Welcome to Greenboard, मेरा नाम है मंदीप, इस वीडियो में करेंगे Class 10th के Subject Maths, Chapter No. 1, जिसका नाम है Real Numbers, Real Numbers की इंट्रोडक्शन वीडियो होगी, सबी को देख लेना है और अच्छी तरह से समझ लेना है, so introduction to real numbers इसको शुरू करते हैं next page से, chapter का नाम है real numbers, real numbers क्या होते हैं, सबसे पहले हमें यही समझना होगा, so real numbers के सबसे पहले point में दिया है, real numbers are the union of both rational and irrational numbers, जो भी real numbers हैं, वो rational और irrational numbers का Union होते हैं, simple language में अगर कहूँ तो rational और irrational numbers को इखठा कर देंगे सभी numbers को, तो वो सारे के सारे real numbers होते हैं, या फिर और simple करना चाहें, तो जो भी rational number हैं, उनको real number कहा जा सकता है, और irrational numbers को भी real number कहा जा सकता है, दोनों को मिला देंगे, तो भी वो real number ही हो जाएंगे, इसे अगले number line जो भी real numbers है उनको number line पर express किया जा सकता है जैसे हमारी इस तरह से number line होती है इस पर कहीं पर होता है 0 उसके अलावा इस तरह 1 होता है 2, 3 and 4 इस तरह negative 1, minus 2, minus 3, minus 4 जो भी इस तरह के numbers होते है number line पर जिनको represent किया जा सकता है दिखाया जा सकता है वो सारे के सारे real numbers होते है इसके अलावा यहाँ पर दिया है these numbers can be both positive और negative जो भी real numbers हैं वो सारे के सारे positive भी हो सकते हैं और negative यानि कि minus में भी हो सकते हैं और plus में भी हो सकते हैं दोनों चीज़े यहाँ पर मैंने बता दी अब कुछ examples दे देता हूँ जैसे यहाँ पर ये numbers जो आपको दिखाई दे रहे हैं ये तो real numbers है ही यहाँ पर कुछ rational numbers होंगे जैसे 1 और 2 के बीच में हमारा कोई भी number हो सकता है जो PYQ की form में हमें दिया गया हो जैसे कि यहाँ पर हो सकता है 3 by 2 ये होगा हमारा क्या? एक rational number है ये, और ये इस number line पर इसको अगर show किया जा सकता है, जो कि किया जा सकता है, तो ये हमारा real number भी होगा, जो भी rational number होंगे, इस number line पर वो सारे के सारे real number होंगे, और जो भी irrational number होंगे, like root 3 है, root 5 है, ये हमारे irrational number है, जैसे कि हमारा pi है, इस तरह के जो भी numbers हैं, जिनको number line real numbers होंगे, यहाँ पर real numbers क्या होते हैं, यह हमने समझ लिया, कुछ examples भी यहाँ पर हमने ले लिये हैं, so real numbers के बाद अब इस chapter का सबसे पहला concept जो आता है, उसको समझने के लिए चलते हैं अगले page पर, real numbers को समझने के बाद chapter में next concept आता है, fundamental theorem of arithmetic, यह theorem हमें क्या बताती है, समझते वन वे, fundamental theorem हमें कहती है कि कोई भी composite number अगर दिया गया है, composite number को prime number के product की form में लिखा जा सकता है, example दूँगा तो और अच्छी तरह से समझ पाओगे, जैसे यहाँ पर हमारे पास दो composite number हैं, एक 66 है, एक 420 है, जो भी ये composite number हैं, इन numbers को prime numbers के product की form में लिखा जा सकता है, prime numbers के multiplication की लिखकर बता दूँगा तो easy हो जाएगा जैसे यहाँ पर जो भी हमारा 66 है और 420 है इनको prime के product की form में कैसे लिखेंगे