Wie sich Schulden darstellen lassen und zwar auf den Cent genau. Das klären wir jetzt. Zahlen wachsen nicht auf Bäumen.
Sie sind Erfindungen des Menschen. Die ältesten Zahlen sind die natürlichen Zahlen und im Laufe der Zeit haben sich die sogenannten Zahlenbereiche ständig erweitert. Wir werden jetzt diese Zahlenbereiche kurz ansprechen und zwar beginnen wir mit den natürlichen Zahlen. Die natürlichen Zahlen, die haben wir ja schon mehrfach verwendet, haben auch ein spezielles Symbol, also dieses große N mit dem Doppelstrich in der Mitte.
Wir können die Elemente der Menge der natürlichen Zahlen auch durch Aufzählen der Elemente darstellen. 0, 1, 2, 3, 4 und dann machen wir noch drei Punkte dahinter. Das bedeutet, dass diese Zahlen und endlich weit fortlaufen. Das heißt, es gibt auch keine größte natürliche Zahl. Für jede Zahl, die mir jemand sagt, kann ich sofort eine nächstgrößere Zahl angeben.
Jetzt gibt es auch Situationen, wo man diese Null nicht haben möchte. Die Null ist eine spezielle Zahl. Zu diesem Zweck gibt es auch ein eigenes Symbol, nämlich das Symbol der natürlichen Zahlen mit einem Stern. Das bedeutet, die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Zahl Null, das heißt 1, 2, 3. 4 und so weiter.
Und manchmal sieht man auch folgende Schreibweise, nämlich die natürlichen Zahlen, dann dieser Querstrich und dann in den Mengenklammern die Zahl 0. Das bedeutet einfach die natürlichen Zahlen ohne die 0. Warum heißen sie nochmal natürliche Zahlen? Weil man mit diesen Zahlen ganz einfach zählen kann. Wenn man sich zum Beispiel die Finger der Hände ansieht, dann haben wir 0 Finger gespreizt zum Beispiel, dann Einen Finger den Daumen, zwei Zeigefinger und so weiter. Und natürlich kann man auch mit den natürlichen Zahlen sonstige Dinge einfach abzählen.
Jetzt stellt sich aber folgende Frage. Frage, wie stellt man Schulden oder negative Temperaturen dar? Und dazu kommt die nächste Zahlenbereichserweiterung dazu. Und die nächstgrößeren Zahlen oder der nächste Zahlenbereich, das sind die ganzen Zahlen.
Ganze Zahlen. Und auch diese Zahlen haben ein eigenes Symbol. Das ist dieses große Z mit einem Doppelstrich in der Mitte.
Und auch diese Zahlen kann man, oder diese Menge kann man auch durch Aufzählen der Elemente darstellen. Nämlich wieder die Mengenklammer. Und dann macht man vorher schon drei Punkte und beginnt zum Beispiel mit der Zahl minus 2, mit der Zahl minus 1. Dann die 0. Dann fahren wir fort mit der Zahl 1, 2, 3 von mir aus und so weiter. Und dann die Mengenklammer wieder schließen.
Und mit diesen negativen Zahlen können wir zum Beispiel Schulden darstellen. Wenn mir jemand 10 Euro zum Beispiel schuldet, dann kann ich eine Tabelle erstellen und seinen Namen hinschreiben. Und dann bei dem Betrag für Euros zum Beispiel minus 10 hinschreiben.
Ebenso kann man auch die negativen Temperaturen hier darstellen. Wenn man sagt, der Nullpunkt, das ist jener Punkt, wo das Wasser beginnt zu gefrieren, dann sind alle Temperaturen darunter Minusgrade oder negative Temperaturen. Und jetzt kommt ein wichtiger Zusammenhang, nämlich die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen.
Denn die natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 sind in den ganzen Zahlen natürlich enthalten. Das heißt, die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der ganzen Zahlen. Soviel zu dem. Dann stellt sich die nächste Frage. Wie stellt man Teile von ganzen Zahlen dar?
