Analyse et applications de la corrélation des signaux

Alors, on va voir maintenant la corrélation de ces nombreuses applications. En fait, c'est une mesure qui nous permettra de calculer la ressemblance entre deux signaux. Le premier signal, c'est XN et le deuxième, c'est le signal YN. Alors, elle présente des noms en similitude avec le produit de convolution, sauf qu'ici, regardez, c'est une sommation qui se fait sur N. Donc, le premier signal… ne subit pas de retournement, il en est de même pour le deuxième, il subit juste un décalage. Alors que dans un produit de convolution, vous avez le signal, le deuxième signal, qui subit un retournement temporel et un décalage. Non, là, ici, ce n'est pas le cas. Donc, en fait, les deux signaux sont décalés juste l'un par rapport à l'autre, et suivant le décalage, on va mesurer cette ressemblance qui peut être plus ou moins forte, donc suivant le décalage. Alors, je vais le dessiner comme ça, voilà mon premier signal. J'en ai un deuxième, on va supposer que ça c'est xn, puis j'ai un deuxième signal par exemple qui évolue comme ça, ça c'est yn, et bien on va faire coulisser ce signal le long de celui-là et on va calculer la surface commune. Donc si je suis en continu, je vais calculer rxy de taux, et bien ce sera l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini, x de t, y conjugué de t moins taux, et j'intègre. par rapport à dt. Puisque la variable, c'est t, donc il n'y a pas de retournement temporel, uniquement un décalage par rapport à t, un décalage qui est voto. De la même façon ici, quand on discrète, c'est une sommation qui se fait sur n, et j'ai un décalage de k. Bien, alors à quoi sert cette mesure ? En fait, cette mesure, bien que simple, c'est la somme d'un produit, elle va nous permettre de mesurer le degré de ressemblance entre deux signaux. C'est-à-dire, si j'ai deux signaux qui se ressemblent à un instant donné, à cet instant donné, je le saurai et je vais trouver un maximum. Donc ici, c'est l'expression qu'on a dans le cas où c'est un signal quelconque. Dans le cas où c'est un signal périodique, on peut aussi calculer cette corrélation, mais on va le calculer sur une période. Bien sûr, on va le faire pour des signaux qui auraient la même période, c'est-à-dire ici, X1, c'est un signal qui est périodique de période N. Y de N est un signal périodique de période N. Donc, comme ils sont tous deux périodiques, leur corrélation sera périodique parce que dès que vous allez faire un décalage qui aura du même degré, qui sera du même décalage, le décalage sera du même ordre de grandeur que N, on va retomber sur la même période. Donc, il est logique que ce soit périodique de période N. Maintenant, on va voir juste un exemple comment cette mesure de similitude va nous donner des informations sur deux signaux. Alors ici, j'ai pris un exemple, j'ai pris un signal aléatoire. Donc, c'est le premier signal, le voici. Ça, c'est X1. Ensuite, j'ai pris le même signal, sauf que je l'ai décalé de 50 secondes. Mais le décalage, je l'ai fait dans ce sens, c'est-à-dire ce signal-là, j'ai fait un décalage comme ça, de 50 secondes. Donc, si vous regardez bien, Si je regarde par exemple cette partie-là, c'est exactement la même. Si je ne me trompe pas, alors c'est celle-là. Voilà, cette partie-là, c'est celle-là. Donc, il y a un décalage de 50 secondes. Donc, celui-ci, je peux considérer que ce signal est la version décalée de celui-là. Donc, si je regarde maintenant la corrélation, voilà ce que je trouve. En fait, j'ai calculé la corrélation entre Y et X. La voici. Alors, on remarque que quand on a mesuré la similitude entre les deux signaux, qu'est-ce qu'on a trouvé ? Pour tous les décalages, c'est-à-dire ça, c'est votre K ici. Ça, je l'ai dessiné en fonction de N. Et ça, c'est mon décalage K. Donc, ce que je trouve ici, c'est R, Y, X, le K. Eh bien, je vois ici que lorsque je le décale de 50 secondes, voilà, j'ai un pic au niveau de 50 secondes. Ça veut dire qu'ici, les deux signaux... puisqu'ils se superposent totalement. Donc, quand vous allez les superposer, chaque point se superpose, c'est-à-dire avec un 50 secondes. Si vous prenez celui-ci, vous le décalez maintenant de 50, puisque j'ai calculé RYX de K, vous allez trouver une superposition parfaite. Cette superposition parfaite fait que chaque point sera multiplié par lui-même. Donc, c'est un peu comme si vous étiez en train de calculer une énergie, puisque chaque point, quand je vais calculer RYX de K, Si je décale ce signal-là de 50 secondes, si je décale celui-ci de 50 secondes, donc au moment où celui-ci sera décalé de 50 secondes, cette partie va se superposer à celle-là et il en sera de même pour toutes. Donc, point par point. Du coup, je vais avoir ici, c'est comme si j'élevais chaque valeur au carré et donc j'aurais essayé le maximum en 50 secondes. Remarquez qu'ici, tout le reste... possède des valeurs très très faibles. Donc, on dit que c'est un signal décorrélé, c'est-à-dire qu'il ne ressemble à lui-même qu'au moment où le décalage est... Il y a la superposition parfaite. On parle même d'effet mémoire. On peut dire de ce signal-là qu'il n'y a pas de mémoire, du fait qu'il ne se ressemble, il ne ressemble à lui-même qu'au moment où le décalage est exactement le même. Voilà pour l'utilisation de la corrélation. Donc, si vous trouvez une forme, par exemple, qui est comme ça, par exemple, et puis tout le reste, c'est des petites valeurs, vous direz que la mémoire vaut la durée que vous allez trouver ici. Ici, par exemple, ça fait 100 secondes. On parle d'effet mémoire. Ça, c'est pour, en général, donc si vous devez calculer la corrélation, c'est cette expression qu'il faudra employer. Maintenant, on va voir comment on la calcule numériquement, monsieur, à travers un exemple. Ici, alors pour avoir... Pour parler des propriétés, je préfère d'abord faire l'exemple et puis on va retrouver ces propriétés ensemble. Alors, on a dit que, donc si je reprends l'expression, alors je remets la notation, je reprends, alors je vais zoomer pour pouvoir. Pour avoir une meilleure visibilité, je remets la notation. Bien, donc nous, qu'est-ce qu'on nous dit ? On nous dit que pour faire la corrélation, il faudrait donc prendre un des signaux, le garder tel quel, et puis pour le deuxième, le décaler. Là, je vais calculer ce qu'on appelle l'autocorrélation. Alors, quand on dit auto, c'est la mesure de similitude d'un signal avec une version décalée de lui-même, avec l'intercorrélation, l'intercorrélation, ou dans certains ouvrages, on trouve le mot corrélation. Donc, avec la corrélation, on parle de deux signaux, c'est-à-dire on va calculer Rxy de k. C'est 100 dxn y conjugué de n moins k. Si c'est une auto, ça veut dire que y, c'est x. Bien. Alors, à travers cet exemple, je vais le faire coulisser. En même temps, je vais calculer pas à pas. Donc, qu'est-ce qu'on a dit ? On a dit n des signaux. Donc, ça, c'est mon signal originel. Je vais le mettre comme ça. Ça, c'est mon signal original. Je suis, donc, parce que je veux calculer une autocorrelation, donc je vais prendre le même signal et le décaler de K, sachant que, qu'est-ce que vous devez écrire ? Si ça, c'est le signal original, celui qui est en bleu ciel, donc celui-ci, c'est une variation décalée. On a dit, vous prenez chaque point, donc ici, vous mettez comme si ça, c'était égal à zéro, et vous trouverez le décalage. Je dis N moins K vaut zéro. Si N moins K vaut zéro, alors ça veut dire que je vais écrire ici, donc N moins K, ça veut dire que mon décalage, vos K. Donc, je vais prendre tout chaque point et je vais lui rajouter