Hai informasi mengenai perkuliahan ini ya jadi nama mata kuliahnya matematika 1A kodenya ma1101 dan Apa yang akan dibahas sepanjang satu semester ini? Ada tujuh bab dan buku yang dipakai saya bawakan di sini. Ini buku judulnya Kalkulus.
Jadi matematika 1A untuk semester 1 ini kalkulus Untuk semester 2 juga nanti isinya kalkulus Jadi kalau fisika dasar Ada mekanika, optik, lombang, fisika modern Itu berbagai cabang di fisika Untuk matematika cabang yang diperkenalkan di tahun pertama kalkulus Tapi di dalamnya nanti ada turunan, integral, kesamaan diferensial Untuk semester pertama turunan dan integral dibalas terlebih dahulu Nanti semester dua akan ada lebih banyak lagi Barisan persamaan diferensial Contoh permasalahan yang akan Kita bahas selama 2 semester ke depan, khususnya semester pertama masalah seperti ini akan Anda geluti nanti ya. Tentu tidak sekarang. Kalian belum dibekali dengan konsep dan senjata untuk menyelesaikan masalah ini. Tapi ini ilustrasi saja, jadi menentukan panjang tangga terpendek yang menghubungkan lantai ke dinding.
Jadi di sini lantai, dinding, kemudian ini ada tembok ini sebetulnya. Tangganya warna merah di sini, panjangnya P begitu. Tentu itu akan bergantung pada kemiringan yang dipilih ya. Jadi kalau agak tegak gitu, mungkin tangganya harus panjang. Demikian juga kalau agak landai.
Jadi kemiringannya ini mestinya tertentu supaya yang paling pendek. kita punya ya kemudian juga kalau ada sebuah keping disini saya gambarkan menghadap Anda tapi nantinya kalau dia digantung tentu akan bisa agak miring kiri atau kanan nah ditanyakan digantungnya di titik mana supaya supaya keping tersebut terjaga horizontal begitu ya itu masalah itu kemudian ada satu lagi hai hai Tapi ini mungkin di akhir semester ini atau semester depan Bila sebuah tangki dialiri air garam pada saat yang sama larutan yang teraduk rata mengalir keluar dari tangki tersebut Berapakah kadar garam pada larutan tersebut setelah sekian waktu Jadi masalah-masalah seperti ini Matematika yang nantinya dipecahkan atau dijawab dengan bantuan kalkulus. Ini bukan kimia, ini bukan fisika, ini semuanya masalah matematika.
Baik, jadi ini tentang bilangan real, estimasi, dan logika. Kalian sudah kenal bilangan real sejak SMA, bahkan SD. Tapi di SD dicicilkan mulai dengan bilangan bulat, bahkan bilangan asli dulu, lalu bilangan bulat, bilangan pecahan. Nah kemudian beranjak SMP, bahkan SMP sudah sudah ya bentuk desimal itu ya. Nah saya mulai dari bentuk desimal itu, jadi bilangan real itu bisa Kita rangkum sebagai bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk desimal.
Secara umum, AN terus sampai A1, A0, kemudian ada tanda koma. B1, B2, B3 Kalau contoh konkretnya Ya Disini ada 0,333 Itu kalian tahu Sama dengan seperti gak Tapi kalau yang lebih sederhana seperti 0,5 Itu Atau bahkan bilangan bulat 3 Tidak ada Desimal di belakang koma Sebetulnya itu 3,0000 Seperti itu Demikian juga ini 0,5 Sebetulnya ini 0,5000 Tapi kalau di belakangnya semua 0 Maka itu kita anggap Istilahnya bentuk desimal yang Berhenti Gitu ya Nah seperti 0,333 ini bentuk desimal yang berulang. Nah bentuk desimal yang berhenti atau berulang itu kita kenal sebagai bilangan rasional.
