Class 10 Maths: Chapter 1 - Real Numbers (Lecture Notes)

परिचय: Real Numbers

• Real Numbers: Rational और Irrational numbers का Union होते हैं।
  • Rational और Irrational numbers दोनों को मिलाकर real numbers बनते हैं।
• Number Line पर Representation: Real numbers को number line पर express कर सकते हैं।
  • Number line पर positive और negative दोनों प्रकार के numbers को show किया जा सकता है।
• उदाहरण:
  • Rational Number: 3/2
  • Irrational Number: √3, √5, π

Fundamental Theorem of Arithmetic

• परिभाषा: Composite numbers को prime numbers के product के रूप में लिखा जा सकता है।
• उदाहरण:
  • 66 = 2 × 3 × 11
  • 420 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7
• प्रयोग: Prime factorization का उपयोग HCF और LCM को find करने में किया जाता है।

HCF and LCM using Prime Factorization

• LCM कैसे Find करें:
  1. सबसे पहले prime factors को find करें।
  2. सबसे ज्यादा बार आने वाले factors का product लें।
  3. Example: 66 और 420 का LCM = 4620
• HCF कैसे Find करें:
  1. Common factors को पहचानें।
  2. Common factors का product लें।
  3. Example: HCF of 66 and 420 = 6

LCM और HCF का संबंध

• फॉर्मूला: First number × Second number = LCM × HCF
  • Example: अगर first number = 66, second number = 420, HCF = 6, तो LCM find कर सकते हैं।

Prove कि कोई Number Irrational है

• Contradiction Method:
  • Prove करें कि number rational नहीं है।
  • Example: Prove √2 is irrational
    • Assume √2 is rational (i.e., P/Q form)
    • Proof के अंत में conclude करें कि यह rational नहीं हो सकता।
• आवश्यक Steps:
  1. Rational assumption लें और equation set करें।
  2. Co-primes की property का उपयोग करें।
  3. Contradiction find करें ताकि यह साबित हो सके कि दिया गया number irrational है।

निष्कर्ष

• सभी महत्वपूर्ण concepts और examples clear किए गए हैं।
• प्रैक्टिस से यह concepts और आसान होते जाएंगे।