Notes de cours sur la notion de limite

Introduction à la notion de limite

• Importance de la notion de limite dans les mathématiques.
• Contexte d'utilisation, notamment lorsque la fonction est indéfinie pour certaines valeurs.

Exemple de la fonction f(x)

• Fonction définie comme f(x) = x / (x - 5)².
• Calcul des images :
  • f(3) = 0,75
  • f(10) = 0,4
  • f(5) : indéfini (dénominateur nul).

Approche de la valeur 5

• Calcul des images pour des valeurs proches de 5 :
  • f(4,9) = 490
  • f(4,99) = 49 900
  • f(4,999) = plusieurs centaines de millions.
• Conclusion : lorsque x tend vers 5, f(x) tend vers +∞.

Raison des calculs de limites

• Calcul des limites lorsque la fonction est indéfinie.
• Calculs de limites lorsque x tend vers ±∞.

Limites à l'infini

• Comportement de la fonction lorsque x devient très grand :
  • Notation : x tend vers +∞ ou -∞.
  • Résultats possibles : limite infinie ou limite finie.

Limite infinie à l'infini

• Exemple : f(x) = x²
  • Limite : +∞ lorsque x tend vers +∞.
• Graphiquement : la fonction x² devient très grande pour x grand.
• Définition : f a une limite infinie à l'infini si, pour tout a, il existe un x suffisamment grand tel que f(x) > a.

Limite finie à l'infini

• Exemple : f(x) = 2 + 1/x
  • Limite : 2 lorsque x tend vers +∞.
• Graphiquement, la courbe se rapproche de y = 2.

Asymptotes

• Asymptote horizontale :
  • Si f a une limite finie à l'infini, y = L est asymptote horizontale.
• Asymptote verticale :
  • Si la limite lorsque x tend vers a est +∞ ou -∞, x = a est asymptote verticale.

Limites en un réel

• Situation où x tend vers un nombre a.
• Limite infinie en a si f(x) devient très grand lorsque x se rapproche d'a.
• Définition similaire à celle des limites à l'infini : pour tout intervalle a + ∞, f(x) appartient à cet intervalle lorsque x est suffisamment proche de a.

Conclusion

• Récapitulatif de la notion de limite
• Importance des asymptotes pour comprendre le comportement des fonctions.