Jadi bilangan rasional ini artinya mereka dapat dinyatakan sebagai pecahan. Pecahan ini artinya hasil bagi dua buah bilangan. bulat, gitu ya, dengan kandungan tidak sama dengan 0. Oke, pengetahuan seperti itu, saya tidak akan ulang semuanya, pembagian yang 0 tidak boleh, gitu ya. Tapi beberapa hal yang penting saya tuliskan di sini.
Lalu kalau ada yang berhenti atau berulang, maka tentu sisanya adalah bentuk yang tidak berhenti dan tidak berulang. Bilangan seperti apa itu? Wah ada banyak Saya beri contoh disini akar 2, bilangan pi Ini kalau dilanjutkan, ini tidak berhenti dan juga tidak ada blok rangkaian Angka yang berulang Kalau ada rangkaian yang berulang Misalnya, jadi yang berulang itu Tidak harus satu Angka seperti tiga disitu Tapi misalnya 1,232323 Jadi ini 23 ini satu blok, satu rangkaian angka yang dalam bentuk ini dia berulang.
Nah ini bilang rasional, pecahan. Bisa dinyatakan sebagai P per key begitu ya Bagaimana P per key nya Berapa P dan key nya Kalian bisa Kotret lah Nah nanti ada Waktu buat latihan juga Saya lanjutkan dulu disini Jadi bilangan real Itu di dalamnya Ada bilangan Rational Dan di dalam bilangan rasional ada bilangan bulat, di dalam bilangan bulat ada bilangan asli. Nah dalam hal ini hubungannya, himpunan bilangan asli itu termuat dalam himpunan bilangan bulat, bilangan bulat termuat dalam bilangan rasional, dan bilangan rasional termuat dalam bilangan bulat. kulian kita satu semester ini ahimpunan bilang rilakan menjadi himpunan semesta kita bisa enggak akan menyebut berulang-ulang semestanya adalah RGD ya otomatis seperti itu semesta dalam arti ruang dimana kita ini bahas ya jadi ya Bisa saja yang kita... Hadapi hanya bilangan diantara 0 dan 1, tapi kemesannya R gitu ya.
Tidak keluar dari R. Kalau lebih kecil nggak apa-apa. Di dalam R nggak apa-apa, tapi keluar dari R nggak.
Nggak boleh ya. Itu perjanjian kita. Oke, ada pertanyaan? Baik, saya masih lanjutkan dulu ya.
Jadi, sistem bilangan real ini, kalian juga masih ingat mungkin, itu dilengkapi dengan penjublahan dan perkalian padanya. Lalu, sifat-sifat apa saja yang dipenuhi? Ada banyak ya.
Nah, satu kelompok sifat. Komutatif, asosiatif, distributif, dan seterusnya ada unsur identitas, unsur lawan, gitu ya. Itu semua dikumpulkan namanya sifat aljabar.
Di buku nanti Anda lihat sifat aljabar ini ada, totalnya ada, ada berapa yuk? Yang kamu tate, asusiatif, disimputif 6 6? Dapat dari mana doang kan 6?
Kalau terhadap penjumlahan dulu, itu ada berapa sifat? Komutatif, asosiatif, distributif belum ada, itu distributif sudah campuran dengan penjumlahan dan perkalian. Komutatif, asosiatif, ada unsur identitas, 0, dan ada unsur? Lawan, minus, jadi ada berapa nih?
Empat. Untuk perkalian juga ada empat usul identitas perkalian yaitu? Satu.
Usul inversinya satu per gitu ya? Komutatif asosiatifnya satu. Ini ada juga Lalu distributif Jadi berapa semuanya? 9 Gampang ingatnya ya 4 tambah 4 tambah 1 ya Baik Ada simpat urutan Nah Simpat urutan Ini berkaitan dengan Adanya urutan pada R Apa itu urutan pada R? Kalau ada 2 berang Maka kita bisa mengatakan, oh yang ini lebih besar, yang itu lebih kecil.