यहाँ पर मैंने लिखा 66 इसके हमें prime factors करने हैं तो यहाँ पर हम 2 से करेंगे 236 फिर से 236 फिर यहाँ पर 3 से करेंगे 313 फिर यहाँ पर 11 से करेंगे 1111 यह हमारा 66 एक composite number है इस number को हम prime numbers के product 2 हमारा prime number है 3 हमारा prime number है और 11 भी हमारा prime number है 66 को हम prime numbers के multiplication यानि कि product की form में इस तरह से लिख सकते हैं इसी तरह से 420 को भी लिख सकते हैं इसको भी लिखते हैं यहाँ पर 420 के factors कर लेते हैं यह हमने 420 लिखा 2 से करेंगे 210 पर जाएगा, फिर से 2 से करेंगे तो 105 पर जाएगा, फिर 3 से करेंगे तो 35 टाइम्स पर जाएगा, फिर यहाँ पर 5 से करेंगे तो 7 टाइम्स पर, फिर 7 से करेंगे तो 1 टाइम्स पर, जो भी हमारा 420 है, उसको हमें इस तरह prime numbers के product की form में लिख सकते हैं, सबसे पहले क्या आएगा, 2 multiply में, उसके बाद 3 multiply में, 5 multiply में, 7, जो भी हमारे दो composite number थे, 66, उसके हमने इस तरह से prime number के product की form में लिख दिया, और जो भी हमारा दूसरा number 420 था, इसको भी हमने prime numbers के product की form में इस तरह से लिख दिया. यह हमें कहती है fundamental theorem of arithmetic कि किसी भी composite number को prime numbers के multiplication यानि कि product की form में लिखा जा सकता है. अब इसका फाइदा क्या होगा?
जब भी हम किसी number के prime factor पर लिख दिया, तो इसका फाइदा क्या होगा? इनको prime factors कहा जाता है, composite number के prime factors कर लेते हैं, तो HCF और LCM find करने में हमें help मिलती है, अब prime factors करने के बाद HCF और LCM find कैसे करना है, यह भी समझते हैं, so यहाँ पर दिया है HCF and LCM using prime factorization, यहाँ पर जो हमने यह prime factorization की है, 66 और 420 की, इनकी help से हम HCF और LCM कैसे find करेंगे, यहाँ पर देखो सबसे पहले बात करते हैं LCM की, LCM हम किसका find करने हैं, इनी दोनों numbers का, 66 और 420 का, जब भी हम LCM या HCF find करेंगे, तो हमें सबसे पहले उसके prime factors की जरूरत होगी, जो कि already हमने यहाँ पर कर लिये हैं, अब prime factors करने के बाद जब LCM find करेंगे, तो हमें क्या करना तो हमें देखना है 2 सबसे ज़ादा बार कहां पर आया है देखो उपर वाले में तो 66 वाले में तो एक ही बार आया है लेकिन 420 में 2 जो है वो 2 times आया है जहां पर ज़ादा बार आया है उसको उठा लेना है यहां 2 multiply 2 आया है तो इसको यहां पर उठा के रख देना है simple 2 multiply में 2 बेज दिया इसके बाद next हमें देखना है 2 से बड़ा कौन सा नंबर है यहाँ पर देखो 3 है एक बार उपर वाले में आया है एक ही बार नीचे वाले में आया है दोनों में एक बार आया है तो कोई सा भी उपर वाला उठा लो या नीचे वाला उठा लो एक बार आया है त तो यहाँ पर 5 multiply कर देंगे, इसके बाद multiply में 5 से बड़ा number 7 यहाँ पर आया है, इसमें उपर 7 नहीं है, 7 एक ही बार आया है, तो यहाँ पर आ जाएगा 7, उसके बाद multiply में यहाँ पर number है, बचा है जो 7 से बड़ा 11, तो यहाँ पर हमें 11 भी लिख देंगे, हमें यहाँ पर करना क्या है, बिल्कुल simple, जहाँ पर भी जादा हो, वो हमें उठाके यहाँ पर multiply कर देना है, जैसे 2 अकेला था, इसको छोड़ देना है, 2 multiply में, 2 जादा जहां पर है उसको उठा के यहां पर रख देना है अब इनको multiply जब कर लेंगे तो हमारा answer हमें मिल जाएगा जो कि 66 और 420 का LCM होगा बिल्कुल simple multiply करते हैं 2 को 2 से