: (\mathbb{C})
• Beispiel: (5 + i, 2i, 17 + 4i)
• Anwendung in Elektrotechnik, Quantenmechanik.
• (i) definiert als (\sqrt{-1}).
• Reelle Zahlen sind Teilmenge der komplexen Zahlen.

Mengenbeziehungen

• Natürliche Zahlen (\subseteq) Ganze Zahlen (\subseteq) Rationale Zahlen (\subseteq) Reelle Zahlen (\subseteq) Komplexe Zahlen.
• Venn-Diagramm zur grafischen Darstellung der Teilmengenbeziehungen.

Aufgaben

• Aufgabe 1: Menge der reellen Zahlen (\setminus) Menge der reellen Zahlen (\setminus 0).
• Aufgabe 2: Bruchdarstellung von 0,6 periodisch.
• Aufgabe 3: Ist (\sqrt{-9}) Element der komplexen Zahlen? Darstellung mit (i)?