Nah itu adanya urutan di situ. Tentu bisa juga sama. Jadi urutan di sini berkaitan dengan tiga hubungan, yaitu lebih kecil sama dengan...
atau lebih besar tapi kalau kita punya dua bilangan diantara ketiga hubungan ini hanya ada satu diantara ketiga kemungkinan itu yang berlaku ya itu namanya hukum trikotomi nah ada hukum trikotomi, ada sifat transitif ada sifat simetri, ayo tebak kita tebak deh, ini bukan tegak tegi, sifat transitif apa? yang berkaitan dengan urutan Ayo, ayo. Kata transipid itu apa sih?
Coba anda belakang X lebih kecil dari Y Y lebih kecil dari Z X lebih kecil dari Z Oke Jika X lebih kecil dari Y Dan Y lebih kecil dari Z Maka X lebih kecil dari Z Ya? Tentu Jadi jika X lebih kecil Jika X lebih kecil dari Y Ini jika Nanti kita membahas logika juga. Dan, Y lebih kecil dari Z, maka X lebih kecil dari Z.
Ini sifat transitif ya. Kalian mesti, jangan lupa. Hai boro-boro lagi bermain harus lengkap juga menyatakan ya Hai sifat transitif berlaku di permainan sepak bola kalau tim A kalah dari tim B tim B karena Jadi dalam kehidupan sehari-hari Tidak semua Tidak semua hal berlaku Tapi dalam matematika ada juga Tidak semua juga Ada yang memenuhi sifat transitif Antara lain sistem bilangan din itu Nah kemudian Sifat kelengkapan Nah barangkali ini yang baru Biasa MA Mungkin sama gurunya disembunyikan atau diberitahu tapi langsung dipakai.
Saya juga tidak akan terlalu detail di sini karena ini konsumsi nanti mahasiswa program studi matematika. tahun ketiga untuk ingatnya untuk pemahaman yang rigorous ya yang teliti dan kalian belum di juruskan ya belum ya Oke, jadi saya nggak akan terlalu detail juga di sini. Tapi singkat kata, sifat kelengkapan itu mengatakan bahwa R itu merupakan, nah merupakannya pakai tanda kutip ini.
Apa artinya? merupakan garis yang tak berlubang tanda berlubangnya tanda kutip ganda karena ini istilah yang tidak baku merupakan yang pertama itu sebetulnya ada Pemetaan satu-satu atau ada representasi dalam bentuk yang lain. Bentuk yang lain itu apa?
Bentuk yang lain itu sebetulnya kalian sudah kenal, yaitu garis yang rib. Bilangan itu kan, ya bilangan, garis itu ya garis, tapi di sini seolah-olah menjadi... identik, begitu ya jadi, bilangan diri itu nantinya diidentikan dengan titik-titik pada garis ini jadi, kata yang lebih Akunya adalah representasi. Jadi merupakan ini terkait dengan kata representasi.
Jadi kalian sudah kenal garis bilangan real. Nah disini setiap titik itu menyatakan sebuah bilangan. Jadi kalau saya pilih titik ini, ini setengah. Antara 0 dan 1, tepat di tengah, itu setengah. Akar 2 tadi 1,4 sekian, kira-kira di situ.
Pi kira-kira di sini. Jadi ini ada hubungan bolak-balik. Kalau saya pilih titik, itu menyatakan bilangan.
Bilangannya berapa, bisa dikira-kira. Sebaliknya kalau saya pilih bilangan, maka saya bisa cari. tempatnya disitu, gitu ya nah, kalau bilangan rasional nah, ini saya menjelaskan kenapa tak berubah, andaikan bilangan rasional mau dinyatakan sebagai garis, bisa enggak? Jawabannya bisa, tapi berlubang-lubang gitu ya.
Kenapa berlubang-lubang? Ya, tempat seperti akar dua ini, pada garis bilangan rasional, kalau kalian bikin, ciptakan garis bilangan rasional, itu lubang. Ya? Jadi garis bilangan rasional itu akan menjadi garis yang berubang-lubang. Kalau gitu namanya bukan garis dong ya.