K. Ça, c'est zéro. Donc, ici, voilà mon K. Ici, ce serait K plus 1, K plus 2, K plus 3, K moins 1. Et qu'est-ce que je vais faire ? Je suis censée trouver une fonction de K. Donc, je vais tester toutes les valeurs de K, soit K de moins l'infini à plus l'infini. Alors, je regarde ici. Si je reprends ce signal, si je prends K ici, Alors, qu'est-ce qui se passe ? Si K est ici, je suis censé faire la sommation du produit point par point. Et si je regarde point par point, quand ce signal, ces valeurs existent, elles ne sont pas nulles, ici, l'autre signal est nul. Donc, je vais multiplier des valeurs différentes de zéro par des valeurs qui sont nulles. Donc, jusque-là, je vais trouver zéro. N'oubliez pas qu'on est en discret. Ça veut dire que pour étudier tous les cas, je vais prendre ça et je vais le faire avancer pas à pas. Donc, là, je ne l'ai pas noté, mais c'est comme si ici, vous aviez des zéros partout. Toutes ces valeurs sont nulles. Bien. Donc, tant que je suis là, le produit est nul. Je fais avancer et je le fais avancer d'un pas de 1. Donc là, le produit est toujours nul. Un pas de 1. On passe à le prochain pas. Ils sont encore nuls. Je le fais encore avancer d'un pas de 1. Là. Je vois que lorsque celui-ci existe, celui-là vaut 0, donc je n'ai encore aucun point. Je continue, je le fais encore avancer d'un pas de 1. Alors, pareil, ça fois ça, c'est nul. Ça fois ça, ça me fait 0. Je n'ai toujours pas de point. Je vais encore le faire avancer. Alors, quand il est là, pareil, quand celui-ci est nul, je le multiplie par une quantité qui n'est pas nulle, je vais trouver 0 fois quelque chose, ça me fait 0. Ici, c'est 0 fois quelque chose qui n'est pas nul. Ça me fait aussi 0. Donc, le premier cas où je vais avoir la multiplication de deux points non nuls, c'est je fais encore avancer d'un pas de 1. C'est ce cas-là. Ici, en fait, à ce moment-là, regardez, ça fois ça, ça me fait 0. Je rajoute ma notation. Donc, dans ce cas-ci, celui-ci par celui-là, c'est nul. Celui-ci par celui-là, c'est 0. Par contre, ce point multiplié par ce point va me donner quelque chose. Alors, ce quelque chose, c'est combien ? J'ai oublié d'écrire les amplitudes. Ici, l'amplitude, c'est 1. Là, c'est 2. Ici, l'amplitude, c'est 3. Je vais multiplier 3 par 1. Ça me fait... C'est pour quel cas ? Ici, que vaut K ? J'ai dit, je regarde là. Là, si ça, c'est 0, ça, c'est moins 1, ça, c'est moins 2. Pour K qui vaut moins 2, qu'est-ce que je trouve ? Je trouve que RX de moins 2. Qu'est-ce que ça vaut ? Ça vaut ce point, celui-là. Les amplitudes, c'est 3 fois 1. Donc, je trouve 3. Je continue. Je vais encore le décaler. d'un pas de 1, donc je reprends ça et je vais décaler d'un pas de 1. Alors, je suis dans quel cas ? Alors, c'est un pas de 1. Alors, je regarde. Alors, j'ai ce point. Donc, j'aurai ce point fois ce point plus ce point fois ce point. Je regarde parce que ça, c'est… 3 fois 0. Et là, ce point qui vaut 1, c'est 1 fois 0. Et je suis pour quelle valeur de K ? Je regarde ici. K vaut moins 1. Donc, pour K qui vaut moins 1, je trouve RX de moins 1 qui vaut 3 fois 2 plus ce point. C'est 2 fois 1. Plus 2 fois 1, ce qui me donne 6. Plus 2, ce qui me donne 8. Je ne sais pas pourquoi j'ai écrit 9. Donc 6 plus 2, ça me fait 8. Je continue. Donc je prends toujours ça et je vais décaler, faire avancer d'un pas de 1. Donc j'essaie de faire avancer. Cette fois-ci, les deux signaux se superposent. Et je sais quel décalage. Il n'y a plus de décalage. Je suis à K qui vaut 0. Donc ici maintenant, K vaut 0. Donc, c'est Rx, x de 0. Qu'est-ce que ça vaut ? Chaque point est superposé à lui-même. Donc, ça me fait 3 au carré, plus 2 au carré, plus 1. Ça me fait 9 plus 4. Donc, ça me fait 14. Et si on a calculé, qu'est-ce qu'on vient de faire ? On va prendre chaque valeur au carré. Donc, c'est comme si j'avais fait 101 dx de n au carré. Pour ça... pour un signal réel, c'est l'énergie. Dans le cas où il serait complexe, il faut écrire X1 fois X1 conjugué. Donc, ce qui ferait somme des X1, mais vous mettrez mon module au carré. N'empêche, ici, c'est un cas réel, donc je viens de trouver l'énergie. Donc, lorsque K est égal à 0, ça vaut l'énergie. On vient de retrouver la première propriété et déduire la deuxième. Et donc, il sera forcément maximum en 0 quand vous superposez des points. À quel moment ? D'abord, c'est le moment où vous avez le plus de points. Et en plus, ici, chaque valeur est élevée au carré. Vous ne pouvez pas trouver plus. Puisqu'ici, quand les valeurs se superposent, donc il n'y a pas des valeurs qui sont nulles. Ici, j'ai un maximum de points. Maintenant, j'ai fait ça au carré, plus ça, plus ça au carré. J'ai trois points. J'ai élevé au carré. Donc, vous faites une sommation de quantités positives. Donc, ce sera toujours maximum en zéro. Je continue. Je vais juste… corriger ça. Donc, 3 fois 2, ça fait 6, plus 2, ça fait 8, et pas 9. Bien. Je vais juste effacer ces quantités pour finir. Alors, je reprends. Je vais juste l'ajuster, mon dessin. Je continue. Je le fais encore avancer. Donc, toujours celui qui est... Je vais le faire... Ça ne marche pas. Je vais le faire avancer de 1. Non, ce n'est pas celui-là que je voulais faire avancer. Alors, celui-là, je n'arrive pas à le... Voilà, on était là. On va le faire avancer encore avec un pas de 1. Donc, je suis dans quel cas pour ça ? Ça, c'est pour quelle valeur de k ? Ici, puisqu'on a dit que ça, c'est 0, le décalage subit est un décalage de k. Donc, k ici, il se trouve là. Donc, ça, c'est pour k qui vaut 1. Pour k qui vaut 1, alors... Là, je multiplie par 0, donc je ne le compte pas. Ici, je multiplie 3 par 2, donc Rx de 1. alors je recommence donc alors car qui vaut ici qu'à vous un Alors, qu'est-ce qui se passe ? Ça me fait trois fois. Alors, ça me fait Rx de 1. Alors, c'est trois fois deux plus deux fois un, ce qui me fait également huit. Donc, j'avais trouvé huit. Je retrouve huit. Il me reste encore un cas à traiter. Donc, je décale encore avec un pas de un. Alors, un pas de 1. Alors ici, que vaut k ? k vaut 2 maintenant, puisque je regarde où se trouve le trait ici. Donc voilà, c'est k qui vaut 2. Alors, ça fois ça, c'est 0. Ça fois ça, c'est 0. J'ai 3 fois 1. Donc pour k égale à 2, alors rx de 2, c'est combien ? C'est 3 fois 1. Et donc c'est 3. Ensuite, ce point sera multiplié par 0, celui-ci par 0, donc je n'ai plus rien. Bien. Je vais encore le décaler d'un pas de 1. Cette fois-ci, quand l'un a une valeur non nulle et l'autre a une valeur qui vaut 0, donc ça fois ça, ça fait 0, ça fois ça, ça fait 0, ça fois ça, 0, 0, 0, le signal ne vaut, c'est-à-dire toutes les valeurs pour R et X. Donc, pour k, on vient de voir que pour k qui est plus petit que moins 3. Donc, pour là, donc Rx de k avec k inférieur ou égal à moins 3, c'était égal à 0. C'était la partie qui était négative ici. Et là, on vient de voir que pour Rx de k avec k supérieur ou égal à 3, c'est également 0. Alors, deuxième chose, qu'est-ce qu'on a dit ? On a dit, donc celle-là, on a vérifié. Rx de 0, c'est la superposition parfaite. Et je retrouve l'énergie. Donc, il est logique qu'il soit un maximum en 0 puisque c'est la somme de carré. Ensuite, maintenant, regardez. Si vous remarquez ici, Rx de 2, c'est Rx de moins 2. Donc, je peux écrire ça, ça vaut Rx de 2. Rx de moins 1, c'est Rx de 1. Donc, je peux écrire ça, c'est Rx de 1. Ce qui veut dire que l'autocorrelation des signales qui iraient les perdent. On peut le voir ici. Je reprends juste ce dessin-là. Si je prends cette carte, regardez. Ce cas-ci, quand les deux signaux sont comme ça. Donc ça, c'est pour K égal à 1. Faire ce