[संगीत] ओके स्टार्ट हेलो डियर स्टूडेंट एक बार वॉइस चेक करके बताइए की सभी को मेरी वॉइस क्लियर ए रही है एक बार वॉइस चेक करें सभी स्टूडेंट का क्लियर वॉइस हेलो डियर स्टूडेंट वेलकम तू डी गेटवे क्लासेस मी नाम इसे गुलशन कुमार और मैं आपको पढ़ा रहा हूं इंजीनियरिंग मैथमेटिक्स तू इंजीनियर मैथमेटिक्स तू में अभी हम कर रहे हैं इससे पहले मैं आप लोगों को इंजीनियरिंग मैथमेटिक्स तू के अंदर कर यूनिट का कंप्लीट वन शॉट रिवीजन कर चुका हूं यूनिट नंबर वन यूनिट नंबर तू यूनिट नंबर फोर और यूनिट नंबर फाइव ये कर यूनिट हमारी कंप्लीट हो चुकी है और आज हम करेंगे वन शॉर्ट रिव्यूज ऑन यूनिट नंबर फोर का यूनिट नंबर थ्री का तो चलिए स्टार्ट करते हैं और सबसे पहले देखते हैं की यूनिट नंबर थ्री में कौन-कौन से टॉपिक है जो हमारे हमको रिवाइज करने या इससे पहले हम उनको पढ़ चुके हैं तो देखिए पहले अगर मैं बात करूं यूनिट नंबर थ्री के टॉपिक की तो यहां पर सबसे पहले टॉपिक आता है डेफिनेशन ऑफ सीक्वेंस सेंसेटिव देखिए यूनिट का जो हमारी नाम है वो है सीक्वेंस और सीरीज और सीक्वेंस और सीरीज के अंदर पहले टॉपिक हमारा है डेफिनेशन ऑफ सीक्वेंस और सीरीज विद एग्जांपल यहां पर छोटा सा टॉपिक है जिसमें हम बेसिक चीज पढ़ने हैं उसके बाद यहां पर टॉपिक है कन्वर्जन सीरीज टेस्ट पर कन्वर्जेंस ऑफ सीरीज टेस्ट अब अगर मैं यहां पर बात करूं की कौन-कौन से टॉपिक है जो बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है और जो आपको रिवाइज करने चाहिए बहुत अच्छे से तो देखिए यहां पर अगर हम बात करेंगे तो सबसे पहले जो यहां से 7 मार्क्स का एक क्वेश्चन आता है वो आता है आपका दी नंबर टेस्ट है जिसको हम रेशों टेस्ट भी कहते हैं यहां से 7 मार्क्स का क्वेश्चन रेगुलरली अकडू के एग्जाम में पूछा जाता है ठीक अब उसके बाद अगर हम आगे की बात करें तो देखिए यहां पर ये जो बाकी के जितने भी छोटे-छोटे टॉपिक आपको दिखाई दे रहे हैं इन सभी टॉपिक से 22 मार्क्स के क्वेश्चंस भी आते हैं आज के लेक्चर में आज जो वन शॉट रिवीजन करेंगे इसमें मैं आपको पुरी कंप्लीट यूनिट रिवाइज नहीं कर रहा हूं आज हम रिवाइज करेंगे 4 इयर्स आर सीरीज हाफ रेंज 4 इयर्स साइन और कोसिन सीरीज और इस टॉपिक से जी टॉपिक को हम आज रिवाइज करने वाले हैं यहां से दो क्वेश्चन 77 मार्क्स के रेगुलरली एक्टू एग्जाम में पूछे जाते हैं तो आज मैं आपको हिट टॉपिक रिवाइज करने वाला हूं ठीक है ना इससे ऊपर बाकी जितने भी टॉपिक है उसमें मैंने आपको बता दिया है जो डेल नंबर टेस्ट है जिसको हम रेस्टिव टेस्ट भी कहते हैं यहां से एक सेवन मार्क्स का क्वेश्चन आएगा लेकिन इस टेस्ट को पढ़ने के लिए आपको रेशों टेस्ट भी रिवाइज करना होगा रेबीज टेस्ट भी रिवाइज करना होगा कंपैरिजन टेस्ट को भी रिवाइज करना होगा और एक पीस रेस्ट टेस्ट और होता है ये सभी टेस्ट जब आपको आते होंगे तभी आप डेल नंबर्स रेशों टेस्ट के क्वेश्चंस को कर पाएंगे तो चलिए आज हम स्टार्ट करते हैं तो आज हम जो रिवाइज करेंगे वो है 4 एयर सीरीज तो आज के लेक्चर में 4 एयर सीरीज को हम कंप्लीट रिवाइज करेंगे बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट टॉपिक है देखिए फोरिअर सीरीज के जो क्वेश्चंस होते हैं वो नो डाउट थोड़े से लांगती होते हैं लेकिन क्वेश्चंस बहुत आसन है एक बार अगर आप पैटर्न को समझ जाएंगे अगर आप फार्मूले जितने भी कॉन्सेप्ट है अगर उनको एक बार समझ लेंगे तो आप बहुत आसानी के साथ फोरिअर सीरीज के क्वेश्चंस को अटेंड कर सकते हैं और जैसा मैंने आपको बताया यहां से दो क्वेश्चन फोर एयर सीरीज के ए के दिउ एग्जाम में आएंगे ही आएंगे और हमेशा आते हैं तो चलिए स्टार्ट करते हैं सबसे पहले बात करेंगे फोरिअर सीरीज देखिए फोरिअर सीरीज में आपको पहले भी बता चुका हूं की 4 एयर सीरीज पीरियोडिक फंक्शन के लिए डिफाइन होती है तो सबसे पहले हम पढ़ेंगे यहां पर की पीरियोडिक फंक्शन क्या होता है तो देखिए फोर एयर सीरीज को समझना के लिए जितने भी बेसिक कॉन्सेप्ट्स हैं उन सब को मैं एक बार आपको रिवाइज कर देता हूं और उसके बाद हम फोरिअर सीरीज के क्वेश्चंस को सॉल्व करेंगे तो सबसे पहले यहां पर बात करते हैं पीरियोडिक फंक्शन की की पीरियोडिक फंक्शन एक्चुअल में है क्या ये पीरियोडिक फंक्शन मैंने आपको लाप्लास में ही बताया था जहां पर हमने पढ़ा था लाप्लास ट्रांसफार्मर ऑफ पीरियोडिक फंक्शन और फिर से यहां पर पीरियोडिक फंक्शन की बात करेंगे देखिए बहुत सिंपल है पीरियोडिक फंक्शन एक ऐसा फंक्शन होता है जो अपनी वैल्यू को एक फिक्स इंटरवल के बाद रिपीट करता है और आप बहुत अच्छे से जानते हैं की हमारे जितने भी ट्रिगोनोमेट्री फंक्शन है सभी प्रायोरिटी फंक्शन होते हैं तो सबसे पहले मैं यहां पर पीरियोडिक फंक्शन को आपको समझा देता हूं ऐसा फंक्शन जो अपने आप को एक फिक्स इंटरवल के बाद रिपीट करेगा उसको हम पीरियोडिक फंक्शन कहेंगे सबसे सबसे पहले बात करेंगे यहां पर सिक्स की आप सब जानते हैं की सन एक्स कस एक्स तन एक्स कोट एक्स एसईसी एक्स और सीओएसईसी एक्स जो आर पीरियोडिक फंक्शन जितने भी ट्रिगोनोमेट्री फंक्शन होते हैं सभी के साथ पीरियोडिक फंक्शन होते हैं तो चलिए स्टार्ट करते हैं सबसे पहले साइन एक्स से सन एक्स हमारा एक पीरियोडिक फंक्शन है जो अपनी वैल्यू को रिपीट करता है कितने टाइम के बाद कितने पीरियड के बाद 2 पी के बाद ठीक है ना जैसे यहां पर देखो मैंने सन का कर्व बनाया हुआ इस कर्व को ऑलरेडी मैं कई बार आपको बता चुका हूं यहां पर अगर आप ध्यान देंगे तो देखो ये जो सन का कर्व है अगर आप देखेंगे जीरो से 2π 0 से 2π तक ये कर्व हमारा इस तरह से जा रहा है 2π के बाद ये कर फिर से वहीं से स्टार्ट होगा जहां से जीरो से स्टार्ट हुआ था यानी की 2π के बाद ये अपनी वैल्यू को अगेन क्या करेगा रिपीट करेगा इसीलिए इस सन एक्स का जो पीरियड है वो 2π है क्लियर है तो सन एक्स का हमारा पीरियड होता है 2π के बाद रिपीट करते हैं सिमिलरली कस एक्स देखिए ये ग्राफ ऐसा नहीं की मैं ये का रहा हूं की आपको ये ग्राफ एग्जाम में पूछे जाएंगे ग्राफ एग्जाम में ये नहीं पूछे जाएंगे लेकिन आपको मालूम होना चाहिए की हमारा पीरियोडिक फंक्शन क्या होता है और सन और कस का कार्य कैसे बंता है ये हमारा कॉस्ट का कार्य है अगर आप इसको भी ध्यान से देखेंगे तो ये भी तू पी के बाद रिपीट कर रहा है देखो यहां से एक जीरो से 2π हम गए और 2π के बाद फिर से रिपीट कर रहा है देखो जीरो पे क्या हो रहा था ये जीरो पे ग्राफ वन से नीचे ए रहा था 25 के बाद भी ये वन से नीचे कर है यानी की ये भी 2π के बाद क्या करेगा रिपीट करेगा तो ये होते हैं हमारे पीरियोडिक फंक्शन और फोर एयर सीरीज डिफाइन पर डी पीरियोडिक फंक्शन 4 एयर सीरीज केवल और केवल पीरियोडिक फंक्शन के लिए ही डिफाइन है इसलिए हमें पीरियोडिक फंक्शन का कॉन्सेप्ट आना चाहिए अब इसके थोड़ा सा आगे बढ़ते हैं तो यहां पर अब कुछ इंपॉर्टेंट फार्मूले और कुछ इंपॉर्टेंट कॉन्सेप्ट है जो आपको अच्छे से आने चाहिए सबसे पहले कुछ ट्रिगोनोमेट्री आइडेंटिटी हैं आपको ऑलरेडी आई होगी जैसे साइन माइंस तीता माइंस साइन तीता होता है तो ये छह फार्मूले होते हैं बहुत सिंपल से फार्मूले हैं सभी स्टूडेंट को आने चाहिए और इनको आप आसानी से याद कर सकते हैं देखो एसईसी माइंस तीता और कस - θ इन दोनों को देखोगे आप तो यहां पर कस - सन तीता कस तीता है और एसईसी माइंस तीता प्लस का एसईसी तीता है बाकी सब में माइंस आएगा ठीक उसके बाद एन इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी ऑफ डेफिनेट इंटीग्रल इस प्रॉपर्टी का फोर एयर सीरीज में हम बहुत ज्यादा उसे करने वाले हैं क्या है यह प्रॉपर्टी डेफिनेटली गर्ल की प्रॉपर्टी है जो इससे पहले भी हम लगभग सभी यूनिट में इसका उसे कर चुके हैं अब जरा ध्यान दीजिए प्रॉपर्टी क्या है माइंस ए से ए एफसी डीएस अगर आपको इंटीग्रल की लिमिट माइंस ए से प्लस ए दे राखी है तो आप इस लिमिट को देखिए इस डेफिनेट इंटीग्रल की प्रॉपर्टी से इस इंटीग्रेशन को क्या कर सकते हैं इस इंटीग्रेशन को आप जीरो से एक कैलकुलेट कर सकते हैं और उसका डबल हो जाएगा कब अगर एफसी एवं है यानी की खाने का मतलब ये अगर यहां पर लिखा हुआ फंक्शन एवं है तो इस इंटीग्रल की वैल्यू जीरो से ए एफसी डीएस का तू टाइम्स हो जाएगी यानी की यहां पर तू से मल्टीप्लाई हो जाएगा दूसरा अगर ये यहां पर लिखा हुआ फंक्शन ओड है क्या है ओड है अगर ओड फंक्शन है तो इस इंटीग्रल की वैल्यू जीरो हो जाएगी बहुत इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी है क्योंकि अगर आप इस प्रॉपर्टी का उसे नहीं करेंगे तो बहुत सारे क्वेश्चन आपके बहुत ज्यादा लांगती हो जाएंगे तो अगर आप चाहते हैं की आपका क्वेश्चन सॉल्व हो तो हम इस प्रॉपर्टी का उसे करेंगे अब थोड़ा सा आगे चलते हैं और यहां पर जैसे मैंने आपको कहा एवं फंक्शन और फंक्शन तो थोड़ा सा हालांकि आप सभी को आता होगा एवं फंक्शन और फंक्शन फिर भी मैं एक बार और आपको एवं और ओड फंक्शन का कॉन्सेप्ट को एक बार समझा देता हूं बहुत आसन है सबसे पहले बात करेंगे एवं फंक्शन क्या होता है एवं फंक्शन फंक्शन को हम एवं का सकते हैं कब अगर उसे फंक्शन के अंदर एक्स के प्लेस पर माइंस एक्स रख दे और वापस वैल्यू एफसी ही ए जाए तब हम उसको एवं कहेंगे इसके लिए देखो मैंने यहां पर कुछ एग्जांपल लिखे हुए जैसे एफसी = कस एक्स सब जानते हैं की कस एक्स एवं होता है क्यों होता है एवं ध्यान दीजिए अगर मैं यहां एक्स की जगह माइंस एक्स रखूं तो ये कस माइंस एक्स हो जाएगा और कस - एक्स क्या होता है प्लस कस एक्स होता है तो प्लस कस है यानी की एफसी कस एक्स है तो इस कस एक्स की जगह एफसी रख सकता हूं यानी की एफ ऑफ - एक्स = एफसी ए गया इसका मतलब कस एक्स कैसा फंक्शन है e1 फंक्शन है सिमिलरली यहां पर आप रख के देखिए ये भी प्लस में ए जाएगा यहां पर आप पट करके देखिए ये भी प्लस में ए जाएगा यानी की ये तीनों के तीनों एवं फंक्शन है थोड़ा और आगे चलें नो प्रॉपर्टीज ऑफ एवं फंक्शन ये भी बहुत इंपॉर्टेंट है देखिए क्या प्रॉपर्टी है पहले प्रॉपर्टी देखिए ग्राफ ऑफ एवं फंक्शन इस सेमिट्रिकल अबाउट ए एक्सिस जो हमारा ग्राफ होता है वो ए एक्सिस के अबाउट क्या होता है सिमिट्रिक होता है अब यहां पर जरा ध्यान दीजिए एफसी = पैराबोला बंता है और आप इस ग्राफ को देख सकते हैं ये जो ग्राफ है ये ए एक्सिस के अबाउट सिमिट्रिक है जितने भी एवं फंक्शन होते हैं उन सभी का ग्राफ ए के अबाउट सिमिट्रिक होता है मतलब जैसा ए के लेफ्ट में होगा वैसा ही ए के राइट में भी होगा और आगे चले तो एफसी इसे एन एवं फंक्शन अब देखो ये तो हम पहले पढ़ चुके हैं प्रॉपर्टी है अगर हमारा एफसी एवं फंक्शन है तो इसकी वैल्यू क्या हो जाएगी तू टाइम्स हो जाएगी जीरो से पी एफसी डीएस तो ये होती है प्रॉपर्टी एवं फंक्शन की अब बात करेंगे ओड की नो किसी भी फंक्शन को और फंक्शन कब का सकते हैं देखिए सिंपल सी बात है आप एक्स के प्लेस पर माइंस एक्स रख दीजिए अगर एक्स के प्लेस पर माइंस एक्स रखना पर फंक्शन की वैल्यू भी माइंस में ए जाति है तो ऐसे फंक्शन को हम और फंक्शन कहते हैं क्लियर है अब यहां पर देखो कुछ एग्जांपल है एफसी = नेक्स्ट अब यहां पर अगर आप एक्स की जगह माइंस एक्स रखेंगे तो यह माइंस का साइन एक्स ए जाएगा फार्मूले से तो एफ ऑफ - एक्स = -एफसी इसका मतलब ये फंक्शन कैसा है ओड है तो सन एक्स कैसा फंक्शन है और है सिमिलरली अगर आप यहां पर पट करेंगे तो यहां भी माइंस में आएगा तो ये भी ओड है एफसी = एक्स भी क्या है ओड है एफसी = x³ भी किया है यानी की आप बहुत आसानी के साथ ये चेक कर सकते हैं की आपका जो जिवन फंक्शन है वो एवं है या ओड है क्लियर हुआ चलिए अब प्रॉपर्टी की बात करते हैं देखिए और फंक्शन जितने भी होते हैं उनका अगर आप ग्राफ बनोगे तो उनका जो ग्राफ होता है पहले बात तो अपोजिट में होगा दूसरा ओरिजन के अबाउट सिमिट्रिक होगा देखो यहां पर एफसी = एक्स एक और फंक्शन है अगर आप इसका ग्राफ बनाएंगे तो सीधी एक स्ट्रेट लाइन आएगी जो की ओरिजन से पास होगी तो अगर आप इस स्ट्रेट लाइन को देखें तो ये फर्स्ट और थर्ड क्वाड्रेंट में ए रही है और ओरिजिनल के अबाउट सिमिट्रिक है ओरिजन के अबाउट क्या है सिमिट्रिक है यानी की अगर आप देखेंगे ओरिजिनल के इधर देखो तो से लाइन है इधर देखो से लाइन है यानी की सिमेट्री क्या है ओरिजन के अबाउट ठीक चलिए और अगर असेट्स आपको और फंक्शन है तो ये हम पहले ही बात कर चुके हैं अगर एफसी और फंक्शन है तो इसका जो इंटीग्रेशन होगा -π से π वो जीरो होगा देखिए -π से π यहां लिखा है माइंस ए से ए बी कोई भी चीज हो शक्ति है बस लिमिट जो हनी चाहिए वो आपके नेगेटिव से पॉजिटिव होने चाहिए और से नंबर होना चाहिए क्लियर है चलिए अब यहां पर कुछ और इंपॉर्टेंट प्वाइंट्स लिखे हमने और यह बहुत ज्यादा जरूरी है क्योंकि इन्हीं से हमें आगे का फोरिअर सीरीज का कॉन्सेप्ट समझ में आएगा देखिए क्या है अगर आप अगर आपके पास दो एवं फंक्शन है और आप दोनों एवं फंक्शन को मल्टीप्लाई कर देते हैं अगर आपके पास दो एवं फंक्शन है उन दोनों को आप मल्टीप्लाई कर देते हैं तो आपके पास एक सिंगल फंक्शन आएगा और वो जो सिंगल फंक्शन आएगा वो भी एवं ही होगा यानी की दो एवं फंक्शन का मल्टीप्लिकेशन e1 फंक्शन ही होता है क्लियर है अगर आप दो और फंक्शन को मल्टीप्लाई कर दें तो दो ओड फंक्शन का मल्टीप्लिकेशन एवं होता है ठीक है ना जैसे अगर आप सन एक्स सन एक्स को मल्टीप्लाई कर दें या एक्स सन एक्स को मल्टीप्लाई कर दें तो आपको क्या मिलेगा एक एवं फंक्शन मिलेगा तो ओड ओड एवं होता है एवं एवं एवं होता है लेकिन अगर एक एवं और एक और है तो ओड मिलेगा आपको तो ये बहुत इंपॉर्टेंट प्वाइंट्स है ठीक है ना जो आपको आने चाहिए तो यह हमारा कुछ बेसिक कॉन्सेप्ट जो आपको बहुत अच्छे से आना चाहिए इसके आगे देखिए और एक दो पॉइंट हमारे पास सबसे इंपॉर्टेंट इंटीग्रेशन बाईपास देखिए इंटीग्रेशन बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है और आप सभी को आना चाहिए क्यों क्योंकि मैथमेटिक्स तू के अंदर हमारे पास टोटल फाइव यूनिट है और ऐसी कोई यूनिट नहीं है जिसमें इंटीग्रेशन में पार्ट्स का उसे ना हुआ हो सभी यूनिट के अंदर इंटीग्रेशन में पार्ट्स का उसे होता है तो ये आपको बहुत अच्छे से आना चाहिए अब जरा ध्यान दीजिए इंटीग्रेशन बाय पार्ट यानी की दो फंक्शन जब मल्टीप्लाई में ए जाते हैं तो उनका इंटीग्रेशन करने के लिए हमें इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स का उसे करना होता है अब इंटीग्रेशन बाईपास मैंने आपको दो तरीके से बताया है एक तो प्रॉपर तरीका जो आप क्लास 12 से पढ़ने हुए ए रहे हैं इंटीग्रेशन बाईपास का जो हमारा बेसिक फॉर्मूला होता है लेकिन यहां पर यहां पर हम बेसिक फार्मूले का उसे ना करके इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स का एक शॉर्टकट मेथड होता है जिसका हम उसे करते हैं इससे क्या होता है इससे कैलकुलेशन आसन हो जाति है और आपका इंटीग्रेशन बाईपास बहुत जल्दी हो जाता है अगर आप प्रॉपर मेथड से जाएंगे प्रॉपर तरीके से अगर आप जाएंगे तो आपका इंटीग्रेशन थोड़ा सा लेंडी हो जाएगा और ये जो शॉर्टकट मेथड है ऐसा नहीं है की आप इस मेथड को अगर एग्जाम में अप्लाई करेंगे तो आपको मार्क्स नहीं मिलेंगे ऐसा बिल्कुल नहीं है ठीक है ना ये मेथड बहुत साड़ी बुक्स में दिया होता है और ये प्रॉपर मेथड ही है आप इसको अगर अप्लाई करेंगे तो आपको कोई मार्क्स डिड है नहीं होगा अब जरा ध्यान दीजिए मेथड क्या है एक बार बता डन क्योंकि 4 एयर सीरीज के लिए सबसे इंपॉर्टेंट है फोर एयर सीरीज का एक भी क्वेश्चन ऐसा नहीं होगा जहां पर आपको इंटीग्रेशन में पार्ट्स अप्लाई ना करना पड़े हर क्वेश्चन में अप्लाई करना है और कुछ क्वेश्चंस तो ऐसे हैं जहां पर तीन-तीन चार-चार बार भी अप्लाई करेंगे आप इसको तो बहुत इंपॉर्टेंट है इंटीग्रेशन में पार्ट्स जरा ध्यान से समझिए यहां पर आपके पास दो फंक्शन हैं एक यू और एक भी यू और वे तो जब आप इंटीग्रेशन बाईपास लगाएंगे देखिए क्या करना है आपको पहले फंक्शन आप रखेंगे यू को आपने लिख दिया जो वी है इसको एक बार इंटीग्रेटेड करिए आप सिर्फ एक बार तो आपको देखिए v1 का मतलब है की वी का एक बार इंटीग्रेशन हो चुका है फिर उसके बाद माइंस साइन लगाएंगे माइंस साइन लगाने के बाद ये जो यू यहां पर लिखा है इस यू का एक बार डर करेंगे दास का मतलब डर है तो यू का एक बार डर करेंगे आपको यू दास मिलेगा और ये जो v1 है इसका एक बार आप क्या कर देंगे इंटीग्रेशन यानी की यहां पर आप यू का डर करेंगे वे का इंटीग्रेशन करेंगे तो यह आपको मिलेगा और v3 का एक बार और इंटीग्रेशन करेंगे कब तक करते जाएंगे क्वेश्चन ये आता है देखिए यहां पर जब आप इस फार्मूले को लगाओगे शॉर्टकट रहने वाले तो ध्यान रखना इसमें जो ये फर्स्ट फंक्शन है और ये सेकंड फंक्शन है है ना जो फर्स्ट फंक्शन होना चाहिए वो टर्मिनेटिंग होना चाहिए मतलब यू एक ऐसा फंक्शन होना चाहिए जो दो या तीन या कर बार के बाद अगर हम इसको जब डिफरेंशिएट करेंगे तो तीन कर बार के बाद ये टर्मिनेट हो जाए खत्म हो जाए वो आपको क्वेश्चन में समझ में ए जाएगा कैसे इसको उसे करना है क्लियर है तो ये हमारा प्रॉपर मेथड इंटीग्रेशन में पार्ट्स का अब आगे चलते हैं अच्छा इसमें एक और इंपॉर्टेंट बात ध्यान रखना यहां पर जब भी आप डर कर रहे हैं तो ये सभी टर्म को ब्रैकेट के अंदर लिखेंगे मैं आपको क्वेश्चन में समझाऊंगा कैसे लिखना है नो तू इंपॉर्टेंट रिजल्ट यहां पर दो बहुत ही इंपॉर्टेंट रिजल्ट और हमारे पास ये दोनों फार्मूले और इन दोनों फार्मूले का उसे भी हमारी लगभग सभी पांचो यूनिट में हुआ है क्या है ये फार्मूले ए की पावर एक्स सन बीसी का इंटीग्रेशन तो ये स्टैंडर्ड