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प्रोजेक्टाइल मोशन का संक्षिप्त परिचय

Hello बच्चो, आज हम Projectile Motion का Complete Explanation लेके आए हैं इसके पहले अगर आपने Motion Under Gravity या मेरे Motion In A Straight Line Kinematics की वीडियो नहीं देखे हैं तो Kinematics Physics वाला सर्च कर लीजे, Motion In A Straight Line Physics वाला YouTube पे सर्च कर लीजे थोड़ा बहुत basic understanding हो जाए और अगर देखे हैं तो welcome very good morning हम स्टार्ट कर रहे हैं आज projectile motion ठीक है तो बच्चों, projectile motion, I don't know आपकी book में क्या लिखा है, और internet पे जगे क्या बता रहे हैं, जो actual meaning है projectile motion की, उसका मतलब होता है motion under gravity, जो actual meaning है, जो word से meaning निकलती है, वो है motion under gravity, मतलब gravity के presence में जो motion होता है, जैसे हम ball को perfect निचे आ सब ने देखा होगा कि जैसे स्कूल में हम बॉल से कैच खिलते थे ऐसे बॉल को फेकते थे बॉल ऐसी आज हम फुटबॉल को या तो हम किक करें तो फुटबॉल ऐसे रोल करते हुए इधर आती है मतलब हमारे syllabus में जो projectile motion की बात की है वो motion in a plane में है क्या होता है sir motion in a plane बच्चो plane एक ऐसे figure है जो दो dimensional होती है जैसे ये board ये plane है ये x direction में भी है और y में भी है अभी तक आप पढ़ ले थे, motion इन a straight line, मतलब एक single line में motion था, या तो ऐसे चल रहा था, या तो उपर चल रहा था, एक straight line में motion था, अभी motion plane में आ गया है, मतलब दो dimensional में, जैसे इस ball को देखो, ये ball लगातार उपर भी जा रही, और लगातार आगे मतलब motion एक्स में भी हुआ है और वाइ में भी हुआ है इसको motion in a plane या motion in two dimension कहते हैं और projectile motion हमारे syllabus में जो है वो motion in two dimension का example है ये जो figure बनी है ये सबसे basic तरह का projectile motion है जब हम ball को ground से ही फेकते हैं और ball ground के ही लोटाते हैं और भी कई तरह के projectile motion हमें आगे देखने हैं, but this is the most basic form, और यहीं से हम स्टार्ट करेंगे, तो बच्चों जैसा हमने आपको बता दिया कि projectile motion 2 dimension का motion है, कितने dimension का है, 2 dimension का है, तो बच्चों 2 dimension के motion को tackle करने का जो सबसे easy way है, पहले मैं दो dimension में divide कर लो, हमने ball को फेका, ball ऐसे गई, यहां पोची, नीचे गिरने लगी, और यहां पोची, यह motion देखो x में भी है और y में भी, तो इस पूरे motion को हम दो direction में divide करेंगे, माल लेते हैं हमने ball को यहां से फेका कितने angle पे project किया है angle of projection theta अब इस U के दो component होंगे एक X में और एक Y में बच्चों जिदर angle theta होता है उदर component आता है cos theta और उसके perpendicular में component आता है U sin theta ये मैंने आपको vector के वीडियो पर बहुत बार समझाया कि अगर ये U है ये angle theta तो इस तरफ आएगा U cos theta और इसके perpendicular में U sin theta बच्चो ये इसकी speed हो गई किस direction में? x direction में, तो मैंने बोल दिया initial velocity in x direction और ये इसकी speed हो गई y direction में, तो initial velocity in y direction तो आपको ये समझना जरूरी था कि एक speed x direction में होगी एक y में अब x और y में कैसा motion हो रहा? और बात करते हैं कि x और y में कैसा motion हो रहा है तो x direction में initial velocity है u cos theta और y direction में initial velocity है u sin theta बच्चों ये जब ball आगे बढ़ेगी या ऐसे आगे बढ़ेगी, ऐसे आगे, आगे