multiply करेंगे 4 हो जाएगा 4 को 3 से multiply करेंगे 12 हो जाएगा 12 को 5 से multiply करेंगे तो यह हो जाएगा 60 को 7 से multiply करेंगे तो हो जाएगा 420 420 को 11 से multiply करेंगे तो LCM मिलेगा हमें 4620, हमें बिल्कुल simple way में prime factors किये, उसके बाद जो भी दो numbers थे, उनका LCM हमें यहाँ पर मिल जाता है, यह simple method होगा LCM find करने का, इसी तरह से HCF की बात करते हैं, HCF में हमें किस तरह से find करना है, कोई भी दो numbers दिये गए हैं, उनके हमें prime factors करने है, prime factors करने के बाद हमें देखना है कि दोनों जो भी prime factors, factors हैं, उपर वाले और नीचे वाले number के, उनमें common क्या है, हमें यहाँ पर अब common ढूंढना है, यानि कि जो 66 में भी आया हो, और 40, 420 वाले prime factors में भी आया हो, तो यहाँ पर देखो, इसमें 2 आया है, इसमें भी 2 आया है, common क्या है, यहाँ पर 2 आया है, यहाँ पर भी 2 आया है, common क्या है, जैसे यहाँ पर 3 आया है, नीचे कहीं 3 है, बिल्कुल यहाँ पर 3 है, 3 इसमें भी आया है, तो यहाँ पर एक बार 3 लिख देंगे, 3 के अलावा, देखो यहाँ पर 11 है, उपर तो आया है, लेकिन 420 के factors में नहीं आया है, तो इसे नहीं लिखा जो HCF होगा इन दोनों नंबर से 66 और 420 का, तो वो हो जाएगा 2 multiply में 3 यानि की 6, LCM find करने का जो method है, उसमें तो हमें क्या करना है, जो जादा बार दिया हो, वो हमें लेना है, और सबी के सबी नंबर से आएंगे, लेकिन HCF में सिर्फ common नंबर से ही आएंगे, तो fundamental theorem of arithmetic हमें बताती है, कि composite नंबर को prime नंबर की product की form में लिखा जा सकता है, उसके बाद जो भी prime factor, फैक्टर्स होते हैं उससे हमें हेल्प मिलती है एडिफिकेशन और एलसीएम फाइंड करने में सारी की सारी चीजें हमने यहां पर एग्जांपल के साथ समझ ली हैं अब इसे नेक्स्ट जो कॉनसेप्ट आता है इस चैप्टर का उसके बारे मूव करते हैं नेक्स्ट पेज पर चैप्टर में नेक्स्ट कॉनसेप्ट आ HCF है, LCM और HCF कैसे find करना है, prime factorization method से पीछे वाले page पर हमने समझ लिया है अब समझेंगे कि LCM और HCF में क्या relation होता है इन दोनों में क्या संबंद होता है इस वाले page पर सो LCM और HCF का जो भी संबंद है, जो भी relation है वो एक formula define करता है formula यहाँ पर आपके सामने लिखा गया है first number multiply में second number equals to में LCM multiply में HCF है दो नंबर दिये गए हैं, उनका हमें LCM और HCF find करना हो, तो ये वाला फॉर्मूला हमें use करना होता है, ये वाला फॉर्मूला उनके LCM और HCF का relation define करता है, जैसे यहाँ पर इसका example लेंगे, तो बिल्कुल clear आपको हो जाएगा, मालनो जो भी हमारा first number है, वो 66 है, second number हमें 420 दिया गया है, और हमें HCF भी दिया गया है, 6 होगा, first number 66 है, second number 420, HCF हमें दिया गया है 6 हमें बोला है कि LCM find करो ये relation होता है LCM और HCF के बीच में इस formula का use कैसे करना है मालो जो भी हमारा first number second number LCM और HCF टोटल 4 चीज़े हैं अगर इन 4 में से कोई भी 3 चीज़े दी गई हैं और चोथी चीज़ हम उससे इस formula का use करके बिलकुल easily find कर सकते हैं let's suppose हम ठीक है, first number हमें find करना है कि क्या होगा, हमें second number, LCM और HCF दिया है, तो just हमें इस formula में values put करनी है, solve करना है, तो हमें first number मिल जाएगा, जैसे यहाँ example में हमें तीन चीज़े दी