फार्मूले हैं और बहुत ज्यादा इनका उसे होता है सभी यूनिट के अंदर इनका उसे हुआ है और यहां पर भी इनका उसे होगा आगे बढ़ते हैं अब यहां पर कुछ और फार्मूले हैं जो बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है जैसे यहां पर कुछ ट्रिगोनोमेट्री आइडेंटिटी लिखी है मैंने तो ये पांच ट्रिगोनोमेट्री आइडेंटिटी है जिनका हम फोर एयर सीरीज में उसे करेंगे और इससे पहले भी लगभग कोई ऐसे यूनिट नहीं है जिसमें हमने इनका उसे ना किया हो है ना सभी में इसका उसे किया है अब यहां पर कुछ और वालुज है जो आपको याद करनी है मतलब याद क्या करनी है पहले से ही आपको याद होगी मुझे नहीं लगता कोई स्टूडेंट ऐसा जिसको ये याद ना हो क्या है वैल्यू जरा ध्यान जी कस 01 होता है सबको मालूम है यह भी सबको जनरल फॉर्मूला कस पी की वैल्यू -1 की पावर एन होती है यानी की अगर आप ये याद रख ले की कस nπ - 1 की पावर एन है तो फिर आप कस 15 चाहे कस π हो कस 2π हो कस 3π हो किसी की वैल्यू बता सकते हैं जैसे अगर cos2pi होगा तो माइंस वन की पावर तू प्लस वन तो मतलब cos2y की वैल्यू प्लस वन कस 3π की वैल्यू -1 cos45 की वैल्यू प्लस वन अब इधर ए जो साइन में साइन जीरो जीरो होता है सब जानते हैं sinπ भी जीरो होता है और सन nπ भी जीरो होता है यानी की साइन जो होगा पाइप ए तू पी थ्री पी फोर पी सभी पे क्या होगा जीरो के इक्वल होगा क्लियर है तो ये कुछ इंपॉर्टेंट वालुज है जो आपको अच्छे से याद होने चाहिए अब थोड़ा सा आगे बढ़ते हैं और अब अपने टॉपिक पर चलते हैं हमारा टॉपिक जो है 4 इयर्स अभी तक मैं आपको बेसिक कॉन्सेप्ट बता रहा था जो बहुत अच्छे से आपको आने चाहिए 4 एयर सीरीज को समझना के लिए अब यहां पर देखते हैं की फोरिअर सीरीज एक्चुअल में है क्या ठीक है ना फोरिअर सीरीज क्या है अब उसकी बात करते हैं तो सबसे पहले देखिए एन इंफाइनाइट सीरीज ऑफ पीरियोडिक फंक्शन इन टर्म्स ऑफ ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन सन एक्स कस एक्स इसे कॉल्ड ऑफ 4 एयर सीरीज तो फोरिअर सीरीज एक इंफिनिटी सीरीज है क्या है ये इंफाइनाइट सीरीज है और किसके टर्म में है सिक्स और कस एक्स की यानी की फोरियर्स सीरीज में या तो सन एक्स आएगा यह कस एक्स आएगा या फिर सन और कस दोनों आएंगे क्लियर है यानी की फोर एयर सीरीज एक इंफाइनाइट सीरीज है किसकी ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन की कौन-कौन से ट्रिगोनोमेट्री फंक्शन है साइन और कस अब हम बात करते हैं फोरिअर सीरीज की है ना अब देखो 4 एयर सीरीज एक्चुअल में है क्या नो 4 एयर सीरीज पर डी फंक्शन एफसी इन डी इंटरवल अब इंटरवल की बात करेंगे इंटरवल मतलब कुछ पर्टिकुलर पीरियड होगा हमारे पास जिसमें हमें फोरिअर सीरीज को एक्सपेंड करना है तो यहां पर जरा ध्यान दीजिए 4 एयर सीरीज पर डी फंक्शन एफसी इन डी इंटरवल हमें फोरिअर सीरीज को इस इंटरवल में एक्सटेंड करना है अब इस इंटर को जरा ध्यान से समझेंगे इंटरवल क्या है एक्स की जो वैल्यू है वह सी से सी + 2pi तक है यहां पर यह इंटरवल है हमारे पास अगर मैं इस इंटरनल की लेंथ को कैलकुलेट करो देखो लेंथ कितनी आएगी देखिए यहां पर ये इस इंटरवल के अपर लिमिट है और ये लोअर लिमिट है अगर लिमिट में से लोअर लिमिट को माइंस कर देते हैं तो हमारे पास लेंथ ऑफ इंटरवल ए जाति है 2π क्लियर है और ये जो लेंथ ऑफ इंटरवल होती है यही हमारा इस फंक्शन का या जो जिवन फंक्शन होता है उसका पीरियड होता है इस पीरियड के बाद वो फंक्शन क्या करेगा रिपीट करेगा क्लियर है अब यहां पर लिखा है हमारे पास 4s सीरीज का फॉर्मूला ये हमारे पास फोरिअर सीरीज होती है ठीक है ना अब ध्यान रखना ये 4 एयर सीरीज कब वैलिड है जब हमारा इंटरवल सी से c+25 तक है ये तभी वैलिड है ध्यान रखना जब हमारे पास लेंथ ऑफ इंटरवल कितनी है 25 तब ये सीरीज वैलिड है हमेशा ये सीरीज वैलिड नहीं होगी इसके आगे एक सीरीज और भी आएगी अब यहां पर जरा सीरीज को ध्यान से समझिए एफसी एफसी वो फंक्शन है जो आपको क्वेश्चन में जिवन होगा तो उसे जिवन फंक्शन का जो एक्सटेंशन है वो होगा ए नोट अपन तू प्लस समेशन एन की वैल्यू वन से इंफिनिटी तक वेरी करेगी अब जरा यहां पर ध्यान से समझिए यहां पर यह जो ए नोट एन और बी लिखा है इन तीनों को हमें कैलकुलेट करना होगा सभी क्वेश्चंस के अंदर तो सबसे पहले यहां पर बात करते हैं की ए नोट की वैल्यू क्या होगी जरा ध्यान दीजिए इनफ तो अगर मैं ए नोट की बात करूं तो ए नोट का फॉर्मूला होता है 1 / π इंटीग्रल सी से सी प्लस तू पी एफसी डीएस सिमिलरली एन का फॉर्मूला यहां लिखा है बी का फॉर्मूला यहां लिखा है तो ये जो तीनों के तीनों यहां पर कांस्टेंट है इनको कहा जाता है इलाज कांस्टेंट क्या कहा जाता है इनको इलाज कांस्टेंट या फिर 4 एयर कॉएफिशिएंट भी हम इनको बोलते हैं आपको एक्चुअल में करना क्या होगा जो भी क्वेश्चन सीरीज का सॉल्व करेंगे उसमें आप जो आपको जो जिवन फंक्शन होगा आप हमेशा उसे जिवन फंक्शन को इस सीरीज के इक्वल पट कर देंगे उसके बाद ए नोट एन और बी इन तीनों फार्मूले के हेल्प से एम ए एन और बी एन को कैलकुलेट करेंगे और वापस ला के इस सीरीज में पट कर देंगे आपको आपका फाइनल आंसर मिल जाएगा अब यहां पर थोड़ा सा आगे बढ़ते हैं और स्टार्ट करते हैं सबसे पहले जो हमारा इंटरवल है अब देखो यहां पर ध्यान देना ये जो मैंने आपको फॉर्मूला बताया ये जनरल फॉर्मूला क्या है ये जनरल फॉर्मूला है अब यहां पर हम इसके कुछ इंपॉर्टेंट डिडक्शन या इंपॉर्टेंट कैसे की बात करेंगे तो यहां पर हम दो इंपॉर्टेंट कैसे बात करेंगे यहां पर पहले कैसे हमारा यहां पर बंता है प्रॉब्लम बेस्ड ऑन डी इंटरवल जीरो से 2π अब हम ऐसे क्वेश्चंस सॉल्व करने जा रहे हैं जहां पर जो इंटरवल जिवन होगा क्वेश्चन में वो जीरो से 2π का इंटरवल जिवन होगा अब जरा यहां पर ध्यान से समझना इंटरवल हमारा जीरो से 2π है कितना है जीरो से 2π तो देखो फोर एयर सीरीज में तो कोई चेंज आएगा नहीं 4 इयर्स नहीं तो हमारी वही रहेगी एन = 1 से लेकर के इंफिनिटी तक इसमें कोई चेंज हमारा नहीं आएगा अब जरा यहां पर ध्यान देना तो हमारे शरीर में तो कोई चेंज नहीं ए रहा है क्लियर है फार्मूले में चेंज आएगा कैसे आएगा आप जरा ध्यान देना इंटरवल हमारा जीरो से 2π है तो इसका मतलब सी की वैल्यू कितनी है जीरो है देखो अगर इंटरवल जीरो से 2π हो गया तो इसका मतलब सी की वैल्यू क्या है जीरो अब एक कम करो इन सभी फार्मूले में सी की वैल्यू जीरो पट कर दो तो देखो क्या हो जाएगा जीरो से 2π हो जाएगा ये इंटीग्रेशन जीरो से 2π वो इंटीग्रेशन भी जीरो से 2π तो हमारे पास जो रिड्यूस फार्मूले ए जाएंगे वो ये तीनों होंगे देखो इंटरवल में देखो यहां पर लिमिट क्या है जीरो से 2π यहां भी लिमिट क्या है जीरो से 2 पी यहां पर भी लिमिट क्या है जीरो से तू फाइव अब हम आगे बढ़ते हैं और इनके ऊपर बेस पहले क्वेश्चन हमारे पास ए गया देखिए अब यहां पर एक एक क्वेश्चन को बहुत ध्यान से समझेंगे क्योंकि सभी क्वेश्चन बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है अगर आप एक क्वेश्चन को ध्यान से समझेंगे तो आगे आने वाले कई क्वेश्चन आप अपने आप ही सॉल्व कर सकते हैं तो ध्यान दीजिए जरा पहले क्वेश्चन पे बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है और जीरो से 2π के इंटरवल में जितने भी क्वेश्चंस आप सॉल्व करेंगे सबको करने का पैटर्न से होगा तो यहां पर ध्यान से समझेंगे क्वेश्चन को देखिए ऑब्टेन फोरिअर सीरीज आपको क्या करना है इस जिवन फंक्शन के लिए फोरिअर सीरीज निकालनी है ठीक है किस इंटरवल में जीरो से 2π में तो देखिए आपको समझ में ए गया होगा की इंटरवल जीरो से तू पी है तो जीरो से तू पॉइंट टेबल में आपको कैलकुलेट करनी है और जब आपको 4 एयर सीरीज मिल जाएगी उसके बाद आपको ये तीनों रिजल्ट भी ड्राइव करने तो देखिए इन तीनों की बात तो बाद में करेंगे पहले आप 4 एयर सीरीज तो निकालिए जब 4 एयर सीरीज ए जाएगी तो ये तीनों रिजल्ट भी हमारे ए जाएंगे तो चलिए स्टार्ट करते हैं और 4 इयर्स सीरीज यहां पर फाइंड करते हैं तो मैंने जैसा आपको कहा सबसे पहले आप क्या करेंगे जो भी आपको जिवन फंक्शन दिया गया है यह आपके पास एफसी है इस जीवन फंक्शन को आप फोरिअर सीरीज के इक्वल रख देंगे और इसको मानेंगे एक क्वेश्चन नंबर वन यह मेरी फोरिअर सीरीज है मैंने अपने जीवन फंक्शन को इसके इक्वल पट कर दिया इक्वेशन वन इसको मां लिया अब आगे बढ़ते हैं देखिए अब क्या करना है अब जरा ध्यान देना अब ये जो हमारे पास तीन इलाज फार्मूले हैं इन तीनों को लगा के वैल्यू को फाइंड करेंगे सबसे पहले [संगीत] ए नोट का फॉर्मूला क्या होता है 1 / 0 से 2π एफसी डीएस और एफसी कितना है एफसी ये रहा मेरे पास ये एफसी है ध्यान दीजिएगा ये एफसी है इसको यहां पर पट कर दीजिए तो 1 / 0 से 2π 1 / 4 पी माइंस एक्स का होल स्क्वायर दी है अब मुझे इसका इंटीग्रेशन करना है ये तो बहुत सिंपल इंटीग्रेशन है है ना तो इसका 1 / 4 को बाहर कर देंगे तो 1 / 4 पी बाहर ए गया नो π - एक्स का होल स्क्वायर इसका इंटीग्रेशन करना है तो इसका इंटीग्रेशन क्या होगा π - एक्स की होल पावर थ्री तो पावर कितने हो जाएगी थ्री हो जाएगी अपन में भी थ्री आएगा और एक्स का कॉएफिशिएंट कितना है यहां पर माइंस वन तो जब माइंस वन आप जानते हैं जब हम इंटीग्रेशन करते हैं तो एक्स का कॉएफिशिएंट डिनॉमिनेटर में आता है तो डिनॉमिनेटर में एक्चुअल में आना तो थ्री चाहिए था लेकिन एक्स का - 1 कॉएफिशिएंट भी आएगा इसलिए ये माइंस थ्री हो जाएगा क्लियर है अब यहां पर आप अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट कर देंगे तो जब आप अपर लिमिट रखेंगे यहां पर देखिए एक्स की जगह जब आप -2y रखेंगे तो ये -π की पावर थ्री हो जाएगा तो -5 की पावर थ्री माइंस एक्स की जगह अब लोअर लिमिट रखेंगे तो जब आप यहां जीरो रखेंगे तो -5 की पावर थ्री ए जाएगा और यहां से जो -3 था ये हमने पहले ही बाहर कर दिया तो बाहर ए गया 1 / 12 - अब यहां पर देखो ये माइंस पी कब माइंस पी कब माइंस का 2π कब हो गया अब माइंस माइंस प्लस बन जाएगा तू से 12 सिक्स बार कटेगा तो हमारे पास आंसर आएगा पी स्क्वायर बाय सिक्स तो एक वैल्यू हमने कैलकुलेट कर ली ए नो यानी की हमारा एक पार्ट तो ए गया प्लॉट अभी क्या निकालना है एन निकालना और बी निकालना है देखो 4s सीरीज के जो क्वेश्चंस है ना वो लांगती क्यों होते हैं उसका रीजन ये है की यहां पर आपको एक तो ए नोट कैलकुलेट करना होगा उसके बाद एन कैलकुलेट करना होगा और बी कैलकुलेट करना होगा यानी की जिन स्टूडेंट को इंटीग्रेशन करना आता है यानी की इंटीग्रेशन में पार्ट्स अगर आपको आता है तो फोरिअर सीरीज के क्वेश्चन कितने भी लेंडी क्यों ना हो बहुत आसन है क्योंकि इंटीग्रेशन ही करना बाकी कुछ है नहीं और वो भी इंटीग्रेशन में पार्ट्स तो ये तो सिंपल सा इंटीग्रेशन था अब आगे देखो जरा अब एम का फॉर्मूला लगा दो 1 / 0 से 2 पी एफसी और कस एनएक्स डीएस भाई यही तो फॉर्मूला था आपका देखो जरा ध्यान से एफसी की वैल्यू पट कर दो और कस एन एक्स तो है ही पहले से ही अब यहां पर ए जो एफसी की वैल्यू पट कर दे ये मेरे पास ए गया वन बाय फोर को बाहर कर दिया यानी की ये हमारे पास इंटीग्रेशन ए गया इंटीग्रेशन को ध्यान से देखो इसमें एक फंक्शन तो ये है और दूसरा फंक्शन मल्टीप्लाई में ए रहे हैं तो आपको समझ में ए गया की आपको इंटीग्रेशन बाय पास अप्लाई करना है तो चलिए स्टार्ट करते हैं इंटीग्रेशन तो आपको यह डिसाइड करना होगा की फर्स्ट फंक्शन कौन सा और सेकंड कौन सा है इसके लिए आप आईलेट रूम का उसे करेंगे तो आईलेट के अकॉर्डिंग पहले फंक्शन अलजेब्रिक फंक्शन है ये तो ये फर्स्ट हो जाएगा या सेकंड हो जाएगा अब लगाते हैं हम अपना इंटीग्रेशन में पार्ट्स का शॉर्टकट मेथड अब जरा ध्यान से समझना कैसे अप्लाई होगा देखिए इंटीग्रेशन में पार्ट्स सबसे पहले 1 / 4pi तो बाहर है देखिए फर्स्ट फंक्शन को मैंने आज आईटी इस लिखा सेकंड फंक्शन का इंटीग्रेशन करूंगा मैं यहां पर कस एनएक्स कस एनएक्स का इंटीग्रेशन होता है सन एनएक्स / एन तो देखो मैंने यहां पर साइन एनएक्स / एन लिख दिया एक इंपॉर्टेंट बात यहां पर याद रखना जब आप शॉर्टकट मेथड लगा रहे हैं तो सभी फंक्शन को ब्रैकेट में लिखे तो यहां पर साइन एनएक्स / एन मैंने देखो ब्रैकेट में लिखा है इस ब्रैकेट की इंर्पोटेंस आपको धीरे-धीरे समझ में ए जाएगी फिर उसके बाद माइंस साइन आएगा देखो पहले प्लस आता फिर माइंस आता है माइंस के बाद अब क्या करोगे आप ये आपका पहले जो फंक्शन यहां लिखा है इसका करोगे आप डर तो देखिए जब आप इसका डर करोगे तो 2 * ए जाएगा 2π - एक्स और उसके बाद जो एक्स का कॉएफिशिएंट है माइंस वन आप सबको मालूम है डर करते समय एक्स का कॉएफिशिएंट मल्टीप्लाई हो जाता है तो यहां पर एक्स का कॉएफिशिएंट मल्टीप्लाई हो जाएगा इसलिए माइंस ए जाएगा तो ये तो हो गया पहले फंक्शन का डर अब इसका करो इंटीग्रेशन नो सन एक्स सन एनएक्स का इंटीग्रेशन - कस एनएक्स और एन नीचे आएगा अब जरा ध्यान दो सन एनएक्स का तो हो गया - कस एनएक्स अब एन नीचे आएगा एक एन पहले से था एक एन और ए गया तो दो एन हो गए तो n² बन गया नेक्स्ट टर्म प्लस अब देखो आगे फिर प्लस ए गया अब क्या करना है अब यहां पर यह जो टर्म लिखी गई है इस टर्म का फिर से डर करोगे आप तो देखिए जब आप इसका डर करोगे तो पी का तो जीरो हो जाएगा एक्स का -1 हो जाएगा और माइंस माइंस प्लस तू हो गया तो यहां पर देखो मैंने 2 लिख दिया उसके बाद इसका करेंगे इंटीग्रेशन कस का इंटीग्रेशन होता है सन तो कस एनएक्स का हो गया - देखो यहां पर पहले से ही माइंस लगा है आप देखो आपको ब्रैकेट का मतलब समझ में ए जाएगा यहां पर पहले से ही माइंस लगा हुआ है और आप इस पूरे का इंटीग्रेशन कर रहे हैं तो कस का तो हो गया सन एक्स लेकिन ये माइंस जो पहले से ही था वो माइंस आएगा और एक एन और ए जाएगा नीचे तो एन कब हो गया और लिमिट हमारी होगी जीरो से 2π तो ये हमारा इंटीग्रेशन ए गया तो देखो कितना आसन है शॉर्टकट मेथड से एक ही लाइन में एक ही लाइन में आपका इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स हो गया अगर आप इसको प्रॉपर मेथड से कर दें तो ये कम करने के लिए आपको कम से कम कर से पांच लाइन आपको लखनी होती यहां एक ही लाइन में कम हो गया अब क्या करना है नो अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट आप करेंगे आप पर लिमिट माइंस लोअर लिमिट तो जहां-जहां एक्स है पहले हमारा 2π पट कर देंगे अब जरा यहां पर ध्यान से समझना पहले देखो मैंने इसको थोड़ा सा माइंस माइंस जैसे यहां पर ए रहा था ना माइंस माइंस ये प्लस कर दिया है ना तो ये पहले यहां पर साइन चेंज कर दिया सारे जहां जहां माइंस माइंस कर दिया प्लस माइंस का माइंस कर दिया अब मैं यहां पर लिमिट अप्लाई करने जा रहा हूं पहले 2π को अप्लाई करेंगे देखो अगर आप यहां पर 2π अप्लाई करते हैं जरा ध्यान से समझिएगा बहुत आसन है जब आप एक्स की जगह 25 रखेंगे तो एन के साथ कुछ भी मल्टीप्लाई होगा वो जीरो ही आएगा तो इसका मतलब इसकी वैल्यू हो गई जीरो तो अगर ये जीरो हो गया तो पहले वैल्यू पुरी ओवर जो जीरो ए गई इधर बढ़ते हैं यहां पर 2π रखेंगे कस 2 हो जाएगा cos2 होती है वन कस तू क्या है वन तो कस 2π की वैल्यू होगी वन ध्यान रखना इसकी वैल्यू होगी जीरो और कस 2nπ इसकी वैल्यू होगी वन क्यों क्योंकि यहां पर तू मल्टीप्लाई हो गया तो जब तू मल्टीप्लाई हो गया तो वन आएगा चलिए तो यहां पर वैल्यू मिलेगी मुझे वन अब यहां पर समझो ए गया यहां से वन ए गया और नीचे n² ए गया देखो ये वैल्यू हमारे पास ए जाएगी क्लियर आगे बढ़ते हैं यहां पर अगर आप 2π रखोगे तो ये जीरो हो जाएगा देखो जीरो ए गया अब माइंस लोअर लिमिट अगर आप माइंस लोअर लिमिट करेंगे तो एक्स की जगह आपको जीरो रखना है यहां जीरो रखिए देखिए अगर आप एक्स की जगह जीरो रखेंगे तो सन जीरो सन जीरो जीरो होता है तो देखो जीरो ए गया इधर ए जो यहां पर अगर जीरो रखेंगे तो ये 2π आएगा माइंस में माइंस का 2π और कस जीरो वन होता है तो यानी की 2π / n² ए जाएगा उसके बाद इधर ए जो यहां जीरो रखोगे जीरो ए जाएगा बस उसके बाद कुछ नहीं करना इसको सिंपलीफाई कर देंगे हमारे पास आंसर ए जाएगा 1 / n² तो ये था इंटीग्रेटेड देखिए इंटीग्रेशन बाय पार्ट जिसको करना आता है उसके लिए क्वेश्चन कुछ भी नहीं है तो यहां से मेरे पास एन की वैल्यू आगे 1 / n² और आगे बढ़ते हैं तो ये ए एन ए चुका है ना अब हमें निकालना है यानी की दो चीज हम निकाल चुके ए नोट निकाल चुके ए एन निकाल चुके अब निकलते हैं बी ल तो बी का फॉर्मूला लगाइए बी का फॉर्मूला 1 / 0 से 2π एफसी सन एन सन एक्स डीएस अब जरा ध्यान दीजिए यहां पर आपको करना क्या है एफसी की वैल्यू पट करो पहले 1 / 4 पी माइंस एक्स का होल स्क्वायर सन एक्स और डीएस ठीक है अब यहां पर वैल्यू पट करने के बाद चलिए तो यहां पर देखिए वैल्यू अगर आप पट करेंगे फंक्शन के ये हमारी एफसी की वैल्यू होगी यहां पर इसको मैंने सब्सीट्यूट कर दिया 1/4 बाहर ए गया तो मेरे पास ये फंक्शन बहु| क्लियर है अब यहां पर जरा ध्यान दीजिए 1 / 4 पी बाहर अब यहां पर हमारे पास जो देखिए फंक्शन है ये अलजेब्राइक फंक्शन है ये आपका ट्रिग्नोमेट्री फंक्शन है तो यहां पर अगेन ये आपका फर्स्ट फंक्शन होगा तो यहां पर यह हमारे पास फर्स्ट फंक्शन और यह हमारे पास सेकंड फंक्शन अगेन इंटीग्रेशन बाय पास लगा दिया तो अब इंटीग्रेशन में पार्ट्स को कैसे अप्लाई करना है ये मैं आपको बता चुका हूं आगे आईटी इसे वही कम किया जो अभी किया था फर्स्ट फंक्शन को आगे आईटी इसे रखा दूसरे का इंटीग्रेशन कर माइंस फर्स्ट का डर सेकंड का इंटीग्रेशन प्लस फर्स्ट का डर सेकंड का इंटीग्रेशन कुछ भी अलग नहीं किया सब कुछ वही कम किया है ठीक है ना उसके बाद आप लिमिट लगा देंगे पहले इसको सिंपलीफाई करके