dessin-là, regardez comment ils sont décalés, juste d'un pas, c'est deux droites parallèles. Prenez ce cas, et celui-là, c'est le même. Vous avez deux droites parallèles avec un pas de 1. La même chose pour 2. Regardez, si je prends quand c'est égal à 2, j'ai deux droites parallèles, d'accord, avec un espacement de deux points. Je le prends ici, pour moins 2. Pareil, j'ai aussi deux droites parallèles avec un pas de 2. Donc, c'est les liens normaux lorsque je décale dans ce sens. Dans celui-là, je retrouve la multiplication des mêmes points. Voilà, c'était pour pouvoir vérifier que l'autocorrélation est bien réelle. Si elle est réelle, c'est normal, vous multipliez de réelle. Vous n'avez plus de conjugué, c'est réel. En plus, elle est paire. Autre chose, on me dit que la durée, si le signal comporte N valeurs, l'autocorrélation comportera 2N-1. On peut le vérifier ici, vous avez trois points non nuls. 1, 1, 2, 3. Donc, votre signal comporte trois points. On vient de voir que l'autocorrélation, voilà ce qu'on a trouvé. Cinq points. Si je fais 2 fois 3 moins 1, je trouve bien 5. C'est 2 fois N moins 1. Dans le cas où c'est une intercorrélation, c'est-à-dire que vous avez un signal qui vaut, si Xn a une longueur de n et Yn a une longueur de m, l'autocorrélation Rxy de k, ce sera n plus m moins a. Voilà pour l'autocorrélation d'un signal qui n'est pas périodique. Maintenant, on va voir un autre exemple. Dans le cas où votre signal est périodique, vous allez trouver Une autocorrelation qui le sera également. Je crois que j'ai d'abord mis un autre exemple. calculé avec MATLAB et Python. Donc, j'ai gardé la même chose, sauf qu'ici, c'est un signal carré. Donc, regardez ici, c'est un signal carré. Ici, ça se rejoint, c'est parce qu'on a fait une interpolation. Donc, c'est un signal carré. Comment on a créé ce signal ? Je mettrai tous ces programmes sur la page description. Donc, on a mis 20, 0. Les voici, ici, il y a 20, 0. Ensuite, on a créé un tableau comportant 20, 0. Ensuite, 10, 1. Ensuite, encore 20 0. Et on va calculer l'autocorrelation comme on l'a calculée. Donc ici, c'est juste les trois tracés que vous voyez là. Là, c'est le tracé de X. Celui-là, c'est T en fonction de X. Et celui-ci, en utilisant STEM. STEM vous dessine des points. Quand vous mettez plot, il fait une interpolation. C'est pour ça qu'il a joint ici le 0 et le 1. Pour calculer la corrélation avec MATLAB, la fonction s'appelle X-Core. Quand vous écrivez X-Core X, ça veut dire qu'il calcule une autocorrelation. Si vous voulez calculer une corrélation, ou ce qu'on appelle aussi une intercorrélation, il faudra écrire X-corps, XY. Lorsque vous ne précisez qu'un élément, il va calculer l'autocorrélation de X. Ensuite, qu'est-ce qu'on a fait ? On a créé l'axe des temps. Pourquoi on a créé un axe des temps ? Parce que le signal, celui-ci, il vaut 2N-1. Donc ici, regardez, ça c'est N-1, et ça c'est comme si c'était moins N-1. Rappelez-vous qu'il va pas, il va au maximum. C'est zéro, il va aller toujours de moins n moins 1 jusqu'à n moins 1. On retrouve bien les propriétés, à savoir que, ici, le signal est maximum en zéro, et que c'est l'énergie, il faudra le calculer à partir de là. Ensuite, qu'est-ce qu'on retrouve ? On retrouve que le signal est, voilà, il y a une symétrie ici par rapport à cet axe, voilà, ce que vous avez de ce côté, c'est ce que vous avez de celui-ci, et la durée qui vaut, donc, ce qu'on vient de dire ici, si vous faites n moins 1, moins moins n moins 1. Vous allez trouver 2n-1. N'oubliez pas que vous passez aussi par 0, donc vous avez 2n-1. Alors, normalement, ce même programme, je l'ai repris en pitant, d'accord ? Donc, en pitant, qu'est-ce qui va se passer ? Je vais juste effacer les dessins. Alors, en pitant le même programme, il faut oublier que quand on utilise des fonctions, il faut inclure les bibliothèques. Ici, il n'y a pas. Il y a tout ce qu'il y a dedans, c'est toutes les fonctions qui permettent de faire quelques numériques. Le même programme que tout à l'heure, sauf qu'ici, au lieu de concaténer les deux fichiers, on fait appel à ce qu'on appelle la fonction concaténate. C'est exactement le même programme qui comporte 20, 0, 10, 1, 20, 0. Alors, ça, c'est pour les trois affichages. Ensuite, pour faire la corrélation, on fait appel à la fonction correlate. Pour Python, pour MATLAB, c'est XCOR. Pour Python, c'est correlate, sauf qu'elle est définie dans la bibliothèque NUPI. Quand on a... un porté, on l'appelle NP, donc il faut écrire NP.correlate. Ici, avec Python, on n'écrit pas X par défaut, donc c'est pour faire une autocorrelation, vous allez écrire XX. Si c'était une intercorrelation, vous écrirez XY. Et la même chose, on a ploté et puis on a même calculé, là ça vous permet de calculer l'énergie, puisque ça, c'est la valeur absolue au carré. Donc c'est comme absolue, c'est comme vous avez écrit la valeur absolue de X1 et vous aviez élevé au carré, et le somme, le voici. Ça vous permet donc de calculer l'énergie sous pétanque. Le programme que j'ai mis ici ne correspond pas à celui-là. Ici, j'ai fait le même test en prenant, au lieu de prendre une porte, cette porte, une fois, je l'ai écrite trois fois, c'est-à-dire que j'ai reproduit ça, je l'ai fait trois fois, pour avoir un signal périodique. Et on a vérifié ici que l'autocorrelation est également périodique. Là, en zéro, vous retrouvez la fameuse symétrie. Et en zéro, vous retrouverez non pas l'énergie, puisque c'est un signal périodique, vous allez retrouver la puissance. Rappelons qu'un signal périodique a une énergie infinie, puisque les surfaces ne se terminent pas. Là, sur une durée d'observation, tous les signaux sont énergie finie. Mais là, je suppose que ça ne se termine pas, c'est de moins l'infini à plus l'infini. C'est une somme de surface et elles sont infinies, c'est pour ça qu'on dit que c'est un signal à énergie finie. Mais lorsqu'il est périodique, il admet ce qu'on appelle une puissance et on peut la calculer. Bien, voici pour ces deux exemples comment on calculait l'autocorrélation. Maintenant, cette histoire de corrélation-autocorrélation, ça a d'énormes propriétés. Donc, entre autres, je vais juste effacer ici. Alors, un exemple tout simple. En fait, quand on fait, par exemple, quand on travaille sur une tour de contrôle, on essaie bien sûr... pour pouvoir aider au décollage et à l'atterrissage. Vous avez une tour de contrôle, vous avez un écran, puis on sait quel avion se trouve à telle distance et on peut faire des… qu'on appelle ça. On peut faire du contrôle aérien. Alors, comment ça se passe ? Comment on peut savoir qu'un avion se trouve exactement ici ? En fait, on émet une onde. Il y a une émission. Cette onde, dès qu'elle rencontre un obstacle, elle va revenir. Et puis, le temps qu'elle va mettre pour aller et revenir, c'est ce qu'on appelle le temps d'aller-retour, va me permettre de savoir à quelle distance se trouve l'objet en l'appliquant, sachant que D, c'est la vitesse, pas le temps. Si je suppose que, par exemple, je vais... Ce serait la vitesse de propagation dans l'air. Donc, si j'ai ce temps d'aller-retour, le temps d'aller-retour, donc si je veux déterminer la distance, il faudra que je prenne le temps d'aller-retour, je vais le diviser par deux et je trouverai à quelle distance se trouve mon objet. Je pourrais l'afficher sur un écran. En fait, ici, on a pris le même programme. Donc là, c'est sous Piton, puis là, c'est sous Matlab. Donc, pour simuler ça, en fait, cette onde qui est émise, qu'est-ce qui va se passer ? Donc, puisqu'elle va partout... courir un chemin et qu'elle