Introduction à la notion de limite en mathématiques

Bonjour ! Dans cette vidéo, je vais t'expliquer la notion de limite. D'abord, pourquoi on introduit une telle notion ? Et ensuite, dans quel contexte en a-t-on besoin ? Pour mieux comprendre, partons d'un exemple très simple et on va introduire une fonction, la fonction f de x égale à x sur x moins 5 au carré. Alors, pour cette fonction, il n'est pas bien difficile de calculer des images. Si je prends par exemple l'image de 3 par exemple. F, ça revient à calculer 3 sur 3 moins 5 au carré. On effectue ceci et on trouve exactement 0,75. Pas de problème. Si de même, on veut calculer l'image de 10, il suffit de remplacer encore x par 10 et on obtient 10 sur 10 moins 5 au carré. On effectue tout ça, on trouve exactement 0,4. Donc là, pas de soucis. Mais qu'en est-il de l'image de 5 ? Ça nous donnerait du 5 sur 5 moins 5 au carré. Avec donc un dénominateur qui serait nul, et ça on sait bien que c'est un interdit mathématique. Donc, on ne peut pas calculer l'image de 5 par la fonction f. Mais si ce n'est pas possible de calculer l'image de 5 par f, est-ce qu'il ne serait pas possible de calculer des images pour des valeurs assez proches de 5 ? Bien sûr que si, ça en a le droit. La fonction f n'est pas définie en 5, mais ailleurs elle est définie. Je peux par exemple calculer... L'image par f de 4,9 et je trouve 490. Donc ceci est effectué bien évidemment avec un logiciel. Je passe sur les calculs. On peut poursuivre avec l'image de 4,99. Je me rapproche un peu plus de 5 et là je trouve 49 900. Et je poursuis avec l'image de 4,999 puis 4,9991 etc. Et je me rapproche tout doucement de 5. Alors on le voit dans notre tableau ici, j'ai poursuivi les calculs jusqu'à 4,9999. Et on trouve un résultat astronomique de plusieurs centaines de millions. On pourrait poursuivre, je m'arrête là, mais on pourrait poursuivre. On aurait envie de penser que les valeurs de f vont continuer à augmenter. Et oui, car c'est ça la question. La question est de savoir quel est le comportement de ma fonction f lorsque x se rapproche de plus en plus de 5. On dira que x tend. vu que je ne peux pas calculer les valeurs de f pour x égale à 5, je me contente, si on peut dire, de me rapprocher de 5. Et on peut y répondre à cette question. C'est déjà un petit calcul de limite. On peut y répondre, eh bien oui, lorsque x tend vers 5, f de x tend vers plus l'infini. On a envie de penser qu'on peut atteindre des valeurs de plus en plus grandes. Je vais expliquer plus précisément tout de suite. ce que cela signifie qu'une fonction tend vers plus l'infini. Pour l'instant, c'est juste pour comprendre l'idée des calculs de limites et aussi exprimer pourquoi on est amené à faire des calculs de limites. Donc on est amené à faire des calculs de limites, oui, dans le cas où la fonction n'est pas définie. D'accord ? Tu n'es pas défini en 5, mais je vais quand même voir ce qui se passe lorsque je me rapproche de 5. Et on peut être amené à faire des calculs de limites dans d'autres cas, c'est lorsque x tend vers un des deux infinis. C'est-à-dire... lorsque x devient de plus en plus grand pour des valeurs positives ou lorsque x devient de plus en plus grand pour des valeurs négatives. Par exemple ici, je peux calculer f de 1 million, je peux calculer f de 1 milliard, mais je ne peux pas calculer f de l'infini. L'infini n'est pas un nombre. Par contre, j'ai quand même envie de savoir qu'est-ce qu'il arrive à ma fonction f lorsque je prends des valeurs de plus en plus grandes et qui tendent... à partir vers plus l'infini et même question vers moins l'infini. Voilà dans quel contexte on va être amené à faire des calculs de limites. Alors on va commencer par la première situation, les limites en l'infini, c'est-à-dire on va prendre des valeurs de x qui deviennent de plus en plus grandes. Alors limite à l'infini, comme je viens de dire, cela signifie qu'on va avoir des valeurs de x qui vont devenir de plus en plus grandes dans les positifs. On dira que x tend vers plus l'infini et on le notera de cette façon-là. x tend vers plus l'infini. Ou alors, x prend des valeurs de plus en plus grandes mais dans les négatifs. On dira que x tend vers moins l'infini et on le notera de cette façon-là. Alors, moi dans cette séquence, je vais essentiellement parler du cas où x tend vers plus l'infini puisque l'approche est strictement la même en moins l'infini. Il y a même, on le verra graphiquement... une symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Plusieurs situations peuvent se présenter. D'abord, lorsqu'on fait tendre x vers l'infini, le résultat... peut être l'infini. On dira qu'on a une limite infinie à l'infini. On peut également avoir une limite finie à l'infini. J'en parlerai ensuite et on peut aussi avoir pas de limite du tout, on en parlera également. Commençons donc par une limite infinie à l'infini. Eh bien, cela veut dire que si on a une fonction f, f admet pour limite plus l'infini en plus l'infini. Si f de x devient aussi grand que l'on veut, pourvu juste, qu'on prenne des valeurs de x suffisamment grandes. Pour bien comprendre, un exemple encore, prenons la fonction f de x égale x au carré. On la connaît bien cette fonction, c'est une fonction usuelle. C'est une fonction du second degré représentée par une parabole et ses deux branches qui justement montent très très haut puisque ici le coefficient qui est égal à 1 est positif, donc les branches sont tournées vers le haut. Bon, donc graphiquement on comprend bien cette fonction. Car justement, cette fonction A pour limite plus l'infini, en plus l'infini. On va le noter. J'ai dit tout à l'heure qu'on écrivait que x tend vers plus l'infini. Eh bien, au-dessus, on va mettre lim, l-i-m. Cela veut dire ici que je cherche la limite lorsque x tend vers plus l'infini. Il faut préciser de quoi ? Ici, on a dit qu'on parlait de f. Donc derrière, soit j'écris f de x, soit j'écris x au carré, comme on veut. Si la fonction a un nom, on peut mettre f du x. Lorsque x tend vers plus l'infini, qu'arrive-t-il à x², c'est-à-dire quelle est sa limite ? On l'a dit, c'est plus l'infini. Qu'est-ce