Алгебра. Знання про корінь ентого степеня. Привіт, друзі! Мене звати Владислав Кононенко. Ми починаємо вивчати тему під назвою «Корінь ентого степеня.
Арифметичний корінь ентого степеня». Перш ніж я розповім вам про різницю між коренем n-го степеня і арифметичним коренем n-го степеня, нумо дізнаватися про те, як застосовувати цю тему на практиці. Дедалі частіше виникає потреба у розв'язанні рівнянь зі степенем більшим за 2. У фізиці, хімії та інших сферах існують формули, які потребують знання про корінь n-го степеня.
Для прикладу знаходження об'єму кулі. Об'єм кулі дорівнює 4 третіх πr в кубі. А якщо нам відомий об'єм кулі і потрібно знайти її радіус? Тут нам і знадобиться корінь третього степеня з виразу 3v поділити на 4π. Переходимо до означення кореня n-го степеня.
Означення. Коренем n-го степеня з числа а, де n належить множині натуральних чисел, n більше за 1, називають таке число, n-тий степінь якого дорівнює а. Це означення аналогічне означенню квадратного кореня з курсу алгебри за восьмий клас.
Розгляньмо декілька прикладів. Так, наприклад. Корінь четвертого степеня з 16 дорівнює 2. Також ми знаємо, що 3 в п'ятому степені дорівнює 243. А це означає, що корінь п'ятого степеня з 243 дорівнює 3. Розгляньмо рівняння. Х в степені n дорівнює а.
Нехай n більше 1 і належить множині натуральних чисел. Тоді для всіх непарних n існує єдиний розв'язок цього рівняння і дорівнює корінь n-го степеня з а для будь-яких а. Позначають корінь n-го степеня з а так.
Якщо n парне, то для а дорівнює 0 рівняння матиме єдиний розв'язок. При х дорівнює 0. А якщо а від'ємне, то рівняння не має розв'язків. І якщо а більше нуля, то рівняння має два розв'язки, а саме корінь n-го степеня з а і мінус корінь n-го степеня з а.
Для того, щоб узагальнити відповідь, для парного n у допомозі стає арифметичний корінь n-го степеня. Наведемо означення арифметичного кореня n-того степеня. Означення.
Арифметичним коренем n-того степеня з невід'ємного числа a, де n належить множині натуральних чисел, n більше за 1, називають таке невід'ємне число, n-тий степінь якого дорівнює a. Тоді для рівняння х у степені n дорівнює a. Для всіх парних n розв'язком рівняння стане арифметичний корінь n-го степеня з а. Відповідно до означення арифметичного кореня n-го степеня, при а 0 рівняння розв'язків немає.
Також з означенням арифметичного кореня n-го степеня випливає таке. 1 Корінь n-го степеня з а. більше або дорівнює нулю, де а більше або дорівнює нулю. Друге, корінь n-го степеня з а в степені n дорівнює а, де а більше або дорівнює нулю.
Всю цю інформацію в більш структурованому вигляді ви знайдете в конспекті до уроку. Наразі саме час переходити до практики. Перше завдання. Обчисліть перший пункт корінь п'ятого степеня з мінус 7 у п'ятому степені. Оскільки корінь непарного степеня, то виконується правило.
що корінь n-го степеня з а в степені n дорівнює а. Отже, відповідь мінус 7. Другий пункт. Корінь четвертого степеня з мінус 3 в четвертому степені. Зазначення арифметичного коре ня n-го степеня вираз в умові має дорівнювати невід'ємному числу. Як вам відомо, Мінус 3 в четвертому степені дорівнює 3 в четвертому степені, оскільки 4 парне число.
Отже, перетворивши початковий вираз на корінь четвертого степеня з 3 в четвертому степені, отримаємо відповідь. Початковий вираз дорівнює 3. Третій пункт. Корінь п'ятого степеня з 14. в степені 5 додати мінус 2 помножити на корінь квадратний з 10 і в степені 2 мінус корінь сьомого степеня з мінус 128. Спочатку розглянемо кожен доданок окремо. Корінь п'ятого степеня з 14 у п'ятому степені дорівнює 14. Мінус 2 помножити на корінь квадратний із 10 і в другому степені дорівнює, піднесемо кожен множник до другого степеня.
4 помножити на 10 дорівнює 40. Корінь сьомого степеня з мінус 128 дорівнює мінус 2. Мінус залишається, оскільки 7 непарне число. Початковий вираз дорівнює 14 плюс 40 відняти мінус 2 дорівнює 54 плюс 2 дорівнює 56. Друге завдання. Знайдіть область визначення і область значень таких функцій. Перше. у дорівнює корінь 6-го степеня з ікс мінус 3. 2. у дорівнює 2 плюс корінь п'ятого степеня з ікс.
Отже, ікс більше або дорівнює нулю. Область значень. Корінь шостого степеня з ікс за означенням більше або дорівнює нулю.
Тоді корінь шостого степеня з ікс мінус 3 більше або дорівнює мінус 3. Отримали відповідь. e від f дорівнює проміжку з мінус трьох включно до плюс нескінченності. Пункт другий. у дорівнює 2 плюс корінь п'ятого степеня з ікс.
Область визначення для кореня непарного степеня дорівнює множині дійсних чисел. У зв'язку з цим і область значень заданої функції дорівнює множині дійсних чисел. 3. у дорівнює корінь четвертого степеня з ікс у четвертому степені. Область визначення.
Підкореневий вираз, тобто ікс у четвертому степені, має бути більший або дорівнює нулю. Але оскільки ікс в будь-якому парному степені більший або дорівнює нулю, за будь-якого дійсного значення ікс, то областю визначення початкової функції є множина дійсних чисел. Знаходимо область значень. Аналогічно до першого пункту, за означенням арифметичного кореня четвертого степеня, корінь четвертого степеня з ікс у четвертому степені більший або дорівнює нулю.
Отже, область значень. дорівнює проміжку від нуля, включно, до плюс нескінченності. На наступних уроках ми й далі вивчатимемо корінь n-го степеня та арифметичний корінь n-го степеня.
Але для зручності в математичній спільноті заведено опускати слово «арифметичний». Тож ми розрізнятимемо лише корені парного і непарного степенів. На цьому я буду завершувати. Дякую за увагу! До нових зустрічей!