va donc, une fois qu'elle a l'obstacle, elle va revenir. Donc, en fait, je vais récupérer ce que j'ai envoyé, mais sauf que ce que j'ai envoyé, donc je vais récupérer, on va supposer que le signal émis, c'est X1. Donc, en fait, Y1, c'est juste mon signal qui a été retardé, mais pas que. Donc, en fait, mon signal, c'est donc mon signal qui a été retardé d'une certaine quantité, sauf que l'énergie, puisqu'il a parcouru une distance, il va être atténué, parce qu'il a traversé des milieux. qui va subir une certaine atténuation. Mais je sais ce que j'ai émis, mais je ne sais pas si je vais recevoir tout ce qu'il y a émis sur cette fréquence. Donc, je vais recevoir aussi du bruit. Donc, voilà le signal reçu. Pour le simuler, qu'est-ce qu'on a fait ? Sous Matlab, on a fait un décalage. Ça, c'est mon décalage. Ici, mon K évo 50. Donc, on a pris le signal X qu'on a décalé. Ensuite, on lui a rajouté du bruit. Pareil ici. Ici, le cirque chiffre, c'est un décalage circulaire. C'est-à-dire que ça vous permet de décaler puisqu'il, à la fin, va venir au début. C'est pour ne pas… On le fait juste pour garder un signal qui a la même longueur. Donc, ici, c'est la même chose. Ça permet de faire subir un signal, de récupérer le signal décalé. Ici, j'ai rajouté du bruit. Alors, random, c'est ce qu'il y a aléatoire. Elles sont définies dans un pi. Donc, je suis obligée d'écrire np.random. Il vous permet de générer plusieurs lois. Ici, c'est une loi gaussienne. Donc, pour résumer, mon signal Y, qu'est-ce que c'est ? C'est le signal X décalé et puis ayant subi un retard. Donc, ici pareil, c'est le signal décalé ayant subi un retard. Alors, la question est pourquoi on fait ça ? En fait, vous, vous avez envoyé un signal qui fait ça. Par exemple, vous savez que vous avez envoyé ça. Sauf que vous, vous n'allez jamais recevoir ça. C'est sûr que vous n'allez pas recevoir ça puisqu'il a pris le temps de rencontrer l'obstacle et de revenir. Donc… C'est votre signal, il a été décalé dans le temps. Vous, non. Vous allez recevoir ça, mais plus le bruit. Donc, vous risquez de recevoir quelque chose qui fait ça. Allez savoir où se trouve votre signal. Parce que vous, ce qui vous intéresse, c'est le temps d'aller-retour. Vous voulez mesurer ça en temps. Ça connaissant le temps d'aller-retour, vous allez le diviser par deux et vous allez trouver la distance de l'objet. Vous pourrez l'afficher au bon endroit sur votre écran. Eh bien, en fait... comme vous allez recevoir ça, je vais juste effacer. Donc, on a simulé ça. En fait, un simple, alors, je vais le mettre ici. Voilà, en fait, ça, ça correspond à ce qu'on a simulé ici par programme. Donc, voilà le signal qui a été émis. Voilà, si je commence à zéro, c'est-à-dire, c'est comme si j'avais fait une porte de largeur 10 secondes. Voilà, elle est là. On a pris X de 1 à 10 qui vaut 1. Donc, ici, 10 secondes, puis tout le reste là est nul. Donc, ce signal, nous, on a voulu simuler un signal qui aurait percuté un obstacle et qui serait revenu. Donc, là, on a fait un décalage de 50. Il est là, sauf que ici, regardez ce qu'on a reçu. J'ai bien ma porte quelque part ici, ce signal-là, sauf qu'il est noyé dans le bruit. Et puis, je me dis, est-ce que ma porte, c'est plutôt ça, ça, plutôt ça ? On aurait tendance à dire que c'est ça, parce qu'ici, c'est maximum. Mais peut-être que c'est ça, peut-être que ça, c'est ma porte, mais qu'ici, elle a subi du bruit. Parce qu'elle se trouve ici. Alors, regardez ce qu'on a rajouté dans le programme. On a rajouté XCore, Y, X. On a fait la corrélation du signal Y avec le signal d'entrée. Pareil ici, pour le faire, on a écrit ici, sous Matlab, ça s'appelle XCore, sous le pétanque MP Correlate. Et regardez ce qu'on a affiché. Alors, ce fameux pic, maintenant, je le trouve bien. Tout le reste a été... grandement atténuée et ici rappelez-vous c'est une porte la corrélation d'une porte vous donne un triangle je retrouve un triangle ici j'ai retrouvé donc mon signal en faisant quoi en faisant une simple corrélation c'est un principe qui est utilisé dans tout ce qui est donc réduction du bruit pour une émission c'est comme par exemple quand on va faire en sonar quand on va faire une échographie ça traverse plusieurs milieux quand vous allez faire une échographie Vous traversez des tissus humains qui ne sont pas forcément d'intérêt. Vous voulez faire l'échographie d'un organe. Vous allez faire l'échographie du cœur. Donc, il va traverser plusieurs milieux. Donc, en fait, qu'est-ce qui se passe ? À la réception, il y a ce qu'on appelle un corrélateur. Donc, il y a une émission, une réception. Et la réception a un corrélateur qui fait quoi ? Qui va faire la corrélation entre le signal émis et le signal reçu pour vous donner un signal beaucoup plus facilement interprétable. Et ici, je trouve bien que c'est un décalage qui est à 50 secondes. Il suffira que je trouve le max de cette fonction et je peux le placer comme ça avec un seuil. C'est clairement un maximum ici, ce qui n'était pas le cas lorsque j'avais essayé d'interpréter directement le signal reçu. Une simple corrélation entre le signal émis et le signal reçu vous permettra d'avoir une meilleure lisibilité de votre signal. Alors, on a aussi une autre application de la corrélation. On va se poser un deuxième exemple. Alors, ici, en fait, qu'est-ce qu'on a fait ? On s'est posé la question, en fait, on a reçu un signal. Et puis, je parle de ce signal, donc le premier ici. En fait, ce signal-là, et on se pose la question, est-ce que c'est du bruit pur ? Ou est-ce qu'il n'y aurait pas un signal qui serait noyé dans le bruit ? Alors, en fait, comment ça se passe ? Si c'est du bruit pur, on l'avait vu dans l'autre exemple, on avait décalé le signal à 50 secondes. En fait, vous trouvez une corrélation, si c'est du bruit pur, et qui serait donc bruit pur, et là je sous-entends un bruit aléatoire. Si c'est un bruit aléatoire, quand on dit aléatoire, ça veut dire que ce n'est pas prévisible. En fait, le signal ne se ressemble à lui-même qu'avec un décalage lorsqu'il se superpose totalement à k égale à zéro. Parce que si c'est quelque chose d'aléatoire, c'est qu'il n'y a pas de lien. Cette valeur-là ne me donne aucune information comme on sera à la suivante. Du coup, vous trouvez un signal qui est comme ça. Dans l'autocorrélation, c'est plutôt comme ça. Ça, si c'était du bruit pur. Si ce n'est pas du bruit, s'il y a un signal qui est caché, vous allez trouver la corrélation du signal caché. Regardez ici, regardez ce qu'on trouve. On voit que c'est quelque chose qui a l'allure d'une sinusoïde. Je sais que dans ce signal-là, il y a un cosinus qui est noyé dans le bruit. C'est un cosinus noyé dans le bruit et je le retrouve. Alors qu'a priori, ce n'est pas évident de voir où est le cosinus. Donc, ça, c'est aussi une autre application de la corrélation. Si jamais vous doutez, vous avez recevu, là, j'ai généré un sinusoïde brûlé, donc j'ai pris un sinusoïde à laquelle j'ai rajouté un bruit. Si jamais vous avez un doute, il suffit de faire une corrélation. Si cette corrélation, vous trouvez un pic en zéro et qui le reste, ce sont des petites valeurs, alors vous saurez que c'est du bruit pur, signal aléatoire pur. Si vous trouvez, s'il y a un signal qui est caché, un signal déterministe à l'intérieur, vous trouverez sa forme et vous saurez qu'il y a un bruit. Un signal à l'intérieur, ce n'est pas que du signal aléatoire. Voilà, je finis avec cette explication sur la corrélation et de nombreuses autres applications. Je devrais envisager de te parler des vecteurs aléatoires dans un prochain cours.