que ça signifie ? Eh bien, cela signifie que les valeurs de la fonction x² peuvent devenir aussi grandes que l'on veut, mais vraiment aussi grandes que l'on veut, pourvu juste qu'on prenne un x suffisamment grand. Ce qui veut dire... que x² peut atteindre la valeur 1 milliard. Mais il faudra peut-être que je mette le paquet ici pour prendre un x suffisamment grand. Mais il faudrait être un peu plus précis. La notion de limite dit autre chose. Et pour bien comprendre, regardons graphiquement. J'ai donc représenté là ma fonction x², et j'ai rajouté un seuil, une droite, une droite d'équation y égale à, mais peu importe, et cette valeur de a est quelconque. Eh bien, si je considère l'intervalle ouvert A plus l'infini, c'est-à-dire à partir de A et je ne m'arrête pas. Donc c'est un intervalle non borné. Eh bien, cet intervalle A plus l'infini contient toutes les valeurs de ma fonction f, je dis bien toutes, pourvu que je prenne un x suffisamment grand. Alors est-ce que c'est vrai ça pour ma fonction f ? Je vais prendre par exemple A égale à 4. Est-ce que, à partir d'une certaine valeur de x, suffisamment grande, j'aurai dedans toutes les valeurs de f ? On déplace le curseur, on va jusqu'à a égale à 4, et effectivement, on voit qu'à partir d'un certain x, qui est ici x égale à 2, j'ai pris des petites valeurs là, toutes les valeurs de f seront au-dessus. Et ceci, ça ne dépend pas de a. Je peux prendre un autre a, j'en prends un autre. Par exemple, a égale à 9. Est-ce que... En prenant a égale à 9, c'est-à-dire l'intervalle ouvert qui va de 9 à plus l'infini, dans cet intervalle ouvert, j'aurai toutes les valeurs de la fonction. Regardons. Oui, à partir de 3, on voit que la courbe, elle est dans la bande rouge, et donc toutes les valeurs de f devront être emprisonnées dans cette bande rouge. Et tu peux prendre n'importe quelle valeur de a, aussi grande que tu veux, on ne va pas le faire, mais si tu prends a égale 1 million, par exemple, tu auras évidemment... la droite qui sera beaucoup plus haute, il va falloir chercher des x beaucoup plus vers la droite, mais à partir d'une certaine valeur de x, on aura toutes les valeurs de f de x qui seront emprisonnées dans ce bandeau rouge. C'est ça la notion de limite infinie en l'infini. Et on a là une définition qui, cette fois-ci, est bien rigoureuse et qui nous dit que f admis pour limite Plus l'infini en plus l'infini. Si tout intervalle a plus l'infini, n'importe quel intervalle, je prends n'importe quelle valeur de a. Avec donc a qui est réel, contient toutes les valeurs de f de x, pourvu juste que je prenne un x suffisamment grand. Et on note, limite quand x tend vers plus l'infini de f de x, égale à plus l'infini. Petite parenthèse, qu'en est-il en moins l'infini ? Eh bien, c'est strictement la même chose, mais comme je l'avais annoncé tout à l'heure. il y aura une symétrie. On dit que la fonction f admet pour limite moins l'infini. en plus l'infini, donc j'ai des valeurs de x qui deviennent de plus en plus grandes, et des valeurs de f qui deviennent de plus en plus petites, de plus en plus petites, c'est-à-dire de plus en plus grandes dans les négatifs. Si dès que je prends un intervalle ouvert moins l'infini, b, cette fois-ci le bandeau rouge sera tiré vers le bas, et bien ce bandeau rouge contient toutes les valeurs de f de x, cet intervalle contient toutes les valeurs de f de x, pourvu juste que je prenne un x. suffisamment grand. Qu'en est-il d'une limite finie à l'infini ? Alors, on est toujours à l'infini, autrement dit, on fait toujours tendre x vers un des deux infinis, plus l'infini ou moins l'infini. On va donc s'intéresser au comportement d'une fonction f, lorsque x devient très très grand. Et bien là, on a une limite finie, autrement dit, là on va obtenir un nombre. Un vrai nombre, peu importe, 2, 3, 4, 12 ou 7, on va obtenir un nombre. On a donc là quelque chose de fini, qui s'arrête. Il existe tout plein d'exemples de fonctions qui ont une limite finie lorsque x devient très très grand, lorsque x tend vers plus l'infini. Intuitivement, ça veut dire quoi ? Eh bien, on dit qu'une fonction f, admettons pour limite l, donc l c'est un nombre, en plus l'infini, si f de x... prend des valeurs aussi proches que l'on veut de ce L, pourvu juste qu'on prenne un x suffisamment grand. Et là encore, voyons un exemple pour mieux comprendre concrètement et graphiquement ce que cela signifie. On prend la fonction f du x est égale à 2 plus 1 sur x. Et on voudrait s'intéresser au comportement de cette fonction en plus l'infini, c'est-à-dire pour des valeurs du x qui deviennent de plus en plus grandes. Alors, je ne vais pas faire l'essai avec le tableur une nouvelle fois pour te montrer ce qui se passe. Je t'invite à le faire. Prends des valeurs de x de plus en plus grandes et c'est avec ta calculatrice. Tu fais 2 plus 1 sur 1000, 2 plus 1 sur 10000, 2 plus 1 sur 1 million, etc. Et tu vas voir ce qui se passe. Ce qui va se passer, c'est qu'on va tout doucement se rapprocher de 2. Et oui, car cette fonction, la fonction f de x égale à 2 plus 1 sur x, a pour limite 2. lorsque x tend vers plus l'infini, géométriquement, graphiquement plutôt. On voit ici notre courbe qui se rapproche de plus en plus d'une droite, la droite d'équation y égale à 2, y égale L dans le cas général. Eh bien oui, les valeurs de la fonction se resserrent autour de 2 pourvu que je prenne un x suffisamment grand. On le voit au début, ce n'est pas vrai. Les valeurs de la fonction sont assez éloignées de 2. Mais... Tout doucement, en se rapprochant, plutôt en augmentant les valeurs de x, on voit que la courbe se rapproche de la droite y égale à 2. C'est tout simplement parce que f prend des valeurs qui sont de plus en plus proches de 2. Quelque chose du type 2,1, 2,01, 2,001, etc. Et bien, du coup, qu'est-ce qui se passe ? La distance mn, que j'ai représentée ici en vert, elle tend vers 0. C'est normal puisque la courbe se rapprochant de la droite, l'écart entre la courbe et la droite... devient de plus en plus petit et la distance mn tend vers 0. Eh bien, si on prend un intervalle ouvert, n'importe lequel, qui