Was meint man mit Teile? Zum Beispiel, ich möchte eine Pizza teilen. Dann habe ich eine ganze Pizza und ich möchte diese Pizza durch 4 teilen.
Also muss ich diese ganze Zahl 1 durch vier Teilen. Und diese Zahlen, die nennt man die rationalen Zahlen. Man kann sie auch Bruchzahlen nennen, ist völlig egal.
Und auch diese haben ein eigenes Symbol, nämlich ein großes Q mit hinten einen Halbbogen dazu und fertig. Was wären Beispiele für diese rationalen Zahlen? Beispiele in Halb, in Drittel, Fünfsechstel, Minus, Zwölf, Siebzehntel. und so weiter.
Jetzt beim Aufzählen der Elemente dieser Menge tun wir uns eigentlich schon ziemlich schwer, denn wo sollen wir denn beginnen? Und man kann diese Menge aber folgendermaßen angeben. Also die Menge der rationalen Zahlen ist gleich die Mengenklammer auf und dann verwenden wir zwei Variablen. Einmal ein kleines z durch eine andere Variable, ein kleines n und dann dieser senkrechte Strich und wie Erinnerung Erinnern uns, dieser senkrechte Strich bedeutet für die gilt, dieses kleine z soll Element der ganzen Zahlen sein und n Element der natürlichen Zahlen.
Und zwar hier ohne 0. Diese Variablen, die habe ich schon so gewählt, dass wir keine Verwechslungen zulassen. Nämlich dieses kleine z soll an das große z erinnern und dieses kleine n an das n der natürlichen Zahlen, ohne die Null. Warum?
Wir dürfen hier bei den Brüchen die Null nicht einsetzen. Dann kommen wir noch zum Zusammenhang, nämlich folgenden. Die natürlichen Zahlen sind Teilmenge der ganzen Zahlen, das haben wir vorher schon gesehen und diese ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Dann gibt es bei den rationalen Zahlen zwei Darstellungsformen, das heißt, das können wir hinschreiben, es gibt Zwei Darstellungsformen für rationale Zahlen.
Das kürze ich hier einfach ab. Rationale Zahlen. Und zwar erstens die Bruchdarstellung.
Beispiele haben wir oben schon gehabt. Ich zähle noch ein paar auf. Dreizehntel, Fünf-Siebtel, Sieben-Achtel, Neun-Halbe und so weiter.
Und die zweite Darstellungsform ist die sogenannte Dezimaldarstellung. Was wären hier Beispiele dazu? Zum Beispiel 0,25.
Was ist 0,25? Das können wir auch durch ein Viertel darstellen. Denn 1 durch 4 ergibt 0,25. Wir werden uns das im Anschluss noch ansehen.
Und 0,5 wäre gleich 1,5. Wie kommt das zustande? Nämlich durch eine Division. Dieser Bruchstrich bei den Bruchzahlen bedeutet schlichtweg nur, dass hier zum Beispiel die... 1 durch die 4 geteilt wird.
Und das können wir ganz einfach machen. 1 dividiert durch 4 und natürlich von Hand. 4 geht in 1 0 mal.
Das heißt 0 mal 4 ist 0, bleibt 1 Rest. Jetzt müssen wir das Komma setzen. Nächste Stelle 0 herab. 4 geht in 10, genau 2 mal.
2 mal 4 ist 8, bleibt 2 Rest. Nächste Stelle 0 herab und 4 geht in 20 fünfmal. Null Rest. Bei 1 halb funktioniert das natürlich auch. 1 durch 2. Hier 1 durch 2. Jetzt gibt es bei den rationalen Zahlen eine Regel, nämlich sogenannte periodische Zahlen oder Zahlen mit endlicher Dezimaldarstellung sind mit Sicherheit rationale Zahlen.