Lubang ini kan memutus garis itu. Nah, bilangan real tidak seperti itu. Bilangan real tidak ada lubang. Oke? Nah, sekarang...
Jadi, estimasi, tentang estimasi, jadi terkait dengan bilangan tadi, bagaimanapun akan banyak bilangan yang gak tahu nilai persisnya berapa. Seperti pi tadi, kita gak pernah tahu menurut nilai persisnya berapa. Bentuk desimalnya tidak berhenti dan tidak berulang.
Kita hanya bisa menulis mungkin sampai... Ya, sekian desimal. Komputer bisa memprogramnya, dan sekarang mungkin programnya sudah cukup cantik, bisa memprogram pi sampai sejuta desimal. Tetap itu bukan nilai pi yang sesungguhnya.
Nah karena itu kita sering juga melakukan estimasi ini. Dan dibolehkan nanti kalian menjawab soal tertentu. Boleh melakukan estimasi.
Tapi tentu tidak sesuka hati. Ya kalau 2 desimal pi 3,4. 14 bolehlah Kalau 1 desimal akan 2 1,4 Kalau mau exact ya biarkan P ya P, kalian tetap tulis P, akar 2 ya tetap akar 2. Itu begitu dimungkinkan juga. 2 pangkat 10? 1024 persisnya.
Tapi ya kalau untuk keperluan tertentu, kita anggap 1000 aja gitu ya. Makanya 1 kilobyte itu kan 210 sebetulnya. Tapi 1 kilobyte itu asosiasi kita kan 1000. Sesungguhnya 1024. Jadi, 2 x 10 dan 1000 itu memang tidak sama, tapi estimasi saja.
Baik. Dan tentu banyak hal lain yang... Bilang-bilang lain yang nanti akan kalian hadapi dan estimasi kalian lakukan Pembatas itu sering Demikian juga sepertiga sama dengan 0,33 gitu ya Itu boleh juga Tergantung nanti kebutuhannya Lalu satu hal penting Ini di akhir bagian subat 01 ini Yaitu logika Nah, jangan salah dalam kuliah ini kalian bukan cuma hitung-hitung ya, itu pelajaran berhitung namanya ya.
Tapi, contoh permasalahan yang saya ungkapkan tadi kan, ya kan, itu soal-soal yang membutuhkan nanti argumentasi. membutuhkan pemodelan matematika, pemisahan variable yang terlibat, lalu strategi menentukan metode yang tepat untuk mecahkannya dan seterusnya. Jawaban Anda, Anda akan berargumen. Karena ini, maka itu.
Jadi, kata-kata yang sering dipakai seperti itu. Secara umum, sebetulnya itu semua terkait dengan kalimat-kalimat matematika yang bentuk sederhananya adalah kalimat yang berbunyi jika Sesuatu maka begitu. Ini namanya apa? Kalimat seperti ini? Implikasi.
Logika itu capang matematika yang cukup besar juga. Di dalamnya Anda belajar implikasi, belajar totologi, belajar pernalaran. Ini cuma satu cuil aja dari logika, ini jangan kalian anggap kalian sudah belajar logika secara menyeruruh ya. Kalian masih ingat gak tabel kebenaran implikasi jika pemakai?
Masih? Seperti apa? Ada berapa?
Ada berapa kemungkinan kombinasi? Empat. Empat?
Apa saja itu? Sebetulnya saya akan tulis, sebetulnya simbolnya begini, cuma word first. Yang saya punya disitu saya cari simbol implikasi. Sebenarnya tidak menemukan, sebetulnya saya bisa mencari di Microsoft equation, tapi kadang-kadang supaya cepat saya pilih yang paling dekat, simbol. Oke, ini ada 4 kemungkinan ya.