est centré autour de L, ou au moins qui contient L, c'est-à-dire que ici, je prends un intervalle ouvert qui contient 2, je suis assuré que toutes les valeurs de la fonction se trouveront enfermées dans cet intervalle, donc appartiendront à cet intervalle, pourvu juste une nouvelle fois. que je prenne des valeurs de x suffisamment grandes. Géométriquement, on le voit bien ici. J'ai pris un intervalle qui contient 2. Qu'arrive-t-il ? Eh bien, à partir d'une certaine valeur de x, toutes les valeurs de f de x sont comprises dans cet intervalle. On voit bien que la courbe, elle est emprisonnée dans le bandeau rouge. Et ceci est vrai pour n'importe quel intervalle ouvert qui contient 2. J'en prends un plus petit, un intervalle plus serré. Voilà. Alors... Alors, c'est vrai qu'au début, la courbe n'est pas emprisonnée dans ce bandeau rouge. Il faut aller plus loin. Il faut prendre des valeurs de x suffisamment grandes. Mais à partir d'une certaine valeur de x, on voit qu'elle se retrouve toute emprisonnée dans ce bandeau rouge, c'est-à-dire que toutes les valeurs de la fonction appartiennent à mon intervalle ouvert. Et c'est comme ça qu'on définit une limite finie en l'infini. On dit que la fonction f... Admets pour limite L en plus l'infini. Si pour tout intervalle qui contient L, n'importe quel, aussi serré que je veux, eh bien toutes les valeurs de f de x se retrouvent enfermées dans cet intervalle, c'est-à-dire toutes les valeurs de f de x appartiennent à cet intervalle, pourvu juste que je prenne un x suffisamment grand, c'est-à-dire pourvu juste que j'aille suffisamment loin dans les valeurs de x. Et ceci est vrai, je le répète, pour n'importe quel intervalle ouvert qui contient L. Si ce n'est pas le cas, S'il existe un intervalle ouvert où ce n'est pas vrai, dans ce cas-là, ce ne sera pas une limite finie, ce sera autre chose ou pas de limite du tout. Mais du coup, on a là l'occasion d'introduire un nouvel objet géométrique qui s'appelle l'asymptote. Revenons à notre présentation graphique. On l'a dit tout à l'heure, la courbe représentative de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite d'équation y égale à 2. Eh bien, ça nous donne l'occasion d'introduire un nouvel objet géométrique qui s'appelle une asymptote. Plus précisément, ici, une asymptote horizontale. Car oui, dans le cas où la limite en l'infini de ma fonction est égale à L, est égale à un nombre, un vrai nombre, eh bien, dans ce cas-là, la droite d'équation Y égale à L est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction F. Et cette notion-là est très importante lorsqu'on a à représenter graphiquement des fonctions, car cela nous donnera un nouveau support pour représenter notre courbe. Car du coup, on connaîtra le comportement en l'infini de notre fonction, et cela nous permettra de faire un tracé qui correspond aux valeurs renvoyées par la fonction. Donc dans la pratique, qu'est-ce qu'on fait ? Si j'ai par exemple, comme c'est le cas pour notre fonction, limite lorsque x tend vers plus l'infini de f de x égale à 2, je commencerai par tracer la droite d'équation y égale à 2, et ensuite, pour des valeurs de x qui deviennent de plus en plus grandes, je ferai une courbe qui tend à se rapprocher tout doucement de la droite d'équation y égale à 2. Attention, elle est asymptote. La distance entre la courbe et la droite tend vers 0, mais la courbe ne touche pas la droite, donc il faudra faire attention. lorsqu'on tracera à main levée la courbe, de ne pas faire qu'elle en vienne à toucher la droite. Et la définition est exactement la même en moins l'infini. La droite d'équation y égale L est asymptote horizontale à la courbe si limite lorsque x tend vers moins l'infini de f de x est égale à L. Alors, deux petites remarques. On a souvent envie de penser qu'une fonction qui tend vers plus l'infini est nécessairement croissante. On l'a vu tout à l'heure avec la fonction x² et la parabole. C'est vrai que la fonction x² tend vers plus l'infini et elle est croissante. Mais il existe des fonctions qui ont pour limite plus l'infini en plus l'infini et qui ne sont pas pour autant croissantes. Eh bien, en voilà une. J'en ai représenté une ici. Cette fonction, on est bien d'accord qu'elle n'est pas croissante puisqu'elle est alternativement croissante puis décroissante, croissante puis décroissante, etc. Et pourtant, les valeurs de f deviennent aussi grandes que je veux pourvu juste que je prenne un x suffisamment grand. L'histoire du seuil tout à l'heure fonctionne très bien. Je peux placer une droite d'équation y égale a à quelconque. Et à partir d'une centaine de valeurs de x, j'aurai toutes les valeurs de f qui vont se retrouver au-dessus. Donc, on a bien ici une limite infinie en l'infini et pourtant une fonction qui n'est pas croissante. Ensuite, deuxième remarque très importante, je l'avais dit au début, c'est qu'il existe des fonctions qui n'ont pas de limite, qui n'ont pas de limite finie, qui n'ont pas de limite infinie. Il y en a toute une tripotée, ce sont par exemple les fonctions trigonométriques. Si je trace la fonction f2x égale à cos x, comme ici, on voit très bien, elle aussi est périodique, alternativement croissante, décroissante, croissante, décroissante, seulement contrairement à l'autre, ça ne monte pas, entre guillemets. On fait un peu du surplace entre la zone moins 1, 1. Donc, on ne tend pas vers plus l'infini. On ne tend pas vers moins l'infini. Et on ne tend pas non plus vers une valeur précise. La fonction cos x n'a pas de limite en plus l'infini. Passons aux limites en un réel. Alors, qu'est-ce qui va changer ici ? C'est qu'on ne va plus faire tendre x vers plus l'infini ou moins l'infini, mais on va faire tendre x vers un nombre. C'est l'exemple d'introduction que j'ai présenté au départ, où on avait x qui tendait vers 5. x se rapproche d'un nombre. Je vais aller un petit peu plus vite dans les explications de la notion de limite, parce qu'avec les deux situations précédentes, j'espère que tu commences un peu à comprendre. Mais bon, je vais quand même poser clairement les choses. De nouveau, intuitivement, qu'est-ce que ça veut