गई है, first number, second number और HCF, हमें LCM find करना है, तो just इसमें values put करनी है, और solve करना है, तो LCM हम easily find, कर लेंगे, जो भी यहाँ पर हमारा यह first number, second number और HCF है, इनकी values put करते हैं, सबसे पहले क्या करना है, हमें first number put करनी है value, जो की है 66, उसके बाद इसमें multiply हमें करना है, second number जो की हमें दिया गया है, 420, तो यहाँ पर आ जाएगा 420, उसके बाद equals का sign लगा के, यहाँ पर LCM multiply में HC LCM तो हमें find करना है, LCM की value हमें नहीं पता है, तो LCM ऐसा का ऐसा रहेगा, multiply का sign लगाकर यहाँ पर जो HCF है, उसकी value हमें given है, 6 तो यहाँ पर आ जाएगा, 6, यहाँ पर देखो, हमें first number पता है, second number पता है, HCF पता है, LCM find करना है, तो बिल्कुल easy, LCM find करने के लिए 66 multiply में 420 as it LCM में 6 यहाँ पर multiply है, 6 को अगर हम इस तरफ shift करेंगे, यहाँ पर multiply में है, इस तरफ shift करने पर आ जाएगा यह 6 divide में, अब यहाँ पर जो भी नीचे 6 है, उपर 66 है, 6 से 66 को cancel किया जा सकता है, 6 x 6, 66 को 6 से 11 times पर cancel करेंगे, अब जो भी value बची है उनको calculate कर लेते हैं, 11 multiply में 420 है, 11 को 420 से multiply करेंगे, तो यह हो जाएगा 4620 equals to में हमारा LCM as it is आ जाएगा, हमें first number, second number और HCF पता था, हमने इसमें value put की, तो LCM की जो भी value थी वो हमें मिल जाती है, तो जो भी LCM और HCF के बीच में relation वाला यह formula है, यह काफी important है, exam में इससे related question हमेशा आता है, तो इसको यादर खना, जो भी relation है वो formula आपको मैंने define कर दिया है और उससे related example भी आपको देके समझा दिया है तो relation between LCM and HCF वाला concept हो जाता है complete अब इस chapter का last concept एक बचता है उसके लिए move करते हैं guys next page पर real numbers का last concept आता है guys जिसमें हमें prove करना होता है कि कोई number irrational है जैसे यहाँ पर है prove root 2 is irrational हमें कुछ इसी तरह के numbers दिये गए होंगे root 2, root 3, root 5, root 7, root 11, कुछ इसी तरह के numbers को हमें irrational prove करना होगा, और इसका एक method होता है contradiction method, जिसमें हम बिल्कुल इसका उल्टा करते हैं, हमें prove तो करना होता है कि irrational है, लेकिन हम ये prove करते हैं कि जो भी number दिया गया है, वो rational नहीं है, अगर वो number rational नहीं है, तो वो अपने आप में irrational हो जाएगा, जैसे यहाँ पर root 2 क्या है, एक, irrational number हमें इसको prove करना है, लेकिन हम ये prove करेंगे, कि ये number rational नहीं है, अगर ये rational नहीं है, तो अपने आप में ये irrational prove हो जाएगा, बिल्कुल simple method है, इसलिए इसे कहा जाता है, contradiction method, हम इसको irrational की बजाए, ये prove करते हैं, कि ये rational नहीं है, तो प्रूफ में भी starting में ही माल लेंगे, कि जो भी हमारा ये number दिया गया है, ये एक rational number है, Let us assume the contrary that root 2 is rational. हमने ये माल लिया है कि जो भी हमारा ये number root 2 है, ये एक rational number है, और rational number P by Q की form में होते हैं, A by B की form में होते हैं, fraction की form में होते हैं. तो जो भी हमारा ये number है root 2, मैं इसको इस तरह से लिख सकता