Alors que dans un produit de convolution, vous avez le signal, le deuxième signal, qui subit un retournement temporel et un décalage. Non, là, ici, ce n'est pas le cas. Donc, en fait, les deux signaux sont décalés juste l'un par rapport à l'autre, et suivant le décalage, on va mesurer cette ressemblance qui peut être plus ou moins forte, donc suivant le décalage. Alors, je vais le dessiner comme ça, voilà mon premier signal. J'en ai un deuxième, on va supposer que ça c'est xn, puis j'ai un deuxième signal par exemple qui évolue comme ça, ça c'est yn, et bien on va faire coulisser ce signal le long de celui-là et on va calculer la surface commune.

Donc si je suis en continu, je vais calculer rxy de taux, et bien ce sera l'intégrale de moins l'infini à plus l'infini, x de t, y conjugué de t moins taux, et j'intègre. par rapport à dt. Puisque la variable, c'est t, donc il n'y a pas de retournement temporel, uniquement un décalage par rapport à t, un décalage qui est voto.

De la même façon ici, quand on discrète, c'est une sommation qui se fait sur n, et j'ai un décalage de k. Bien, alors à quoi sert cette mesure ? En fait, cette mesure, bien que simple, c'est la somme d'un produit, elle va nous permettre de mesurer le degré de ressemblance entre deux signaux.

C'est-à-dire, si j'ai deux signaux qui se ressemblent à un instant donné, à cet instant donné, je le saurai et je vais trouver un maximum. Donc ici, c'est l'expression qu'on a dans le cas où c'est un signal quelconque. Dans le cas où c'est un signal périodique, on peut aussi calculer cette corrélation, mais on va le calculer sur une période.

Bien sûr, on va le faire pour des signaux qui auraient la même période, c'est-à-dire ici, X1, c'est un signal qui est périodique de période N. Y de N est un signal périodique de période N. Donc, comme ils sont tous deux périodiques, leur corrélation sera périodique parce que dès que vous allez faire un décalage qui aura du même degré, qui sera du même décalage, le décalage sera du même ordre de grandeur que N, on va retomber sur la même période. Donc, il est logique que ce soit périodique de période N. Maintenant, on va voir juste un exemple comment cette mesure de similitude va nous donner des informations sur deux signaux.

Alors ici, j'ai pris un exemple, j'ai pris un signal aléatoire. Donc, c'est le premier signal, le voici. Ça, c'est X1.

Ensuite, j'ai pris le même signal, sauf que je l'ai décalé de 50 secondes. Mais le décalage, je l'ai fait dans ce sens, c'est-à-dire ce signal-là, j'ai fait un décalage comme ça, de 50 secondes. Donc, si vous regardez bien, Si je regarde par exemple cette partie-là, c'est exactement la même. Si je ne me trompe pas, alors c'est celle-là.

Voilà, cette partie-là, c'est celle-là. Donc, il y a un décalage de 50 secondes. Donc, celui-ci, je peux considérer que ce signal est la version décalée de celui-là.

Donc, si je regarde maintenant la corrélation, voilà ce que je trouve. En fait, j'ai calculé la corrélation entre Y et X. La voici. Alors, on remarque que quand on a mesuré la similitude entre les deux signaux, qu'est-ce qu'on a trouvé ? Pour tous les décalages, c'est-à-dire ça, c'est votre K ici.

Ça, je l'ai dessiné en fonction de N. Et ça, c'est mon décalage K. Donc, ce que je trouve ici, c'est R, Y, X, le K. Eh bien, je vois ici que lorsque je le décale de 50 secondes, voilà, j'ai un pic au niveau de 50 secondes. Ça veut dire qu'ici, les deux signaux...

puisqu'ils se superposent totalement. Donc, quand vous allez les superposer, chaque point se superpose, c'est-à-dire avec un 50 secondes. Si vous prenez celui-ci, vous le décalez maintenant de 50, puisque j'ai calculé RYX de K, vous allez trouver une superposition parfaite. Cette superposition parfaite fait que chaque point sera multiplié par lui-même.

Donc, c'est un peu comme si vous étiez en train de calculer une énergie, puisque chaque point, quand je vais calculer RYX de K, Si je décale ce signal-là de 50 secondes, si je décale celui-ci de 50 secondes, donc au moment où celui-ci sera décalé de 50 secondes, cette partie va se superposer à celle-là et il en sera de même pour toutes. Donc, point par point. Du coup, je vais avoir ici, c'est comme si j'élevais chaque valeur au carré et donc j'aurais essayé le maximum en 50 secondes.

Remarquez qu'ici, tout le reste... possède des valeurs très très faibles. Donc, on dit que c'est un signal décorrélé, c'est-à-dire qu'il ne ressemble à lui-même qu'au moment où le décalage est... Il y a la superposition parfaite. On parle même d'effet mémoire.

On peut dire de ce signal-là qu'il n'y a pas de mémoire, du fait qu'il ne se ressemble, il ne ressemble à lui-même qu'au moment où le décalage est exactement le même. Voilà pour l'utilisation de la corrélation. Donc, si vous trouvez une forme, par exemple, qui est comme ça, par exemple, et puis tout le reste, c'est des petites valeurs, vous direz que la mémoire vaut la durée que vous allez trouver ici. Ici, par exemple, ça fait 100 secondes.

On parle d'effet mémoire. Ça, c'est pour, en général, donc si vous devez calculer la corrélation, c'est cette expression qu'il faudra employer. Maintenant, on va voir comment on la calcule numériquement, monsieur, à travers un exemple. Ici, alors pour avoir... Pour parler des propriétés, je préfère d'abord faire l'exemple et puis on va retrouver ces propriétés ensemble.

Alors, on a dit que, donc si je reprends l'expression, alors je remets la notation, je reprends, alors je vais zoomer pour pouvoir. Pour avoir une meilleure visibilité, je remets la notation. Bien, donc nous, qu'est-ce qu'on nous dit ? On nous dit que pour faire la corrélation, il faudrait donc prendre un des signaux, le garder tel quel, et puis pour le deuxième, le décaler. Là, je vais calculer ce qu'on appelle l'autocorrélation.

Alors, quand on dit auto, c'est la mesure de similitude d'un signal avec une version décalée de lui-même, avec l'intercorrélation, l'intercorrélation, ou dans certains ouvrages, on trouve le mot corrélation. Donc, avec la corrélation, on parle de deux signaux, c'est-à-dire on va calculer Rxy de k. C'est 100 dxn y conjugué de n moins k.

Si c'est une auto, ça veut dire que y, c'est x. Bien. Alors, à travers cet exemple, je vais le faire coulisser. En même temps, je vais calculer pas à pas.

Donc, qu'est-ce qu'on a dit ? On a dit n des signaux. Donc, ça, c'est mon signal originel. Je vais le mettre comme ça.

Ça, c'est mon signal original. Je suis, donc, parce que je veux calculer une autocorrelation, donc je vais prendre le même signal et le décaler de K, sachant que, qu'est-ce que vous devez écrire ? Si ça, c'est le signal original, celui qui est en bleu ciel, donc celui-ci, c'est une variation décalée.

On a dit, vous prenez chaque point, donc ici, vous mettez comme si ça, c'était égal à zéro, et vous trouverez le décalage. Je dis N moins K vaut zéro. Si N moins K vaut zéro, alors ça veut dire que je vais écrire ici, donc N moins K, ça veut dire que mon décalage, vos K.

Donc, je vais prendre tout chaque point et je vais lui rajouter K. Ça, c'est zéro. Donc, ici, voilà mon K. Ici, ce serait K plus 1, K plus 2, K plus 3, K moins 1. Et qu'est-ce que je vais faire ? Je suis censée trouver une fonction de K.

Donc, je vais tester toutes les valeurs de K, soit K de moins l'infini à plus l'infini. Alors, je regarde ici. Si je reprends ce signal, si je prends K ici, Alors, qu'est-ce qui se passe ?

Si K est ici, je suis censé faire la sommation du produit point par point. Et si je regarde point par point, quand ce signal, ces valeurs existent, elles ne sont pas nulles, ici, l'autre signal est nul. Donc, je vais multiplier des valeurs différentes de zéro par des valeurs qui sont nulles. Donc, jusque-là, je vais trouver zéro.