dire ? On a une fonction f qui a pour limite plus l'infini. en a car c'est la situation qui nous intéressera essentiellement vu que si on a une limite finie en un nombre la plupart du temps je dis bien la plupart du temps cela veut dire qu'on peut calculer directement l'image par ce nombre donc la situation ne se présentera pas du moins en classe terminale alors on dit qu'on a une fonction f qui admet pour limite plus l'infini en a a qui est un nombre si f est aussi grand que l'on veut forcément puisque la limite est plus l'infini, pourvu que x se rapproche suffisamment de a. Si j'en viens à l'exemple que j'avais en introduction, on se souvient que f de x devenait très très grand, pourvu juste que x se rapproche suffisamment de 5. Graphiquement, voyons un exemple. On a ici une fonction qui a pour limite plus l'infini lorsque x tend vers 3. Donc lorsque x se rapproche... de 3. Et on voit que les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on souhaite. On voit bien ici que notre courbe, elle part très très haut pourvu juste que x soit suffisamment proche de 3, c'est-à-dire x tend vers 3. On notera, limite, quand x tend vers a de la fonction f de x égale à plus l'infini. Soyons un peu plus rigoureux une nouvelle fois. Si on prend un a quelconque, n'importe lequel, un petit a cette fois-ci, à ne pas confondre avec le grand a ici. Si je prends un petit a quelconque, comme c'est présenté ici sur le graphique, eh bien l'intervalle a plus l'infini contient toutes les valeurs de f pourvu juste que je prenne des valeurs de x qui soient suffisamment proches de 3. On retrouve un peu l'idée d'une limite infinie en l'infini. seulement là, simplement au lieu de se rapprocher de l'infini, on se rapproche de 3. Et on voit ici que dans notre bandeau rouge, on trouve toutes les valeurs de f, donc l'ensemble de la courbe, à partir d'un certain seuil. Donc juste, il faut simplement que je me rapproche suffisamment de 3. Et je peux mettre le curseur à n'importe quel niveau sur l'axe des ordonnées. Ceci marchera, mais il faudra peut-être aller un peu plus loin, un peu plus proche de 3. Et voilà les définitions pour une limite. infini en un réel a, eh bien on dit que f admettons limite plus l'infini lorsque x se rapproche de a. Si tout intervalle ouvert, donc à un certain seuil que l'on peut placer n'importe où sur l'axé des ordonnées, donc a plus l'infini, contient toutes les valeurs de f de x pourvu juste que je me rapproche suffisamment de grand a. Et pour une limite moins l'infini, c'est exactement la même chose. On dit que la fonction fA de B pour limite moins l'infini en grand A, si n'importe quel intervalle moins l'infini, B, contient toutes les valeurs de f pourvu juste que je me rapproche suffisamment de A. Et cette notion, comme précédemment, va nous permettre d'introduire un nouvel objet géométrique, une asymptote encore une fois, mais cette fois-ci une asymptote verticale. Et oui, on le voit bien sur notre présentation graphique, cette fois-ci... On a là un support vertical où la courbe semble se rapprocher de plus en plus de cette droite. Cette droite qui aura pour équation, attention cette fois-ci, x égale A, x égale A. Et pour avoir une telle asymptote verticale, il suffira d'obtenir, après calcul de limite, une valeur plus l'infini ou moins l'infini. On aura donc la droite d'équation x égale A est asymptote verticale à la courbe représentative de f. Si la limite quand x tend vers a de f de x est égale à plus l'infini ou moins l'infini. En gros, quand ça sera plus l'infini, on aura l'asymptote qui sera en haut sur notre repère, et en moins l'infini, elle sera en bas. Et une dernière remarque pour finir. Comme je viens de le dire, notre asymptote verticale peut être asymptote en haut ou en bas. Mais malheureusement pour nous, parce que ça complique les calculs, on va le voir plus tard dans les exercices de calcul de limite. Malheureusement pour nous, parfois c'est les deux. Elle est à la fois asymptote en haut et en bas. Et là, ça nous fait penser à une fonction bien connue, la fonction inverse. f de x égale 1 sur x. On le voit bien ici. La droite d'équation x égale à 0, elle est asymptote à la courbe à droite. La courbe s'en rapproche et monte de plus en plus. Mais à gauche, et à la gauche c'est le contraire. La courbe s'en rapproche, mais descend de plus en plus. Et oui, car il y a un problème dans le calcul de limite. Si je fais limite quand x tend vers 0, de 1 sur x. J'ai envie de donner une réponse, mais en réalité, il n'y en a pas une de réponse, il y en a deux. Tout dépend si x est positif ou négatif. Si x est positif, je vais prendre donc des valeurs de plus en plus proches de 0 pour essayer. Fais 1 divisé par 0,1. 1 divisé par 0,001. Puis continue. 1 divisé par 0,00001. Tu vas voir, tu vas trouver des réponses de plus en plus grandes. Et on n'admettra que la limite. De 1 sur x, lorsque x tend vers 0 pour x positif, et plus l'infini. Ça se concrétise bien sur le graphique, on voit effectivement, donc lorsque je me rapproche de 0 à droite, donc pour des valeurs positives, la courbe monte de plus en plus. Qu'arrive-t-il à 1 sur x lorsque x se rapproche de 0, mais pour des valeurs négatives ? Fais les mêmes calculs, mais seulement prends des valeurs négatives, du genre, moins 0,1, donc 1 divisé par moins 0,1. 1 divisé par moins 0,0001, etc. Eh bien, tu vas voir que tu vas trouver des valeurs de plus en plus grandes, mais dans les négatifs, genre moins 1000, moins 100 000, moins 1 milliard. Eh oui, car la limite de 1 sur x, lorsque x tend vers 0 pour des valeurs négatives de x, est moins l'infini. On ne trouve pas la même réponse suivant qu'on travaille à gauche ou qu'on travaille à droite. Eh bien, graphiquement, ça se concrétise. par une asymptote qui est à la fois asymptote à droite en plus l'infini et à gauche en moins l'infini. Il faudra être très très vigilant pour toutes ces fonctions-là. Un sur quelque chose, ça ne sera pas nécessairement la même chose à gauche à droite et ça compliquera, comme je l'ai dit avant, terriblement les calculs. En tous les cas, pour la notion de limite, cette séquence est terminée.

Bonjour ! Dans cette vidéo, je vais t'expliquer la notion de limite. D'abord, pourquoi on introduit une telle notion ?

Et ensuite, dans quel contexte en a-t-on besoin ? Pour mieux comprendre, partons d'un exemple très simple et on va introduire une fonction, la fonction f de x égale à x sur x moins 5 au carré. Alors, pour cette fonction, il n'est pas bien difficile de calculer des images.

Si je prends par exemple l'image de 3 par exemple. F, ça revient à calculer 3 sur 3 moins 5 au carré. On effectue ceci et on trouve exactement 0,75.

Pas de problème. Si de même, on veut calculer l'image de 10, il suffit de remplacer encore x par 10 et on obtient 10 sur 10 moins 5 au carré. On effectue tout ça, on trouve exactement 0,4. Donc là, pas de soucis. Mais qu'en est-il de l'image de 5 ?

Ça nous donnerait du 5 sur 5 moins 5 au carré. Avec donc un dénominateur qui serait nul, et ça on sait bien que c'est un interdit mathématique. Donc, on ne peut pas calculer l'image de 5 par la fonction f.

Mais si ce n'est pas possible de calculer l'image de 5 par f, est-ce qu'il ne serait pas possible de calculer des images pour des valeurs assez proches de 5 ? Bien sûr que si, ça en a le droit. La fonction f n'est pas définie en 5, mais ailleurs elle est définie. Je peux par exemple calculer... L'image par f de 4,9 et je trouve 490. Donc ceci est effectué bien évidemment avec un logiciel.

Je passe sur les calculs. On peut poursuivre avec l'image de 4,99. Je me rapproche un peu plus de 5 et là je trouve 49 900. Et je poursuis avec l'image de 4,999 puis 4,9991 etc. Et je me rapproche tout doucement de 5. Alors on le voit dans notre tableau ici, j'ai poursuivi les calculs jusqu'à 4,9999. Et on trouve un résultat astronomique de plusieurs centaines de millions.

On pourrait poursuivre, je m'arrête là, mais on pourrait poursuivre. On aurait envie de penser que les valeurs de f vont continuer à augmenter. Et oui, car c'est ça la question. La question est de savoir quel est le comportement de ma fonction f lorsque x se rapproche de plus en plus de 5. On dira que x tend. vu que je ne peux pas calculer les valeurs de f pour x égale à 5, je me contente, si on peut dire, de me rapprocher de 5. Et on peut y répondre à cette question.

C'est déjà un petit calcul de limite. On peut y répondre, eh bien oui, lorsque x tend vers 5, f de x tend vers plus l'infini. On a envie de penser qu'on peut atteindre des valeurs de plus en plus grandes.

Je vais expliquer plus précisément tout de suite. ce que cela signifie qu'une fonction tend vers plus l'infini. Pour l'instant, c'est juste pour comprendre l'idée des calculs de limites et aussi exprimer pourquoi on est amené à faire des calculs de limites. Donc on est amené à faire des calculs de limites, oui, dans le cas où la fonction n'est pas définie. D'accord ?

Tu n'es pas défini en 5, mais je vais quand même voir ce qui se passe lorsque je me rapproche de 5. Et on peut être amené à faire des calculs de limites dans d'autres cas, c'est lorsque x tend vers un des deux infinis. C'est-à-dire... lorsque x devient de plus en plus grand pour des valeurs positives ou lorsque x devient de plus en plus grand pour des valeurs négatives. Par exemple ici, je peux calculer f de 1 million, je peux calculer f de 1 milliard, mais je ne peux pas calculer f de l'infini. L'infini n'est pas un nombre.

Par contre, j'ai quand même envie de savoir qu'est-ce qu'il arrive à ma fonction f lorsque je prends des valeurs de plus en plus grandes et qui tendent... à partir vers plus l'infini et même question vers moins l'infini. Voilà dans quel contexte on va être amené à faire des calculs de limites. Alors on va commencer par la première situation, les limites en l'infini, c'est-à-dire on va prendre des valeurs de x qui deviennent de plus en plus grandes.

Alors limite à l'infini, comme je viens de dire, cela signifie qu'on va avoir des valeurs de x qui vont devenir de plus en plus grandes dans les positifs. On dira que x tend vers plus l'infini et on le notera de cette façon-là. x tend vers plus l'infini. Ou alors, x prend des valeurs de plus en plus grandes mais dans les négatifs.

On dira que x tend vers moins l'infini et on le notera de cette façon-là. Alors, moi dans cette séquence, je vais essentiellement parler du cas où x tend vers plus l'infini puisque l'approche est strictement la même en moins l'infini. Il y a même, on le verra graphiquement...

une symétrie par rapport à l'axe des abscisses. Plusieurs situations peuvent se présenter. D'abord, lorsqu'on fait tendre x vers l'infini, le résultat...

peut être l'infini. On dira qu'on a une limite infinie à l'infini. On peut également avoir une limite finie à l'infini. J'en parlerai ensuite et on peut aussi avoir pas de limite du tout, on en parlera également. Commençons donc par une limite infinie à l'infini.

Eh bien, cela veut dire que si on a une fonction f, f admet pour limite plus l'infini en plus l'infini. Si f de x devient aussi grand que l'on veut, pourvu juste, qu'on prenne des valeurs de x suffisamment grandes. Pour bien comprendre, un exemple encore, prenons la fonction f de x égale x au carré.

On la connaît bien cette fonction, c'est une fonction usuelle. C'est une fonction du second degré représentée par une parabole et ses deux branches qui justement montent très très haut puisque ici le coefficient qui est égal à 1 est positif, donc les branches sont tournées vers le haut. Bon, donc graphiquement on comprend bien cette fonction. Car justement, cette fonction A pour limite plus l'infini, en plus l'infini.

On va le noter. J'ai dit tout à l'heure qu'on écrivait que x tend vers plus l'infini. Eh bien, au-dessus, on va mettre lim, l-i-m.

Cela veut dire ici que je cherche la limite lorsque x tend vers plus l'infini. Il faut préciser de quoi ? Ici, on a dit qu'on parlait de f. Donc derrière, soit j'écris f de x, soit j'écris x au carré, comme on veut.

Si la fonction a un nom, on peut mettre f du x. Lorsque x tend vers plus l'infini, qu'arrive-t-il à x², c'est-à-dire quelle est sa limite ? On l'a dit, c'est plus l'infini. Qu'est-ce que ça signifie ? Eh bien, cela signifie que les valeurs de la fonction x² peuvent devenir aussi grandes que l'on veut, mais vraiment aussi grandes que l'on veut, pourvu juste qu'on prenne un x suffisamment grand.