लिखा उसके बाद आप लिमिट लगा देंगे इसकी वैल्यू आपके पास जीरो ए जाएगी तो हम तीनों वैल्यू को कैलकुलेट कर चुके ए नोट कैलकुलेट कर चुके हैं एन कैलकुलेट कर चुके हैं बी कैलकुलेट कर चुके और अब इन सभी वैल्यू को हम क्या करेंगे अपने फार्मूले में पट कर देंगे देखिए ये था हमारा फॉर्मूला यहां पर ये हमारा फॉर्मूला है इस फार्मूले में साड़ी वैल्यू को उठा के रख देंगे तो देखिए जब आप साड़ी वालुज को उठा के रखेंगे तो आपको क्या मिलेगा ए नोट की वैल्यू कितनी थी हमारे पास पी स्क्वायर बाय 60 तो पी स्क्वायर 2262 यहां पहले से तो पी स्क्वायर अपन 12 हो गया यहां पर एन इक्वल तू वन से इंफिनिटी है तो कस एन एक्स एन की वैल्यू कितनी थी 1 / n² तो यहां पर कस एनएक्स / n² ए गया क्लियर और ये बी ए गया जीरो तो ये टर्म तो खत्म हो गई तो हमारे पास इतना ही हमारे पास क्या ए गया ये ए गया हमारे पास 4 इयर्स अगर आप सिर्फ 4 एयर सीरीज पूछे होते तो आप इसको यहां पर भी छोड़ सकते थे लेकिन आपसे क्वेश्चन में तीन रिजल्ट ड्राइव करने के लिए आपको बोला ये तीनों रिजल्ट भी आपको ड्राइव करने हैं ठीक है ना यानी की आपको देखो इसमें ध्यान से देखो इसमें वन का स्क्वायर तू का स्क्वायर थ्री का स्क्वायर 4 का स्क्वायर ए रहा है इसमें 1² 3² 4² ए रहा है लेकिन अल्टरनेट प्लस माइंस का साइन भी ए रहा है और यहां पर केवल और टर्म्स ए रही है चलिए देखते हैं अब क्या करेंगे कैसे आएगा ये रिजल्ट देखिए जो जिवन रिजल्ट है अगर उसको आपको लेकर के आना है तो आपको समेशन को एक्सपेंड करना पड़ेगा ये जो समेशन है इसको ओपन कर दीजिए कैसे ओपन होगा पहले टर्म फर्स्ट टर्म तो ऐसे ही रहेगी देखो यहां पर एन की जो वैल्यू वन से इंफिनिटी तक जा रही है तो यहां पर आप एन की जगह पहले वन पट करो तो ये कस एक्स / 1 का स्क्वायर बन जाएगा आप हमेशा का मतलब होता है प्लस तो फिर प्लस का साइन आएगा फिर एन की जगह तू पट करो तो कस 2x / 2 का स्क्वायर फिर आप 3 फुट करेंगे तो कस 3 एक्स / 3 का स्क्वायर फिर आप फोर पट करेंगे तो कस 4x / 4 का स्क्वायर और कस 5x है अपन फाइव का स्क्वायर तो इस तरीके से आपके पास क्या ए जाएगी एक्सपेंड हो जाएगी अब यहां पर जरा ध्यान दीजिए आपको जो प्रूफ करना है पहले जो आईडेंटिटी आपको प्रूफ करनी है उसमें वन का स्क्वायर तू का स्क्वायर थ्री का स्क्वायर 4 का स्क्वायर सब ए रहे हैं इसका मतलब यह की ऊपर जितने भी वैल्यू है ये वन हनी चाहिए अब ये सभी वैल्यू वन कब बनेगी देखो अगर मैं एक्स की जगह जीरो पट कर डन तो ये भी वन होगा ये भी वन होगा ये भी वन होगा ये भी वन होगा तो एक कम करो इसमें एक्स की जगह जीरो पट कर दो तो जैसे ही आप इसमें एक्स की जगह जीरो पट करेंगे तो लेफ्ट साइड में आपका बचेगा पी स्क्वायर / 4 और राइट साइड में पी स्क्वायर / 12 1 / 1² 1 / 2² 1 / 3 का स्क्वायर इस तरह से आपके पास प्लीज बन जाएगी अब आप क्या करो इसको इधर ला के माइंस कर दो माइंस कर दो बाकी उधर लेफ्ट साइड में आपके पास बैक गया तो जब आप इसको माइंस करेंगे और यही आपको प्रूफ करना था तो कितना आसन है और आगे बढ़ते हैं अब क्या करना है आपको देखो नेक्स्ट वाले कैसे में आपको अल्टरनेट साइन लेकर के आने हैं क्या लाने अल्टरनेट साइन लाने एक जगह प्लस एक जगह माइंस एक जगह प्लस एक जगह माइंस अब जरा ध्यान दो अगर मैं एक्स की जगह फाइव पट करूं तो कस फी होता है -1 है ना और ये हो जाएगा cos2pi cos2π होता है प्लस वन कस 3π होता है -1 cos45 होता है प्लस वन ठीक है ना इसका मतलब क्या है अगर आपको अल्टरनेट साइन लेकर के आने हैं तो आपको एक्स की जगह पी को पट करना पड़ेगा तो आप यहां पर एक्स के प्लेस पर पाइप पट कर दीजिए चलिए देखिए यहां पर आपको क्या करना है नो एक्स के प्लेस पर पट कर देना है जैसे आप पाइप पट करेंगे लेफ्ट साइड में तो आपका जीरो ए जाएगा देखो पी माइंस पी जीरो तो लेफ्ट में जीरो ए जाएगा लेकिन राइट साइड में ये बचेगा उसके बाद आपको क्या करना है देखिए अब यहां पर आप क्या करेंगे ये बाकी जितने भी टर्म्स हैं इन सब टर्म्स को उठाकर के दूसरी साइड ले जाएंगे तो जब आप इनको दूसरी साइड लेकर के आएंगे तो आपका एक साइड में बचेगा पी स्क्वायर अपन 12 और ये लेफ्ट में ए जाएंगे तो देखो ये टर्म प्लस में आएगी ये माइंस में आएगी ये प्लस और माइंस साइन चेंज हो जाएंगे तो ये हमारे पास रिजल्ट ए जाएगा और सेकंड आईडेंटिटी यही है जिसको हमें प्रूफ करना था क्लियर है अब आगे बढ़ते हैं अब हमें क्या प्रूफ करना जरा ध्यान दीजिए एक और आईडेंटिटी हमारे पास बच्ची जिसमें हमें सारे ओड नंबर लेकर के आने और पावर देखो यहां पर आप ध्यान दीजिए थर्ड आईडेंटिटी यहां पर वन का स्क्वायर 5 का स्क्वायर ए रही है कैसे आएगी अब आप यहां पर इक्वेशन नंबर थ्री और फोर को जरा ध्यान से देखो इसमें सारे नंबर ए रहे हैं इसमें भी सारे ए रहे हैं इसमें अगर आप देखोगे तो 1 / 2 का स्क्वायर और 1 / 4 का स्क्वायर यहां माइंस है और यहां प्लस है यानी की जितने भी एवं नंबर वाले टर्म है वो सब नीचे माइंस है और ऊपर प्लस है तो अगर आप इन दोनों इक्वेशन को एड कर देंगे तो देखिए एड करने से क्या फायदा होगा यहां पर 1 / 2 इसका आंसर वन बाय तू स्क्वायर कट जाएगा 1/4 स्क्वायर तो 1 / 4² कट जाएगा और वन बाय सिक्स स्क्वायर से यहां पर जो वन बाय सिक्स स्क्वायर आएगा वो कैंसिल आउट हो जाएगा और कैंसिल आउट करने के बाद जो टर्म्स आपकी बचेंगे उनको आप एड कर देंगे तो यहां पर देखो दोनों को मैंने एड कर दिया तो ये टर्म्स कट गए और जो टर्म्स बच्ची उनको एड कर दिया देखो यहां 1 / 1 का स्क्वायर दो बार है तो दो बार ए गया तू बाहर ए गया ऐसे यहां पर ये भी तू टाइम्स है ये भी तू टाइम्स है और इक्वल तू मैं इन दोनों को एड कर तो ये पी स्क्वायर अपन 4 ए गया इन दोनों को एड करके पी स्क्वायर अपन फोर ए गया और यहां से तू चला जाएगा नीचे तो मेरे पास यह फाइनल रिजल्ट ए जाएगा ठीक है ना ये हमारे पास यहां से फाइनल रिजल्ट ए जाएगा तो इस तरीके से हमारी सभी आइडेंटिटी प्रूफ हो जाएंगे देखिए सबसे पहले आपको करना क्या है सबसे पहले आप फोरिअर सीरीज को ड्राइव करिए जब फोरिअर सीरीज आपकी ड्राइव हो जाएगी उसके बाद जो रिजल्ट आपको निकाल कर के लाने हैं वो रिजल्ट के लिए आपको देखना पड़ेगा की मैं एक्स की जगह क्या पट करूं की मेरे जो रिजल्ट्स है वो ए जाए यानी की जो आईडेंटिटी मुझे प्रूफ करनी है वो आईडेंटिटी कैसे आएगी ये आपको थोड़ा सोचना पड़ेगा एक्स की वैल्यू क्या पट करो और बहुत आसानी से समझ में ए जाएगा ऐसा नहीं की डिफिकल्ट है आगे बढ़ते हैं और अब देखिए इसका नेक्स्ट क्वेश्चन क्वेश्चन नंबर तू यहां पर हमें एक्स सन एक्स को एक्सपेंड करना है इंटरवल जीरो से 2π है और इसको 4 इयर्स में ही एक्सपेंड करना है बिल्कुल सिमिलर क्वेश्चन है यहां पर बस एक दो पॉइंट नहीं आएंगे वो मैं आपको समझा देता हूं जरा ध्यान दीजिए सबसे पहले जिवन फंक्शन को 4 एयर सीरीज के इक्वल पट कर दिया ठीक है अब यहां पर मिलेगा उसे करेंगे सबसे पहले मैंने ए नोट का फॉर्मूला लगाया 1/5 जीरो से तू पी एफसी डीएस और यहां पर अब एफसी की वैल्यू को पट करेंगे अब यहां पर जरा ध्यान से देखो यहां पर दो फंक्शन मल्टीप्लाई में ए रहे हैं एक एक्स और एक सन एक्स तो आपको इंटीग्रेशन बाईपास लगाना पड़ेगा तो अब यहां पर इंटीग्रेशन [संगीत] लिखा मैंने फिर उसके बाद माइंस साइन लगाएंगे और फर्स्ट फंक्शन एक्स इसका डर वन आएगा अब वन लिखना जरूरी नहीं है ठीक है उसके बाद माइंस कस एक्स का डिफरेंस इंटीग्रेशन तो देखिए माइंस कस एक्स का इंटीग्रेशन - सन एक्स आएगा देखिए कस एक्स का तो सन एक्स होता है लेकिन क्योंकि इस कस के साथ पहले से एक माइंस साइन भी लगा हुआ है इसलिए यहां पर माइंस साइन एक्स आएगा ठीक है तो अब अगर आप यहां पर देखो तो यहां पर तो माइंस साइन ए गया और ये माइंस माइंस प्लस ए गया अब आप इसमें लिमिट लगा दीजिए जब आप यहां पर लिमिट लगाएंगे तो देखिए कस 2π कितना होता है वन तो यहां पर ए जाएगा आपके पास माइंस का 2π क्योंकि यहां पर माइंस है ना माइंस साइन है माइंस एक्स कस एक्स है ये प्लस सन एक्स है और sinπ आप जानते हैं सन π0 होता है तो देखो जीरो ए गया उसके बाद लोअर लिमिट दोनों जगह लिमिट लगाएंगे दोनों जगह आपको जीरो ही मिलेगा तो आपके पास यहां से वैल्यू ए गई माइंस तू क्लियर है तो देखो यहां पर ए नोट में भी इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स ग गया तो अब आपको समझ में आने लगा होगा की इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स के बिना फोरियर्स सीरीज में नहीं आएगी ठीक है ना तो इसलिए इंटीग्रेशन बाईपास सबको बहुत अच्छे से आना चाहिए और मेरे ख्याल से कोई ऐसा स्टूडेंट नहीं होगा जिसको ना आता हो आगे बढ़ते हैं अब एम निकालना है एफसी कस एनएक्स यहां पर एफसी की वैल्यू पट करो तो यहां पर एक्स सन एक्स कस सन एक्स हो गया देखो यहां पर तीन फंक्शन ए गए अब तीन फंक्शन के लिए तो हमने कोई रूल नहीं पढ़ा इंटीग्रेशन में तो क्या करेंगे तो कुछ नहीं करना आईडेंटिटी का उसे करेंगे पहले इन दोनों को साइन एक्स और कस एन एक्स मैं आपको पहले भी बहुत बार बता चुका हूं चाहे आपको डर कर रहा हो इंटीग्रेशन करना हो लाप्लास निकालना हो कुछ भी करना हो अगर सन और कस मल्टीप्लाई में ए रहे हैं तो पहले आप आईडेंटिटी लगाइए और साइन और कस को जो मल्टीप्लाई में इनको आईडेंटिटी लगाकर प्लस में कन्वर्ट करिए तो यहां पर लगेगी आईडेंटिटी आईडेंटिटी मैं आपको स्टार्टिंग में बता चुका हूं पहले तू से मल्टीप्लाई डिवाइड कर दो तो यहां पर ये तू कस ए सन बी का फॉर्मूला बन गया इस फार्मूले को यहां पर ओपन कर दीजिए फार्मूले को ओपन करेंगे तो आपके पास ये ए जाएगा इसमें से एक्स को आम ले के लिखेंगे तो ये आएगा आपके पास देखो अब ध्यान दो एक फंक्शन यह देखा एक्स और दूसरा फंक्शन ये लिखा ब्रैकेट के अंदर दो फंक्शन मल्टीप्लाई में ए रहे हैं अब दो अगर मल्टीप्लाई में ए रहे हैं तब तो आप इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगा सकते हैं तो यहां पर आप इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स को लगा सकते हैं ये आपका फर्स्ट फंक्शन और ये पूरा जो ब्रैकेट में लिखा है ये आपका सेकंड फंक्शन क्लियर हो गया देखो पहले फंक्शन एक आईटी इस फंक्शन का कर दिया इंटीग्रेशन देखो साइन का इंटीग्रेशन क्या होता है - कस ये लिखा माइंस कस एन + 1 एक्स का कॉएफिशिएंट कितना है एन + 1 एन + 1 को नीचे लिख दिया इसी तरह से यहां देखो साइन का इंटीग्रेशन - कस - - हो गया प्लस तो कस एन - 1 एक्स / एन - 1 तो यह हमारा फर्स्ट फंक्शन एचडी दूसरे फंक्शन का क्या कर दिया हमने इंटीग्रेशन का डर एक्स का डर तो वन आएगा यहां पर वन लिख सकते हैं उसके बाद इसका क्या करेंगे इंटीग्रेशन तो देखो इसका इंडिकेशन करेंगे तो इसका इंडिकेशन यहां ए गया कस का इंटीग्रेशन सन होता है अब क्योंकि यहां पर - था तो माइंस वहां भी आएगा तो सन एन + 1 एक्स / अब देखो एक बार एन + 1 पहले से ही लिखा हुआ था एक बार यहां ए जाएगा तो स्क्वायर बन जाएगा सिमिलरली इसका इंटीग्रेशन कर देंगे और उसके बाद कुछ नहीं करना केवल लिमिट लगानी है जहां जहां एक्स ए रहा है वहां वहां आप 2π रख देंगे देखिए अगर आप जहां पर एक्स ए रहा है वहां पर तू बाय रखेंगे तो सबसे पहले तो यहां एक्स ए रहा है 2π ए गया ये cosm+1 2π और इसकी वैल्यू कितनी होगी वन होगी देखिए जब भी कस के साथ एंगल में 2 मल्टीप्लाई हो जाएगा पी के साथ तो हमेशा वैल्यू वन आएगी तो इसकी वैल्यू वन आएगी माइंस पहले से ही लगा है तो माइंस वन अपन एन + 1 यहां भी वन आएगा तो 1 / एन - 1 इधर ए जो देखो साइन के कैसे में जब भी तू पी आएगा तो जीरो बनेगा तो ये भी जीरो ये भी जीरो तो इधर आइटम दोनों जीरो हो गई माइंस लोअर लिमिट जब आप लोअर लिमिट रखेंगे तो जब आप एक्स की जगह जीरो रखेंगे तो ये तो पूरा का पूरा फैक्टर ही जीरो बन जाएगा क्योंकि जीरो मल्टीप्लाई में ए गया तो ये जीरो ए गया और यहां भी जीरो आएगा यहां भी जीरो आएगा यानी की केवल आपको यहां से वैल्यू मिलने वाली है बाकी सब जीरो हो जाएंगे बस इसको सिंपलीफाई करके लिखेंगे तो सिंपलीफाई करके ये ए जाएगा अब यहां पर एक इंपॉर्टेंट पॉइंट आएगा वही मैं आपको बताना छह रहा हूं जो इस क्वेश्चन में डिफरेंट है देखिए ये वैल्यू ए रही है तू अपन n² - 1 और अगर हम फोरिअर सीरीज में ध्यान दें तो फोरिअर सीरीज हमारी एन = 1 से स्टार्ट होती है है ना और अगर मैं यहां पर एम की वैल्यू वन पट कर दो तो ये ए जाएगा नोट डिफाइन इसका मतलब ये जो आंसर हमारा ए रहा है ये एन = 1 के लिए वैलिड नहीं है यही यहां पर इंपॉर्टेंट पॉइंट है यह आंसर एन = 1 के लिए वैलिड नहीं है तो एन = 1 के लिए क्या करेंगे जरा ध्यान से समझिए देखो यहां पर लिखा n0 इक्वल तू वन ये एन = 1 के लिए वैलिड नहीं है तो आपको एन = 1 के लिए अलग से कैलकुलेट करनी पड़ेगी वैल्यू तो अब जरा ध्यान देना हम एन ऑलरेडी कैलकुलेट कर चुके हैं ये एम था लेकिन ये एन = 1 के लिए वैलिड नहीं है तो क्या करें तो हम क्या करेंगे जब एन = 1 होगा तो हम फॉर्मूला दोबारा से लगाएंगे अब जरा वापस आते हैं देखिए ये हमारा एन का फॉर्मूला है इसमें एन की जगह क्या रख दो वन रख दो तो आपको मिलेगा a1 1 / 0 से 2π एफसी की जगह ए गया एक्स सन एक्स और कस एन एक्स तो ये बन गया कस एक्स क्लियर है अब यहां पर अगेन तीन फंक्शन मल्टीप्लाई में ए गए तो फिर से आईडेंटिटी लगाओ 2 से मल्टीप्लाई करो 2 से डिवाइड करो और यहां पर 2 सन एक्स कस एक्स का फॉर्मूला बन गया और ये फॉर्मूला होता है सन 2x ये ए गया आपके पास अब यहां पर फिर से दो फंक्शन मल्टीप्लाई में ए रहा है अब इंटीग्रेशन लगा दीजिए तो आप देखिए यहां पर हमने कितनी बार इंटीग्रेशन बाय पार्ट लगा चुके हैं अब तक हम ए नोट कैलकुलेट करने के लिए इंटीग्रेशन लगाया एन को कैलकुलेट करने के लिए इंटीग्रेशन लगाया अब हम a1 को कैलकुलेट करने के लिए भी इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स का उसे कर रहे हैं तो यह a1 ए गया आगे बढ़ते हैं 1 / 50 की वैल्यू पट करेंगे तो यह ए जाएगा फिर से तीन फंक्शन ए रहा है तो फिर से आईडेंटिटी लगानी पड़ेगी सन ए सन बी की कौन सी आईडेंटिटी बनेगी यहां पर 2 सन ए सन बी क्लियर है तू सन ए सन भी लगेगी यहां पर ये हमारी आईडेंटिटी अप्लाई हो गई आईडेंटिटी को अप्लाई करने के बाद अब आप इसमें इंटीग्रेशन बाय पास कर देंगे ये पहले फंक्शन और ये दूसरा फंक्शन और यहां पर इंटीग्रेशन मैंने लगा दिया है उसके बाद इसमें लिमिट लगाएंगे लिमिट लगाने के बाद अगर मैं यहां देखो तो मेरे पास ये आंसर ए रहा है आप जरा इस आंसर को ध्यान से समझना वन अपन तू पी ब्रैकेट में जीरो प्लस वन अपन एन - 1 का होल स्क्वायर माइंस वन प्लस वन का होल स्क्वायर माइंस वन अपन एन - 1 का होल स्क्वायर प्लस वन अपन एन + 1 का होल स्क्वायर अब इसमें अगर आप ध्यान से देखें तो देखो ये इससे कैंसिल हो रहा है ये इससे कैंसिल हो रहा है और ये इससे कैंसिल हो रहा है लेकिन ये कैंसिलेशन कब पॉसिबल है जरा ध्यान से समझिए ये कैंसिलेशन तभी पॉसिबल है जब एन की वैल्यू वन नहीं है क्योंकि अगर n1 के इक्वल हुआ तो ये वैल्यू इंफाइनाइट हो जाएगी मतलब ये वैल्यू नोट डिफाइन हो जाएगी और ये वैल्यू भी नोट डिफाइन हो जाएगी तो जब वैल्यू हुई नोट डिफाइन हो जाएगी तो कैंसिल कैसे हो सकता है तो इसका मतलब यहां पर भी कंडीशन ये है की बी की जो वैल्यू है वो आपकी जीरो होगी क्योंकि सब कुछ कट गया बी की वैल्यू जीरो होगी लेकिन कंडीशन ये है की n1 नहीं होना चाहिए n1 नहीं होना चाहिए यानी की मुझे फर्श फिर दोबारा से बी को कैलकुलेट करना पड़ेगा एन इक्वल तू वन के लिए तो फिर से हम यहां पर बी का फॉर्मूला लिखेंगे और यहां पर एन की जगह वन पट कर देंगे सब जगह वन पट करेंगे तो देखो यहां पर आईडेंटिटी बन जाएगी क्लियर है यहां आईडेंटिटी बनेगी तो इस आईडेंटिटी को फिर से आप 2 से मल्टीप्लाई डिवाइड करेंगे यहां पर देखिए आईडेंटिटी नहीं है यहां पर तो सन एक्स दो बार ए गया सन एक्स सन एक्स क्या ए जाएगा दो बार ए जाएगा तो ये sin² एक्स बन जाएगा sin² एक्स में आप फॉर्मूला लगाएंगे sin² एक्स का फॉर्मूला होता है 1 - cos2x/2 सब जानते होंगे इसको उसके बाद इसको थोड़ा सिंपलीफाई करेंगे तू बाहर ए जाएगा तो हमारे पास जो रिजल्ट बचेगा वो ये बचेगा अब जरा ध्यान से देखो इसका इंटीग्रेशन तो आप डायरेक्ट कर देंगे लेकिन इसमें फिर से इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगाना पड़ेगा ये फर्स्ट फंक्शन और ये सेकंड फंक्शन अब आप देखिए इसमें कितनी बार हम बाईपास लगा चुके हैं मेरे ख्याल से 3 से 4 बार तो हम ऑलरेडी लगा चुके एक बार यहां पर भी इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगेगा और इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगा के आप लिमिट लगा देंगे तो यहां पर आपके पास b1 की वैल्यू पी ए जाएगी तो यहां पर टोटल मुझे ग रहा है आप पांच बार एक ही क्वेश्चन में पांच बार इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स ऑफ अप्लाई कर चुके तब जाकर के आपको साड़ी वैल्यू मिली तो यहां से हम क्या-क्या कैलकुलेट कर चुके हैं अब जरा ध्यान देना हमने ए नोट कैलकुलेट किया उसके बाद a1 कैलकुलेट किया है ना ए नोट कैलकुलेट किया a1 कैलकुला ते किया एन कैलकुलेट किया b1 कैलकुलेट किया बी कैलकुलेट किया यानी की हम टोटल फाइव वैल्यू को कैलकुलेट कर चुके हैं और हमारे पास जो 4 इयर्स है उसमें तो तीन ही चीज है तो हम a1 और b1 कहां रखेंगे कोई दिक्कत नहीं है देखो मैं बताता हूं क्या करना है इसको यह नोट अपन तू ए गया ठीक है यहां पर देखो जरा एक कम करो यहां पर एन की जगह वन पट करो तो ये a1 बन जाएगा कस एक्स बन जाएगा a1 सीओएसईसी और फिर से समेशन लगाओ और यहां पर एन = 2 से लेक