तो इसके इस आगे वाले motion को oppose करने वाला या support करने वाला कोई exclaration नहीं है अगर आप बोलोगे यहाँ पे exploration कौन सा है तो exploration यहाँ पे नीचे की तरफ लगता हुआ जी है exploration due to gravity क्या exploration due to gravity x direction में act करता है मतलब मैं यह कह रहा हूँ, इसके पूरे motion में, x direction में कोई exploration नहीं है, मतलब exploration in x direction कितना है बच्चों, zero, exploration जो भी है, वो y direction में है, और y direction में कौन सा exploration है, g, किस तरफ है, नीचे की तरफ, तो मैंन एन एक्स्क्लेरेशन वाइ डिरेक्शन है माइनस जी एन एट विल बी ऑलवेज माइनस जी जैसे यहाँ पर G किदर लगेगा? नीचे तो G will always act downwards तो इस projectile motion में एक ही exploration है जो Y direction में अब बच्चो मान लो किसी motion में exploration ना हो तो velocity के साथ क्या होगा अगर exploration नहीं है मतलब velocity change नहीं होगी exploration is the rate of change in velocity यानि x direction में कोई exploration नहीं है तो हम ये बोल सकते हैं कि x direction की जो velocity है x direction की जो velocity है वो पूरे रास्ते कैसी रहेगी constant रहेगी x direction की velocity change नहीं होगी जैसे मालो u cos theta की value 4i तो वो value पूरे रास्ते 4 रहेगी और यहाँ भी 4 क्योंकि x direction को oppose या support करने वाला कोई exploration नहीं मतलब हम यह समझते हैं कि projectile motion में जो x direction की velocity है it will remain constant y direction की velocity की बारें बच्चों क्या सोचते हो अब यह ball मानलो उपर जा रही initially 3 से ऐसी मान लिया 3 meter per second से तो gravity इसकी speed को कम करेगा यहां आते इसकी speed मालनो 2.5 हो गई यहां आते 1 हो गई और यहां आते इसकी speed 0 हो गई कौन सी speed 0 हुई सिर्फ y वाली x वाली 0 नहीं सिर्फ कौन सी y वाली तब ही तो यहाँ पे आके इसने उपर जाना बंद कर दिया मतलब इस point पे इसकी एक speed 0 हो गई कौन सी velocity in y direction becomes 0 and velocity in x direction is still what it was in the beginning शुरुवात में जितनी थी उतनी ही रहेगी यानि y की velocity धीमे कम होते हुए इस point पे पहुँचके, सबसे उपर पहुँचकर 0 होती है, अगर ये 0 नहीं होती तो particle और उपर जाता, पर क्योंकि y की velocity 0 हो गई तो particle ने उपर जाना बंद कर दिया, अब gravity उसे खीच के नीचे लाएगी, तो यहाँ y की velocity 0 हुई, अब यहाँ पे बंद हो ग� यहाँ पे velocity 3 है, यहाँ पे मालो 2 हो गई, यहाँ पे आके 1 हो गई, यहाँ आके 0, फिर बढ़ना start की नीचे की तरफ हो जाएगी अब, क्योंकि गिर रही है ball, तो y की 1 हुई, 2 हुई, और यहाँ आके वापस 3 हो गई, so y direction की velocity की बात करें तो first it decreases फिर at maximum height ये जो जगा है maximum height velocity in y direction becomes 0 और उसके बाद इस बार हमने यहाँ पर यह माना है कि कोई air resistance नहीं है, कोई friction नहीं है, कोई और object नहीं है, तब ही ऐसा हो पाएगा, अगर friction होगा तो बाकी सारी चीज़ें हैं, या air resistance होगा तो बाकी सारी चीज़ें change होगी, तो बच्चों इतनी बात हमेशा दिमाग रखनी है, क कि इस जगह पर क्या हुआ है? क्या इस जगह पे body की speed 0 है? Answer me, answer me! क्या इस जगह पे body की speed 0 है? नहीं! इस जगह पे body की vertical speed, y direction वाली speed 0 है, x वाली तो अभी भी वही है जो शुरू में थी. तो इस जगह पे कौन सी speed 0 होती है? सिर्फ vertical component of velocity इस जगह पे आके zero हो जाता है अब projectile motion में कुछ special formulae होते हैं और उनकी हम derivation भी सीखेंगे क्या special formula होते हैं क्या special terms