Hier dazu auch gleich ein Beispiel, nämlich wieder 0,25. 0,25 ist eine Dezimaldarstellung und diese Zahl 0,25 hat endlich viele Zahlen nach dem Komma. Wir könnten uns hier noch Nullen dazu denken, das ändert an den Wert dieser Zahl nichts. Das heißt, wenn eine solche Dezimaldarstellung 0,25 bei dieser Zahl hier endet und danach nur mehr Nullen kommen würden, dann ist die Dezimaldarstellung endlich. Wir haben ja schon vorher gesehen, das ist genau ein Viertel.
Jetzt kommen wir noch zu diesen periodischen Zahlen. Was ist eine periodische Zahl? Das habt ihr sicher schon einmal gehört. Periodische Zahlen sind Zahlen, wo nach dem Komma sich eine bestimmte Reihenfolge von Dezimaldarstellungen oder Dezimalzahlen ständig wiederholt. Und wir machen jetzt ein Beispiel, nämlich das Beispiel ein Drittel.
Wir wissen ja schon, wie wir diesen Bruch... Diese Bruchzahl, diese rationale Zahl, diese Bruchzahl in eine Dezimaldarstellung umwandeln, nämlich wir müssen die 1 durch die 3 dividieren. 3 geht in 1, 0 mal. 0 mal 3 ist 0, 1 Rest. Komma setzen, nächste Stelle 0 herab.
3 geht in 10, 3 mal. 3 mal 3 ist 9, 1 Rest. Nächste Stelle 0 herab und so weiter und so fort.
Das heißt bei dieser Darstellung oder Bei dieser Zahl handelt es sich um eine Dezimalzahl mit einer unendlichen Anzahl an Nachkommastellen. In diesem Fall 0,333 und so weiter. Man stellt diese periodischen Zahlen einfach mit einem Punkt über jene Zahl, die sich ständig wiederholen. In diesem Fall wäre es der 3er hier. Der geht in die Unendlichkeit.
Und trotzdem können wir diese Zahl als Bruch darstellen. Nämlich ganz leicht. Ein Drittel.
Jetzt können wir jede beliebige Zahl, kritzel hier eine Zahl hinauf, 5, 7 und viele weitere. Und nach der 100. Stelle... kommt noch ein 1er. Dann können wir aber sicher sein, dass wir diese sehr sehr lange Kommazahl trotzdem als Bruch darstellen können.
Wie diese Zahl dann aussehen würde, das können wir jetzt nicht so schnell machen, aber wir müssen nur den Zähler und den Nenner geeignet wählen. Hier der Zähler, das ist dieses kleine z und dann der Nenner, das ist dieses kleine n, müssen wir nur geeignet wählen. Ein Beispiel aus dem Kopf. Da gibt es vermutlich eine Zahl mit vielen Kommastellen. Das sind die rationalen Zahlen.
Jetzt möchte man glauben, man könnte doch jede beliebige Zahl immer als rationale Zahl darstellen. Wir müssen nur diesen Zähler und den Nenner geeignet wählen. Das völlig Verrückte ist aber, das geht nicht bei allen Zahlen.
Das heißt, Frage, was ist mit den anderen Zahlen? Also jene, die nicht... periodisch sind und auch keine endliche Dezimal-Darstellung aufweisen.
Und daraus folgt die nächste Zahlenbereichserweiterung, nämlich die sogenannten reellen Zahlen. Das werden jene Zahlen sein, mit denen wir am häufigsten rechnen werden, die reellen Zahlen. Und Beispiele für reelle Zahlen sind zum Beispiel die Klassiker wie Wurzel 2. Wurzel 2 ist eine reelle Zahl, aber keine rationale Zahl. Dann die Zahl Pi. Die Zahl e, die Euler'sche Zahl und natürlich andere Beispiele wie 1, 2, 3, 1000. Das sind natürlich auch reelle Zahlen.