इंफिनिटी तक हमने क्या कर इसमें से a1 को अलग कर दिया एन की वैल्यू पट करें a1 कस एक्स इसको सेपरेट कर दिया और अब एन = 2 से स्टार्ट होगा इंफिनिटी तक एन कस एनएक्स ऐसे ही हमने यहां भी किया एन की जगह वन रखा तो ये b1 सन एक्स आया b1 सन एक्स + और यहां से तू से स्टार्ट कर दिया और ये ए गया अब हम यहां पर साड़ी वैल्यू पट कर सकते हैं यहां पर ए नोट पट करो यहां पर a1 यहां ए ल यहां b1 और यहां भी है साड़ी वालुज को सब्सीट्यूट कर दीजिए जब आप साड़ी वालुज को सब्सीट्यूट कर देंगे तो आपके पास ये आंसर ए जाए क्लियर है आपसे पूछा क्या था इसमें देखो आपसे इसमें फोर इयर्स ही पूछी थी इसको एक्सपेंड करना था ये बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है अभी जो 2022 पेपर हुआ था उसमें यही क्वेश्चन आया था तो काफी लैंग्वेज क्वेश्चन है लेकिन अगर आपको इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स करना आता है तो मुझे नहीं लगता की इस क्वेश्चन को करने में आपको कोई दिक्कत आएगी देखो बहुत सिंपल है लिखो उसमें ए नोट a1 जो भी वैल्यू पूछी है वो साड़ी कैलकुलेट करो और फार्मूले में पट कर दो आंसर आपके पास ए जाएगा अब हम बढ़ते हैं आगे अब देखिए अब यह जो मैंने आपको क्वेश्चन कारण वहां पर हमारा इंटरवल जीरो से 2 पी था अब हम ऐसे क्वेश्चन सॉल्व करेंगे जहां पर जो इंटरवल है वो -π से πa होगा माइंस पी से पी तो चलिए स्टार्ट करते हैं और ऐसे क्वेश्चंस को सॉल्व करते हैं जहां पर इंटरवल जो है हमारा वो माइंस से पी माइंस पी से प्लस पी होगा चलिए अब यहां पर अब मैं आपको ऐसे क्वेश्चंस सॉल्व करने वाला हूं जहां पर हमारा जो इंटरवल है वो जीरो से 2π ना हो करके माइंस फाइव से प्लस फाइव होगा अब जरा यहां पर ध्यान से समझेंगे फोरिअर सीरीज प्रॉब्लम बेस्ड ऑन इंटरवल माइंस तब हम क्वेश्चंस को कैसे सॉल्व करेंगे ये हमें देखना है देखिए फोरिअर सीरीज में कोई चेंज नहीं आएगा चाहे इंटरवल जीरो से 2.0 सीरीज का फॉर्मूला से रहेगा देखो कोई चेंज नहीं है चेंज कहां आएगा वो मैं आपको बता देता हूं चेंज आएगा इलाज फॉर्मूला में a0 का फॉर्मूला बादल जाएगा एम का फॉर्मूला बादल जाएगा बी का फॉर्मूला बादल जाएगा क्यों बादल जाएगा मैं आपको बताता हूं देखिए यहां पर हमने जनरल फॉर्मूला पढ़ा था वहां पर ए नोट का फॉर्मूला था सी से लेकर के सी प्लस तू पी तक अब क्योंकि यहां पर लोअर लिमिट होगी ये माइंस फाइव इसका मतलब सी की वैल्यू -5 है तो अगर सी की वैल्यू -π होगी ठीक है ना तो सी प्लस तू पी की वैल्यू कितनी हो जाएगी तो ये प्लस फाइव हो जाएगी जब आप सी की जगह माइंस फाइव रखोगे देखो अगर आप सी की जगह -π रखोगे तो प्लस फाइव आएगा और यहां नीचे -π आएगा यानी के अगर आपके पास जरा ध्यान रखना है यहां पर अगर आपके पास इंटरवल माइंस पी से पी है देखो अगर इंटरवल जीरो से तू पी है तो यहां पर 2.0 से 2.0 से 2π हो जाएगी लेकिन अगर आपके पास इंटरवल अगर आपके पास इंटरवल माइंस फाइव से फाइव होगी तो यह तो बहुत आसन है अगर लिमिट जीरो से तू पी है तो आपके पास इन तीनों फार्मूले में अगर आपका इंटरवल जीरो से 2 पी है तो यहां पर लिमिट भी जीरो से 2 पी होगी तीनों फार्मूले के अंदर हां अगर आपका इंटरवल माइंस पी से पी है तो यहां पर लिमिट भी -π से π तो इसको याद रखना तो बहुत ही आसन है क्लियर है लेकिन अब यहां पर एक इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी की बात करेंगे क्योंकि अब हमारे लिमिट माइंस पी से पी हो चुकी है माइंस पी से पी हो चुकी है तो अब यहां पर ओड फंक्शन और एवं फंक्शन के कॉन्सेप्ट को उसे करेंगे और एक इंपॉर्टेंट बात और यहां पर ध्यान रखना देखो अगर लिमिट जीरो से तू पी है तो यहां पर लेंथ ऑफ इंटरवल कितनी ए रही है तू पी अगर लिमिट माइंस पी से तू पी माइंस पी से प्लस पी है तब भी लेंथ ऑफ इंटरवल तू पी ही आएगी क्योंकि डिस्टेंस होगा और 0 से 2π में भी 2π का ही होगा तो इस चीज का आप ध्यान रखना यहां पर लेंथ ऑफ इंटरवल तू पी है अब यहां पर ए जो जरा अगर हमारे पास जिवन फंक्शन e1 है तब क्या होगा और हमारे पास अगर जिवन फंक्शन ओड है तब क्या होगा अब यहां पर इसको बहुत ध्यान से समझ लीजिए क्यों ध्यान से समझ लीजिए क्योंकि यहां पर जो फार्मूले आएंगे वही फार्मूले हमें हाफ रेंज साइन सीरीज और हाफ रेंज कोसाइंस सीरीज में भी अप्लाई करने होंगे तो अब यहां पर ध्यान से समझते हैं तो अगर एफसी हमारा एवं फंक्शन है कैसा फंक्शन है एवं फंक्शन है तो अब जरा यहां पर ध्यान दीजिए अगर एफसी एवं फंक्शन है तो देखो क्या होगा अगर एफसी एवं है तो आप जानते हैं अगर एफसी एवं हुआ अब यहां पर ए जो अगर एफसी सी वन हुआ तो -5 से पी जो हमारी ली यह लिमिट जीरो से पी हो जाएगी और यहां पर तू मल्टीप्लाई जीरो से पी एफसी डीएस लगेगा क्लियर है अच्छा अब बात करते हैं वापस देखो ये एन का फॉर्मूला है देखो अगर एफसी e1 है कस पहले से ही हमें पता है एवं है देखो कस तो एवं होता है ये और एफसी भी एवं है तो e1 * e1 e1 होता है तो इसका मतलब इसमें भी जीरो से पी लिमिट हो जाएगी और तू मल्टीप्लाई हो जाएगा तो देखो इसमें भी क्या हुआ जीरो से पी लिमिट होगी और तू मल्टीप्लाई हो गया इसमें भी कोई दिक्कत नहीं इसमें भी कोई दिक्कत नहीं अब चलते हैं बी में अगर आपका जिवन फंक्शन एवं है तो देखो ये e1 और ये ओड एवं और ओड क्या होता है अगर एवं और ओ डी का तो आप अगर यहां पर एवं और ओड का मल्टीप्लिकेशन अगर ओड आता है तो ये पूरा फंक्शन हो गया ओड और अगर ये पूरा फंक्शन ओड हो गया तो बी की वैल्यू ए जाएगी जीरो तो देखो यहां पर ए जाएगी जीरो तो अब यहां पर मेरी बात ध्यान से सुनिए अगर आपकी लिमिट माइंस पी से पी है अगर जिवन इंटरवल माइंस पी से पी है तो आप चेक करिए की आपका जो जिवन फंक्शन है वो एवं है या ओड है अगर वो जिवन फंक्शन एवं है अगर जिवन फंक्शन क्या है एवं है तो याद रखना बी की वैल्यू हमेशा जीरो होगी इसको कैलकुलेट करने की जरूर है आपको नहीं पड़ेगी और अगर बाई चेस आपको नहीं पता चल पता की वो एवं है या ओड है तो क्वेश्चन आपका तब भी गलत नहीं होगा बस लेंडी हो जाएगा ज्यादा ठीक है ना चलिए आगे बढ़ते हैं इधर देखो अगर आपका जीवन फंक्शन ओड है तब क्या होगा अगर आपका जीवन फंक्शन ओड है तो अब जरा वापस आते हैं फॉर्मूला क्या ए जाएगी जीरो ए जाएगी इधर ए जो अगर आपका जीवन फंक्शन ओड है यानी की एफसी ओड है और ये e1 है ये मैं आपको बता डन का मल्टीप्लिकेशन और होता है तो यानी की ये पूरा फंक्शन भी आउट हो गया और अगर ये पूरा फंक्शन ओड हुआ तो इसकी वैल्यू भी जीरो आएगी इधर ए जाते हैं ये ऑर्डर क्या बनेगा e1 बनेगा इसका मतलब ये फंक्शन एवं हो गया तो इसकी लिमिट हो जाएगी जीरो से पी और तू से मल्टीप्लाई हो जाएगा तो यही यहां पर हुआ देखो देखिए अगर अपेक्स और फंक्शन है तो ए नोट 0 आएगा और बी एन की वैल्यू 2 / 0 से पी एफसी साइन एन एक्स और डीएस देखो आपको करना क्या है सिंपल सी बात है आपको सबसे पहले तो ये देखना है की अगर आपके पास इंटरवल माइंस पी से पी है तो आपके ये तीनों फार्मूले इस तरह से बनेंगे ये तीनों फार्मूले आपको याद करने हैं ठीक है उसके बाद आप चेक करिए की आपका जो क्वेश्चन में दिया गया फंक्शन है क्या वो फंक्शन एवं है अगर एवं है तो आप ये फॉर्मूला लगाइए और अगर दिया गया फंक्शन ओड है तो आप ये फॉर्मूला लगाइए और बाई चेस कुछ क्वेश्चन ऐसे भी होंगे जहां पर आपको पता नहीं चल पाएगा की वो फंक्शन एवं है या ओड है मतलब हम बता नहीं सकते की एवं है ओड है तो कोई प्रॉब्लम नहीं है वहां पर हम इनफॉर्मल होगा उसे करेंगे तो मैं आपको तीन टाइप के क्वेश्चन यहां पर कराऊंगा जहां पर हमारा फंक्शन एवं होगा पता चल जाएगा और होगा पता चल जाएगा ऐसा भी क्वेश्चन कराऊंगा जहां पर पता नहीं चलेगा ठीक है और फिर मैं आपको एक क्वेश्चन इस तरीके से भी कराऊंगा की बाय चेस हमें पता है की वो फंक्शन एवं है ओड है लेकिन हम एवं और ओड के फार्मूले नहीं लगा रहे हम इन्हीं फॉर्मूला को लगा के उसे क्वेश्चन को सॉल्व कर रहे हैं तो मैं आपको यहां पर हर टाइप का एक ही क्वेश्चन कर देता हूं जरा ध्यान से समझिए पहले क्वेश्चन ए गया हमें इस फंक्शन के लिए कैलकुलेट करना है क्या है फंक्शन एफसी = x² लिमिट इंटरवल देखो जरा यहां पर क्वेश्चन को आपको इंटरवल से ही पहचाना है -π से π का इंटरवल है तो समझ में ए गया होगा कौन सा कैसे है स्केच डी ग्राफ इसका ग्राफ भी बनाना है तो ग्राफ तो बहुत आसन है अपवर्ड पैराबोला बनेगा है ना पैराबोला बनेगा यहां पर ठीक है ग्राफ बनाना है और उसके बाद ये तीनों रिजल्ट को ड्राइव करना है तो रिजल्ट तो बाद में ड्राइव कर देंगे पहले हम 4 एयर सीरीज निकाल लेते हैं अब जरा ध्यान से समझिए पर योर चीज को कैलकुलेट कैसे करेंगे तो सबसे पहले हमें जो जिवन फंक्शन दे रखा है वो x² है आपको देखते ही समझ में ए गया होगा अगर देखो सबसे पहले देखो लिमिट क्या है माइंस फाइव से फाइव तो आपके दिमाग में तुरंत क्लिक होना चाहिए की फंक्शन एवं है या ओड है फंक्शन को देखते ही समझ में ए गया होगा आपको की एवं है पहले मैं आपको बता चुका हूं आप चेक करके बताएंगे यहां पर एक्स की जगह माइंस एक्स रखो तो देखो x² ए रहा है यानी की एफ ऑफ माइंस के बराबर ए रहा है इसका मतलब जिवन फंक्शन क्या है तो आगे बढ़ते हैं अब जरा ध्यान देना अगर जिवन फंक्शन एवं है तो बहुत आसन है ये पार्ट जीरो हो गया केवल तो बम जीरो हो गया और अगर बम जीरो हो जाएगा तो एक चीज और ध्यान देना अगर बिल जीरो हो जाएगा तो हमारी फोरिअर सीरीज में केवल दो ही टर्म बचेंगे क्योंकि बी वाले टर्म खत्म हो जाएगी यहां पर केवल एक ही टर्म बचेगी क्योंकि यहां पर ए नोट और ए नोट खत्म हो जाएगा और एन खत्म हो जाएगा और मैं एक चीज और आपको बता डन अगर आप ये फार्मूले याद करते हैं तो आगे जाकर एक टॉपिक और आएगा हमारा जहां पर हम पढ़ेंगे हाफ रेंज और हाफ रेंज को साइंस सीरीज उसमें कोई भी नया फॉर्मूला नहीं होगा यही दोनों फार्मूले वहां पर एप्लीकेबल होंगे तो इन फॉर्मूलों को ध्यान रखना इनको हम आगे भी उसे करेंगे चलिए अब यहां पर आते हैं देखिए बी एन है तो हमारे पास 4s सीरीज ये बच्ची है एफसी = ध्यान देना हमें पता चल चुका है की हमारा जिवन फंक्शन एवं है तो अब आप अब आप यह वाले फार्मूले लगाना इनको नहीं लगाना अब आप सीधे इनको लगाइए क्योंकि आपको पता चल गया ये वन है आगे बढ़ते हैं तो हमने एवं वाला फॉर्मूला लगाया जीरो से पी एफसी डीएस एफसी स्क्वायर है सीधे इंटीग्रेशन कर दिया वैल्यू ए गई आगे बढ़ते हैं एम का फॉर्मूला लगाएंगे [संगीत] इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाना पड़ेगा यह फर्स्ट फंक्शन और ये सेकंड फंक्शन देखिए मैंने आपको एक पॉइंट बताया था की जो शॉर्टकट मेथड है इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स का वो तभी लगेगा जब आपका फर्स्ट फंक्शन टर्मिनेटिंग होगा और आप देख रहे हैं अभी तक जितने भी फर्स्ट फंक्शन हमने मैन हैं सभी टर्मिनेटिंग होते हैं यहां पर देखो x² को देखो आप एक्स स्क्वायर को अगर आप एक बार डर करेंगे 2x आएगा दूसरी बार करेंगे तो तू ए जाएगा और तीसरी बार में जीरो ए जाएगा क्योंकि हमें फर्स्ट फंक्शन का डर करना होता है और फर्स्ट फंक्शन हमारा टर्मिनेट हो जाएगा अगर वो अलजेब्रा है तो पर हमेशा आपको अलजेब्राइक फंक्शन ही देखने को मिलेगा पहले फंक्शन तो यहां पर देखो इंटीग्रेशन - फर्स्ट का डर और दूसरे का इंटीग्रेशन प्लस फर्स्ट का डिफरेंशियेशन और सेकंड का इंटीग्रेशन से प्रोसीजर से आगे बाढ़ रहे हैं अब उसके बाद आप यहां पर क्या करेंगे अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट कर देंगे और अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट अगर आप करते हैं तो आपको यहां से अब यहां पर जरा एक इंपॉर्टेंट ध्यान दीजिए जब आप यहां पर अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट करेंगे इतना ध्यान से समझिए यहां पर आएगा सन nπ देखो एक्स की जगह π रखेंगे तो सन nπ ए जाएगा और आपको मैं ऑलरेडी बता चुका हूं की सन nπ की वैल्यू जीरो होती है क्लियर है ठीक है तो यहां पर ए जाएगा जीरो माइंस वन के पावर एन हो जाएगा अपन में एन स्क्वायर हो जाएगा जीरो माइंस लोअर लिमिट लोअर लिमिट रखना पर ये जीरो हो जाएगा क्योंकि एक्स की जगह जीरो रखना पड़ेगा ये भी जीरो बनेगा ये भी जीरो बनेगा यानी की आपके पास केवल एक ही वैल्यू ए रही है यहां से तो हमारे पास यहां से एक वैल्यू ए गई यह लीजिए ठीक है हम निकाल चुके हैं अब दोनों को पट कर देते हैं हम तो हम दोनों को पट करेंगे ये हमारे पास एफसी एफसी की सीरीज का है ये हमारे पास 4 एयर सीरीज है यहां पर ए नोट को पट कर दीजिए और यहां पर एम को पट कर दीजिए दोनों को सब्सीट्यूट करने के बाद ये आपको मिल जाएगा क्लियर है ना ये आपको मिलेगा ठीक यहां पर ये मैंने ग्राफ बना दिया इसका एफसी = x² देख सकते हैं आप तो एवं फंक्शन है क्योंकि ए के अबाउट एकदम सिमेट्री है पैराबोला बन रहा है अब इसके आगे बढ़ते हैं आगे हमसे कुछ और चीज भी पूछी थी शायद ये तीन रिजल्ट हमसे पूछ रखें हैं यहां पर बहुत आसानी से ए जाएंगे तो ये रिजल्ट हमारे पास ए रहा है और इस रिजल्ट में हमें क्या करना है सभी जगह पर वन का स्क्वायर तू का स्क्वायर फोर का स्क्वायर ले करके आना है तो पहले तो इसको एक्सपेंड कर दो क्लियर है अब हमें सभी जगह पर क्या करना है वन का स्क्वायर तू का स्क्वायर थ्री का स्क्वायर लाना और सभी जगह प्लस का साइन है इनके बीच में लेकिन यहां तो प्लस माइंस का साइन ए रहा है अब जरा ध्यान से सुनो अगर मैं यहां कस पी की जगह पर जीरो पट करता हूं एक्स की जगह जीरो पट करता हूं तो ये वन बनेगा ये भी वन बनेगा ये भी वन बनेगा ये भी वन बनेगा तो अगर मैं एक्स की जगह जीरो पट करूं तो मेरा साइन अल्टरनेट ए रहा है प्लस माइंस प्लस माइंस प्लस माइंस लेकिन मुझे चाहिए सारे प्लस तो क्या करें तो जीरो तो नहीं पट कर सकते पी पट करके देखते हैं अगर आप यहां पर करते हैं तो ये माइंस हो जाएगा यह प्लस वन रहेगा यह महीना हो जाएगा इसका मतलब अगर आप पाइप करते हैं तो क्या होगा यह माइंस बनेगा ये पहले से ही माइंस है ये माइंस बनेगा ये पहले से ही माइंस है तो इसका मतलब सारे के सारे साइन माइंस ए जाएंगे और जब सारे माइंस ए जाएंगे तो माइंस को आम ले लेंगे सारे प्लस बन जाएंगे तो इसका मतलब मुझे यहां एक्स की जगह π पट करना चाहिए तो एक्स की जगह जैसी आप पाइप पट करेंगे ये आपके पास सीरीज ए जाएगी इसमें से माइंस साइन को बाहर आम ले लेंगे क्या ले लेंगे माइंस साइन को बाहर आम ले लेंगे तो आम लेने के बाद और इसको लेफ्ट साइड में भेज देंगे देखो इसको लेफ्ट में भेज दो यहां से माइंस आम ले लो माइंस माइंस प्लस बनेगा ये लेफ्ट में ए गया और आपके पास जो आपको आंसर चाहिए था वो आंसर आपके पास ए जाएगा पी स्क्वायर अपन सिक्स देखो यहां सब का स्क्वायर ए रहा है अच्छे इसको समेशन की फॉर्म में भी लिख सकते हैं कैसे भाई आप इसको देखो यहां पर नेचुरल नंबर का स्क्वायर है वन का स्क्वायर तू का स्क्वायर थ्री का स्क्वायर तो यहां पर आप एन का स्क्वायर कर दो और एन को वन से लेकर इंफिनिटी तक वेरी कर दीजिए तो ये हमारा पहले रिजल्ट ए गया दूसरा रिजल्ट दूसरा रिजल्ट में हमें अल्टरनेट साइन आने दो दूसरा तो आसन है देखो अल्टरनेट साइन लाने तो एक्स की जगह जीरो पट कर दो तो जैसे आप एक्स की जगह जीरो पट करेंगे आपके अल्टरनेट साइन ए जाएंगे और आपको जो प्रूफ करना था वो भी आपके पास ए जाएगा इसके बाद तीसरा रिजल्ट क्या था इसमें देखो और नंबर ए रहे हैं सारे के सारे इसका मतलब दोनों को एड कर दीजिए दोनों को क्या कर दीजिए इसको और इसको एड कर दीजिए तो जैसे ही आप एड करेंगे आपके पास यहां देखें आप जब दोनों को एड करेंगे तो एड करने के बाद आपके पास रिजल्ट ए जाएगा ये दोनों इक्वेशन को एड करके देखिए आपके पास फाइनल आंसर ए जाएगा ठीक है ना देखो 4 और 5 को एड कर दिया एड कर दिया तो ये वाले टर्म्स कट जाएंगे और जो बचेंगे उनको एड करेंगे तो हमारे पास फाइनल आंसर ये ए जाएगा और यही हमें प्रूफ करना है ठीक है चलिए तो यहां पर आपने देखा पहले क्वेश्चन में आपको बहुत कुछ समझ में ए गया होगा की हमें किस तरह देखिए जीरो से 2π हो या माइंस साइन से प्लस फाइव से प्लस फाइव है तो आपको और एवं का ध्यान रखना है अगर जीरो से 2π है तो आपको और एवं का ध्यान नहीं रखना आपको सीधे क्या कर देना है वैल्यू फाइंड कर देनी है अब यहां पर नेक्स्ट क्वेश्चन देखो यहां पर फंक्शन है एफसी = पी में देखो यहां पर इंटरवल माइंस पी से पी है ध्यान रखना यानी की यहां पर एक्स की वैल्यू -π से π तक जा रही है ठीक है तो यहां पर ओपन इंटरवल है देखिए जब इस तरह से हम इंटरवल बनाते हैं ब्रैकेट बनाते हैं तो इसका मतलब होता है ओपन इंटरवल अगर इसमें लिखने हैं तो इसका मतलब क्लोज इंटरवल क्लियर है ना ये सब आपको मालूम हो गई चलिए अब इसमें आगे बढ़ते हैं कैसा फंक्शन है तो यहां पर देखो मैंने चेक भी करके दिखा दिया होता है ए और बी 0 होता है आपको केवल बी एन निकालना पड़ता है तो देखिए फोर एयर सीरीज क्या बन जाएगी 4 एयर सीरीज केवल ये आएगा आपके पास छोटा सा पार्ट क्योंकि ए नोट बी जीरो हो गया और ए एन बी जीरो हो गया सीरीज केवल इतना बचेगी यहां से बिल निकलेंगे बिल का फॉर्मूला 2 / 0 से π एफसी साइन एन एक्स डीएस और यहां पर एफसी की वैल्यू पट कर देंगे एफसी की वैल्यू होती है x³ [संगीत] करेंगे इंटीग्रेटेड तो यहां पर इंटीग्रेशन [संगीत] इसमें कंफ्यूज हो जाते हैं यहां पर इंटीग्रेशन लगाना कुछ स्टूडेंट ने मुझे यह फंक्शन मतलब भेजो था की सर इसको सॉल्व कर दीजिए हमसे इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स नहीं हो रहा है तो इसके इंटीग्रेशन बाईपास में कुछ नया नहीं है अब यहां पर मैं आपको बताता हूं की इसका इंटीग्रेशन