होते हैं आएए बात करें जैसे मान लो ये projectile motion है यहां से फेका यहां पहुची ball फिर यहां ball stone कुछ भी बच्चो एक term होता है कि यहां से यहां कितना time लगा जिसको हम बोलते है time of flight यह जो पूरी flight है जो पूरी उडान है इसमें कितना time लगा ठीक दूसरा होता है बच्चों maximum height, maximum height vertical direction में maximum कितना उपर गया, देखो इतना उपर, इतना उपर इतना उपर और यहाँ पर देखो maximum height है इसके बाद height तो इसको हम बोलते हैं H max या H से denote करते हैं अगली चीज़ होती है बच्चों horizontal range इसको बोलते हैं R यह क्या है यह है कि X direction में horizontal direction में यह कितना दूर गया यह चीज, x direction में कितना travel किया, इसको हम बोलते हैं R, horizontal range, इसको बोलते है maximum height, और जो time लगा उसको बोलते है T तो आइए सबसे पहले start करते हैं, discuss करना time of flight को, time of flight निकालेंगे हम, चीके, तो हमको expression निकालना है time of flight का, तो पहले तो इसको note करके यादी कर लो, 2u sine theta बराबर g, चीके, तो पहले तो इसको याद कर लो, 2u sine theta बराबर g, time of flight, note कर लो, 2u sine theta बर एंड जी इस एक्सप्लेवेशन ड्यूटू ग्राविटी अब आइए देखिए हम कैसे निकालेंगे हम एक काम करते हैं कि हम motion को consider करते हैं motion considered in y direction चीके एक बार में कोई एक motion को consider करते हैं किस direction में y और इस point को मैं बोल देता हूँ a इसको बोल दिया b इसको बोल दिया c और हम motion consider करते हैं a से b तक का अब A से B तक में मुझे यह बताओ, Y direction की initial velocity क्या होगी? तो बच्चों, इस तरफ velocity आएगी U cos theta, और इस तरफ आएगी U sin theta. तो Y direction में initial velocity कितनी है? U sin theta. फिर मैं पूछूं, exploration Y direction का कितना है? y direction में कितना exploration है एक ही exploration है g जो कि y में लग रहा तो मैंने लिखा minus g क्योंकि acceleration के दार लग रहा, नीचे, motion कहां से कहां है, a से b, फिर मैं पूछा final velocity in y direction क्या होगी, final velocity मतलब b point पे, तो b point पे आप देख रहे हो कि y वाली velocity कितनी हो जा रही, 0, यहां आकर y की velocity 0, तभी तो और उपर नहीं गया, क्योंकि y वाली velocity 0, और cohesion of motion under uniform acceleration, क्योंकि acceleration तो uniform है, constant है, so V is equals to U plus, AT apply किया, Y direction में A से B, final velocity 0, initial velocity U sine theta, acceleration minus G, और time को लिखा T, यह दर गया GT, और T is equals to आ जाएगा, U sine theta बराबर G, जी T इधर जाएगा, फिर T is equals to 2S, sorry, U sine theta बराबर G, तो यहां से यहां तक time लगा यू साइन थीटा बराबर जी, अब जितने टाइम में ये उपर जाएगा, उतने टाइम में नीचे आएगा, मतलब अगर ये वाला टाइम टी है, तो ये वाला टाइम भी कितना होगा, टी, तो हम बोलेंगे टोटल टाइम, या जिसको हम बोलते बहुत असान है, मैंने बोला motion को किस में consider करो, y में, यहाँ पर initial velocity u sine theta, final velocity जगा पर 0, कहां से कहां consider करो, a से b consider करो, एस्कलेशन पूरे रास्ते, minus g y direction time नहीं पता, v is equal to u plus a t लगाया, t की value आई, जितने time में 2t, 2u sine theta yg बच्चों, इसे चीज को derive करने का एक और तरीका है derive कर सकते हैं y direction का ही motion लेकर वाइड डिरेक्शन का ही मोशन लेकर पर एसे सी तक देखकर एसे बी की जगह एसे सी एक बार में आप मुझे बताओ इनीशल विलोसिटी इन वाइड डिरेक्शन कितनी है यू साइन थीटा है उपर की तरफ है तो प्लस एसक्लोरेशन इन वाइ मैं बोलूँ टाइम कितना लगा तो मैंने टाइम को बोला capital D पूरी जर्नी में जो टाइम लगा उसको बोल दिया capital T अब जो मैं question बोलूँगा उसका answer सोच के देना displacement in y direction कितना है बच्चों यहां से यहां तक में y direction में कितना displacement है यहां से यहां तक में y direction में कितना है तो y direction का displacement तो zero हुआ भाई y में यह वाई में कहा पे था इस जगे पे था उपर गया फिर नीचे आया इस प्लेसमेंट वह किसमें है एक्स में यहां का जो वाइट कॉर्डिनेट होगा वह यहां का होगा भाई वाइट में जितना ऊपर गया उतना ही तो लड़के नीचे आ गया मतलब वाइट में बिल्कुल मूव नहीं कर यहां से और यहां पर देखो ऊपर है यह प� टाप्टल टी प्लस हाफ एक इतना है माइनस जी इंटू टी स्क्वेर ठीक है यहां से मैं काम करता हूं टी कॉमन हो जाएगा तो बचेगा यू साइन थीटा माइनस जी टी बराबर टू अब इसके दो सलूशन बनेंगे ब� या तो t 0 हो, तो t 0 का मतलब तो initial यही वाला answer आ रहा है, तब भी तो displacement in y 0 था, equation of motion अपना answer दे रही है, वो कह रही है displacement y में 0 यहाँ पर भी है, और दूसरा answer यह रहा, जब u sine theta minus gt बराबर 2 कितना हो, 0, इधर से gt बराबर 2 इधर लाए, u sine theta is equals to gt बराबर 2, यहा तो आप ऐसे डिराइव करो या वैसे डिराइव करो conceptually दोनों सही हैं इसका concept समझ में आया A से C ले लिया और Y direction का motion देखा तो A से C में displacement कितना है Y में 0 initial velocity U sine theta acceleration minus G और time को t s is equal to ut plus r k t square लगाया और आ गया तो हमने पहला term पढ़ लिया time of flight 2u sin theta बराबर g और derive करने का तरीका भी देखा और ये भी समझा कि जितने time में उपर जाता है उतने time में नीचे आता है ठीक है तो मैं यहाँ side में time of flight का formula लिख लेता हूँ 2u sin theta बराबर g अब बच्चों बात करते हैं maximum height की maximum height और ये maximum height किस direction में है सबको दिख रहा है y direction में तो हम y direction का ही motion consider करेंगे और y direction का motion consider कर लो a से b क�� क्योंकि maximum height कहाँ पर पहुच रही है b पर अच्छा what is the initial velocity in y direction तो u sine theta क्योंकि a से b चल रहे हो तो a initial point What is the final velocity in y direction? यहाँ पर आके y की velocity कितनी हो गई है 0 बग दिया exploration in y direction कितना है बच्चो minus g और यहाँ से यहाँ displacement कितना है y में ठीक है यहां से यहां y में कितना displacement है तो हमने बोला इसको h बोल दे यहां पे y 0 है यहां पे y h है तो displacement in y direction इसके बाद आप अप्लाई कर दो ये 2GH इधर गया यू साइन थीटा का whole square मतलब यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा यहां से h की value यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा डिवाइडेड बाई 2g तो maximum height का expression क्या आएगा यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा डिवाइड बाई 2g अब आपको कोई initial velocity देगा कोई angle बताएगा आपसे पूछेगा maximum height कितनी है तो आप खटाक से formula से बता सकते हैं आपको इसने initial velocity बताया, आपको angle theta बताया, आपने height निकाल दी, so the maximum height, h max, या h ही लिख देते हैं कई बार, u square, sine square theta, divided by 2g, ठीक है, उपर देखो, जी है, यहाँ पे 2g है, तो दो formula आपको मिल गया, और meaning भी समझ में आ गई ठीक है, maximum height में क्या लिया हमने, a से b का motion लिया, और y direction में consider किया, initial velocity u sine theta, यहाँ पे आके y वाली velocity 0, बार बोल रहा हूँ, इसको याद