Denn es gilt, die natürlichen Zahlen sind Teilmenge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen sind Teilmenge der rationalen Zahlen. Und die rationalen Zahlen sind Teilmenge der reellen Zahlen. Und diese Zahlen hier, Wurzel 2, Pi und die Euler'sche Zahl, nur als Beispiel. Diese sind reell, aber nicht rational.
Das heißt, diese Zahlen nennt man irrational. Man kann sich das einfach merken. Irrational bedeutet, wir können sie nicht als rationale Zahl schreiben.
Oder sie sind keine rationale Zahl. Das heißt also, dass die reellen Zahlen die Vereinigung der rationalen Zahlen sind mit den irrationalen Zahlen. Dieses Symbol sieht man auch oft für die irrationalen Zahlen.
Und jetzt kommen wir zur letzten Frage. Und zwar, das ist eine spezielle Frage. Was ist die Wurzel aus minus 1? Das ist schon eine etwas fortgeschrittenere Frage.
Warum ist das überhaupt ein Problem? Das Problem besteht darin, dass wir aus einer negativen Zahl die Wurzel nicht ziehen können. Das heißt, diese Zahl ist keine reelle Zahl.
Manchmal würde man sogar denken, das ist überhaupt keine Zahl. Doch, das ist eine Zahl. Jetzt kommen wir zum letzten Zahlenbereich, den wir hier nur der Vollständigkeit halber machen.
Aber wir kommen sicher im Laufe der Zeit noch auf die sogenannten komplexe Zahlen. Und auch diese Zahlen haben ein eigenes Symbol, nämlich ein großes C, wieder mit einem Halbbogen in der Mitte. Und jetzt ist die Frage, was kann man sich unter den komplexen Zahlen vorstellen? Vorerst nicht viel. Jetzt ist die Frage, wenn man sich die Zahlen nicht vorstellen kann, sind sie dann noch Zahlen?
Ja, denn die Zahlen brauchen ja keine Darstellung in der Wirklichkeit. Ich habe ja schon im Intro gesagt, die Zahlen sind Erfindungen des Menschen. Und mit Zahlen kann man rechnen.
Und man würde es gar nicht glauben, in wie vielen Situationen wir diese komplexen Zahlen wirklich brauchen. Ich gebe hier nur ein Beispiel. die Elektrotechnik bei Berechnungen mit Wechselstrom.
Da braucht man die komplexen Zahlen. Man braucht die komplexen Zahlen auch in der Quantenmechanik zum Beispiel und auch in vielen anderen Anwendungen. Und jetzt zur Beantwortung dieser Frage, was ist denn die Wurzel aus minus 1?
Wir können sie einfach benennen. Die Wurzel aus minus 1 ist I für eine imaginäre Einheit. Das ist einfach ein Buchstabe. Wir nennen diesen Ausdruck Wurzel aus minus 1, den berechnen wir gar nicht, den nennen wir I.
Manchmal in der Elektrotechnik verwendet man auch den Buchstaben j. Aber i ist geläufiger. Wir bleiben dabei. Jetzt noch ein Beispiel zu einer komplexen Zahl. 5 plus i.
Das heißt, diese Zahl, eine komplexe Zahl, besteht aus einer reellen Zahl, diese steht hier vorne, und einer imaginären Einheit, die mit beispielsweise einer reellen Zahl multipliziert wird. Dann ein weiteres Beispiel, zum Beispiel 2i oder 17 plus 4i. Wenn das jetzt noch zu kompliziert ist, keine Angst, wir behandeln diese komplexen Zahlen erst viel, viel später, wenn es soweit ist.
Ein Zusammenhang fehlt noch, nämlich die Mengenbeziehungen. Wir wiederholen wieder, die natürlichen Zahlen sind Teilmenge. Der ganzen Zahlen, die ganzen Zahlen sind Teilmenge.