हूँ A upon B की form में, जो आपर हमारा A और B co-primes होते हैं, लिख देता हूँ, बताता हूँ co-prime होते क्या हैं. A and B are co-prime, जो भी हमारा A और B है वो दोनों co-prime है, co-prime का मतलब होगा कि जो भी हमारे A और B number है इनका 1 के अलावा कोई भी other factor है नहीं है, 1 के अलावा कोई भी ऐसा number नहीं है, जो A और B दोनों को divide कर सकता हो, तो यहाँ पर हमने क्या किया, root 2 को A upon B के equal रख लिया, और A और B हमारे दोनों के दोनों co-prime है, अब इसको rearrange कर लेते हैं, equation बना लेते हैं, हमारा root 2 as it is आएगा, B कैसे है, divide में है, multiply में और equals to में बचेगा यहाँ पर A, अब यहाँ पर next step में क्या करेंगे, जो भी हमारी ये equation बनी है, इसको square कर देते हैं, इस side में भी square कर देते हैं, पहले bracket में लिख देता हूँ, squaring both side, दोनों side square करते हैं, तो यहाँ पर bracket लगा के square कर दिया, और इस तरफ भी square कर दिया, square करने पर value क्य उसके बाद जो भी हमारा ये B है इसका square करेंगे तो value आ जाएगी हमारी B का square equals to में यहाँ पर हमारा A है इसका square करेंगे तो ये हो जाएगा A का square.
यहाँ पर जो भी हमारी ये equation है इससे हम क्या conclusion निकालते हैं ध्यान से समझना जो भी हमारा A square है इसके factors क्या हो सकते हैं A square को कौन से number से divide कर सकते हैं देखो ये बिल्कुल simple है A square के factors इस तरफ होंगे जो भी a square को divide करने वाले numbers हैं वो इस side होंगे, जैसे यहाँ पर 2 है, a square को divide कर सकता है, और यहाँ पर b square है, यह भी a square को divide कर सकता है, यानि कि यह conclusion निकाला जा सकता है, कि a square 2 से divisible है, तो यहाँ पर लिखता हूँ, a square is divisible by 2, अगर 2 इस side आया है, तो a square is 2 का divisible होगा, और एक point simple है, अगर a square 2 का divisible है, तो जो हमारा A है वो भी 2 का divisible होगा, तो यहाँ पर लिख देंगे, A is also divisible by 2, और जो भी bracket है वो close कर देंगे, यह हुआ हमारा conclusion number 1, यानि कि A जो है हमारा, वो 2 का divisible है, वो 2 से divide हो सकता है, A का factor, 2 होगा, यह हमने conclusion निकाल लिया first वाला, अब यहाँ पर a का factor 2 है, तो इसका मतलब मैं जो भी हमारा a है, उसको इस form में लिख सकता हूँ, एक second guys, यहाँ पर मैं इसको इस form में लिख सकता हूँ, a equals to में 2 c, यानि कि a का factor 2 है, तो a equals to में 2 और c हमारा कोई भी एक number होगा, यहाँ a है वो 2 का divisible है 2 से वो divisible है तो यहाँ पर a equals to में 2c इस पॉर्म में मैं लिख सकता हूँ और c हमारा कोई भी integer होगा जो भी हमारी ये एकी value है इस वाली equation में put कर देते हैं first वाली equation में तो इस side में हमारा जो भी 2b का square है वो as it is आएगा ये वाली value हमारी as it is यहाँ पर आ गई यहाँ पर a का square है a की value हमारी 2c है तो इसे a की जगह पर मैं रख देता हूँ guys 2C और A का यहाँ पर square है तो इसकी जो भी value है उसका भी हो जाएगा यहाँ पर square अब ध्यान से देखना यहाँ पर हमें solve करेंगे इसको 2B का square हमारा as it is equals to में 2 का square करेंगे तो यह हो जाएगा 4 उसके बाद जो भी हमारा यह C है इसका square करेंगे तो हो जाएगा C का square है अब यहाँ पर इस तरफ 2 है इस तरफ 4 है cancel किया जा सकता है 2 