N'oubliez pas qu'on est en discret. Ça veut dire que pour étudier tous les cas, je vais prendre ça et je vais le faire avancer pas à pas. Donc, là, je ne l'ai pas noté, mais c'est comme si ici, vous aviez des zéros partout. Toutes ces valeurs sont nulles.

Bien. Donc, tant que je suis là, le produit est nul. Je fais avancer et je le fais avancer d'un pas de 1. Donc là, le produit est toujours nul. Un pas de 1. On passe à le prochain pas. Ils sont encore nuls.

Je le fais encore avancer d'un pas de 1. Là. Je vois que lorsque celui-ci existe, celui-là vaut 0, donc je n'ai encore aucun point. Je continue, je le fais encore avancer d'un pas de 1. Alors, pareil, ça fois ça, c'est nul. Ça fois ça, ça me fait 0. Je n'ai toujours pas de point. Je vais encore le faire avancer.

Alors, quand il est là, pareil, quand celui-ci est nul, je le multiplie par une quantité qui n'est pas nulle, je vais trouver 0 fois quelque chose, ça me fait 0. Ici, c'est 0 fois quelque chose qui n'est pas nul. Ça me fait aussi 0. Donc, le premier cas où je vais avoir la multiplication de deux points non nuls, c'est je fais encore avancer d'un pas de 1. C'est ce cas-là. Ici, en fait, à ce moment-là, regardez, ça fois ça, ça me fait 0. Je rajoute ma notation.

Donc, dans ce cas-ci, celui-ci par celui-là, c'est nul. Celui-ci par celui-là, c'est 0. Par contre, ce point multiplié par ce point va me donner quelque chose. Alors, ce quelque chose, c'est combien ?

J'ai oublié d'écrire les amplitudes. Ici, l'amplitude, c'est 1. Là, c'est 2. Ici, l'amplitude, c'est 3. Je vais multiplier 3 par 1. Ça me fait... C'est pour quel cas ?

Ici, que vaut K ? J'ai dit, je regarde là. Là, si ça, c'est 0, ça, c'est moins 1, ça, c'est moins 2. Pour K qui vaut moins 2, qu'est-ce que je trouve ? Je trouve que RX de moins 2. Qu'est-ce que ça vaut ?

Ça vaut ce point, celui-là. Les amplitudes, c'est 3 fois 1. Donc, je trouve 3. Je continue. Je vais encore le décaler. d'un pas de 1, donc je reprends ça et je vais décaler d'un pas de 1. Alors, je suis dans quel cas ? Alors, c'est un pas de 1. Alors, je regarde.

Alors, j'ai ce point. Donc, j'aurai ce point fois ce point plus ce point fois ce point. Je regarde parce que ça, c'est… 3 fois 0. Et là, ce point qui vaut 1, c'est 1 fois 0. Et je suis pour quelle valeur de K ? Je regarde ici. K vaut moins 1. Donc, pour K qui vaut moins 1, je trouve RX de moins 1 qui vaut 3 fois 2 plus ce point.

C'est 2 fois 1. Plus 2 fois 1, ce qui me donne 6. Plus 2, ce qui me donne 8. Je ne sais pas pourquoi j'ai écrit 9. Donc 6 plus 2, ça me fait 8. Je continue. Donc je prends toujours ça et je vais décaler, faire avancer d'un pas de 1. Donc j'essaie de faire avancer. Cette fois-ci, les deux signaux se superposent. Et je sais quel décalage. Il n'y a plus de décalage.

Je suis à K qui vaut 0. Donc ici maintenant, K vaut 0. Donc, c'est Rx, x de 0. Qu'est-ce que ça vaut ? Chaque point est superposé à lui-même. Donc, ça me fait 3 au carré, plus 2 au carré, plus 1. Ça me fait 9 plus 4. Donc, ça me fait 14. Et si on a calculé, qu'est-ce qu'on vient de faire ?

On va prendre chaque valeur au carré. Donc, c'est comme si j'avais fait 101 dx de n au carré. Pour ça...

pour un signal réel, c'est l'énergie. Dans le cas où il serait complexe, il faut écrire X1 fois X1 conjugué. Donc, ce qui ferait somme des X1, mais vous mettrez mon module au carré.

N'empêche, ici, c'est un cas réel, donc je viens de trouver l'énergie. Donc, lorsque K est égal à 0, ça vaut l'énergie. On vient de retrouver la première propriété et déduire la deuxième. Et donc, il sera forcément maximum en 0 quand vous superposez des points.

À quel moment ? D'abord, c'est le moment où vous avez le plus de points. Et en plus, ici, chaque valeur est élevée au carré.

Vous ne pouvez pas trouver plus. Puisqu'ici, quand les valeurs se superposent, donc il n'y a pas des valeurs qui sont nulles. Ici, j'ai un maximum de points.

Maintenant, j'ai fait ça au carré, plus ça, plus ça au carré. J'ai trois points. J'ai élevé au carré. Donc, vous faites une sommation de quantités positives. Donc, ce sera toujours maximum en zéro.

Je continue. Je vais juste… corriger ça. Donc, 3 fois 2, ça fait 6, plus 2, ça fait 8, et pas 9. Bien.

Je vais juste effacer ces quantités pour finir. Alors, je reprends. Je vais juste l'ajuster, mon dessin. Je continue.

Je le fais encore avancer. Donc, toujours celui qui est... Je vais le faire... Ça ne marche pas.

Je vais le faire avancer de 1. Non, ce n'est pas celui-là que je voulais faire avancer. Alors, celui-là, je n'arrive pas à le... Voilà, on était là.

On va le faire avancer encore avec un pas de 1. Donc, je suis dans quel cas pour ça ? Ça, c'est pour quelle valeur de k ? Ici, puisqu'on a dit que ça, c'est 0, le décalage subit est un décalage de k.

Donc, k ici, il se trouve là. Donc, ça, c'est pour k qui vaut 1. Pour k qui vaut 1, alors... Là, je multiplie par 0, donc je ne le compte pas.

Ici, je multiplie 3 par 2, donc Rx de 1. alors je recommence donc alors car qui vaut ici qu'à vous un Alors, qu'est-ce qui se passe ? Ça me fait trois fois. Alors, ça me fait Rx de 1. Alors, c'est trois fois deux plus deux fois un, ce qui me fait également huit. Donc, j'avais trouvé huit. Je retrouve huit.

Il me reste encore un cas à traiter. Donc, je décale encore avec un pas de un. Alors, un pas de 1. Alors ici, que vaut k ?

k vaut 2 maintenant, puisque je regarde où se trouve le trait ici. Donc voilà, c'est k qui vaut 2. Alors, ça fois ça, c'est 0. Ça fois ça, c'est 0. J'ai 3 fois 1. Donc pour k égale à 2, alors rx de 2, c'est combien ? C'est 3 fois 1. Et donc c'est 3. Ensuite, ce point sera multiplié par 0, celui-ci par 0, donc je n'ai plus rien. Bien. Je vais encore le décaler d'un pas de 1. Cette fois-ci, quand l'un a une valeur non nulle et l'autre a une valeur qui vaut 0, donc ça fois ça, ça fait 0, ça fois ça, ça fait 0, ça fois ça, 0, 0, 0, le signal ne vaut, c'est-à-dire toutes les valeurs pour R et X.

Donc, pour k, on vient de voir que pour k qui est plus petit que moins 3. Donc, pour là, donc Rx de k avec k inférieur ou égal à moins 3, c'était égal à 0. C'était la partie qui était négative ici. Et là, on vient de voir que pour Rx de k avec k supérieur ou égal à 3, c'est également 0. Alors, deuxième chose, qu'est-ce qu'on a dit ? On a dit, donc celle-là, on a vérifié.

Rx de 0, c'est la superposition parfaite. Et je retrouve l'énergie. Donc, il est logique qu'il soit un maximum en 0 puisque c'est la somme de carré. Ensuite, maintenant, regardez. Si vous remarquez ici, Rx de 2, c'est Rx de moins 2. Donc, je peux écrire ça, ça vaut Rx de 2. Rx de moins 1, c'est Rx de 1. Donc, je peux écrire ça, c'est Rx de 1. Ce qui veut dire que l'autocorrelation des signales qui iraient les perdent.

On peut le voir ici. Je reprends juste ce dessin-là. Si je prends cette carte, regardez.

Ce cas-ci, quand les deux signaux sont comme ça. Donc ça, c'est pour K égal à 1. Faire ce dessin-là, regardez comment ils sont décalés, juste d'un pas, c'est deux droites parallèles. Prenez ce cas, et celui-là, c'est le même.