Oke, saya buat. Sebetulnya ada tabelnya di situ. Jadi, Apa saja empat kemungkinan itu? Coba, coba, satu orang.
Bagaimana namanya? Tandra. Oh, cowok harus keras dong.
Tandra, apa saja empat kemungkinan itu? Setiap kalimat atau pernyataan itu hanya ada dua kemungkinan. Yang sebenarnya dalam logika. Tentang benar atau salah Sekarang kita berhadapan dengan 2 kalimat P dan I 2 pernyataan P dan I Kemudian nanti kita bentuk pernyataan baru di KPM Jadi apa saja, Chandra? Kalau misalnya saya benar, dia benar.
Jangan dulu, jangan dulu ini. Empat kemungkinannya apa saja? Benar-benar? Chandra lho, Chandra. Kalian namanya Chandra juga?
Oke. Semua dapat giliran nanti ya, tenang. Pada saatnya nanti... Kalian malah ini ya, saya tunjuk ya.
Benar-salah. Benar-salah. Salah-benar.
Salah-benar. Salah-salah. Salah-salah.
Jadi ada empat kemungkinan. Sebetulnya empat itu datang dari mana ya? Karena ada dua, lalu dua pangkat dua begitu ya.
Kalau ada tiga pernyataan akan ada berapa kemungkinan? Lapan. Lalu tabelnya?
Saya bisa tayangkan di situ. Untuk masing-masing kombinasi, benar-benar misalnya, jika Pemangkakinya bernilai apa? Benar atau salah?
Benar. Dari mana itu? Ya? Lalu ada yang salah?
Kalau P-nya benar, G-nya salah? Salah. Yang lainnya?
Kenapa bisa begitu? Nggak tahu. Dulu sama gurunya nggak dikasih tahu. Pokoknya begitu gitu ya. Terima aja ya.
Nah. Kenapa jika Pemakaki itu salah untuk kombinasi yang ini? Benar, salah, maka salah.
Yang lainnya benar. Jadi yang kita perlu ingat, kenapa yang itu salah? Itu aja ya. Kalau saya buat pernyataan pada kalian. Jika nilai kalian tetap A di akhir semester, maka saya akan traktir kalian semuanya di sebuah restoran di Bandung.
Saya membuat janji seperti itu, jika nilai kalian tetap A pada akhir semester, maka saya akan menterapi kalian semua makan, kan siang makan apa enaknya? Makan malam di sebuah restoran mewah di Bandung. Nah, bayangkan akhir semester. Nggak tahu nanti nilai kalian apa, tapi kapan atau dalam keadaan apa saya akan dituduh berbohong.
Dapat dituduh berbohong. Kalau di mana nilai kalian? Jaman nama aja. bisa bisa kalau itu ya itu bedanya situ ya kalau nilai kalian ada yang B ada yang B warna-wangi Tapi tetap saya meratir, saya bohong gak? Enggak ya?
Itu saya baik hati kan? Kalian juga gak akan nolak kan? Ya?
Kalau nilainya semua A lalu saya tetap berakhir juga nggak bohong kan? Kalau kalian tidak semuanya A, ada yang B lalu saya tidak berakhir nggak bohong kan? Yang rada ini tadi, kalau kalian nilainya sebutnya tidak A semua tapi saya tetap berakhir juga, itu apa saya bohong? Itu ya kenapa saya nggak bohong? Karena saya tidak berjanji apa-apa dalam keadaan nilai kalian beragam.
Jadi saya mau ngapain bebas. Dan kalau saya menelpon raktir ya kalian pasti seneng juga kan? Masa nunggu ke saya berbohong?
Jadi bohong itu kalau jika nya dipenuhi makanya tidak sesuai P nya dipenuhi, T nya dilanggar Saya janji mengaktir kalau nilai kalian semua A nilai kalian semua sudah A, saya angkat dan aktir itulah bohong Gitu ya, mudah-mudahan ingat ya, walaupun nanti nilai kalian... Terima kasih.