Ce qui veut dire... que x² peut atteindre la valeur 1 milliard. Mais il faudra peut-être que je mette le paquet ici pour prendre un x suffisamment grand. Mais il faudrait être un peu plus précis.

La notion de limite dit autre chose. Et pour bien comprendre, regardons graphiquement. J'ai donc représenté là ma fonction x², et j'ai rajouté un seuil, une droite, une droite d'équation y égale à, mais peu importe, et cette valeur de a est quelconque.

Eh bien, si je considère l'intervalle ouvert A plus l'infini, c'est-à-dire à partir de A et je ne m'arrête pas. Donc c'est un intervalle non borné. Eh bien, cet intervalle A plus l'infini contient toutes les valeurs de ma fonction f, je dis bien toutes, pourvu que je prenne un x suffisamment grand.

Alors est-ce que c'est vrai ça pour ma fonction f ? Je vais prendre par exemple A égale à 4. Est-ce que, à partir d'une certaine valeur de x, suffisamment grande, j'aurai dedans toutes les valeurs de f ? On déplace le curseur, on va jusqu'à a égale à 4, et effectivement, on voit qu'à partir d'un certain x, qui est ici x égale à 2, j'ai pris des petites valeurs là, toutes les valeurs de f seront au-dessus.

Et ceci, ça ne dépend pas de a. Je peux prendre un autre a, j'en prends un autre. Par exemple, a égale à 9. Est-ce que... En prenant a égale à 9, c'est-à-dire l'intervalle ouvert qui va de 9 à plus l'infini, dans cet intervalle ouvert, j'aurai toutes les valeurs de la fonction.

Regardons. Oui, à partir de 3, on voit que la courbe, elle est dans la bande rouge, et donc toutes les valeurs de f devront être emprisonnées dans cette bande rouge. Et tu peux prendre n'importe quelle valeur de a, aussi grande que tu veux, on ne va pas le faire, mais si tu prends a égale 1 million, par exemple, tu auras évidemment... la droite qui sera beaucoup plus haute, il va falloir chercher des x beaucoup plus vers la droite, mais à partir d'une certaine valeur de x, on aura toutes les valeurs de f de x qui seront emprisonnées dans ce bandeau rouge.

C'est ça la notion de limite infinie en l'infini. Et on a là une définition qui, cette fois-ci, est bien rigoureuse et qui nous dit que f admis pour limite Plus l'infini en plus l'infini. Si tout intervalle a plus l'infini, n'importe quel intervalle, je prends n'importe quelle valeur de a. Avec donc a qui est réel, contient toutes les valeurs de f de x, pourvu juste que je prenne un x suffisamment grand. Et on note, limite quand x tend vers plus l'infini de f de x, égale à plus l'infini.

Petite parenthèse, qu'en est-il en moins l'infini ? Eh bien, c'est strictement la même chose, mais comme je l'avais annoncé tout à l'heure. il y aura une symétrie. On dit que la fonction f admet pour limite moins l'infini.

en plus l'infini, donc j'ai des valeurs de x qui deviennent de plus en plus grandes, et des valeurs de f qui deviennent de plus en plus petites, de plus en plus petites, c'est-à-dire de plus en plus grandes dans les négatifs. Si dès que je prends un intervalle ouvert moins l'infini, b, cette fois-ci le bandeau rouge sera tiré vers le bas, et bien ce bandeau rouge contient toutes les valeurs de f de x, cet intervalle contient toutes les valeurs de f de x, pourvu juste que je prenne un x. suffisamment grand.

Qu'en est-il d'une limite finie à l'infini ? Alors, on est toujours à l'infini, autrement dit, on fait toujours tendre x vers un des deux infinis, plus l'infini ou moins l'infini. On va donc s'intéresser au comportement d'une fonction f, lorsque x devient très très grand. Et bien là, on a une limite finie, autrement dit, là on va obtenir un nombre. Un vrai nombre, peu importe, 2, 3, 4, 12 ou 7, on va obtenir un nombre.

On a donc là quelque chose de fini, qui s'arrête. Il existe tout plein d'exemples de fonctions qui ont une limite finie lorsque x devient très très grand, lorsque x tend vers plus l'infini. Intuitivement, ça veut dire quoi ? Eh bien, on dit qu'une fonction f, admettons pour limite l, donc l c'est un nombre, en plus l'infini, si f de x...

prend des valeurs aussi proches que l'on veut de ce L, pourvu juste qu'on prenne un x suffisamment grand. Et là encore, voyons un exemple pour mieux comprendre concrètement et graphiquement ce que cela signifie. On prend la fonction f du x est égale à 2 plus 1 sur x. Et on voudrait s'intéresser au comportement de cette fonction en plus l'infini, c'est-à-dire pour des valeurs du x qui deviennent de plus en plus grandes.

Alors, je ne vais pas faire l'essai avec le tableur une nouvelle fois pour te montrer ce qui se passe. Je t'invite à le faire. Prends des valeurs de x de plus en plus grandes et c'est avec ta calculatrice.

Tu fais 2 plus 1 sur 1000, 2 plus 1 sur 10000, 2 plus 1 sur 1 million, etc. Et tu vas voir ce qui se passe. Ce qui va se passer, c'est qu'on va tout doucement se rapprocher de 2. Et oui, car cette fonction, la fonction f de x égale à 2 plus 1 sur x, a pour limite 2. lorsque x tend vers plus l'infini, géométriquement, graphiquement plutôt.

On voit ici notre courbe qui se rapproche de plus en plus d'une droite, la droite d'équation y égale à 2, y égale L dans le cas général. Eh bien oui, les valeurs de la fonction se resserrent autour de 2 pourvu que je prenne un x suffisamment grand. On le voit au début, ce n'est pas vrai. Les valeurs de la fonction sont assez éloignées de 2. Mais...

