Vierkantswortel uit een complex getal

Inleiding

• Vandaag bekijken we hoe we de vierkantswortel uit een complex getal kunnen berekenen.
• Voorbeeld: vierkantswortel uit 3-4i.

Stap 1: Aanname

• Stel: a + bi is de wortel uit 3-4i.
• Als we deze wortel kwadrateren, moeten we 3-4i krijgen.

Stap 2: Kwadrateren

• Linkerkant: (a + bi)² = a² + 2abi + b²i²
• i² = -1, dus:
  • a² - b² + 2abi = 3 - 4i

Stap 3: Vergelijkingen opstellen

• Reëel deel:
  • a² - b² = 3
• Imaginair deel:
  • 2ab = -4

Stap 4: Oplossen

• Delen door i en 2:
  • a² - b² = 3
  • ab = -2
• Haal een letter uit de tweede vergelijking:
  • a = -2/b

Stap 5: Vervangen

• In de eerste vergelijking a vervangen door -2/b:
  • a² = 4/b²
  • Dus:
    • 4/b² - b² = 3

Stap 6: Vermenigvuldigen

• Vermenigvuldig met b²:
  • 4 - b² * b² = 3b²
  • b⁴ + 3b² + 4 = 0*

Stap 7: Biquadratische vergelijking

• Herken dit als biquadratische vergelijking:
  • Stel i = b², dan i² + 3i - 4 = 0

Stap 8: Oplossen van de kwadratische vergelijking

• Discriminant:
  • D = b² - 4ac = 9 + 16 = 25
• Oplossingen:
  • i₁ = ( -(-3) + √25 ) / 2 = 1
  • i₂ = ( -(-3) - √25 ) / 2 = -4

Stap 9: Terug naar b

• Oplossingen voor b²:
  • b² = 1
  • b² = -4 (niet mogelijk)
  • Dus:
    • b = 1 of b = -1

Stap 10: Waarden van a en b

• Voor b = 1:
  • a = -2
• Voor b = -1:
  • a = 2

Oplossingen

• Eerste oplossing: a = -2, b = 1 → -2 + 1i
• Tweede oplossing: a = 2, b = -1 → 2 - 1i

Conclusie

• Beide oplossingen zijn elkaars tegengestelden:
  • Dit is een algemeen resultaat voor de wortels uit een complex getal.