גיאומטריה אנליטית במלבן

Overview

ההרצאה עסקה בשאלה בגיאומטריה אנליטית הקשורה למלבן, מציאת קודקודים, חישוב חיתוך אלכסונים, ושימוש בתכונות מלבן לחישוב שטח.

נתוני השאלה והיסודות

• במלבן ABCD, הקודקוד D נמצא על ציר X, כלומר ערך ה-Y שלו הוא 0.
• משוואות האלכסונים: AC: y=3 ; BD: y=(3/4)x - 1.5.
• A נמצא משמאל ל-C (שיעור ה-X של A קטן משל C).
• חיתוך האלכסונים מסומן כ־O.

מציאת קודקודי המלבן

• מציאת D: הצבה ב-BD: 0 = (3/4)x - 1.5 ⇒ x=2 ; D=(2,0).
• חיתוך האלכסונים: השוואת y: (3/4)x - 1.5 = 3 ⇒ x=6 ; O=(6,3).
• AC עובר דרך y=3, כל נקודה עליו ערך ה-Y שלה 3.

שימוש בתכונות מלבן ונוסחאות עזר

• במלבן, האלכסונים חוצים זה את זה: O הוא אמצע BD ו־AC.
• שימוש בנוסחת אמצע קטע למציאת B:
  • x: (2 + x_B)/2 = 6 ⇒ x_B=10 ;
  • y: (0 + y_B)/2 = 3 ⇒ y_B=6 ;
  • B=(10,6).
• שיעורי x של A ו-C מסומנים T ו־M.
• T + M = 12 (הסכום של קצות האלכסון ביחס לאמצע).
• ניצול שיפועים מאונכים (מכפלת שיפועים = -1) ליצירת משוואה נוספת.

פתרון מערכת למציאת A ו-C

• מתקבלים T=1, M=11 (כי A משמאל ל-C).
• A=(1,3) ; C=(11,3).

חישוב שטח המלבן

• שטח מלבן = אורך × רוחב.
• אורך AD: √[(1-2)² + (3-0)²] = √10.
• אורך DC: √[(11-2)² + (3-0)²] = √90.
• שטח: √10 × √90 = √900 = 30 (יחידות ריבועיות).

Key Terms & Definitions

• גיאומטריה אנליטית — תחום מתמטי בו מנתחים צורות באמצעות משוואות קואורדינטות ומימדי מיקום.
• נקודת אמצע — נקודה הנמצאת באמצע קטע, מחושבת כממוצע הקואורדינטות של הקצוות.
• אלכסון — קטע המחבר שני קודקודים לא סמוכים במרובע.

Action Items / Next Steps

• לתרגל שאלה דומה בגיאומטריה אנליטית.
• לסקור את נוסחת האמצע ושימוש במכפלת שיפועים מאונכים.