में पार्ट्स कैसे करना है सिमिलर तरीके से ये आपका पहले फंक्शन ये आपका दूसरा फंक्शन अब मैं यहां पर इंटीग्रेशन बाय पास लगाने जा रहा हूं शॉर्टकट मेथड से पहले दूसरा फंक्शन हमारे पास है देखो तो जिनको नहीं समझ में आया क्योंकि कई स्टूडेंट ने मुझे ये पार्ट मैसेज किया था की सर हमसे इसका इंटीग्रेशन बाईपास नहीं हो रहा है कुछ स्टूडेंट ने ऐसा भी लिखा था की सर अगर हम प्रॉपर तरीके से कर रहे हैं तो आंसर अलग ए रहा है और अगर शॉर्टकट मेथड से करना है तो आंसर अलग ए रहा है ऐसा बिल्कुल नहीं है बेटा आप लोगों ने कहानी ना कहानी गलती की होगी है ना आप किसी भी मेथड से करें आंसर से ही आएगा देखो यह फर्स्ट और ये सेकंड फर्स्ट फंक्शन को एचडी लिखा सेकंड का इंटीग्रेशन कर दिया और देखो इंडिकेशन करके हमेशा ब्रैकेट में लिखना नहीं तो गलत हो जाएगा तो इंटीग्रेशन करके हमेशा ब्रैकेट के अंदर ही लिखना है अब एक्स कब का डर 3 एक्स स्क्वायर हो गया अब यहां पर ध्यान देना कुछ स्टूडेंट क्या समझते हैं की सर कॉस्ट का इंटीग्रेशन तो प्लस साइन होता है बिल्कुल प्लस ही होता है लेकिन इसके साथ पहले से माइंस था तो वो माइंस तो आएगा ना क्योंकि हम इस पूरे ब्रैकेट का इंटीग्रेशन कर रहे हैं केवल कस का नहीं कर रहे हैं आगे बढ़ते हैं अब क्या है इस 3x² का डर कितना हो जाएगा 6x देखो साइन अल्टरनेट आएंगे प्लस माइंस प्लस माइंस उसके बाद इसका इंटीग्रेशन अब जरा ध्यान दो सन का इंटीग्रेशन होता है माइंस कस और एक माइंस लगा दो तो माइंस माइंस प्लस बन गया वन अपन में ए गया n³ आगे बढ़ते हैं अब इस 6x का डर सिक्स आएगा और ये जो ब्रा कैट में लिखा है इसका इंटीग्रेशन तो कस का इंटीग्रेशन आएगा तो कितना आसन है आप बताइए इसमें क्या नहीं समझ में ए रहा है बहुत सिंपल है आपको सिर्फ क्या करना है फर्स्ट एक आईटी इस दूसरे का इंटीग्रेशन और उसके बाद ऊपर नहीं देखना यहां एक्स कब का थ्री एक्स स्क्वायर का सिक्स एक्स और सिक्स का सिक्स इसके आगे जाएंगे तो जीरो हो जाएगा तो आगे हम गए नहीं इसका इंटीग्रेशन फिर इसका इंटीग्रेशन फिर इसका इंटीग्रेशन कितना आसन है अब उसके बाद आपको क्या करना है यहां पर इसको पहले एक बार सिंपलीफाई करके लिख देते हैं यहां माइंस आएगा ये माइंस माइंस प्लस हो जाएगा ये प्लस रहेगा ये माइंस रहेगा है ना उसके बाद आपको इसमें लिमिट लगा देनी है अपर लिमिट पे लोअर लिमिट जीरो तो जहां-जहां पर एक्स ए रहा है वहां पर पी रख दीजिए जैसे यहां देखो ये πq बन जाएगा अपन में एन है और कस nπ कस ऍन पी की वैल्यू -1 की पावर एन होती है यहां लिख दी मैंने यहां पर अगर आप यहां पर पी रखेंगे तो सन nπ बनेगा तो इसकी वैल्यू ए जाएगी जीरो देखो जीरो ए गई क्लियर है इधर ए जो यहां पर अगर आप पी रखते हैं तो फिर से कस nπ बनेगा जिसकी वैल्यू -1 की पावर एन होती है तो -1 की पावर एन ये ए गया और ये 65 / n³ ए गया आगे बढ़ो यहां पर पी रखोगे जीरो ए जाएगा ना माइंस अब माइंस साइन लगाओगे और लो वाली लेकिन जब लोअर लिमिट रखेंगे आप जीरो तो यहां जीरो रखोगे पूरा जीरो यहां जीरो रखोगे पूरा जीरो यहां जीरो रखोगे पूरा जीरो और यहां जीरो रखोगे ये भी जीरो सब जीरो ए गया उसके बाद इसको सिंपलीफाई करके लिख लीजिए सिंपलीफाई करने के बाद आपके पास आंसर आएगा ये तू इन माइंस वन के पावर n6 और शायद हमें बी ही निकालना था बाकी तो एन और एनोड दोनों जीरो है तो इसको उठा के अपने फार्मूले में रख देते हैं तो ये फार्मूले में हमने इसकी वैल्यू को पट कर दिया तू को बाहर कर दिया और ये हमारा इसका फाइनल आंसर ए गया आप चाहे तो इसको ओपन करके लिख सकते हैं कैसे पहले एन की जगह 1 पट करो सब जगह पहले टर्म आएगी फिर प्लस लिखो फिर एन की वैल्यू तू पट करो आप तीन कर टर्म्स ऐसे करके लिख सकते हैं ठीक है तो यहां पर आपने देखा है की मैंने आपको एवं और फंक्शन का यहां पर उसे कराया है पहले क्वेश्चन में हमारा क्या हुआ था पहले क्वेश्चन में बम जीरो हो गया था और इस क्वेश्चन में हमारा ए नोट और एन जीरो हो गया तो यहां पर मैंने आपको दो टाइप के क्वेश्चन कर दिए अब एक और क्वेश्चन में आपको यहां पर करता हूं देखिए जरा एक्सप्रेस एफसी = मोड एक्स अब यहां पर मोड का साइन लगा हुआ है इंटरवल माइंस पी से पी है चलिए है ना तो एक कम करो पहले 4 एयर सीरीज में एक्स की वैल्यू कुछ ना कुछ पट करने के बाद ये ए जाएगा चलिए तो सबसे पहले यहां पर निकलते हैं तो जो भी आपको जिवन फंक्शन दे रखा है पहले उसको लिखने हैं ये लिखा हमने मोड पर फंक्शन अगर लिखा होगा मोड एक्स लिखा है सीधी सी बात है एवं फंक्शन होगा क्यों क्योंकि आप जानते हैं अगर मैं एक्स की जगह माइंस एक्स रखूंगा तो मोड में वो वैल्यू प्लस ही हो जाति है तो ये तो एवं फंक्शन है कैसा फंक्शन है एवं और अगर ये e1 फंक्शन है तो बी क्या हो जाएगा जीरो हो जाएगा तो बम आपके पास जीरो हो गया तो ये आपके पास ए जाएगी 4 इयर्स देखो 4 एयर सीरीज में बी वाली टर्म नहीं ए रही है क्यों क्योंकि वो जीरो हो गई ना अब आपको दो चीज निकालनी है एक ए नोट और एक एन और दोनों को निकाल के इसमें पट कर देंगे आपका आंसर ए जाएगा ए नोट का फॉर्मूला 2 / 5 एफसी डीएस अब देखिए यहां पर एक इंपॉर्टेंट पॉइंट यहां से समझिए यहां पर एक्स पॉजिटिव है या नेगेटिव है क्योंकि देखिए मोड लगे के बाद तो पॉजिटिव ही आता है तो एक्चुअल में एक्स की वैल्यू क्या है देखिए हमारी जो लिमिट है वो जीरो से पी है जीरो से पी के बीच में एक्स पॉजिटिव होगा एक्स की जो वैल्यू है वो जीरो से पी के बीच में तो अगर एक्स जीरो से पी के बीच में क्या होगा पॉजिटिव होगा है ना एक्स जीरो से पी के बीच में क्या होगा पॉजिटिव होगा अब यहां पर ध्यान से समझिए तो इसका मतलब जब आपको मालूम है की ये एक्स पॉजिटिव है तो अब आपको मोड लगाने की जरूर नहीं है देखिए मोड के अंदर जो लिखी गई वैल्यू है अगर आपको पता चल जाए की वो प्लस है या माइंस है तो उसके बाद मोड लगाने की जरूर नहीं है अगर आपको पता चल गया की वैल्यू प्लस है तो मोड को हटा दो और प्लस एक्स लिख दो और आपको अगर पता चल गया की वो वैल्यू माइंस एक्स है तो मोड हटा दीजिए और माइंस एक्स लिख दीजिए तो यहां पर हमें पता चल गया है प्लस है तो हमने मोड को हटा दिया एक्स डीएस लिख दिया और इसका इंटीग्रेशन कर तो हमारे पास यहां से ए नोट की वैल्यू ए गई पी फिर हमने एन का फॉर्मूला लगाया से यहां पर भी लिमिट जीरो से पी है तो जीरो से पी के बीच में मोड x+y होगा तो यहां पर हमने मोड हटा दिया और एक्स लिख दिया और यहां पर फिर से हमने इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाया अब मैं इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स को आपको एक्सप्लेन नहीं करूंगा क्योंकि वो आपको समझ में ए गया होगा तो यहां से हमारे पास इंटीग्रेशन बाय पास लगाने के बाद जब आप लिमिट लगाएंगे तो यहां से आपको ए एन की वैल्यू जो है आसानी से मिल जाएगी क्लियर है चलिए एन हमारे पास ए गया आगे बढ़ते हैं तो यह हमारे पास थोड़ा सा ध्यान से समझेंगे बात को यह माइंस वन की पावर एन - 1 ए रहा है क्लियर है अब यहां पर अगर एन हमारा एवं नंबर हुआ अगर ये एवं हुआ तो माइंस वन की पावर प्लस वन बन जाएगी और वन माइंस वन जीरो ए जाएगा तो आंसर जीरो आएगा और अगर एन हुआ तो ये माइंस माइंस वन माइंस वन माइंस तू बन जाएगा और -2 * 2 - 4 / n² और पी स्क्वायर आएगा इसका मतलब ये हुआ अगर एन एवं है तो एन की वैल्यू जीरो आएगी और अगर एन ओड है तो एन की वैल्यू इतनी आएगी अब हम क्या करते हैं ए नोट और एन की वैल्यू को उठा के अपने फोर एयर सीरीज के फार्मूले में रख देते हैं अब जरा ध्यान दें देखो अगर एन एवं है तो आपको पहले ही पता चल चुका है की अगर ना वन है तो एन की वैल्यू जीरो आएगी एन की वैल्यू क्या ए जाएगी जीरो यानी की ये पुरी वैल्यू जीरो बन जाएगी तो हमारे पास आंसर आएगा है ना अब इसको थोड़ा सिंपलीफाई कर लिया - 4 / 5 बाहर कर दिया एन = 1 से इंफिनिटी और ये मेरे पास आंसर ए गया इसको एक्सपेंड कर लेते हैं तो आगे अगर आप इसको एक्सप्लेन करते हैं तो यहां पर एन की वैल्यू वन पट करेंगे फिर तू पट करेंगे याद रखना और ही रखना है आपको क्योंकि और रखना भेज अगर आप एवं रखेंगे तो वैल्यू जीरो मिलेगी यहां पर एन को और रखो वन रखेंगे वन का स्क्वायर थ्री रखेंगे थ्री का स्क्वायर 5 रखेंगे 5 का स्क्वायर तो जब आप इसको एक्सपेंड करेंगे तो आपको ये सीरीज मिल जाएगी देखो कुछ स्टूडेंट सोच रहे होंगे सर तू क्यों नहीं ए रहा 4 क्यों नहीं ए रहा है तो तू और फोर इसलिए नहीं ए रहा है क्योंकि तू और फोर एवं नंबर है और एवं नंबर के कैसे में एन की वैल्यू जीरो है एन कितना जीरो है तो इसलिए e1 वाला कोई नंबर आएगा ही नहीं तो हमारे पास फाइनली यहां पर ये सीरीज ए चुकी है अब समझ गया अब आपको यहां पर जो प्रूफ करना था उसे प्रूफ को देखना पड़ेगा आपको की आपको प्रूफ क्या करना था जैसे मैंने यहां लिखा हुआ है वन का स्क्वायर थ्री का स्क्वायर 5 का स्क्वायर ये आपको प्रूफ करना था इसका मतलब आपको यहां वन का स्क्वायर थ्री का स्क्वायर 5 का स्क्वायर चाहिए इसका मतलब ऊपर जितने भी नंबर ये लिखे हुए इन सब की वैल्यू वन हनी चाहिए और इन सब की वैल्यू वन तभी हो शक्ति है जब एक्स जीरो तो आप इसमें एक्स की वैल्यू जीरो रख दीजिए आपका जो रिक्वायर्ड आंसर है वो ए जाएगा है तो यहां पर मैंने आपको माइंस पी से पी के बीच में जब आपको इंटरवल दिया होगा तो उसके मैंने आपको सारे वेरिएशन आपको बता दिए की क्या-क्या वेरिएशन उसमें हो सकता है तो याद रखना जब इंटरवल माइंस पी से पी दिया हो तो आपको ओड और एवं के कॉन्सेप्ट को बहुत अच्छे से उसे करना है क्योंकि अगर आप ऑर्डर एवं का कॉन्सेप्ट उसे नहीं करेंगे तो आपके क्वेश्चन बहुत ज्यादा लांगती हो जाएंगे जैसा पर एग्जांपल अगर आप इस क्वेश्चन में ऑर्डर एवं का कॉन्सेप्ट उसे नहीं करते तो आपको बीबीबी कैलकुलेट करना पड़ता फाइनली उसकी वैल्यू जीरो ही आई और जो आपको फार्मूले हैं ये ए नोट का जो फॉर्मूला आपने जीरो से पी लगाया ये फॉर्मूला आपको माइंस पी से प्लस पी लगाना पड़ता तो बहुत ज्यादा डिफिकल्ट हो जाता है आपके लिए है ना उसको कैलकुलेट करना तो जब भी लिमिट आपको माइंस पी से प्लस फाइव दी हो तो आप हमेशा एवं और ओड के कॉन्सेप्ट को उसे करेंगे अगर वो कॉन्सेप्ट वहां पर उसे हो पता है तो अब यहां पर देखिए दो इंपॉर्टेंट बहुत इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है जो दोनों यहां पर लिखे हैं इनको आप सॉल्व करके देखें इनका आंसर आपको बहुत ही आसानी से मिल जाएगा अब यहां पर मैं एक पॉइंट आपको बताना चाहता हूं इस क्वेश्चन में छोटा सा पॉइंट है देखो जब आप इसको 4 एयर सीरीज कैलकुलेट करेंगे 4 एयर सीरीज कैलकुलेट करने में आपको कोई दिक्कत नहीं आएगी लेकिन जब आप इसकी इस वाले रिजल्ट को ड्राइव करेंगे तो ये रिजल्ट आपको तब मिलेगा जब आप एक्स की वैल्यू को -5 रखेंगे है ना एक्स की वैल्यू को क्या रखेंगे माइंस फाइव लेकिन -5 रखना में प्रॉब्लम क्या है की माइंस पी तो हमारे इंटरवल में ए ही नहीं था भाई एक्स की वैल्यू -π से π के बीच में है माइंस पी नहीं है इसका मतलब ये हो गया की हमें माइंस फाइव में वैल्यू कैलकुलेट करनी है और -5 हमारे फंक्शन में नहीं ए रहा है हमारे इंटरवल में नहीं ए रहा है यानी की माइंस फाइव पे हमारा फंक्शन डिफाइन नहीं है तो जी फॉर्म पर फंक्शन डिफाइन नहीं होता है या जो पॉइंट हमारे इंटरवल में नहीं ए रहा है उसे पॉइंट पर अगर आपको वैल्यू चाहिए तो उसे पॉइंट पर फिर आपको लिमिट कैलकुलेट करनी पड़ेगी आपको इस क्वेश्चन में एफ माइंस पी कैलकुलेट करना पड़ेगा और ये वैल्यू आपको मिलेगी लिमिट से अब लिमिट से कैसे मिलेगी यह मैं आगे वाला जो नेक्स्ट जो हमारा टॉपिक आने वाला है उसे टॉपिक में मैं आपको समझाऊंगा की अगर आपका जो पॉइंट आप पट कर रहे हैं अगर वो पॉइंट आपके इंटरवल में नहीं है तो उसे पॉइंट पर वैल्यू को कैसे कैलकुलेट किया जाता है ये अब हम नेक्स्ट टॉपिक में पढ़ेंगे क्लियर है तो इस क्वेश्चन को ध्यान रखना इस क्वेश्चन में आप फोरिअर सीरीज को आसानी से निकाल लेंगे लेकिन इसको निकालना के लिए इसको निकालना के लिए आपको लिमिट लगानी पड़ेगी और लिमिट से कैसे आंसर आएगा वो मैं अभी थोड़ी डर में आपको बता डन चलिए आगे बढ़ते हैं नो सूर्य सीरीज ऑफ दिस कंटीन्यूअस फंक्शन अब हम यहां पर ऐसे फंक्शन लेने जा रहे हैं जो डिस्कंटीन्येंस है कैसे हैं डिस्कंटीन्यूअस डिस्कंटीन्यूअस का मतलब समझिए यानी की अब जो हमें फंक्शन दिया होगा ठीक है ना जो हमें उसमें इंटरवल दिया होगा उसे इंटरवल के बीच में कहानी ना कहानी हमारा जो फंक्शन है वो ब्रेक हो रहा होगा फंक्शन क्या हो रहा होगा ब्रेक यानी की अब आपको फंक्शन दो पार्ट में दिया जाएगा दो पार्ट में फंक्शन आपको दिया जाएगा और जब आपको फंक्शन दो पार्ट में दिया जाएगा तो हो सकता है उसे इंटरवल के बीच में कोई एक पॉइंट ऐसा भी हो एक या दो पॉइंट ऐसे भी हो जहां पर आपका फंक्शन डिफाइन ही ना हो तो जी पॉइंट पर आपका फंक्शन डिफाइन नहीं होगा उसको हम कहते हैं पॉइंट ऑफ दिस कंटिन्यूटी और अगर कोई पॉइंट ऑफ डिस्काउंट नहीं आएगा तो उसे पॉइंट पर आपको लिमिट कैलकुलेट करनी पड़ेगी यह सब मैं आपको इस टॉपिक के अंदर बताने वाला हूं चलिए तो अब मैं स्टार्ट करता हूं यहां पर जरा ध्यान से समझिए ना सबसे पहले फोरिअर सीरीज हम डिस्कंटीन्यूअस फंक्शन के लिए पढ़ने वाले तो उसके लिए सबसे पहले आपको पता होना चाहिए कंडीशन क्या है देखिए कोई भी फंक्शन अगर ब्रेसलेट कंडीशंस को सेटिस्फाई करेगा तभी हम उसका 4 एयर एक्सपेंशन कर सकते हैं और ये बहुत इंपॉर्टेंट है तू मार्क्स के लिए तू मार्क्स में बहुत बार डिलीट कंडीशंस पूछी जाति हैं देखिए फोरिअर सीरीज के जितने भी क्वेश्चन है सब लैंग्वेज क्वेश्चन है तो फोर सीरीज के जो क्वेश्चंस होते हैं जनरली जनरल सेवन मार्क्स में ही आते हैं तू मार्क्स का क्वेश्चन शायद कभी-कभी ए जाता है कोई छोटा क्वेश्चन होता तो दे देते वरना तू मार्क्स में जनरली फोरिअर सीरीज के क्वेश्चन कम ही आते हैं हां ये जो ड्रेसेलित कंडीशन है ये बहुत बार तू मार्क्स में पूछे गई है तो आप इनको बहुत अच्छे से समझ लेंगे देखिए क्या है अन्य फंक्शन एफसी कैन बी एक्सप्रेस आज एन 4 एयर सीरीज हम किसी भी फंक्शन एफसी को 4 या सीरीज में एक्सपेंड कर सकते हैं लेकिन उसके लिए कंडीशन क्या है ये नीचे कुछ कंडीशन लिखी गई है पहले कंडीशन आपका जो जिवन फंक्शन एफसी वो पीरियोडिक होना चाहिए भाई सीधी सी बात है 4 या सीरीज में अगर हम एक्सपेंड कर रहे हैं तो चाहे कोई भी फंक्शन हो उसका पीरियोडिक होना जरूरी है फंक्शन सिंगल इसका मतलब क्या है की हमारा जो जिवन फंक्शन है अगर वो किसी पॉइंट पर डिस्को एफसी साइनाइड नंबर ऑफ मैक्सिमम और मिनीमा हमारा जो जिवन फंक्शन है वो केवल फाइनल पॉइंट पर ही मैक्सिमम और मिनिमम होना चाहिए ठीक है ना तो ये इंपॉर्टेंट कंडीशन है जिनको आपको पता होना चाहिए इनको हम कहते हैं ड्रिजलिंग कंडीशन और ये कंडीशन सेटिस्फाई होगी तभी हम फोर एयर एक्सपेंशन कर पाएंगे अब थोड़ा सा आगे बढ़ते हैं अब हमने यहां पर बात की डिस्कंटीन्यूटी की तो जी पॉइंट पर हमारा फंक्शन दिस कंटीन्यूअस होगा उसे पॉइंट पर हमें क्या करना पड़ेगा उसे पॉइंट पर हमें लिमिट फाइंड करनी पड़ेगी क्योंकि उसे पॉइंट पर अगर आपको फंक्शन की वैल्यू चाहिए तो आपको लिमिट अप्लाई करनी पड़ेगी तो व्हेन दिस कंडीशन देखिए वन दिस कंडीशन आर सेटिस्फाई डी फोरिअर सीरीज कन्वर्स तू अफेक्ट आते एवरी पॉइंट ऑफ कंटिन्यूटी अब इसको जरा ध्यान से समझिए इसका मतलब क्या है आते दी पॉइंट ऑफ दिस कंट्री जी पॉइंट पर आपका फंक्शन डिस्कंटीन्यूअस होगा मां लेते हैं की ए पॉइंट पर आपका फंक्शन डिस्कंटीन्यूअस है तो हमें क्या करना होगा इस ए पॉइंट पर इस ए पॉइंट पर पहले आपको लेफ्ट हैंड लिमिट निकालनी होगी फिर आपको राइट हैंड लिमिट निकालना होगी ये लेफ्ट हैंड लिमिट और राइट हैंड लिमिट के दोनों फार्मूले मैंने यहां पर लिख दिए हैं ये दोनों ही फॉर्मूला आपने क्लास 12th में पढ़े होंगे ठीक है ना और जब आपकी लेफ्ट हैंड लिमिट और राइट हैंड लिमिट दोनों ए जाएंगे उन दोनों को एड कर देंगे और एड करने के बाद तू से डिवाइड कर देंगे तो हमें उसे पॉइंट पर फंक्शन की वैल्यू मिल जाएगी ठीक है ना चलिए अब इसको क्वेश्चंस में अप्लाई करते हैं तो आपको बहुत आसानी से समझ में ए जाएगा यहां पर जो क्वेश्चंस होंगे यहां पर क्वेश्चन आपके पास ऐसे क्वेश्चन आएंगे जहां पर इंटरवल या तो आपको जीरो से 2π दिया होगा या -π से π दिया होगा यानी की इंटरवल वही पुराने वाले हैं दोनों बस केवल फंक्शन यहां पर डिस्कंटीन्यूअस होंगे तो यहां पर जब आप ध्यान से समझेंगे पहले क्वेश्चन देखो यहां पर दो-तीन टाइप के क्वेश्चन है मैं आपको समझा देता हूं पहले समझिए ऑब्टेन डी पर एयर सीरीज आपको इस फंक्शन के लिए 4 इयर्स निकालनी है फंक्शन क्या है एफसी की वैल्यू एक्स के बराबर है तब जब एक्स की वैल्यू -π से 0 होगी बीच में इसी एफसी की वैल्यू माइंस एक्स है जब आप एक्स की वैल्यू जीरो से पी के बीच में अब इसको जरा ध्यान से समझिए अब आपका जो जिवन फंक्शन है एफसी वो डिस्कंटीन्यूअस है डिस्कंटीन्यूअस क्यों हो गया क्योंकि आप अगर इसमें ध्यान से देखें तो एक तो आपका फंक्शन ब्रेक हो गया कैसे ब्रेक हुआ ये माइंस पी से जीरो के बीच में फंक्शन की वैल्यू एक्स है और जीरो से पी के बीच में इसकी वैल्यू माइंस एक्स है तो यानी की आपका फंक्शन दो पार्ट में ब्रेक कर दिया यहां पर एक इंपॉर्टेंट पॉइंट अगर आप यहां पर ध्यान देंगे तो आपको पता चलेगा की आपका जो फंक्शन है वो जीरो पे डिफाइन ही नहीं है देखो माइंस एक्स के बराबर है जीरो से पी के बीच में लेकिन यहां पर इक्वल तू जीरो की तो बात ही नहीं हुई देखो जीरो ना तो इसमें इंक्लूड हो रहा है