Corrélation des signaux

Introduction à la corrélation

• Mesure de la similitude entre deux signaux : XN et YN.
• Différence avec le produit de convolution : pas de retournement temporel, seulement un décalage.

Calcul de la corrélation

• En continu :

  • ( r_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) y^*(t - \tau) dt )
  • Décalage par rapport à ( t ) : ( \tau ).

• En discret :

  • Somme sur ( n ): ( R_{xy}(k) = \sum_{n} x(n) y^*(n - k) ).

Utilisation de la corrélation

• Mesure du degré de ressemblance entre deux signaux.
• Identification du décalage maximum entre les signaux lorsqu'ils se superposent parfaitement.
• Exemple :
  • Signal X décalé de 50 secondes par rapport à Y.
  • Pic de corrélation à 50 secondes, indiquant une superposition parfaite.

Corrélation pour les signaux périodiques

• Pour deux signaux périodiques de même période (N), la corrélation est également périodique.
• ( R_{xy}(k) ) sera périodique de période N._

Exemple de mesure de similitude

• Signal aléatoire X1 et son décalage Y.
• Corrélation montre un pic à 50 secondes, indiquant que les signaux sont similaires à ce décalage.
• Mémoire : La durée de ressemblance entre le signal et sa version décalée.

Autocorrélation

• Mesure de la similitude d'un signal avec lui-même décalé : ( R_{xx}(k) = \sum_{n} x(n) x^*(n - k) ).
• Propriétés :
  • L'autocorrélation est paire.
  • Durée de l'autocorrélation : ( 2N - 1 ) pour un signal de longueur N.*

Propriétés de la corrélation

• ( R_{xx}(0) ) représente l'énergie du signal.
• Maximum de l'autocorrélation à ( k = 0 ).
• Autocorrélation symétrique._

Applications de la corrélation

1. Contrôle aérien :
   • Utilisation d'ondes pour déterminer la distance d'un objet basé sur le temps d'aller-retour.
2. Échographie :
   • Corrélation entre le signal émis et le signal reçu pour une meilleure interprétation des résultats.
3. Détection de bruit :
   • Identification de signaux cachés dans du bruit en analysant la forme de la corrélation.

Conclusion

• La corrélation est un outil puissant pour évaluer la ressemblance entre signaux, identifier des décalages, et filtrer le bruit dans les applications pratiques.