Tout doucement, en se rapprochant, plutôt en augmentant les valeurs de x, on voit que la courbe se rapproche de la droite y égale à 2. C'est tout simplement parce que f prend des valeurs qui sont de plus en plus proches de 2. Quelque chose du type 2,1, 2,01, 2,001, etc. Et bien, du coup, qu'est-ce qui se passe ? La distance mn, que j'ai représentée ici en vert, elle tend vers 0. C'est normal puisque la courbe se rapprochant de la droite, l'écart entre la courbe et la droite...

devient de plus en plus petit et la distance mn tend vers 0. Eh bien, si on prend un intervalle ouvert, n'importe lequel, qui est centré autour de L, ou au moins qui contient L, c'est-à-dire que ici, je prends un intervalle ouvert qui contient 2, je suis assuré que toutes les valeurs de la fonction se trouveront enfermées dans cet intervalle, donc appartiendront à cet intervalle, pourvu juste une nouvelle fois. que je prenne des valeurs de x suffisamment grandes. Géométriquement, on le voit bien ici. J'ai pris un intervalle qui contient 2. Qu'arrive-t-il ? Eh bien, à partir d'une certaine valeur de x, toutes les valeurs de f de x sont comprises dans cet intervalle.

On voit bien que la courbe, elle est emprisonnée dans le bandeau rouge. Et ceci est vrai pour n'importe quel intervalle ouvert qui contient 2. J'en prends un plus petit, un intervalle plus serré. Voilà.

Alors... Alors, c'est vrai qu'au début, la courbe n'est pas emprisonnée dans ce bandeau rouge. Il faut aller plus loin. Il faut prendre des valeurs de x suffisamment grandes.

Mais à partir d'une certaine valeur de x, on voit qu'elle se retrouve toute emprisonnée dans ce bandeau rouge, c'est-à-dire que toutes les valeurs de la fonction appartiennent à mon intervalle ouvert. Et c'est comme ça qu'on définit une limite finie en l'infini. On dit que la fonction f...

Admets pour limite L en plus l'infini. Si pour tout intervalle qui contient L, n'importe quel, aussi serré que je veux, eh bien toutes les valeurs de f de x se retrouvent enfermées dans cet intervalle, c'est-à-dire toutes les valeurs de f de x appartiennent à cet intervalle, pourvu juste que je prenne un x suffisamment grand, c'est-à-dire pourvu juste que j'aille suffisamment loin dans les valeurs de x. Et ceci est vrai, je le répète, pour n'importe quel intervalle ouvert qui contient L.

Si ce n'est pas le cas, S'il existe un intervalle ouvert où ce n'est pas vrai, dans ce cas-là, ce ne sera pas une limite finie, ce sera autre chose ou pas de limite du tout. Mais du coup, on a là l'occasion d'introduire un nouvel objet géométrique qui s'appelle l'asymptote. Revenons à notre présentation graphique.

On l'a dit tout à l'heure, la courbe représentative de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite d'équation y égale à 2. Eh bien, ça nous donne l'occasion d'introduire un nouvel objet géométrique qui s'appelle une asymptote. Plus précisément, ici, une asymptote horizontale. Car oui, dans le cas où la limite en l'infini de ma fonction est égale à L, est égale à un nombre, un vrai nombre, eh bien, dans ce cas-là, la droite d'équation Y égale à L est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction F. Et cette notion-là est très importante lorsqu'on a à représenter graphiquement des fonctions, car cela nous donnera un nouveau support pour représenter notre courbe.

Car du coup, on connaîtra le comportement en l'infini de notre fonction, et cela nous permettra de faire un tracé qui correspond aux valeurs renvoyées par la fonction. Donc dans la pratique, qu'est-ce qu'on fait ? Si j'ai par exemple, comme c'est le cas pour notre fonction, limite lorsque x tend vers plus l'infini de f de x égale à 2, je commencerai par tracer la droite d'équation y égale à 2, et ensuite, pour des valeurs de x qui deviennent de plus en plus grandes, je ferai une courbe qui tend à se rapprocher tout doucement de la droite d'équation y égale à 2. Attention, elle est asymptote. La distance entre la courbe et la droite tend vers 0, mais la courbe ne touche pas la droite, donc il faudra faire attention. lorsqu'on tracera à main levée la courbe, de ne pas faire qu'elle en vienne à toucher la droite.

Et la définition est exactement la même en moins l'infini. La droite d'équation y égale L est asymptote horizontale à la courbe si limite lorsque x tend vers moins l'infini de f de x est égale à L. Alors, deux petites remarques.

On a souvent envie de penser qu'une fonction qui tend vers plus l'infini est nécessairement croissante. On l'a vu tout à l'heure avec la fonction x² et la parabole. C'est vrai que la fonction x² tend vers plus l'infini et elle est croissante.

Mais il existe des fonctions qui ont pour limite plus l'infini en plus l'infini et qui ne sont pas pour autant croissantes. Eh bien, en voilà une. J'en ai représenté une ici. Cette fonction, on est bien d'accord qu'elle n'est pas croissante puisqu'elle est alternativement croissante puis décroissante, croissante puis décroissante, etc. Et pourtant, les valeurs de f deviennent aussi grandes que je veux pourvu juste que je prenne un x suffisamment grand.

L'histoire du seuil tout à l'heure fonctionne très bien. Je peux placer une droite d'équation y égale a à quelconque. Et à partir d'une centaine de valeurs de x, j'aurai toutes les valeurs de f qui vont se retrouver au-dessus. Donc, on a bien ici une limite infinie en l'infini et pourtant une fonction qui n'est pas croissante. Ensuite, deuxième remarque très importante, je l'avais dit au début, c'est qu'il existe des fonctions qui n'ont pas de limite, qui n'ont pas de limite finie, qui n'ont pas de limite infinie.

Il y en a toute une tripotée, ce sont par exemple les fonctions trigonométriques. Si je trace la fonction f2x égale à cos x, comme ici, on voit très bien, elle aussi est périodique, alternativement croissante, décroissante, croissante, décroissante, seulement contrairement à l'autre, ça ne monte pas, entre guillemets. On fait un peu du surplace entre la zone moins 1, 1. Donc, on ne tend pas vers plus l'infini. On ne tend pas vers moins l'infini. Et on ne tend pas non plus vers une valeur précise.

La fonction cos x n'a pas de limite en plus l'infini. Passons aux limites en un réel. Alors, qu'est-ce qui va changer ici ? C'est qu'on ne va plus faire tendre x vers plus l'infini ou moins l'infini, mais on va faire tendre x vers un nombre. C'est l'exemple d'introduction que j'ai présenté au départ, où on avait x qui tendait vers 5. x se rapproche d'un nombre.