Vous avez deux droites parallèles avec un pas de 1. La même chose pour 2. Regardez, si je prends quand c'est égal à 2, j'ai deux droites parallèles, d'accord, avec un espacement de deux points. Je le prends ici, pour moins 2. Pareil, j'ai aussi deux droites parallèles avec un pas de 2. Donc, c'est les liens normaux lorsque je décale dans ce sens. Dans celui-là, je retrouve la multiplication des mêmes points. Voilà, c'était pour pouvoir vérifier que l'autocorrélation est bien réelle. Si elle est réelle, c'est normal, vous multipliez de réelle. Vous n'avez plus de conjugué, c'est réel.

En plus, elle est paire. Autre chose, on me dit que la durée, si le signal comporte N valeurs, l'autocorrélation comportera 2N-1. On peut le vérifier ici, vous avez trois points non nuls.

1, 1, 2, 3. Donc, votre signal comporte trois points. On vient de voir que l'autocorrélation, voilà ce qu'on a trouvé. Cinq points.

Si je fais 2 fois 3 moins 1, je trouve bien 5. C'est 2 fois N moins 1. Dans le cas où c'est une intercorrélation, c'est-à-dire que vous avez un signal qui vaut, si Xn a une longueur de n et Yn a une longueur de m, l'autocorrélation Rxy de k, ce sera n plus m moins a. Voilà pour l'autocorrélation d'un signal qui n'est pas périodique. Maintenant, on va voir un autre exemple.

Dans le cas où votre signal est périodique, vous allez trouver Une autocorrelation qui le sera également. Je crois que j'ai d'abord mis un autre exemple. calculé avec MATLAB et Python. Donc, j'ai gardé la même chose, sauf qu'ici, c'est un signal carré. Donc, regardez ici, c'est un signal carré.

Ici, ça se rejoint, c'est parce qu'on a fait une interpolation. Donc, c'est un signal carré. Comment on a créé ce signal ? Je mettrai tous ces programmes sur la page description. Donc, on a mis 20, 0. Les voici, ici, il y a 20, 0. Ensuite, on a créé un tableau comportant 20, 0. Ensuite, 10, 1. Ensuite, encore 20 0. Et on va calculer l'autocorrelation comme on l'a calculée.

Donc ici, c'est juste les trois tracés que vous voyez là. Là, c'est le tracé de X. Celui-là, c'est T en fonction de X.

Et celui-ci, en utilisant STEM. STEM vous dessine des points. Quand vous mettez plot, il fait une interpolation.

C'est pour ça qu'il a joint ici le 0 et le 1. Pour calculer la corrélation avec MATLAB, la fonction s'appelle X-Core. Quand vous écrivez X-Core X, ça veut dire qu'il calcule une autocorrelation. Si vous voulez calculer une corrélation, ou ce qu'on appelle aussi une intercorrélation, il faudra écrire X-corps, XY.

Lorsque vous ne précisez qu'un élément, il va calculer l'autocorrélation de X. Ensuite, qu'est-ce qu'on a fait ? On a créé l'axe des temps.

Pourquoi on a créé un axe des temps ? Parce que le signal, celui-ci, il vaut 2N-1. Donc ici, regardez, ça c'est N-1, et ça c'est comme si c'était moins N-1. Rappelez-vous qu'il va pas, il va au maximum.

C'est zéro, il va aller toujours de moins n moins 1 jusqu'à n moins 1. On retrouve bien les propriétés, à savoir que, ici, le signal est maximum en zéro, et que c'est l'énergie, il faudra le calculer à partir de là. Ensuite, qu'est-ce qu'on retrouve ? On retrouve que le signal est, voilà, il y a une symétrie ici par rapport à cet axe, voilà, ce que vous avez de ce côté, c'est ce que vous avez de celui-ci, et la durée qui vaut, donc, ce qu'on vient de dire ici, si vous faites n moins 1, moins moins n moins 1. Vous allez trouver 2n-1. N'oubliez pas que vous passez aussi par 0, donc vous avez 2n-1. Alors, normalement, ce même programme, je l'ai repris en pitant, d'accord ?

Donc, en pitant, qu'est-ce qui va se passer ? Je vais juste effacer les dessins. Alors, en pitant le même programme, il faut oublier que quand on utilise des fonctions, il faut inclure les bibliothèques.

Ici, il n'y a pas. Il y a tout ce qu'il y a dedans, c'est toutes les fonctions qui permettent de faire quelques numériques. Le même programme que tout à l'heure, sauf qu'ici, au lieu de concaténer les deux fichiers, on fait appel à ce qu'on appelle la fonction concaténate.

C'est exactement le même programme qui comporte 20, 0, 10, 1, 20, 0. Alors, ça, c'est pour les trois affichages. Ensuite, pour faire la corrélation, on fait appel à la fonction correlate. Pour Python, pour MATLAB, c'est XCOR.

Pour Python, c'est correlate, sauf qu'elle est définie dans la bibliothèque NUPI. Quand on a... un porté, on l'appelle NP, donc il faut écrire NP.correlate.

Ici, avec Python, on n'écrit pas X par défaut, donc c'est pour faire une autocorrelation, vous allez écrire XX. Si c'était une intercorrelation, vous écrirez XY. Et la même chose, on a ploté et puis on a même calculé, là ça vous permet de calculer l'énergie, puisque ça, c'est la valeur absolue au carré.

Donc c'est comme absolue, c'est comme vous avez écrit la valeur absolue de X1 et vous aviez élevé au carré, et le somme, le voici. Ça vous permet donc de calculer l'énergie sous pétanque. Le programme que j'ai mis ici ne correspond pas à celui-là.

Ici, j'ai fait le même test en prenant, au lieu de prendre une porte, cette porte, une fois, je l'ai écrite trois fois, c'est-à-dire que j'ai reproduit ça, je l'ai fait trois fois, pour avoir un signal périodique. Et on a vérifié ici que l'autocorrelation est également périodique. Là, en zéro, vous retrouvez la fameuse symétrie.

Et en zéro, vous retrouverez non pas l'énergie, puisque c'est un signal périodique, vous allez retrouver la puissance. Rappelons qu'un signal périodique a une énergie infinie, puisque les surfaces ne se terminent pas. Là, sur une durée d'observation, tous les signaux sont énergie finie.

Mais là, je suppose que ça ne se termine pas, c'est de moins l'infini à plus l'infini. C'est une somme de surface et elles sont infinies, c'est pour ça qu'on dit que c'est un signal à énergie finie. Mais lorsqu'il est périodique, il admet ce qu'on appelle une puissance et on peut la calculer.

Bien, voici pour ces deux exemples comment on calculait l'autocorrélation. Maintenant, cette histoire de corrélation-autocorrélation, ça a d'énormes propriétés. Donc, entre autres, je vais juste effacer ici. Alors, un exemple tout simple. En fait, quand on fait, par exemple, quand on travaille sur une tour de contrôle, on essaie bien sûr...

pour pouvoir aider au décollage et à l'atterrissage. Vous avez une tour de contrôle, vous avez un écran, puis on sait quel avion se trouve à telle distance et on peut faire des… qu'on appelle ça. On peut faire du contrôle aérien. Alors, comment ça se passe ?

Comment on peut savoir qu'un avion se trouve exactement ici ? En fait, on émet une onde. Il y a une émission. Cette onde, dès qu'elle rencontre un obstacle, elle va revenir. Et puis, le temps qu'elle va mettre pour aller et revenir, c'est ce qu'on appelle le temps d'aller-retour, va me permettre de savoir à quelle distance se trouve l'objet en l'appliquant, sachant que D, c'est la vitesse, pas le temps.

Si je suppose que, par exemple, je vais... Ce serait la vitesse de propagation dans l'air. Donc, si j'ai ce temps d'aller-retour, le temps d'aller-retour, donc si je veux déterminer la distance, il faudra que je prenne le temps d'aller-retour, je vais le diviser par deux et je trouverai à quelle distance se trouve mon objet.

Je pourrais l'afficher sur un écran. En fait, ici, on a pris le même programme. Donc là, c'est sous Piton, puis là, c'est sous Matlab. Donc, pour simuler ça, en fait, cette onde qui est émise, qu'est-ce qui va se passer ?