Der rationalen Zahlen, die rationalen Zahlen sind Teilmenge. der reellen Zahlen und die reellen Zahlen sind Teilmenge der komplexen Zahlen. Das heißt, die reellen Zahlen, also jene Zahlen mit unendlich vielen Kommastellen, sind in den komplexen Zahlen enthalten. So, wir können uns jetzt auch diese Teilmengenbeziehungen grafisch aufzeichnen und zwar in Form eines Venn-Diagramms, dass wir eine plastische Vorstellung haben, wie diese Mengen zueinander in Beziehung stehen.
Und zwar zeichnen wir einfach einen Kreis und in die Mitte setzen wir hier die natürlichen Zahlen. Also n. Dann sind die natürlichen Zahlen eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen.
Das heißt, wir können einen zweiten Kreis zeichnen. Das heißt, wir schreiben hier einfach das z mit dem Doppelstrich. Und dann können wir diesen Zahlenbereich der natürlichen Zahlen erweitern mit der Zahl.
Minus 5 oder minus 7 oder minus 113 und so weiter. Also hier sind die negativen Zahlen auch noch dabei. Und dann gibt es den nächsten Zahlenbereich. Und zwar die Menge der rationalen Zahlen.
Und dann schreiben wir hier Q hinein. Beispiele hierfür wären ein Drittel, siebeneinhalb, minus fünf Viertel. und so weiter, also die Menge der rationalen Zahlen.
Dann der nächste Zahlenbereich, die Menge der reellen Zahlen. Hier machen wir genau das gleiche, das heißt wir schreiben hier in R hinein. Beispiele für die reellen Zahlen wären die Wurzel aus 2, der Klassiker, dann die Zahl Pi und die Euler'sche Zahl. Natürlich gibt es noch viele viele weitere.
Und als letztes hatten wir noch die Menge der komplexen Zahlen. Also bisher der größte Zahlenbereich. Wir schreiben auch hier wieder dieses c hinein.
Und da kommt die Wurzel aus minus 1 hinein. Das wäre dann der Buchstabe i, also die imaginäre Einheit. Oder 2 mal i.
Oder 14 plus 8i. Jetzt haben wir diese... Teilmengenbeziehungen einfach grafisch dargestellt.
So könnte das aussehen. Ihr könnt die Kreise natürlich irgendwie zeichnen. Das ist völlig egal.
Wichtig ist nur, dass zum Beispiel dieser Kreis die Menge der natürlichen Zahlen innerhalb der Menge der ganzen Zahlen liegt, diese wieder innerhalb der rationalen Zahlen und diese wieder innerhalb der reellen Zahlen. Und zum Schluss natürlich liegt die Menge der reellen Zahlen innerhalb der Menge der komplexen Zahlen. Gut, das war's vorerst.
Zu den Aufgaben kommen wir später. Wir haben jetzt also gesehen, dass die natürlichen Zahlen bei Weitem nicht die einzigen sind. Und es außerdem Situationen im Leben gibt, wo wir mit den natürlichen Zahlen nicht einmal das Auslangen finden. Jetzt viel Spaß mit den Aufgaben.
Wenn irgendetwas unklar ist, dann stellt eure Fragen in den Kommentaren. Liken, kommentieren, immer Standard. Bis später. Dann bleiben noch die Aufgaben. Und zwar als erstes...
Was wäre denn das für eine Menge? Und zwar die Menge der reellen Zahlen ohne die Menge der reellen Zahlen ohne die 0. Die zweite Aufgabe ist eine Bruchdarstellung gesucht. Und zwar von der Zahl 0,6 periodisch. Das ist auch eine sehr interessante Fragestellung. Und als dritte Aufgabe Die Frage ist die Wurzel aus minus 9 Element der komplexen Zahlen.
Und gibt es dafür eine Darstellung mit der imaginären Einheit i? Viel Spaß damit. Wir sehen uns.