In deze video bekijken we even hoe we de vierkantswortel uit een complex getal kunnen berekenen. Als we als voorbeeld de vierkantswortel uit 3-4i berekenen. Stel, a plus bi is zo'n wortel uit 3-4i. Dan weten we, als we deze wortel kwadrateren, dat we 3-4i moeten uitkomen. Aan de linkerkant zie je het merkwaardig product a.
plus bi in het kwadraat verschijnen. Dat wil zeggen, a kwadraat plus 2abi plus b kwadraat i kwadraat moet 3 min 4i zijn. We kijken naar het reële deel, a². i² is min 1, dus min b² plus 2abi moet 3min4i zijn.
Nu zijn twee complexe getallen aan elkaar gelijk als de reële delen gelijk zijn en de imaginaire delen. Dus a kwadraat min b kwadraat moet 3 zijn. En 2abi moet min 4i zijn. We kunnen de i aan de linkerkant en rechterkant verwijderen door i te delen. We kunnen zelfs ook delen door 2. We krijgen dus dat a kwadraat min b kwadraat gelijk is aan 3. En dat a maal b gelijk is aan min 2. Uit de tweede vergelijking kunnen we één van beide letters halen.
Dat maakt geen verschil welke letter je neemt. Ik noteer dit met een 2. Dus uit de tweede vergelijking haal ik bijvoorbeeld de letter A. Als ik de letter a haal, moet maal b naar de andere kant en krijgen we min 2 gedeeld door b. Dit onthouden we voor straks. In de eerste vergelijking zitten zowel a² als b² en we vervangen de a door min 2 gedeeld door b die we net gevonden hebben.
De eerste vergelijking wordt a², maar a is te schrijven als min 2 gedeeld door b. b² is 3. Ik reken even het kwadraat uit. wordt 4 op b². Min b² is 3. We gaan even verder op de volgende platzijde.
We hadden dus a is min 2 over b. En 4b² min b² is 3. We vermenigvuldigen deze vergelijking met b². Om onze noemer weg te krijgen, dan krijgen we 4 min b kwadraat maal b kwadraat. Dat is b tot de vierde, dat is 3b kwadraat. Ik sorteer dit even volgens de halende machten.
Ik breng alles naar de rechterkant, maar noteer het links. Dus plus b tot de vierde, plus 3b tot de tweede, plus 4 naar rechts wordt min 4, is 0. Deze vergelijking herken je misschien als een biquadratische vergelijking, omdat het kwadraat van de middelste term eigenlijk een b tot de vierde wordt. Deze lossen we op door de resolvent te vergelijken. Stel bijvoorbeeld i gelijk aan b², dan krijgen we i² plus 3i min 4 is 0. Dit is een kwadratische vergelijking.
die we eenvoudig kunnen oplossen. Dit kan door ontbinden, door som-en productregel of door de discriminant. Laten we bijvoorbeeld de discriminant nemen.
B kwadraat min 4 maal A maal C is 9 plus 16 is 25. Dus I1 en of 2 worden min B plus of min de wortel uit 25 gedeeld door 2A. Als we de... plus nemen.
Min 3 plus 5 is 2, gedeeld door 2 is 1. Als we de min nemen, min 3 min 5 is min 8, gedeeld door 2 is min 4. Dit zijn de i-waardes, maar i waren b-kwadraten. Dus als we deze eventjes terug uitschrijven, krijgen we B kwadraat is 1. Of b kwadraat is min 4. Nu, b is een reëel getal. We weten dat een reëel getal nooit negatief kan zijn. b kwadraat kan echter wel 1 zijn, dus vinden we b is 1. Of, ik vergeet ook niet, b is min 1. Als we deze waarde gevonden hebben, kunnen we die terug invullen.
In onze a. Dus als b gelijk is aan 1, dan wordt a min 2 gedeeld door 1, dus min 2. Als b gelijk is aan min 1, dan wordt a min 2 gedeeld door min 1, dus 2. De oplossingen van onze vierkantswortel hadden de vorm a plus bi. Dus de oplossingen van onze wortels zijn a, in het eerste geval is a min 2 en b 1, dus min 2 plus 1i.
En in ons tweede geval is a 2 en is b min 1 i. Dus 2 min i. Nu, je ziet dat beide oplossingen tegengesteld zijn.
Dit blijkt altijd zo te zijn. Voor de wortels uit een complex getal vinden twee nieuwe complex getallen die elkaars tegengestelden zijn.