ना इसमें इंक्लूड हो रहा है यानी की आपका जो जिवन फंक्शन है वो एक्स = 0.20 कंटीन्यूअस है तो हमें एक्स = 0 पर लिमिट कैलकुलेट कर नहीं पड़ेगी चलिए अब थोड़ा आगे बढ़ते हैं हमें क्या करना है फोर एयर सीरीज निकालनी है और उसके बाद ये प्रूफ करना है ठीक है ना तो सबसे पहले जो हमारे पास इंटरवल है उसको चेक करते हैं -π से π के बीच में इंटरवल क्या है -5 के बीच में तो अब हम यहां पर और एवं फंक्शन के कॉन्सेप्ट को उसे कर सकते हैं लेकिन कई बार क्या होता है जब हमारा फंक्शन दो इंटरवल में ब्रेक करके दिया जाता है तो यहां पर स्टूडेंट को एवं और ओड फंक्शन पता करने में थोड़ी सी डिफिकल्टी आई है क्यों आई है क्योंकि यहां पर अगर आपको पता करना है की यह एवं है तो इसके लिए जो आसन तरीका होता है वो आसन तरीका यह है की आपको ग्राफ बना के देखना पड़ता है अगर आपको ग्राफ बनाना आता है तो फिर तो आपके लिए बहुत आसन है और अगर आपको ग्राफ बनाना नहीं आता है तो उसके लिए भी मैं आपको ऑप्शन बताऊंगा की आपको क्या करना है पहले तो हम समझ लेते हैं की अगर हमें ग्राफ बनाना आता है तो आप जरा ध्यान दीजिए देखो हमें पहले ग्राफ बनाना है माइंस फाइव से जीरो के बीच में तो देखो -5 ये रहा जीरो ये रहा इन दोनों के बीच में ग्राफ बनाना है तो इन दोनों के बीच में क्या फंक्शन है एफसी = एक्स देखिए एफसी = एक्स का मतलब है ए = एक्स और ए = एक्स की लाइन आप जानते हैं ए = एक्स की लाइन ऐसे आई है तो हमें ए = एक्स की लाइन माइंस पी से जीरो के बीच में ड्रॉ करनी थी तो ये मेरी ए = - एक्स की लाइन ए गई है क्लियर है अब इसके आगे बढ़ो अगर आपका इंटरवल जीरो से पी के बीच में तो जीरो से पी के बीच में और ए = - एक्स की लाइन ऐसे जाति है तो हमें जीरो से ए के बीच में ए इक्वल तू एक्स की लाइन ड्रॉ करनी है ऐसे आएगी और ये दोनों ही लाइन 45° पे आएगी अगर आप ग्राफ को देखें तो ये ए एक्सिस के अबाउट सिमिट्रिक है जैसा ए के लेफ्ट में वैसा ही राय के राइट में भी है इसका मतलब ये कैसा फंक्शन हो गया e1 तो एफसी इस सिमिट्रिक अबाउट ए एक्सिस देवर पर एफसी यानी एवं फंक्शन और एवं है तो बी एम जीरो होगा कितना आसन हो गया तो अगर बी जीरो है तो 4s सीरीज आपके पास ये बचेगी तो आपको ए नोट निकालना है और एन निकालना है तो उसके बाद ए नोट का फॉर्मूला लगाया आपने 2 / 0 से π एफसी डीएस अब जरा यहां पर ध्यान देना लिमिट है जीरो से पी जीरो से पी के बीच में एफसी की वैल्यू कितनी है देखो जीरो से पी के बीच में एफसी की वैल्यू - एक्स है तो जब आप लिमिट जीरो से पी लगाएंगे तो एफसी की वैल्यू - एक्स रखेंगे तो यहां पर - एक्स रखा है इसको इंटीग्रेशन किया आपका आंसर ए गया फिर आपने एन का फॉर्मूला लगाया 2/50 के बीच में एफसी-एक्स है तो यहां पर आपने दो फंक्शन ए गया इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाया आपके पास यहां से ए एन की वैल्यू ए गई तो ये आपके पास ए एन ए गया अब अगेन को जब आप चेक करेंगे तो अगर आप एन की जगह एवं रखेंगे तो वैल्यू जीरो मिलेगी एन की जगह और रखेंगे तो वैल्यू ये मिलेगी अब आगे बढ़ते हैं तो यह हमारे पास शरीर थी ठीक है एक्सपेंड कर दिया एक्सपेंड करना मैं आपको बता चुका हूं कैसे एक्सपेंड करना है तो आपके पास फाइनली ये ए गया तो 4 एयर सीरीज आपके पास ए गई फोरिअर सीरीज को कैलकुलेट करने में आपको कोई दिक्कत नहीं आई लेकिन अब बात आई है की आपको जो रिजल्ट प्रूफ करना था ये इसमें वन का स्क्वायर थ्री का स्क्वायर 5 का स्क्वायर ए रहा है यानी की सारे ओड नंबर ए रहे हैं आगे बढ़ते हैं जरा अब यहां देखो हमें सारे ओड नंबर मिल रहे हैं इसका मतलब ओड नंबर सारे मिल रहे हैं तो मुझे यहां पर कस एक्स की जगह वन लाना है कस की जगह इसकी जगह भी वन लाना है और यहां भी वन लाना है ये वन तभी ए पाएगा जब हम एक्स को जीरो पट करेंगे अब आगे प्रॉब्लम एक्स को जीरो पट कर नहीं सकते क्यों क्योंकि एक्स = 0 के लिए तो फंक्शन डिफाइन ही नहीं है एक्स = 0 पर फंक्शन क्या है डिस्कंटीन्यूअस है तो जब आपका एक्स = 0 पर फंक्शन दिस कंटीन्यूअस है तो आप देखिए अगर आपका फंक्शन है तो आप एफ जीरो की वैल्यू निकलेंगे कैसे प्रॉब्लम तो यही आएगी तो अब देखो क्या करेंगे यहां पर इंपॉर्टेंट कॉन्सेप्ट है चलिए देखिए हां यहां पर ए जाते हैं तो प्रॉब्लम यह आई है की मुझे यहां पर एक्स की जगह जीरो पट करना पड़ेगा तभी मेरा आंसर आएगा लेकिन एक्स = 0 पर जब मैंने पट किया तो ये एफ जीरो ए गया अब प्रॉब्लम ये आई है की आप जीरो की वैल्यू क्या होगी क्योंकि हम कैलकुलेट नहीं कर सकते एक्स = 0 पर हमारा फंक्शन डिफाइन नहीं है डिस्कंटीन्येंस है तो अब मुझे एक्स = 0 पर लिमिट निकालनी पड़ेगी तो मेरी जो एफ जीरो की वैल्यू होगी ना वो लेफ्ट हैंड लिमिट प्लस राइट हैंड लिमिट अपन तू के बराबर होगी तो अब मैं क्या करूंगा पहले लेफ्ट हैंड लिमिट निकाल लूंगा फिर राइट हैंड लिमिट निकाल लूंगा फार्मूले मैं आपको ऑलरेडी बता चुका हूं तो लेफ्ट हैंड लिमिट का फॉर्मूला लगा दिया मैंने ये रहा मेरा फॉर्मूला ए - हा ए की जगह क्या रखना है जीरो रखना है तो जीरो माइंस हा तो हमारे पास ये ए गया लिमिट हा टेंड्स तू जीरो माइंस है और यहां पर जब आप हा की जगह जीरो रखेंगे तो आपके लिमिट ए जाएगी जीरो यानी की लेफ्ट हैंड लिमिट जीरो ए गई सिमिलरली राइट हैंड लिमिट भी जीरो आएगी उसके बाद फार्मूले में वैल्यू पट कर दो आपका जो एफ जीरो की वैल्यू वो जीरो ए जाएगी तो देखो आपको डिस्कंटीन्यूअस दिस पॉइंट पर आपका फंक्शन दिस कंटीन्यूअस का उसे पॉइंट पर आपकी फंक्शन की वैल्यू जीरो ए चुकी है अब आप इस जीरो को एक जीरो की जगह इसको पट कर देंगे यहां पर 0 पट कर दीजिए और जैसे आप जीरो पट करेंगे आपका रिक्वायर्ड आंसर आपके पास ए जाएगा चलिए अब इसी क्वेश्चन को देखो अब यहां पर मैं अब दूसरा तरीका आपको बताता हूं मां लीजिए सपोर्ट किसी स्टूडेंट को ग्राफ बनाना नहीं आता या उसको ग्राफ बनाकर के नहीं पता चल का रहा है देखो अगर आपका फंक्शन दो पार्ट में ब्रेक करके दिया गया है और आपको नहीं समझ में ए रहा की ग्राफ कैसे बनेगा मतलब आप ये डिसाइड नहीं कर का रहे की ये जो जिवन फंक्शन है एवं है या अवार्ड है क्योंकि बिना ग्राफ बनाए आपको नहीं पता चलेगा की एवं है ओड हालांकि एक मेथड और भी होता है लेकिन वो मेथड ज्यादा डिफिकल्ट है तो आप ग्राफ बना के देखें अगर आप उसे ग्राफ से आपको अगर पता चल जाता है की एवं है ओड है तो बहुत ही अच्छी बात है लेकिन अगर बाई चेस नहीं पता चला है तो भी घबराने की कोई जरूर नहीं है उसके लिए हमारे पास दूसरा ऑप्शन भी है क्या है ऑप्शन देखो ये रहा सेकंड मेथड हां थोड़ा सा सेकंड में हो जाएगा क्यों लंगडी हो जाएगा क्योंकि यहां पर आपको ए नोट भी निकालना पड़ेगा ए एन बी निकालना पड़ेगा और बीबीबी निकालना पड़ेगा बियर जो की पहले जीरो हो गया था अब आपको कैलकुलेट करना पड़ेगा बात अलग है आएगा जीरो ठीक है ना तो फोर एयर सीरीज आपको पूरा का पूरा फॉर्मूला आपको अप्लाई करना पड़ेगा नो ए नोट की वैल्यू 1 / π - π से π एफसी डीएस अब आपको ए नोट का ओरिजिनल वाला फॉर्मूला लगाना पड़ेगा क्यों क्योंकि आपको नहीं पता चल पाएगा की फंक्शन a1 है ओड है तो जब आपको पता ना चले की फंक्शन a1 है और है तो आप एक्चुअल फॉर्मूला लगाओ वहां से भी आंसर ठीक आएगा बस थोड़ा सा क्वेश्चन लेंगे अब यहां पर देखो 1/ लेकिन अब आपको इस लिमिट को ब्रेक करना पड़ेगा क्यों ब्रेक करना पड़ेगा क्योंकि आपका फंक्शन दो पार्ट में दिया गया है है ना तो पहले आप लिखेंगे माइंस पी से जीरो और फिर जीरो से पी तो माइंस π से 0 के बीच में फंक्शन की वैल्यू एक्स है और जीरो से पी के बीच में फंक्शन की वैल्यू - एक्स है तो यहां पर आप एक्स रखेंगे यहां पर आप माइंस एक्स रखेंगे और उसके बाद इंटीग्रेशन करना तो आपको आता ही है आप इंटीग्रेशन करेंगे आपको यहां से एन की वैल्यू मिल जाएगी ठीक है ना यहां से ए नोट की वैल्यू मिल जाएगी मैंने कैलकुलेट नहीं कर राखी है अब इसके बाद आप इंटीग्रेशन कर देना वैल्यू मिल जाएगी सिमिलरली आप एन का ओरिजिनल फॉर्मूला लगाएंगे ओरिजिनल फॉर्मूला लगा के इसको भी दो पार्ट में ब्रेक कर लेंगे और दोनों को इंटीग्रेटेड कर देंगे यहां से आपको और मिल जाएगा फिर इसी तरह से आप बी का फॉर्मूला लगाएंगे और यहां से आपको बी मिल जाएगा तो अगर आपको बाय चेस ना पता चल पे की फंक्शन एवं है या ओड है तो आपको इस मेथड से आप कर सकते हैं मेथड ये लेंडी हो जाएगा लेकिन क्वेश्चन गलत नहीं होगा अब आगे बढ़ते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन फिर से आपके पास यहां पर ए गया आगे इसमें भी से चीज है अगर आप इसका ग्राफ बनाया देखो इसका ग्राफ मैंने यहां पर बना रखा है आप भी बना के ट्राई कर सकते हैं है तो ग्राफ ए एक्सिस के अबाउट सिमिट्रिक है इसका मतलब फंक्शन एवं है बी की वैल्यू जीरो ए गई और अगर बी की वैल्यू जीरो ए गई तो आपको केवल a0 निकालना है और एन निकालना दोनों को निकाल के यहां पर पट कर देंगे आपका आंसर ए जाएगा ठीक है ना तो बाकी सब कुछ वैसा ही है कोई इसमें चेंज नहीं है तो ये मेरे ख्याल से आपको समझ में ए गया होगा बाकी दूसरा मेथड यहां पर भी लगा सकते हैं अगर आपको ग्राफ नहीं समझ में ए रहा है अगर आपको ग्राफ नहीं समझ में ए रहा है तो कोई दिक्कत नहीं है आप ओरिजिनल मेथड से जाइए है ना आप ओड एवं का उसे मत करिए ठीक है जो मैंने अभी-अभी आपको ये बताया ये तरीका आप ये से तरीका वहां पर भी अप्लाई कर सकते हैं अब आगे बढ़ते हैं एक और क्वेश्चन ये रहा है ना देखो इस क्वेश्चन को मैंने ओरिजिनल तरीके से सॉल्व किया है जिससे आप लोगों को कोई डाउट ना रहे की आपके पास ओरिजिनल आपको कैसे सॉल्व करना है देखो जरा देखो अगर इस फंक्शन को आप ध्यान से देखें और इसका अगर आप ग्राफ बनाएं तो जैसे आप ग्राफ बनाएंगे आपको पता चल जाएगा ये फंक्शन है देखो कैसे अगर मैं इसका ग्राफ बनाओ मैंने यहां पर इसको ग्राफ के मेथड से नहीं किया मैंने इसको ओरिजिनल मेथड से किया है जिससे की स्टूडेंट को दोनों तरीके समझ में ए जाए देखो अगर आप इसका ग्राफ बनाएंगे तो इसका ग्राफ ए = -के बनेगा अगर आप इसका -5 से 0 के बीच में ग्राफ बनाएंगे तो ये ग्राफ ऐसे बनेगा ये लाइन आएगी और अगर जीरो सप्लाई के बीच में बनाएंगे तो ये ग्राफ ऐसे बनेगा तो आप देख सकते हैं जो आपका ग्राफ है वो ओरिजन के अबाउट सिमिट्रिक है यानी की ये आपका ओड फंक्शन है कैसा फंक्शन है ओड और अगर ये ओड फंक्शन है और फंक्शन अगर यह है तो ए नोट की वैल्यू जीरो आएगी आपको केवल कैलकुलेट करना होगा तो जिन स्टूडेंट को इसका ग्राफ बनाना आता है तो आप वहां पर सीधे ए नोट को और एम को जीरो लिखे और बी कैलकुलेट करें आपका आंसर ए जाएगा लेकिन मैं अब मां लो भाई चेस किसी स्टूडेंट को नहीं पता चल रहा की ये फंक्शन एवं है या ओड है कोई बात नहीं अब मुझे भी नहीं पता चला की ये एवं अराउंड है मैं मां के चल रहा हूं की मुझे नहीं पता की ये एवं है ओड है है ना नहीं पता चल का रहा तो कोई दिक्कत नहीं है अब देखो मैं इसको प्रॉपर तरीके से करता हूं हमारे पास यह फोरिअर सीरीज है तो हम अपनी लिमिट को माइंस पी से प्लस फाइव लिखेंगे 1 / 5 - 5 एफसी डीएस ठीक है अब जरा ध्यान दो अब मेरा जो इफेक्ट फंक्शन है वह दो पार्ट में लिखा गया है माइंस पी से जीरो अलग है और जीरो से पी अलग है तो अब इस लिमिट को ब्रेक कर दो -π से 0 और 0 से π अब -π से 0 के बीच में एफसी की वैल्यू कितनी है माइंस के और जीरो सप्लाई के बीच में वैल्यू कितनी है प्लस की तो इसकी जगह माइंस के रखो इसकी जगह प्लस के रखो और उसके बाद इसका इंटीग्रेशन करो तो जब आप इंटीग्रेशन करेंगे तो आपको ए नोट की वैल्यू मिल जाएगी जीरो और ये तो मैं आपको पहले ही बता चुका हूं की ए नोट जीरो आएगा क्यों क्योंकि इसका ग्राफ जो है ऐसे बन रहा है मतलब ये ओड फंक्शन है कैसा फंक्शन है और फंक्शन तो ए नोट तो जीरो आना था पहले से ही बता चुका हूं की a0 आएगा देखो ए नोट 0 ए गया आगे बढ़ते हैं अब निकाल दें एन सिमिलर तरीके से एन का फॉर्मूला लगाएंगे और आप देखिए ए और बी 0 ए गया अगर अगर आपको इस फंक्शन का ग्राफ बनाना आता है तो ये दोनों आप डायरेक्ट लिख सकते हो जीरो आएंगे लेकिन अगर नहीं आता तो आपको कैलकुलेट करना पड़ेगा कैलकुलेट करके भी जीरो ही आएंगे अब बी का फॉर्मूला लगा दो बी जीरो नहीं आएगा क्योंकि ओड में बी एन जीरो नहीं होता तो बी को जब आप कैलकुलेट करेंगे तो यहां से आपको बी की वैल्यू मिल जाएगी बस उसके बाद उठा के इसमें रख दीजिए वालुज को और वैल्यू को उठा के सब चीज साड़ी वैल्यू मैंने यहां पर पट कर दी उसके बाद ये सबमिशन में ए गया इसको ओपन करके लिख दीजिए तो यहां से आपका आंसर ए जाएगा ठीक है ना अब इसमें आपको जो प्रूफ करना था प्रूफ क्या करना था हां यह प्रूफ कर रहा था पी / 4 यहां पर देखो ओड वाली टर्म अच्छा यहां पर अल्टरनेट साइन ए रहा है और नीचे 3 5 7 ए रहा है तो आपको देखना पड़ेगा क्या सब्सीट्यूट करना है देखो ये सीरीज ए गई आपके पास ओपन करके अब यहां पर देखो क्या ए रहा है यहां पर आपके पास ये ओड नंबर ए रहे हैं ठीक है और नंबर ए रहे हैं ठीक 4k / और ठीक है तो यहां पर जरा ध्यान दीजिए देखिए ये ओड नंबर ए रहा है तो यानी की यहां पर आपके पास वन आना चाहिए यहां पर भी बनाना चाहिए और यहां भी बनाना चाहिए सन अच्छा अल्टरनेट है साइन क्या है अल्टरनेट है तो यहां पर प्लस वन यहां पर -1 यहां पर प्लस वन और आप अच्छे से जानते हैं क्या जानते हैं की sinπ/2 1 होता है सन 3π/2 -1 होता है अल्टरनेट चला है π/21 3π/2 -1 फिर तू प्लस वन 75 / 2 - 1 तो यहां पर आप एक्स की जगह π/2 पट कर दीजिए आपके साइन अल्टरनेट ए जाएंगे बस उसके बाद आपका आंसर ए जाएगा ये ए गया आंसर तो मैंने आपको यहां पर साड़ी वैरायटी बता दे की कैसे कैसे आप क्वेश्चंस को सॉल्व कर सकते हैं क्लियर है चलिए अब यहां पर देखिए फाइंड डी फोर पर डी पीरियोडिक फंक्शन विथ पीरियड तू पी डिफाइन अब यहां पर देखो जरा यहां पर इस पर्टिकुलर क्वेश्चन में आपको नहीं पता चल पाएगा की ये फंक्शन एवं है या ओड है क्यों नहीं पता चल पाएगा क्योंकि देखो अगर आप इस फंक्शन का ग्राफ बनाएंगे तो यह ना तो एवं आएगा ना और आएगा ना ही ये एवं आएगा इसका ग्राफ ऐसे बनेगा देखो यहां पर ए = 0 है ए = 0 का मतलब क्या होता है एक्स एक्सिस तो माइंस पी के पी से जीरो के बीच में तो एक्स एक्सिस अगर आप और उसके बाद ए = एक्स का अगर आप बन रहा है जीरो से पी के बीच में ऐसे तो देखो ये तो सिमिट्रिक है ही नहीं यानी की ना तो ये e1 है ना ये ओड है तो अब क्या करें अब आपको कोई प्रॉब्लम नहीं है अपने प्रॉपर तरीके से करेंगे देखो यह हमारे पास फ्यूरियस हो जाएगी ठीक है ना यहां पर पहले ए नोट निकलेंगे नोट का फॉर्मूला लगाइए ए नोट ए जाएगा अब देखो माइंस π से 0 के बीच में एफसी की वैल्यू जीरो है तो यहां पर आप जीरो रख देंगे और यहां पर एक्स है तो यहां पर एक्स रख देंगे और उसके बाद इंटीग्रेशन कर देंगे तो आपको यहां से ए नोट की वैल्यू मिलेगी उसके बाद एन का फॉर्मूला लगा दीजिए एम का फॉर्मूला जब आप लगाएंगे तो आपके पास ये एन की वैल्यू ए जाएगी दिस इसे एन अब इस देखो आपके पास जब भी इस तरह के टर्म्स आई है तो ध्यान रखना यहां पर अगर एन एवं है तो एवं के कैसे में ये जीरो आएगा और ओड के कैसे में ये एड हो जाएगा क्लियर है ये हमारे पास ए एन ए गया उसके बाद आप बी निकलेंगे तो यहां पर बी निकाल देंगे देखो इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाना बाकी कुछ नहीं है तो यहां पर बी एन आपके पास ये ए गया है ना बियर आपके पास ही ए चुका अब आपको क्या करना है ए नोट में और बी को उठाकर के इक्वेशन नंबर वन में पट कर देना तो जैसे ही आप इक्वेशन नंबर वन में पट करेंगे तो आपके पास देखिए इक्वेशन नंबर वन में पट करने के बाद आपके पास गया यहां पर याद रखना है एन और है और यहां पर एन नेचुरल नंबर है तो यहां पर एन को आउटपुट किया गया है देखो 135 और यहां पर 1 2 3 सब ए गए आपको देखना पड़ेगा प्रूफ क्या करना था चलिए यही पर देख लेते हैं आपको प्रूफ करना था वन का स्क्वायर थ्री का स्क्वायर 5 स्क्वायर अपन आते यानी की केवल और नंबर की पावर ए रही है इधर ए जो आपको केवल और नंबर की पावर चाहिए किसकी चाहिए और नंबर की पावर यानी की ये टर्म आपको चाहिए ही नहीं तो क्या पट करेंगे उधर वाले टर्म खत्म हो जाए एक कम करो एक्स की जगह जीरो पट कर दो क्योंकि सब साइन जीरो बन जाएंगे सब खत्म हो जाएंगे केवल यहां पर ये वाली टर्म बचेंगे तो आपको आसानी से समझ में ए जाएगा की आपको एक्स के प्लेस पर क्या पट करना चाहिए जिससे आपका रिक्वायर्ड रिजल्ट आपके पास ए जाए अब बढ़ते हैं आगे ठीक है चलिए तो यहां पर ये और कुछ इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है जो यहां पर लिखे गए हैं इनको एक बार ट्राई करेंगे आप लोग है ना अब इसके बाद नेक्स्ट टॉपिक हमारा यहां पर चेंज ऑफ इंटरवल यह सब फ्यूरियस सीरीज का ही पार्ट है चेंज ऑफ इंटरवल में क्या होगा जरा ध्यान से समझिए देखिए अभी तक जो मैंने आपको बताया वहां पर जो आपका इंटरवल था वो क्या इंटरवल की जो लेंथ थी वो 2 पी थी इंटरवल की लेंथ कितनी थी 25 अब हम ऐसे क्वेश्चंस सॉल्व करेंगे जहां पर इंटरवल की लेंथ 12 होगी मतलब ल की जगह पी की जगह पर ल ए जाएगा मतलब यहां पर आप जनरल इंटरवल आपके पास होगा अभी तक ध्यान से समझिए अभी तक जितने भी क्वेश्चन मैंने आपको बताए वहां पर या तो आपका इंटरवल जीरो से 2pa ही था या माइंस पी से प्लस फाइव था दोनों ही कैसे में जो इंटरवल की लेंथ थी वो 2 पी थी अब हम ऐसे क्वेश्चन सॉल्व करने वाले हैं जहां पर जो आपका इंटरवल होगा वो या तो जीरो से 12 होगा या माइंस प्लस माइंस ल से प्लस ल होगा यानी की ऐसे क्वेश्चन जहां पर लेंथ ऑफ इंटरवल 12 हो गया आपके पास तो चलिए बढ़ते हैं आगे