Donc, puisqu'elle va partout... courir un chemin et qu'elle va donc, une fois qu'elle a l'obstacle, elle va revenir. Donc, en fait, je vais récupérer ce que j'ai envoyé, mais sauf que ce que j'ai envoyé, donc je vais récupérer, on va supposer que le signal émis, c'est X1.

Donc, en fait, Y1, c'est juste mon signal qui a été retardé, mais pas que. Donc, en fait, mon signal, c'est donc mon signal qui a été retardé d'une certaine quantité, sauf que l'énergie, puisqu'il a parcouru une distance, il va être atténué, parce qu'il a traversé des milieux. qui va subir une certaine atténuation.

Mais je sais ce que j'ai émis, mais je ne sais pas si je vais recevoir tout ce qu'il y a émis sur cette fréquence. Donc, je vais recevoir aussi du bruit. Donc, voilà le signal reçu. Pour le simuler, qu'est-ce qu'on a fait ? Sous Matlab, on a fait un décalage.

Ça, c'est mon décalage. Ici, mon K évo 50. Donc, on a pris le signal X qu'on a décalé. Ensuite, on lui a rajouté du bruit.

Pareil ici. Ici, le cirque chiffre, c'est un décalage circulaire. C'est-à-dire que ça vous permet de décaler puisqu'il, à la fin, va venir au début.

C'est pour ne pas… On le fait juste pour garder un signal qui a la même longueur. Donc, ici, c'est la même chose. Ça permet de faire subir un signal, de récupérer le signal décalé. Ici, j'ai rajouté du bruit.

Alors, random, c'est ce qu'il y a aléatoire. Elles sont définies dans un pi. Donc, je suis obligée d'écrire np.random.

Il vous permet de générer plusieurs lois. Ici, c'est une loi gaussienne. Donc, pour résumer, mon signal Y, qu'est-ce que c'est ?

C'est le signal X décalé et puis ayant subi un retard. Donc, ici pareil, c'est le signal décalé ayant subi un retard. Alors, la question est pourquoi on fait ça ? En fait, vous, vous avez envoyé un signal qui fait ça.

Par exemple, vous savez que vous avez envoyé ça. Sauf que vous, vous n'allez jamais recevoir ça. C'est sûr que vous n'allez pas recevoir ça puisqu'il a pris le temps de rencontrer l'obstacle et de revenir.

Donc… C'est votre signal, il a été décalé dans le temps. Vous, non. Vous allez recevoir ça, mais plus le bruit.

Donc, vous risquez de recevoir quelque chose qui fait ça. Allez savoir où se trouve votre signal. Parce que vous, ce qui vous intéresse, c'est le temps d'aller-retour. Vous voulez mesurer ça en temps. Ça connaissant le temps d'aller-retour, vous allez le diviser par deux et vous allez trouver la distance de l'objet.

Vous pourrez l'afficher au bon endroit sur votre écran. Eh bien, en fait... comme vous allez recevoir ça, je vais juste effacer. Donc, on a simulé ça. En fait, un simple, alors, je vais le mettre ici.

Voilà, en fait, ça, ça correspond à ce qu'on a simulé ici par programme. Donc, voilà le signal qui a été émis. Voilà, si je commence à zéro, c'est-à-dire, c'est comme si j'avais fait une porte de largeur 10 secondes.

Voilà, elle est là. On a pris X de 1 à 10 qui vaut 1. Donc, ici, 10 secondes, puis tout le reste là est nul. Donc, ce signal, nous, on a voulu simuler un signal qui aurait percuté un obstacle et qui serait revenu. Donc, là, on a fait un décalage de 50. Il est là, sauf que ici, regardez ce qu'on a reçu. J'ai bien ma porte quelque part ici, ce signal-là, sauf qu'il est noyé dans le bruit.

Et puis, je me dis, est-ce que ma porte, c'est plutôt ça, ça, plutôt ça ? On aurait tendance à dire que c'est ça, parce qu'ici, c'est maximum. Mais peut-être que c'est ça, peut-être que ça, c'est ma porte, mais qu'ici, elle a subi du bruit. Parce qu'elle se trouve ici.

Alors, regardez ce qu'on a rajouté dans le programme. On a rajouté XCore, Y, X. On a fait la corrélation du signal Y avec le signal d'entrée. Pareil ici, pour le faire, on a écrit ici, sous Matlab, ça s'appelle XCore, sous le pétanque MP Correlate. Et regardez ce qu'on a affiché. Alors, ce fameux pic, maintenant, je le trouve bien.

Tout le reste a été... grandement atténuée et ici rappelez-vous c'est une porte la corrélation d'une porte vous donne un triangle je retrouve un triangle ici j'ai retrouvé donc mon signal en faisant quoi en faisant une simple corrélation c'est un principe qui est utilisé dans tout ce qui est donc réduction du bruit pour une émission c'est comme par exemple quand on va faire en sonar quand on va faire une échographie ça traverse plusieurs milieux quand vous allez faire une échographie Vous traversez des tissus humains qui ne sont pas forcément d'intérêt. Vous voulez faire l'échographie d'un organe. Vous allez faire l'échographie du cœur. Donc, il va traverser plusieurs milieux.

Donc, en fait, qu'est-ce qui se passe ? À la réception, il y a ce qu'on appelle un corrélateur. Donc, il y a une émission, une réception. Et la réception a un corrélateur qui fait quoi ?

Qui va faire la corrélation entre le signal émis et le signal reçu pour vous donner un signal beaucoup plus facilement interprétable. Et ici, je trouve bien que c'est un décalage qui est à 50 secondes. Il suffira que je trouve le max de cette fonction et je peux le placer comme ça avec un seuil.

C'est clairement un maximum ici, ce qui n'était pas le cas lorsque j'avais essayé d'interpréter directement le signal reçu. Une simple corrélation entre le signal émis et le signal reçu vous permettra d'avoir une meilleure lisibilité de votre signal. Alors, on a aussi une autre application de la corrélation. On va se poser un deuxième exemple.

Alors, ici, en fait, qu'est-ce qu'on a fait ? On s'est posé la question, en fait, on a reçu un signal. Et puis, je parle de ce signal, donc le premier ici.

En fait, ce signal-là, et on se pose la question, est-ce que c'est du bruit pur ? Ou est-ce qu'il n'y aurait pas un signal qui serait noyé dans le bruit ? Alors, en fait, comment ça se passe ?

Si c'est du bruit pur, on l'avait vu dans l'autre exemple, on avait décalé le signal à 50 secondes. En fait, vous trouvez une corrélation, si c'est du bruit pur, et qui serait donc bruit pur, et là je sous-entends un bruit aléatoire. Si c'est un bruit aléatoire, quand on dit aléatoire, ça veut dire que ce n'est pas prévisible. En fait, le signal ne se ressemble à lui-même qu'avec un décalage lorsqu'il se superpose totalement à k égale à zéro.

Parce que si c'est quelque chose d'aléatoire, c'est qu'il n'y a pas de lien. Cette valeur-là ne me donne aucune information comme on sera à la suivante. Du coup, vous trouvez un signal qui est comme ça.

Dans l'autocorrélation, c'est plutôt comme ça. Ça, si c'était du bruit pur. Si ce n'est pas du bruit, s'il y a un signal qui est caché, vous allez trouver la corrélation du signal caché.

Regardez ici, regardez ce qu'on trouve. On voit que c'est quelque chose qui a l'allure d'une sinusoïde. Je sais que dans ce signal-là, il y a un cosinus qui est noyé dans le bruit. C'est un cosinus noyé dans le bruit et je le retrouve.

Alors qu'a priori, ce n'est pas évident de voir où est le cosinus. Donc, ça, c'est aussi une autre application de la corrélation. Si jamais vous doutez, vous avez recevu, là, j'ai généré un sinusoïde brûlé, donc j'ai pris un sinusoïde à laquelle j'ai rajouté un bruit. Si jamais vous avez un doute, il suffit de faire une corrélation.

Si cette corrélation, vous trouvez un pic en zéro et qui le reste, ce sont des petites valeurs, alors vous saurez que c'est du bruit pur, signal aléatoire pur. Si vous trouvez, s'il y a un signal qui est caché, un signal déterministe à l'intérieur, vous trouverez sa forme et vous saurez qu'il y a un bruit. Un signal à l'intérieur, ce n'est pas que du signal aléatoire.

Voilà, je finis avec cette explication sur la corrélation et de nombreuses autres applications. Je devrais envisager de te parler des vecteurs aléatoires dans un prochain cours.

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