Je vais aller un petit peu plus vite dans les explications de la notion de limite, parce qu'avec les deux situations précédentes, j'espère que tu commences un peu à comprendre. Mais bon, je vais quand même poser clairement les choses. De nouveau, intuitivement, qu'est-ce que ça veut dire ? On a une fonction f qui a pour limite plus l'infini.

en a car c'est la situation qui nous intéressera essentiellement vu que si on a une limite finie en un nombre la plupart du temps je dis bien la plupart du temps cela veut dire qu'on peut calculer directement l'image par ce nombre donc la situation ne se présentera pas du moins en classe terminale alors on dit qu'on a une fonction f qui admet pour limite plus l'infini en a a qui est un nombre si f est aussi grand que l'on veut forcément puisque la limite est plus l'infini, pourvu que x se rapproche suffisamment de a. Si j'en viens à l'exemple que j'avais en introduction, on se souvient que f de x devenait très très grand, pourvu juste que x se rapproche suffisamment de 5. Graphiquement, voyons un exemple. On a ici une fonction qui a pour limite plus l'infini lorsque x tend vers 3. Donc lorsque x se rapproche... de 3. Et on voit que les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on souhaite. On voit bien ici que notre courbe, elle part très très haut pourvu juste que x soit suffisamment proche de 3, c'est-à-dire x tend vers 3. On notera, limite, quand x tend vers a de la fonction f de x égale à plus l'infini.

Soyons un peu plus rigoureux une nouvelle fois. Si on prend un a quelconque, n'importe lequel, un petit a cette fois-ci, à ne pas confondre avec le grand a ici. Si je prends un petit a quelconque, comme c'est présenté ici sur le graphique, eh bien l'intervalle a plus l'infini contient toutes les valeurs de f pourvu juste que je prenne des valeurs de x qui soient suffisamment proches de 3. On retrouve un peu l'idée d'une limite infinie en l'infini. seulement là, simplement au lieu de se rapprocher de l'infini, on se rapproche de 3. Et on voit ici que dans notre bandeau rouge, on trouve toutes les valeurs de f, donc l'ensemble de la courbe, à partir d'un certain seuil. Donc juste, il faut simplement que je me rapproche suffisamment de 3. Et je peux mettre le curseur à n'importe quel niveau sur l'axe des ordonnées.

Ceci marchera, mais il faudra peut-être aller un peu plus loin, un peu plus proche de 3. Et voilà les définitions pour une limite. infini en un réel a, eh bien on dit que f admettons limite plus l'infini lorsque x se rapproche de a. Si tout intervalle ouvert, donc à un certain seuil que l'on peut placer n'importe où sur l'axé des ordonnées, donc a plus l'infini, contient toutes les valeurs de f de x pourvu juste que je me rapproche suffisamment de grand a. Et pour une limite moins l'infini, c'est exactement la même chose.

On dit que la fonction fA de B pour limite moins l'infini en grand A, si n'importe quel intervalle moins l'infini, B, contient toutes les valeurs de f pourvu juste que je me rapproche suffisamment de A. Et cette notion, comme précédemment, va nous permettre d'introduire un nouvel objet géométrique, une asymptote encore une fois, mais cette fois-ci une asymptote verticale. Et oui, on le voit bien sur notre présentation graphique, cette fois-ci...

On a là un support vertical où la courbe semble se rapprocher de plus en plus de cette droite. Cette droite qui aura pour équation, attention cette fois-ci, x égale A, x égale A. Et pour avoir une telle asymptote verticale, il suffira d'obtenir, après calcul de limite, une valeur plus l'infini ou moins l'infini. On aura donc la droite d'équation x égale A est asymptote verticale à la courbe représentative de f. Si la limite quand x tend vers a de f de x est égale à plus l'infini ou moins l'infini.

En gros, quand ça sera plus l'infini, on aura l'asymptote qui sera en haut sur notre repère, et en moins l'infini, elle sera en bas. Et une dernière remarque pour finir. Comme je viens de le dire, notre asymptote verticale peut être asymptote en haut ou en bas.

Mais malheureusement pour nous, parce que ça complique les calculs, on va le voir plus tard dans les exercices de calcul de limite. Malheureusement pour nous, parfois c'est les deux. Elle est à la fois asymptote en haut et en bas.

Et là, ça nous fait penser à une fonction bien connue, la fonction inverse. f de x égale 1 sur x. On le voit bien ici. La droite d'équation x égale à 0, elle est asymptote à la courbe à droite.

La courbe s'en rapproche et monte de plus en plus. Mais à gauche, et à la gauche c'est le contraire. La courbe s'en rapproche, mais descend de plus en plus.

Et oui, car il y a un problème dans le calcul de limite. Si je fais limite quand x tend vers 0, de 1 sur x. J'ai envie de donner une réponse, mais en réalité, il n'y en a pas une de réponse, il y en a deux. Tout dépend si x est positif ou négatif. Si x est positif, je vais prendre donc des valeurs de plus en plus proches de 0 pour essayer.

Fais 1 divisé par 0,1. 1 divisé par 0,001. Puis continue.

1 divisé par 0,00001. Tu vas voir, tu vas trouver des réponses de plus en plus grandes. Et on n'admettra que la limite.

De 1 sur x, lorsque x tend vers 0 pour x positif, et plus l'infini. Ça se concrétise bien sur le graphique, on voit effectivement, donc lorsque je me rapproche de 0 à droite, donc pour des valeurs positives, la courbe monte de plus en plus. Qu'arrive-t-il à 1 sur x lorsque x se rapproche de 0, mais pour des valeurs négatives ?

Fais les mêmes calculs, mais seulement prends des valeurs négatives, du genre, moins 0,1, donc 1 divisé par moins 0,1. 1 divisé par moins 0,0001, etc. Eh bien, tu vas voir que tu vas trouver des valeurs de plus en plus grandes, mais dans les négatifs, genre moins 1000, moins 100 000, moins 1 milliard. Eh oui, car la limite de 1 sur x, lorsque x tend vers 0 pour des valeurs négatives de x, est moins l'infini. On ne trouve pas la même réponse suivant qu'on travaille à gauche ou qu'on travaille à droite.

Eh bien, graphiquement, ça se concrétise. par une asymptote qui est à la fois asymptote à droite en plus l'infini et à gauche en moins l'infini. Il faudra être très très vigilant pour toutes ces fonctions-là. Un sur quelque chose, ça ne sera pas nécessairement la même chose à gauche à droite et ça compliquera, comme je l'ai dit avant, terriblement les calculs. En tous les cas, pour la notion de limite, cette séquence est terminée.

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Introduction à la notion de limite en mathématiques