तो सबसे पहले तो यहां पर अब आपका फोर एयर सीरीज का फॉर्मूला थोड़ा सा चेंज होगा देखिए अभी तक फोर या सीरीज फार्मूले में कोई चेंज नहीं ए रहा था जब आपके इंटरवल जीरो से 2 पी था या माइंस फाइव से प्लस पी था तो आपका फोरिअर सीरीज का फॉर्मूला से चल रहा था केवल ए नोट एन और बी की वालुज बादल रही थी अब यहां पर क्या होगा यहां पर आपका फोरिअर सीरीज का जो फॉर्मूला है वो बादल जाएगा थोड़ा सा कैसे बदलेगा एफसी ए नोट / 2 ये तो से रहेगा वन से इंफिनिटी ये भी से रहेगा एन यहां पर बदलेगा ये कस nπ एक्स / ल हो जाएगा अभी तक ये कस एनएक्स था कस एनएक्स अब हो गया nπ एक्स/एल देखो ऐसा क्यों हुआ एक्चुअल में क्या हो रहा है अब पी के प्लेस पर ल है पी के प्लेस पे क्या है ल है अगर मैं यहां पर ल के प्लेस पर पी रख डन तो पी से पी कट जाएगा वापस यही ए जाएगा बात समझ में ए रही है सिमिलरली यहां पर अपेक्स / ल ए जाएगा जहां पर पहले अभी तक एनएक्स ए रहा था वहां पर अपेक्स / ल आता है एक्चुअल में जो मैं आपको अभी तक कराया है देखिए यहां पर जो लेंथ ऑफ इंटरवल है वो 2 है अभी तक जो हमने जितने भी क्वेश्चन किया वहां पर लेंथ ऑफ इंटरवल के आते हैं 2pi थी यानी की पी के प्लेस पर ल ए गया तो हमारा फॉर्मूला भी इस के अकॉर्डिंग क्या हो गया चेंज हो गया अब थोड़ा सा आगे बढ़ते हैं यहां पर तीन इंपॉर्टेंट पॉइंट है आपको करना क्या है सबसे पहले जो आपको क्वेश्चन दिया होगा उसे क्वेश्चन में आप क्या करेंगे लेंथ ऑफ इंटरवल निकलेंगे सबसे पहले अब ये लेंथ ऑफ इंटरवल आएगी कैसे आप अपर लिमिट में से लोअर लिमिट को माइंस कर देना आपको लेंथ ऑफ इंटर में मिल जाएगी जो हमेशा 12 होगी कितने होगी 12 के बराबर होगी ठीक है तो जो भी आपकी लेंथ ऑफ इंटरवल आएगी उसको 12 के इक्वल पट कर देंगे उसके बाद क्या करना है जो आपकी ये लेंथ ऑफ इंटरवल आई है लेंथ ऑफ 12 लेंथ ऑफ इंटरवल जिवन इन डी क्वेश्चन है ना तो आप इस 12 को जिवन लेंथ के इक्वल लिख देंगे जो की आपको क्वेश्चन में दे राखी होगी नो नेक्स्ट देखो सी क्या है यहां पर सी जो है यहां पर लोअर लिमिट होगी जो भी आपको दिया होगा फॉर्मूला आपके पास थोड़ा सा चेंज होंगे फार्मूले जरा यहां पर ध्यान दीजिए ए नोट का फॉर्मूला हो जाएगा 1 / ल सी से सी प्लस 12 क्योंकि देखो यहां पर 12 ए गया 2π नहीं आया इतना ही तो चेंज हुआ की लिमिट हमारी सी से सी + 12 हो गई पहले क्या होती थी सी से सी प्लस तू फाइव आगे बढ़ते हैं सी से c+12x ये से रहेगा अब इसके ऊपर बेस मैं आपको क्वेश्चन बताता हूं तो बहुत आसानी से आपको समझ में ए जाएगा ठीक है ना अच्छा यहां पर भी एक चीज आपको ध्यान रखती है जिसे आपको ये इंटरवल दिया -2 से 2 तो आप यहां पर देख सकते हैं यहां पर पी नहीं है पी नहीं है तो याद रखना जब भी आपको इंटरवल माइंस से माइंस ए से प्लस ए दिया हो तो वहां पर आप ओड एवं का कॉन्सेप्ट लगा सकते हैं अब यहां पर देखिए जरा फाइंड डी फोरिअर सीरीज आपको 4 एयर सीरीज फाइंड करनी है फंक्शन आपको दे रखा है x² - 2 और ये आपको इंटरवल दिया है तो सबसे पहले कम आपको क्या करना है आपको ये जिवन फंक्शन को चेक करना है क्यों करना है क्योंकि आपकी जो इंटरवल है वो -2 से +2 है यानी की - ए से ए है तो आप एफसी को चेक करो की ये एवं है या ओड है तो आपने एक्स की जगह माइंस एक्स रख के चेक कर तो ये आपका एवं फंक्शन ए गया एवं फंक्शन ए गया इसका मतलब बी जीरो होगा से कॉन्सेप्ट अप्लाई हो रहा है चलिए यहां तक तो आप पहुंच गए अब क्या करेंगे अब आप लेंथ ऑफ इंटरवल निकालिए देखो लेंथ ऑफ इंटरवल निकालना का तरीका क्या होता है अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट अपर लिमिट तू है लोअर लिमिट माइंस तू है तो तू में से माइंस करना है -2 को तो ये प्लस फोर ए जाएगा और लेंथ ऑफ इंटरवल का फॉर्मूला क्या होता था हमारा 12 तो इसका मतलब 12 की वैल्यू कितनी ए रही है फोर तो यहां से ल की वैल्यू कितनी ए गई फोन तू आपको सबसे पहले ल की वैल्यू फाइंड कर लेनी है कैसे फाइंड करेंगे 12 = फोरिअर सीरीज में क्योंकि बीएच जीरो हो गया सीरीज आपकी केवल यह बचेगी केवल यहां से यहां तक बचेगी इसमें आप वैल्यू पट कर देंगे यहां पर ए जाते हैं तो हमारे पास यह सीरीज हो गई अब इसमें ए नोट का फॉर्मूला लगे अब जरा ए नोट के फार्मूले को ध्यान देना क्या होगा ए नोट का फॉर्मूला 1 / ल सी से सी प्लस 12 एफसी कस एनएक्स डीएस ये फॉर्मूला आपको लगाना है अब यहां पर देखो सी की वैल्यू कितनी है -2 सी की वैल्यू कितनी है -2 और 12 कितना फोर तो -2 + 4 यानी की -2 से +2 हो गया तो देखो सीधी सी बात है लिमिट आपकी क्या रहेगी लिमिट आपकी रहेगी -2 से +2 तो लिमिट हमारी हो गई -2 से +2 यहां एफसी हो गया x² - 2 डीएस और ल की जगह कितना ए गया तू ए गया ल की जगह ए गया तू अच्छा यहां पर क्वेश्चन में भी ध्यान देना ये जब आप सीरीज लिख रहे हैं तो यहां पर ल की जगह तू रखेंगे बाद में जा के क्लियर है आगे बढ़ते हैं बस उसके बाद इसको इंटीग्रेटेड कर दिया इंटीग्रेशन यहां पर बहुत सिंपल है -4/3 वैल्यू ए गई अब एम का फॉर्मूला लगाया एन के फार्मूले में देखो एन के फॉर्मूला यहां पर भी चलिए यहां पर तो नहीं आया था देखो कस एम π एक्स/एल डीएस ये हमारा फॉर्मूला यहां पर हां यहां पर थोड़ा ध्यान रखना तो यहां पर हमने फॉर्मूला लगाया यह फॉर्मूला हमारा ग गया उसके बाद इसमें देखो -2 से 2 लिमिट हो गई एफसी की वैल्यू हमने पट कर दी और ये फंक्शन हमारे पास ए गया नो अब इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगाएंगे ये फर्स्ट फंक्शन या सेकंड फंक्शन से चीज है इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स आपने लगा दिया इंटीग्रेशन अब देखो यहां पर इंटीग्रेशन में पार्ट्स थोड़ा सा थोड़ा लैंग्वेज ही होगा क्यों होगा क्योंकि यहां पर एक्स का कॉएफिशिएंट π/2 है यहां भी एक्स का nπ/2 है तो क्या करना होगा देखो जब आप यहां पर फर्स्ट फंक्शन जब आप कस का इंटीग्रेशन करेंगे तो ये आएगा कस का इंटीग्रेशन से डिवाइड करना पड़ेगा एक्स का कॉएफिशिएंट nπ/2 है फिर माइंस साइन आएगा इसका डर और आपको इसका करना पड़ेगा इंटीग्रेशन तो एक बार और नीचे ए जाएगा फिर आपको क्या करना होगा इसका डर और इसका इंटीग्रेशन और लिमिट हो जाएगी जीरो से दो तो यहां पर बहुत ध्यान से आपको इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स करना है फिर उसके बाद लिमिट लगा देंगे आंसर आपके पास ए जाएगा देखो ये ए गया आपका आंसर ठीक है ना उसके बाद ए नोट एन और बी को उठा के अपने क्वेश्चन में आप पट कर देंगे बी एन तो जीरो ही था तो यहां पर दोनों वैल्यू को आप पट करेंगे तो आपके पास फाइनली ये देखिए इस तरह से आपके पास टर्म ए जाएगी इसको ओपन कर दीजिए एन की वैल्यू वन रखें तू रखें तो आपके पास ये सीरीज बन जाएगी ये सीरीज आपके पास ए जाएगी और यही आपका फाइनल क्या होगा आंसर होगा तो ये इस तरीके से आप कैलकुलेट कर सकते हैं तो याद रखना आप चेंज ऑफ इंटरवल में जो आपका इंटरवल होगा वो या तो आपका मतलब -2 से 2 है यहां पर जीरो से तू भी हो सकता है तो अलग-अलग वैरायटी के क्वेश्चन होंगे आगे देखा जरा नेक्स्ट क्वेश्चन चलिए तो देखिए क्वेश्चन आपको बहुत आसानी से पहचान में ए जाएगा अगर आपका इंटरवल जीरो से 2 पी है तो पुराने वाले तरीके से करेंगे माइंस पी से प्लस पी है तब भी पुराने वाले मेथड से करेंगे और अगर आपका इंटरवल में पी नहीं है मतलब सीधे नंबर दे रखें हैं तब आपका वो चेंज ऑफ इंटरवल का क्वेश्चन है यहां पर देखो इसकी फोरिअर सीरीज निकालनी है हमें और यहां पर देखो अब ये दिस कंटीन्यूअस फंक्शन ए गया है ना यहां पर फंक्शन आपको दो पार्ट में ब्रेक करके दे रखा है लेकिन यहां पर पॉइंट ऑफ डिस्कंटीनेंट ही नहीं है क्यों क्योंकि आपका फंक्शन वन पे भी डिफाइन है वन पे इधर भी डिफाइन और इधर भी डिफाइन है तो इसका मतलब इस बार इसमें पॉइंट ऑफ डिस्टेंस नहीं है क्योंकि कोई भी पॉइंट ऐसा नहीं दे रखा जहां पर फंक्शन डिफाइन ना हो क्योंकि यहां पर ली डेन इक्वल तू का साइन ए रहा है चलिए कोई दिक्कत नहीं है तो सबसे पहले लेंथ ऑफ इंटरवल निकालो कितनी आएगी देखो अपर लिमिट है तू इस इंटरवल का लिमिट जीरो है तो 2 - 0 लेंथ ऑफ इंटरवल ए गई तू इसका मतलब 12 की वैल्यू तू है तो ल की वैल्यू वन ए गया सबसे पहले ल की वैल्यू हमने निकाल लिया यहां से अब यहां पर हम एवं और चेक नहीं कर रहे हैं और वह करना भी नहीं है क्योंकि एवं और ओड तब देखा जाता है जब हमारी लिमिट जब हमारा इंटरवल माइंस ए से प्लस ए हो यहां पर माइंस ए से प्लस ए नहीं है तो इसलिए आप ओड एवं के बड़े में सोचेंगे भी नहीं क्लियर है आगे बढ़ते हैं ये हमने 4s सीरीज का फॉर्मूला लगा दिया ए नोट एम बी एन तीनों की वैल्यू निकालनी है पहले फॉर्मूला ए नोट का यहां पर लगाया 1 / l0 से 2 एफसी डीएस एफसी की वैल्यू अब यहां पर ध्यान रखना जरा आपका फंक्शन दो पार्ट में ब्रेक है देखिए वैल्यू जब एक्स जब जीरो से वन है तो एफसी की वैल्यू इतनी है और एक्स जब वन से तू है तो एफसी की वैल्यू नीचे लिखी गई है तो आप इसको दो पार्ट में ब्रेक करेंगे 0 से 1 एफसी डीएस अच्छा 1 / ल दोनों में बाहर रहेगा ध्यान रखना वन अपन ल बाहर आएगा और वन से तू एफसी डीएस ये 1 / ल ल की वैल्यू कितनी थी वन थी तो आप यहां पर अगर ल की वैल्यू वन पट करेंगे तो यहां पर l1 पट करेंगे तो यहां 11 हो जाएगा ध्यान रखना है ना ल को मैंने यहां पर स्किप नहीं किया है क्योंकि ल की वैल्यू वन है तो ये एक्चुअल में 1 / 1 और 1 / 1 आएगा तो वन ही र जाएगा क्लियर है तो ये जीरो से वन पी एसडीएक्स क्योंकि जीरो से वन के बीच में एफसी की वैल्यू पी एक्स है तो यहां पर पी एक्स लिख दिया और वन से तू के बीच में तो यहां पर पी तू माइंस एक्स को हमने लिख दिया अब इसको हम इंटीग्रेटेड करेंगे इंटीग्रेशन करना आपको आता ही है तो जब आप इंटीग्रेशन करेंगे तो यहां पर इसकी वैल्यू कितनी ए जाएगी पी ए जाएगी तो यहां से इस तरीके से आपको पी नोट मिल गया ऐसे ही आपको इसके बाद कैलकुलेट करना है देखिए यहां से आपको ए नोट मिला इसके बाद एन और बी आपके कैलकुलेट करेंगे एन और बी चलिए ए एन और बी को कैलकुलेट करते ए गया अब जरा ध्यान दीजिए फॉर्मूला लगाया हमने एफसी की वैल्यू पट करेंगे लेकिन उससे पहले लिमिट को ब्रेक कर देंगे देखिए जब आपको फंक्शन दो पार्ट में दिया हो तो आप अपने इंटीग्रेशन को ब्रेक कर ले पहले इंटीग्रेशन आएगा 07 और दूसरा आएगा 1 से 2 हमेशा याद रखना ऐसा ही आपको करना पड़ेगा यहां पर तो वही हमने यहां पर किया एन को दो पर से ब्रेक कर लिया उसके बाद हमने यहां पर एफसी की वैल्यू पट गई और उसके बाद कुछ नहीं करना इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगाना है इंटीग्रेशन बाय पावर जब आप लगाएंगे तो आपको एन की वैल्यू यहां से मिल जाएगी और आप देखो यहां पर अब आपको यहां पर देखना पड़ेगा अब उसके बाद बी का फॉर्मूला लगा दो बी के फॉर्मूला लगाइए फिर से लिमिट को ब्रेक करिए जीरो से वन और वन से तू और फंक्शन यहां पर पट करेंगे अगेन आपको इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगाना है और यहां से आपको बी की वैल्यू जीरो मिलेगी अब उठा के सभी वैल्यू को अपने फंक्शन में आप रख देंगे सीरीज में आप रख देंगे तो आपके पास फाइनल सीरीज ए जाएगी तो देखो सारे क्वेश्चन एक ही जैसे हैं बस आपको क्या करना है हर टाइप का एक ही क्वेश्चन सॉल्व करते जाना है और आपके लिए बहुत ज्यादा आसन हो जाएगा आगे बढ़ते हैं नो फाइंड डी फोर एयर सीरीज एक्सपेंशन अब देखो यहां पर जो आपको फंक्शन दिया फिर से आपको मोड के फॉर्म में दे दिया और आपको इस बार जो इंटरवल दिया वो माइंस थ्री से माइंस थ्री से प्लस थ्री है यानी की माइंस ए से प्लस ए तो इस बार आपको और और एवं फंक्शन फिर से चेक करना पड़ेगा ठीक है ना चेक कर लेंगे आसन है तो यहां पर देखो मैं आपको ऑलरेडी बता चुका हूं मोड वाला फंक्शन जनरली आपका एवं ही आएगा क्योंकि यहां पर अगर आप एक्स की जगह माइंस एक्स रखेंगे तो वापस ये प्लस में ए जाएगा तो यहां पर आपका फंक्शन क्या है एवं फंक्शन आपके पास है अब लेंथ ऑफ इंटरवल निकालो देखो ऊपर लिमिट इसका अपर लिमिट कितनी है माइंस थ्री तो अपर माइंस तो माइंस माइंस प्लस सिक्स ए जाएगा ल की वैल्यू आएगी थ्री की वैल्यू आएगी -3 ठीक है ना तो फ्यूरियस सीरीज में आपका बी वाले टर्म आपके पास नहीं आएंगे अब आपको क्या करना है ए नोट निकालना है और देखिए ए नोट निकालना है आपको ए नोट का फॉर्मूला 1 / ल - 3 से प्लस थ्री एफसी डीएस अब क्योंकि आपका जिवन फंक्शन क्या है एवं है तो अब आप इसको लिख सकते हैं जीरो से थ्री और तू से कर दें मल्टीप्लाई तो अब आपके पास आसन हो जाएगा एफसी 1 + मोड एक्स अब जरा ध्यान देना जीरो से थ्री के बीच में एक्स तो पॉजिटिव ही होगा तो अगर एक्स पॉजिटिव होगा तो मोड को हटा दीजिए और उसके बाद सिंपल सा इंटीग्रेशन आएगा उसको इंटीग्रेशन कर दीजिए आपको ए नोट मिल जाएगा और यही कम आपको एन में भी करना है ना बस ए एन में क्या होगा इंटीग्रेशन लगेगा और कुछ नहीं होगा और आपके पास यहां से एन की वैल्यू ए जाएगी और यहां पर फिर से देखो वही चीज होगी अगर एन एवं है तो जीरो आएगा और है तो यहां पर ये ए जाएगा उसके बाद बी आपके पास जीरो है तो आपके पास एन भी ए चुका ए नोट भी ए चुका है आपने फार्मूले में उठा के पट कर देंगे और आपको इसका आंसर मिल जाए आगे बढ़ते हैं तो यह तो चेंज ऑफ इंटरवल के क्वेश्चन तो चेंज ऑफ इंटरवल में क्या होगा आपका फोरिअर सीरीज का फॉर्मूला थोड़ा सा बदलेगा क्योंकि यहां पर जो इंटरवल होगा वो या तो माइंस ए से ए होगा या फिर आपका जीरो से एक ही फॉर्म में होगा अब आगे बढ़ते हैं और इसके बाद अब हमारा यहां पर लास्ट टॉपिक एक बचत है जहां पर हम पढ़ेंगे हाफ रेंज सीरीज देखिए हाफ रेंज में कुछ भी नया नहीं है हाफ रेंज सीरीज में यहां पर अगर आप देखेंगे तो यहां पर आपको वही फार्मूले लगाने हैं जो फार्मूले आपने माइंस पी से पी के कैसे में लगाएं थे जब आपका फंक्शन और था या एवं था तो चलिए स्टार्ट करते हैं सबसे पहले हाफ रेंज सीरीज को हाफ सीरीज एक्चुअल में है क्या हाफ लेने सीरीज का मतलब क्या है इसको जरा समझते हैं देखिए अभी तक जितने भी क्वेश्चंस मैंने आपको कराए वहां पर जो हमारा लेंथ ऑफ इंटरवल थी लेंथ ऑफ इंटरवल या तो वो लेंथ ऑफ इंटरवल तू पी थी देखो अगर आपका जिवन इंटरवल जीरो से तू पी है तो लेंथ ऑफ और डबल तू पी आएगी अगर आपका जिवन इंटरवल जीरो से तू है तो आपकी लैंग्वेज क्या है ना अगर आपका इंटरवल माइंस पी से प्लस पी है तब भी तू पी है यानी की अभी तक हमने जितने भी क्वेश्चंस सॉल्व किया वहां पर लेंथ ऑफ इंटरवल या तो 2 पी थी या 12 था लेकिन अगर हम इस लेंथ ऑफ इंटरनल को आधा कर दें हाफ कर दें क्या कर दें हाफ कर दें यानी की अगर हमारी लेंथ ऑफ इंटरवल पी हो जाए या फिर ल हो जाए तो अगर लेंथ ऑफ इंटरवल हाफ हो जाएगी तो वहां पर जो आपको 4 एयर सीरीज मिलेगी उसे फॉरएवर सीरीज को हम कहते हैं हाफ रेंज सीरीज क्या कहते हैं हाफ रेंज सीरीज तो यहां पर जरा ध्यान दीजिए सम टाइम आईटी इस रिक्वायर्ड तू एक्सपेंड फंक्शन एफसी इन डी इंटरवल जीरो तू पी और जीरो 12 तो कभी-कभी हमें अपने फंक्शन को जीरो से पी या जीरो से ल के बीच में क्या करना पड़ता है एक्सपेंड करना पड़ता है अब बात ये आई है की क्वेश्चन कैसे पहचानेंगे की हफें सीरीज का है या फिर इसका नहीं है तो देखो एक तो जो आपको जिवन क्वेश्चन होगा उसमें जो आपका केवल इंटरवल होगा वह जो इंटरवल होगा उसकी लेंथ पी होगी या फिर ल होगी तो एक तो आपको देखते ही पता चल जाएगा की अगर जिवन इंटरवल की लेंथ पी है या ल है तो इसका मतलब क्वेश्चन हाफ रेंज सीरीज का है एक तरीका तो ये हो गया पहचान का दूसरा मैक्सिमम क्वेश्चन में लिख करके आता है की आपको हाफ रेंज निकालनी है तो वहां तो कोई कन्फ्यूजन बच्चा ही नहीं चलिए तो अब जरा ध्यान दीजिए एक्चुअल में 1/2 रन से भी निकाल कैसे जाति है इसमें हम करते क्या है जो फंक्शन हमें दे रखा है एक्चुअल में उसे फंक्शन को हम या तो ए के अबाउट रिफ्लेक्टर कर देते हैं या फिर ओरिजन के अबाउट रिफ्लेक्टर कर देते हैं ये मैं आपको शॉर्ट में थोड़ा सा बता देता हूं बाकी आपको डायरेक्ट आप फार्मूले याद करिए सारे क्वेश्चन आपके हो जाएंगे देखो अगर हम इसको थोड़ा सा समझना चाहे तो इसका मतलब क्या है जैसे हमारे पास कोई फंक्शन है एफसी है ना उसका इंटरवल जीरो से पी दे रखा है क्या दे रखा है जीरो से फाइव तो हम क्या करते हैं उसे जीवन इंटरवल को अपनी तरफ से एक्सटेंड कर देते हैं जीरो से लेकर माइंस पी तक और हमने क्या कर देखो जीरो से पी के बीच में ये ग्राफ बन रहा था हमने क्या कर ए के लेफ्ट में सिमिलर सी ग्राफ बना दिया जीरो से माइंस पी के बीच में इसको हम कहेंगे की हमने इस ग्राफ का रिफ्लेक्शन बना दिया ए के अबाउट तो अब आप यहां पर देखो ये जो ग्राफ है ये ए के अबाउट सिमिट्रिक हो गया जैसा ए का राइट में वैसा ही राइट ए के लेफ्ट में भी है इसका मतलब अगर आप अपने जिवन फंक्शन को ए एक्सिस के अबाउट क्या कर देते हैं सिमिट्रिक कर देते हैं तो अब आपका फंक्शन जिवन फंक्शन क्या बन जाएगा एवं फंक्शन बन जाएगा और अगर ये एवं बना तो यहां पर बम जीरो ए जाएगा और अगर बम जीरो आया अब जरा ध्यान से सुनिए बिएं अगर जीरो आया तो आपको याद है बी के साथ में साइन आता है बी सन एक्स तो इसका मतलब हमारा साइन वाले टर्म खत्म हो जाएगी सन वाले टर्म क्या हो जाएगी खत्म हो जाएगी तो जब आपकी साइन वाले टर्म खत्म हो जाएगी तो आपके पास केवल कॉस्ट के टर्म बचेगी और ए नोट के टर्म बचेगी तो आपके पास जो जिवन सीरीज बचेगी नो फोर ये सीरीज बिल कंटेन ओनली सीरीज में केवल कस तीता नहीं होगी तो उसे सीरीज को हम कहेंगे हाफ रेंज और दूसरा तरीका देखो अगर आप इस ग्राफ को ओरिजन के अबाउट सिमिट्रिक बना दें यानी