Catatan Kuliah: Deret Geometri

Pengantar Deret Geometri

• Definisi: Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku yang memiliki rasio tetap antara suku-suku berturut-turut.
• Bentuk Umum: ( \Sigma aR^{n-1} ), dengan notasi dari n = 1 sampai tak hingga.
  • Contoh: Jika ( n = 1 ), suku pertama adalah ( a );
  • Jika ( n = 2 ), suku kedua adalah ( aR );
  • Jika ( n = 3 ), suku ketiga adalah ( aR^2 );
  • Dan seterusnya.

Jumlah Parsial Deret Geometri

• Formula: Untuk jumlah parsial deret geometri ( S_n ),
  • ( S_n = a(1 - R^n) / (1 - R) )
  • Metode perhitungan:
    1. Kalikan deret dengan rasio ( R ).
    2. Kurangi hasil perkalian dari deret awal.
    3. Sederhanakan untuk mendapatkan formula ( S_n ).

Sifat Kekonvergenan Deret Geometri

• Kriteria Konvergen:
  1. Jika ( |R| < 1 ):
     • Barisan ( R^n ) konvergen ke 0.
     • Deret ( S_n ) konvergen ke ( a / (1 - R) ).
  2. Jika ( |R| > 1 ):
     • Barisan ( R^n ) divergen.
     • Deret ( S_n ) divergen.
• Kesimpulan: Deret geometri konvergen atau divergen tergantung pada nilai rasio ( R ).

Bukti Kekonvergenan

• Untuk Barisan:

  • Analisis limit ( n \to \infty ) dari ( aR^{n-1} ).
  • Jika ( |R| < 1 ), maka limit menuju 0; jika ( |R| > 1 ), maka limit menuju tak hingga.

• Untuk Deret:

  • Analisis limit ( n \to \infty ) dari ( S_n ):
    • Jika ( |R| < 1 ), deret konvergen ke ( a / (1 - R) ).
    • Jika ( |R| > 1 ), deret divergen.

Simpulan dan Aplikasi

• Penggunaan Tabel: Gunakan tabel nilai ( R ) untuk menentukan kekonvergenan dengan cepat.
• Aplikasi: Pemahaman sifat-sifat ini memudahkan analisis deret geometri dalam berbagai konteks.

Catatan ini bertujuan untuk membantu memahami konsep dasar dan penerapan deret geometri, serta bagaimana menentukan kekonvergenan deret dan barisannya.