के table से 2 ones are 2 2 twos are 4 value क्या बचेंगी यहाँ पर हमारा 1 है 1 को b square से multiply करेंगे तो b का square हो जाएगा equals to में यहाँ पर हमारा जो 2 है इसको c square से multiply करेंगे तो यह हो जाएगा 2 c का square है अब यह वाली जो हमारी value मिली है यह equation बनी है यहाँ से क्या conclusion निकाला जा सकता है देखो guys b का square है इसके factors क्या हो सकते हैं b square कौन से number से divisible हो सकता है इस तरफ जो भी numbers होंगे, उनसे यह divide हो सकता है, यहाँ पर है 2, यानि कि b square 2 का divisible होगा, 2 से यह divide हो सकता है, तो यहाँ पर यह conclusion जो भी निकलता है, वो मैं लिखता हूँ, b square is divisible by 2, b square जो है, वो 2 से divide हो सकता है, क्योंकि 2 इसका, फैक्टर है, अगर b square 2 का divisible है, तो b is also divisible by 2, b भी 2 से divide हो सकता है, यह हमारा हो गया guys, यहाँ पर second conclusion है, starting में हमने क्या माना था, starting में हमने माना था, कि a और b हमारे co-prime है, यानि कि 1 के अलावा, यह किसी भी दूसरे number से divide नहीं हो सकते हैं, लेकिन अगर हम first वाली equation को देखें, और second वाली equation से, जो भी हमने conclusion निकाले हैं, a, 2 से डिवाइड हो सकता है, B 2 से डिवाइड हो सकता है, 1 के अलावा दोनों नंबर्स किसी और नंबर से भी डिवाइड हो रही है, तो ये co-prime नहीं हुए, यानि कि ये हमारा एक गलत assumption हो गया, कि root 2 A अपन B के equal है, A और B का common factor यहाँ पर 1 के अलावा, 2 भी निकल के आता है, B भी यहाँ पर 2 से डिवाइड हो सकता है, A and B having common factor, 2 starting में हमने माना था कि a और b हमारे co prime है इनका 1 के अलावा कोई भी other common factor नहीं है लेकिन बाद में हमें पता चलता है कि 2 b a और b दोनों का common factor है तो जो भी हमारा ये contradiction हमें मिलता है इस question में ये हमारे गलत assumption की वज़े से है starting में हमने assume कर लिया था कि root 2 हमारा एक rational number है जो कि rational number नहीं हो सकता इस contradiction की वज़े से तो यहाँ So this contradiction is arising because of our wrong assumption, हमने जो गलत assumption किया था starting में, उसकी वज़े से ये विरोधाबास हमें question में मिलता है, विरोधाबास दुबारे से बता देता हूँ, विरोधाबास क्या है, कि A और B का co-prime number है, यानि कि 1 के अलावा इनका कोई भी other factor नहीं है, लेकिन हमें तो 2 भी मिल जाता है इन assumption की वजह से हुआ है, हमने गलत assume किया कि root 2 एक rational number है, अब यह root 2 rational number नहीं है, तो definitely यह हो जाएगा, irrational number, last में लिख देंगे, therefore root 2 is irrational, इस तरह से prove किया जाना है, इस तरह के questions को, हमें root 2, root 3, root 5, root 7, इस तरह के जो भी numbers दिये होंगे, उनको इसी contradiction method से ही prove करना है, कि वो irrational है, बिल्कुल सिंपल सा मेथड है आप इसकी प्रैक्टिस करोगे तो बिल्कुली इजी होता चला जाएगा आपके लिए ये तो ये लास्ट कॉन इसी लास्ट कोंसेप्ट के साथ, introduction to real numbers हो जाता है, complete उमिद करूँगा सभी के सभी concept और formula जो भी explain किये गए थे, example के साथ सभी के सभी आपको समझ आए होंगे, अगर आए हैं तो वीडियो को like कर देना, अपने classmates के साथ share 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