की जैसा ओरिजन के उधर है वैसा ही आप ओरिजन के इधर भी बना दें देखो ये ओरिजन के अबाउट सिमिट्रिक हो गया तो अब ये जिवन फंक्शन हो गया ओड और अगर ओड हुआ आएगा इसका मतलब एन के साथ में क्या आता है एन के साथ में आता है कस इसका मतलब कस के टर्म खत्म हो गई बच्चे किसकी टर्म है सन की तो ये जो सीरीज होगी ना इस सीरीज का नाम होगा साइन था साइन से मतलब यहां पर केवल साइन की टर्म बचेंगे और इस सीरीज का नाम होगा हाफ रेंज साइन सीरीज यानी की हाफ रेंज दो टाइप के होते हैं एक हाफ रेंज को साइंस सीरीज को साइंस सीरीज में साइन नहीं आएगा और हाफ रेंज साइन सीरीज उसमें कॉस्ट नहीं आएगा खत्म इतनी सा है यहां पर तो इसका मतलब ये हुआ इसका मतलब यह हुआ एफसी को हम हाफ रेंज साइंस रेंज में भी एक्सपेंड कर सकते हैं तो यहां पर हमारे पास एक्चुअल में दो टाइप के क्वेश्चन होंगे टाइप वन और टाइप तू दोनों को ध्यान से समझिए और यहां से देखिए जैसा मैंने आपको बोला की फोर एयर सीरीज से हमारे दो क्वेश्चन आते हैं 77 मार्क्स के तो वो जो दो क्वेश्चन जनरली आते हैं एक क्वेश्चन उनमें से हाफ रेंज सीरीज का आता है और एक क्वेश्चन या तो जीरो से 2π के अंडरवर्ल्ड का आएगा या माइंस पी से पी वाले इंटरवल लगाएगी या फिर जो हमने अभी-अभी चेंज ऑफ इंटरवल पढ़ा वहां से आएगा यानी की अभी इससे पहले जो हमने तीन टॉपिक पढ़े हैं उन तीन में से कोई एक क्वेश्चन आएगा और एक क्वेश्चन यहां से आएगा और ये बहुत आसन है चलिए टाइप वन की बात करते हैं हाफ रेंज सीरीज इन डी इंटरवल जीरो से पी अब हमने पहले इंटरव्यू का कॉन्सेप्ट उसे कर रहा था तो जो फार्मूले वहां पर आए थे वही फार्मूले यहां पर भी होंगे आगे आईटी इसे कोई चेंज नहीं है देखो ध्यान से देखो इसमें क्या है इसमें केवल हाफ रेंज में साइन वाली टर्म को हटा दो देखो 4 सीरीज का फॉर्मूला वही है जो जीरो से 2π में था अंतर कितना है अंतर सिर्फ इतना है की इसमें सन वाली टर्म नहीं ए रही तो इसका नाम हो गया ए नोट का फॉर्मूला 2 / 0 से π एफसी डीएस ये फॉर्मूला वही है जो फॉर्मूला हमने -π से π वाले कैसे में पड़ा था जब हमारा फंक्शन क्या था हमारा फंक्शन था एवं एवं फंक्शन के कैसे में बम जीरो हो जाता था और फार्मूले ये दोनों बनते गए हैं ना तो ये एवं के एवं कैसे में जो फार्मूले आते थे वही फार्मूले हैं उसके बाद आता है हाफ रेंज अगर आपका जिवन फंक्शन ओड होता है तो उसमें एन और एन और दोनों ही नहीं ए रहे हैं तो यहां पर साइन सीरीज का फॉर्मूला हो जाएगा एन = 1 से लेकर इंफिनिटी बम सन एक्स और यहां पर ये बी की वैल्यू आएगी देखो सिंपल सी बात है [संगीत] वही फॉर्मूला ऑब्टेन कोसिन और साइंस ऑब्टेन करनी है और साइंस सीरीज ऑब्टेन करनी है पर एफसी = एक्स फंक्शन ये रहा इसका मतलब यहां पर ये हाफ रेंज सीरीज का क्वेश्चन है क्योंकि जब भी आपको क्वेश्चन में ये लिख कर देंगे की साइंस रीजन निकालिएगा को साइंस रेंज निकालिए इसका मतलब हाफ रेंज की बात हो रही है दूसरा अगर आप इंटरवल को ध्यान से देखें तो जीरो से पी है यानी की यहां पर लेंथ ऑफ इंटरवल कितनी है π तो यहां से भी क्लियर हो गया की हाफ रेंज का क्वेश्चन है और उसके बाद आपको ये प्रूफ करना है तो पहले एक कम करो फोरिअर सीरीज निकालो और उसमें फिर एक्स की वैल्यू पट कर दीजिए ये ए जाएगा अब जरा ध्यान से एक क्वेश्चन को ध्यान से देखिए कैसे करना है आपका जिवन फंक्शन है एफसी = एक्स नो हाफ रेंज को साइंस सीरीज तो पहले मैं यहां पर हाफ रेंज निकाल लो फिर साइज निकलेंगे तो हाफ रेंज को साइंस सीरीज क्या होगी जरा ध्यान से देखिए हाफ रेंज फॉर्मूला रहेगा ए एन का फॉर्मूला लगाओ ए नोट का फॉर्मूला 2 / 0 से π एफसी डीएस यहां पर आपने फॉर्मूला लगा दिया वैल्यू कैलकुलेट कर लेंगे मतलब यहां पर नया कुछ भी नहीं है यहां पर नया कुछ भी नहीं है जो मैं आपको ऑलरेडी बता चुका हूं सब कुछ यहां ए जाएगा फिर एन का फॉर्मूला लगा दीजिए सिर्फ आपको फार्मूले याद होने चाहिए इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स करो आपको यहां से एन मिल जाएगा देखिए एन आपके पास ये ए गया अब यहां पर देखो अगर n1 है तो वैल्यू जीरो आएगी एन तो वैल्यू 4 / π n² आएगी ये वैल्यू हमारे पास ए गई उसके बाद क्या करना है ए नोट और एन ए एन को आपको इक्वेशन नंबर वन में पट कर देना है कहां इक्वेशन नंबर वन ये रहे तो जैसे ही आप सब्सीट्यूट करेंगे आपके पास ये वैल्यू आपके पास ए जाएगी आफ्टर सब्सीट्यूशन यहां पर एन की वैल्यू को आप वन तू थ्री पट कर दीजिए तो आपके सीरीज ओपन हो जाएगी और देखिए ये सीरीज ए चुकी है अब आपको प्रूफ क्या करना था ये प्रूफ करना था आपको इसमें वन का स्क्वायर ए रहा है चलिए यहां पर वन का स्क्वायर थ्री का स्क्वायर यहां भी ए रहा है सबके बीच में प्लस है तो ये तो तभी पॉसिबल है जब एक्स जीरो हो तो यहां पर एक्स की जगह जीरो पट कर दीजिए आपका आंसर ए जाएगा उसके लिए आपको ये फॉर्मूला लगाना पड़ेगा एन इक्वल तू वन से इंफिनिटी बी सन एक्स अब इसमें आपको बी एन निकालना है बी का फॉर्मूला लगा दीजिए और उसके बाद इंटीग्रेशन बाय पास कर देंगे तो जैसे आप इंटीग्रेशन करेंगे आपको बी एन मिल जाएगा उसके बाद आप इसको उठा के अपने 4 इयर्स में पट कर दीजिए यह आपकी फोरिअर सीरीज थी बी की जगह पट कर देंगे बी की वैल्यू तो यहां पर देखो बी की वैल्यू पट हो चुकी है है ना और उसके बाद यहां पर एन की वैल्यू वन तू थ्री आप पट कर दे जाएंगे तो आपको ये मिलेगा और देखिए यहां से अंदर से माइंस को आम ले लीजिए तो आपके पास ये क्या ए गई तो देखो साइंस सीरीज में सभी टर्म साइन की है जबकि कोसिन सीरीज में कोसिन सीरीज में सारे टर्म पॉज किया रे क्लियर है तो इस तरह से आप हाफ रेंज साइंस रेस और हाफ रेंज को साइंस सीरीज के क्वेश्चंस को बहुत ही आसानी के साथ कर सकते हैं अब यहां पर देखो शिमला तरीके से करना है यहां पर देखिए आपको फंक्शन दे रखा है अब देखो यहां पर कैसे पता चलेगा आपको की क्वेश्चन हाफ एन सीरीज का है या नहीं है देखो पहले तो यही से पता चल गया कैसे आपको जो इंटरवल दिया है वो जीरो से लेकर के पी के बीच में दिया है तो समझ में ए गया होगा की हाफ रेंज सीरीज का क्वेश्चन है क्योंकि यहां पर लेंथ ऑफ इंटरवल 2π नहीं है पी है तो क्या करना है पता चल गया 1/2 इंच लिया दूसरा अगर आप आंसर को देखें जो आपको प्रूफ करना है इसमें केवल साइन की टर्म ए रहे हैं इसका मतलब ये साइंस सीरीज है और इसमें केवल कस की टर्म ए रही है इसका मतलब ये कस सीरीज है तो यहां पर आपको बहुत ही आसानी से पता चल जाएगा की क्वेश्चन इसका है सॉरी हाफ एन साइंस का है या हाफ रेंज को साइंस सीरीज का है है ना तो इसमें तो दोनों ही निकालनी है तो हाफ रेंज का क्वेश्चन है तो साइंस सीरीज साइंस सीरीज का फॉर्मूला मैंने यहां लिखा फिर बी का फॉर्मूला लगाया यहां पर वैल्यू को सब्सीट्यूट अब देखो यहां पर इंटरवल ब्रेक करके दिया है अब ये भी ध्यान रखना यहां पर आपने आपको फंक्शन को दो पार्ट में ब्रेक कर दिया है ये यहां पर नया कॉन्सेप्ट ए गया इस कैसे में तो क्या करेंगे तो 0 से π/2 के बीच में एफसी की वैल्यू एक्स है और π/2 से π के बीच में एफसी की वैल्यू π - एक्स है बस यहां पर वैल्यू को सब्सीट्यूट करें और वैल्यू को सब्सीट्यूट करने के बाद इसको इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगा दें यहां भी इंटीग्रेशन में पार्ट्स है यहां भी इंटीग्रेशन में पार्ट्स है बस जैसे आप इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगाएंगे उसके बाद आपको क्या करना है देखो इंटीग्रेशन में पार्ट्स आपने अप्लाई किया उसके बाद लिमिट अप्लाई कर देंगे जो टर्म्स कैंसिल हो रही है उनको कैंसिल कर देंगे और आपके पास यहां से फाइनली ये बैक जाए सिंपलीफिकेशन है सिंपल और कुछ नहीं करना है तो यहां से अब जरा देखिए जो वैल्यू आई है अब इसको थोड़ा ध्यान से देखना पड़ेगा देखो अगर यहां पर एन एवं नंबर होता है जैसे मां लीजिए तू है तो 2 / 2 2 कट जाएगा है ना अगर एन की वैल्यू 4 है तो सन 2π बचेगा और अगर एन की वैल्यू आपके - 2 है तो -5 बचेगा और आप अच्छे से जानते हैं की साइन के कैसे में π 2π 3π 4π सबकी वैल्यू जीरो होती है इसका मतलब अगर एन एवं होगा तो बी की वैल्यू जीरो आएगी यानी की आपको बम तभी मिलेगा जब एन ओड होगा उठा के इस वैल्यू को अपने 4 या सीरीज में रख दिया हमने और यहां पर अब एक चीज का ध्यान रखना की आपको एन की जगह केवल और नंबर रखना है आप एवं नंबर नहीं रख सकते क्योंकि एवं नंबर रखना पे बी 0 मिलता है तो यहां सभी जगह एन और रखा है देखो है ना और जैसे ही आप एन को और रखेंगे आपके पास जो आपको प्रूफ करना है वो आसानी से आपका आंसर ए जाएगा आपको सिर्फ एन की जगह और रखना है और आपका आंसर ए जाए और उसके बाद सीधे ए नोट निकाल जाएगा इंटीग्रेशन करेंगे देखो इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स आपको करना पड़ेगा तो इंटीग्रेशन बाईपास करने के बाद सिंपलीफिकेशन जब आप करेंगे तो आपको यहां से एन की वैल्यू ये मिलेगी तो आप देख सकते हैं एक-एक क्वेश्चन में पांच-पांच छह-छह बार आपको इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाना पद रहा है तो मतलब अगर आपको 4s रेज के क्वेश्चन करने हैं तो आप इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स को बहुत अच्छे से सिख लीजिए आपका 4 एयर सीरीज का एक भी क्वेश्चन गलत नहीं होगा अब देखो यहां पर ये आपके पास आया है है ना अब इसमें क्या करें क्योंकि आपको जो प्रूफ करना है आपको ये रिजल्ट प्रूफ करना है इसमें सारे टर्म ओपन हो रहे हैं है ना तो एक कम करो इस ए नोट की वैल्यू को और ए एन की वैल्यू को इसमें पट करना है लेकिन पट करने से पहले देखिए जब आप सब्सीट्यूट करेंगे यहां पर तो ये आपने इसको यह सीरीज थी आपके पास आपने इसको ओपन करके लिखा क्या कर इसको ओपन करके लिखा है यहां थोड़ा सा ध्यान दीजिए एक्चुअल में एक्चुअल में है क्या ये थोड़ा बड़ा सा फंक्शन ए रहा है अगर मैं इसको उठा के डायरेक्ट यहां रख डन तो ये बहुत बड़ा सा फंक्शन हो जाएगा जिसको सिंपलीफाई करने में दिक्कत आएगी तो एक कम कर लेते हैं क्या कर लेते की पहले हम इसको ओपन कर देते हैं एचडी एन की जगह 1 2 3 4 रख के तो हमें ये सारे टर्म मिल जाएंगे ठीक है चलिए अब एक कम करते हैं यहां से a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 इन साड़ी वैल्यू को यहां से कैलकुलेट कर लेते हैं तो देखो यहां पर एन की जगह वन रखो तो ये a1 जीरो आएगा जब आप एन की जगह वन रखेंगे तो देखो यह क्या ए जाएगा और यहां पर जब वन रखेंगे तो कस 5 / 2 जीरो होता है यानी की पुरी वैल्यू जीरो ए जाएगी फिर आप एन की जगह तू रखेंगे तो आपके पास वैल्यू जीरो नहीं आएगी पट करके देखिए जो भी वैल्यू आएगी यहां ए जाएगी फिर 3 रखेंगे जीरो ए जाएगा फोर पे भी जीरो आएगा 5 पे भी जीरो आएगा सिक्स पे जीरो नहीं आएगा 7 पे 8 पे नाइन पे जीरो आएगा फिर 10 पे 0 नहीं आएगा इतनी वैल्यू बहुत है क्योंकि जो आपको प्रूफ करना है यहां तक आपके सारे आंसर ए जाएंगे अब यहां पर देखो a1 जीरो आया इसलिए मैंने a1 को कैट दिया a301 हटा दिया तो जो जीरो है उनको तो हटा दीजिए और जो बैक गए उनकी वैल्यू पट कर दीजिए तो आपका वही आंसर ए जाएगा जो आपको प्रूफ करना था क्लियर है चलिए अब आगे बढ़ते हैं तो ये तो बात हुई जब इंटरवल आपको जीरो से पी दिया हो अब बात करते हैं ऐसे क्वेश्चन की जहां पर जीरो से ल दिया हो जीरो से ल अब देखो यहां पर टाइप तू हाफ रेंज इन डी इंटरवल जीरो 12 यानी की यहां पर लेंथ ऑफ इंटरवल जो होगी वो ल होगी फार्मूले देखें जरा अब क्योंकि यहां पर बात ल की ए गई है तो यहां पर चेंज ऑफ इंटरवल वाला जो फोरिअर सीरीज थी हमारी वही फोरिअर सीरीज यहां पर एप्लीकेबल होगी तो अब यहां देखो हाफ रेंज को साइंस सीरीज अब यहां पर हाफ रेंज को साइन सीरीज में क्योंकि ये कोसिन वाली सीरीज है तो इसमें साइन नहीं आएगा तो यहां पर केवल कस तीता / ल फार्मूले देखिए फार्मूले आपके फिर वापस वही आएंगे 2 / ल जीरो से ल एफसी डीएस एम का फॉर्मूला तू अपन ल जीरो से ल एफ एक्स कस nπ एक्स / ल तो यहां पर ए नोट का फॉर्मूला ये लिखा है एन का फॉर्मूला वहां लिखा है क्लियर है नो हाफ रेंज साइन सीरीज साइन के कैसे में कस नहीं आएगा केवल साइन आएगा और यहां पर बी एन का फॉर्मूला नीचे लिखा हुआ है तो कुछ नहीं सिर्फ फार्मूले आपको याद होने चाहिए बाकी कोई दिक्कत आपको नहीं आएगी आगे बढ़ते हैं और इसका क्वेश्चन देखते हैं देखिए आपको एफसी को एक्सपेंड करना है एफसी को क्या करना है एक्सपेंड करना है की आपको हाफ रेंज साइन सीरीज में एक्सपेंड करना है एक्सपेंड करना है तो चलिए कर देते हैं यह जीवन फंक्शन अब यहां पर देखो लेंथ ऑफ इंटरवल क्या होगी लेंथ ऑफ इंटरवल यहां पर आपके पास तू होगी ल की वैल्यू तू आएगी क्यों आई तू देखिए यह लोअर लिमिट ये अपर लिमिट आपकी है ना और ये आपके पास हाफ रेंज है तो हाफ रेंज सीरीज में याद रखना की आपके पास जो अपर लिमिट है ये जीरो से तू जा रहा है ना और हमारे पास जो हाफ रेंज में लिमिट होती है वो जीरो से ल होती है और ये जीरो से तू जा रहा है तो इसका मतलब ल की वैल्यू तू है तो यहां पर ल की वैल्यू हमारे पास तू ए गई नव हाफ रेंज साइन सीरीज का फॉर्मूला लगाएंगे एफसी = एन की वैल्यू वन से लेक इंफिनिटी तक बी sinπ एक/2 ये तो हमारा हाफ रेंज सीरीज का फॉर्मूला ए गया अब इसमें आपको क्या करना है यहां पर अब जरा ध्यान दीजिए यहां पर आपको करना क्या है ये जो बी ए रहा है इसको निकालना है तो बी का फॉर्मूला लगाएंगे 2 / ल जीरो से ल एफ एक्स सन nπ एक/2 और उसके बाद यहां पर एफसी की वैल्यू कितनी है एक्स यहां पर एक्स पट कर देंगे अब देखिए दो फंक्शन मल्टीप्लाई में ए रहे हैं इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाएंगे और इंटीग्रेशन बाय पास लगाने के बाद जब आप अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट करेंगे तो आपके पास ये वैल्यू ए जाएगी इसको पट कर दे फोर ये सीरीज में आपके पास आंसर ए जाएगा तो देखिए आप यहां तक छोड़ सकते हैं बाकी आप चाहे तो इसको एक्सपेंड करके भी लिख सकते हैं एन की वैल्यू वन तू थ्री पट करते चले जाइए आपका आंसर ए गया था ए जाएगा आगे बढ़ते हैं इसका सेकंड पार्ट हाफ रेंज को साइंस सीरीज तो यहां पर हाफ रेंज को साइंस सीरीज का फॉर्मूला लगा देंगे तो ए नोट का जवाब फॉर्मूला लगाएंगे 2 / ल 2 / n0 से ल एफ एक्स डीएस तो यहां पर ल की वैल्यू कितनी थी पट कर देंगे और यहां पर एफसी कितना एक्स इसको इंटीग्रेटेड कर देंगे तो यहां से आसानी से आपके पास ए नोट ए जाएगा फिर अल का फॉर्मूला लगाएंगे और एम के फार्मूले में आप एफसी की वैल्यू पट करेंगे जो की एक्स है इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगाएंगे तो जैसे ही आप इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाएंगे आपको यहां से एन की वैल्यू मिल जाएगी ये और देखिए यहां पर फिर अगेन वही है की अगर एन ए वन है तो ये जीरो आएगा एन तो ये इसकी वैल्यू -8 / n² पी स्क्वायर ए जाएगी और दोनों वैल्यू को उठा के आप अपने फोरिअर सीरीज में रख दीजिए आपका आंसर भी ए जाएगा अब इसका एक लास्ट क्वेश्चन अब यहां पर आपको इसको देखो केवल साइंस रीजन निकालनी है हाफ रेंज साइन सीरीज निकालनी है अब इंटरवल को दो पार्ट्स में फंक्शन को दो पार्ट में ब्रेक कर दिया जीरो से तू के बीच में फंक्शन टी के बराबर है और तू से फोर के बीच में फंक्शन 4 - टी के बराबर है और यहां पर जो ल की वैल्यू है क्योंकि देखो जीरो से ल जा रहा है इंटरवल तो ल की वैल्यू 4 है नो 1/2 इन साइंस सीरीज का फॉर्मूला लगाएंगे ये हमारा हाफ साइंस सीरीज का फॉर्मूला ए गया बी का फॉर्मूला लगाएंगे 2 / ल जीरो से ल ऍफ़ टी साइन एन पी टी / 4 डीटी और इसमें फटी की वैल्यू पट कर देंगे फटी कितना है अब यहां पर ध्यान दीजिए जीरो से ल ये जीरो से फोर है लेकिन अब हमें इसको ब्रेक करना पड़ेगा दो पार्ट में पहले हम जाएंगे जीरो से तू फिर उसके बाद जाएंगे तू से फोर तो जीरो से तू एन तू से फोर और यहां पर फटी देखिए जीरो से तू के बीच में टी है और तू से फोर के बीच में 4 - 3 ये हमारे पास है अब यहां पर देखो इंटीग्रेशन में पार्ट्स लगाना है फर्स्ट फंक्शन ऑफ सेकंड फंक्शन फर्स्ट फंक्शन और सेकंड फंक्शन जैसी आप इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स लगाएंगे देखिए इंटीग्रेशन बाईपास जैसे ही आप लगाते हैं ये आपके पास ए जाएगा एक्सप्रेशन इसमें आपको क्या करना है अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट तो जब यहां पर आप अपर लिमिट माइंस लोअर लिमिट करेंगे तो आपकी मैक्सिमम टर्म्स कैंसिल आउट हो जाएंगे जो बचेंगे वो ये आंसर आएगा ठीक है ना और उसके बाद इस बी की वैल्यू को इक्वेशन वन में पट कर देंगे तो फाइनली हमें ये फटी मिल जाएगा क्या मिल जाएगा फटी ये मिलेगा ठीक है ना तो यहां पर इसको चाहे तो आप आगे एक्सपेंड करके लिख दें तो आगे अगर इसको आप एक्सपेंड करते हैं तो ये आंसर तो यहां पर अगर आप देखें ओवरऑल पूरे के पूरे 4 इयर्स रेंज में देखिए 4s रीजन में कुछ नहीं है बहुत ही आसन टॉपिक है आप 4 एयर सीरीज के सभी फार्मूले को याद कर लेने है ना जितने भी बेसिक कॉन्सेप्ट उनको सही से रिवाइज कर ले और सबसे इंपॉर्टेंट बात इंटीग्रेशन [संगीत] बाय पार्ट्स कर लिया तो समझ लीजिए कंप्लीट हो गया ठीक है ना तो 4s सीरीज में इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स जो है वो बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट है यही आपके लिए सबसे ज्यादा यहां पर 4s सीरीज में अगर आपने इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स को कर लिया तो आपके लिए क्वेश्चंस बहुत आसन हो जाएंगे ठीक है तो आप इन क्वेश्चंस को सॉल्व करिए ओके थैंक यू