प्रोजेक्टाइल मोशन का संक्षिप्त परिचय

Overview

इस लेक्चर में Projectile Motion का सम्पूर्ण विश्लेषण, मुख्य फॉर्मूले, एक्सप्रेशन्स की डेरिवेशन तथा परीक्षा की दृष्टि से महत्वपूर्ण प्रश्नों का हल समझाया गया है।

प्रोजेक्टाइल मोशन की परिभाषा व विशेषताएँ

• प्रोजेक्टाइल मोशन का अर्थ है ग्रेविटी के प्रभाव में दो डाइमेंशन (2D) में होने वाली गति।
• x और y में गति को अलग-अलग एनालिसिस किया जाता है।
• x डाइरेक्शन में वेलोसिटी constant रहती है (u cos θ), y डाइरेक्शन में वेलोसिटी बदलती है (u sin θ)।
• अकसलेरेशन x में zero, y में -g (नीचे की ओर) रहता है।
• प्रोजेक्टाइल की पाथ पैराबोलिक होती है।

मुख्य फॉर्मूले व उनकी डेरिवेशन

• Time of Flight (T): ( T = \frac{2u \sin\theta}{g} )
• Maximum Height (H): ( H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} )
• Range (R): ( R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} )
• दोनों x व y कंपोनेंट्स: ( u_x = u \cos\theta,, u_y = u \sin\theta )

प्रोजेक्टाइल मोशन संबंधी प्रश्न व हल

• यदि हाइट = रेंज हो तो ( \tan\theta = 4 ), यानी θ = tan⁻¹4।
• किसी कोण पर प्रोजेक्टाइल फेंकने पर उसकी रेंज वही रहती है जो ( 90^\circ-\theta ) पर होती है।
• अधिकतम रेंज तब मिलती है जब θ = 45°।
• गति के क्षैतिज एवं ऊर्ध्वाधर घटक दिए हों तो फॉर्मूले में वही सीधे रखें।

एक्वेशन ऑफ ट्रेजेक्टरी (Equation of Trajectory)

• यानि, ( y = x \tan\theta - \frac{g x^2}{2u^2 \cos^2\theta} )
• यह पैराबोला दर्शाता है क्योंकि इसमें y और x² दोनों टर्म्स हैं।
• यदि equation दी है ( y = ax - bx^2 ), तो ( \tan\theta = a ), ( b = \frac{g}{2u^2 \cos^2\theta} ) से u व θ निकाल सकते हैं।

सामान्य उदाहरण व वेक्टर फॉर्म

• इनिशियल व फाइनल वेलोसिटी को वेक्टर रूप में ( u_x i + u_y j ) लिखा जाता है।
• किसी समय T पर स्पीड: ( \sqrt{v_x^2 + v_y^2} )
• x, y में displacement अलग निकालें, फिर वेक्टर रूप व मैग्नीट्यूड से टोटल displacement निकालें।

Key Terms & Definitions

• Projectile Motion — गुरुत्वाकर्षण की उपस्थिति में 2D में होने वाली गति।
• Time of Flight — कुल यात्रा का समय (T)।
• Maximum Height — y डाइरेक्शन में अधिकतम ऊँचाई (H)।
• Range — क्षैतिज दिशा में कुल दूरी (R)।
• Equation of Trajectory — प्रोजेक्टाइल की पथ का समीकरण।
• Horizontal Component — प्रारंभिक वेग का x घटक (u cosθ)।
• Vertical Component — प्रारंभिक वेग का y घटक (u sinθ)।

Action Items / Next Steps

• सभी मुख्य फॉर्मूलों को नोट/याद करें।
• प्रश्नपत्र हल करने हेतु प्रैक्टिस प्रश्न लगाएँ।
• अगला लेक्चर देखें: ऊँचाई से प्रोजेक्टाइल फेंकना (Upcoming topic)।