रखो, यहाँ पे पूरी velocity 0 नहीं, y वाली 0, acceleration पूरे रास्ते minus g और displacement यहां से यहां y में माना h x की बात नहीं कर रहे हैं वियाली equation लगा दी और solve करके answer आया u square sin square theta बराबर 2G तो इनको note जरूर करें अब शुरू में अब बच्चों आखरी term को हम derive करेंगे that is our horizontal range R ठीक है तो हमारा आखरी term है horizontal range R अब बच्चों R का formula मैं पहले आपको बता देता हूँ R का formula है U square sin 2 theta बराबर g u square sin 2 थीटा बराबर जी यह इसको आप ऐसे भी लिख सकते हो यू स्क्वेयर टू साइन थीटा कॉस थीटा बराबर जी ठीक है दोनों फॉर्मले से ही है यह साइन टू थीटा क्या होता है टू साइन थीटा इंटू कॉस्ट थीटा साइन टू थीटा का फॉर्मला क्या होता है टू साइन थीटा इंटू कॉस्ट थीटा आईए, इसको derive करने के लिए बच्चों, जो हम motion consider करेंगे, वो x direction का motion consider करेंगे, क्यों sir, क्योंकि आप देख रहे हो, horizontal range किस direction में है, x direction में ही है, तो हम x direction का motion consider करने जा रहे हैं, initial velocity in x direction कितनी है बच्चों u cos theta x में initial velocity u cos theta exploration x direction में कितना है बच्चों सब ने बोला zero क्योंकि जो भी exploration है वो y में है डिस्प्लेसमेंट एक्स में कितना है कहां से कहां देख रहे एसे लेकर सी तक पूरा मोशन कंसिडर कर तो displacement x में कितना है इसी को तो हमने r बोला है ये जो distance है इसी को हमने r बोला है time बच्चों कितना लगा है यहां से यहां तक में time कितना लगा है time of flight के बराबर तो time किसके equal हो गया ठीक है अब आप apply कर दो s is equals to ut plus half 80 square s हमारा r u है u cos theta और t क्या है time of flight यहां से यहां कितना time लगा time of flight के बराबर तो इस value को time of flight की value को t की जगह put कर देंगे 2 u sin theta बराबर g plus half और exclamation की value 0 तो इसको तो लिखने का कोई मतलब नहीं 0 हो गया तो range हमारी आ गई बच्चों u square 2 sin theta कॉस थीटा बराबर जी, यही हमको लानी थी, U2 2 sin थीटा कॉस थीटा बराबर जी, और 2 sin थीटा कॉस थीटा क्या होता है, sin 2 थीटा होता है, 2 sin थीटा कॉस थीटा क्या होता है, sin 2 थीटा, तो इसी को हम लिख सकते हैं, U2 sin 2 थीटा बराबर जी, तो फॉर्मले u2 sin2 theta बराबर g और derive कैसे किया? motion consider किया x direction में a से c तक initial velocity x में u cos theta acceleration x में 0 और displacement x में range के बराबर और time कितना लगा? time of flight के बराबर ठीक है बच्चों? तो सबसे पहले आप इन तीन formulas को लिखें इनको याद करें इनमें difference समझें रट जाना चाहिए आपको ये formula तो एक बार pause करके इस formula को try करें ठीक है एक बार याद करें क्या formula हमारा T time of flight का maximum height का और range का इसका formula क्या है 2u sin theta बराबर g height का formula क्या है u square sin square theta बराबर 2g और range का formula क्या है u square sine 2 2 theta बराबर g तो हम लोगों कैसे याद हुआ ये numerical लगाके और बार revise करके तो इसके कुछ basics numerical लगा लो और formulas को लिख लो जबकि मैं आपको बता रहा हूँ आगे बिना formula के भी question solve होंगे अभी थोड़ा सा formula देख लिया चलिए पहले simple से questions करते हैं जो एकदम formula based question आते हैं exam में जैसे हमसे बोला a ball is thrown is thrown with 5 meter per second at एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन थर्टी सेवन डिग्री फाइंड टाइम ऑफ फ्लाइट मैक्सिमम हाइट एंड रेंज तो अब यह नहीं कि पूरा डायग्राम अब तो फॉर्मुला है खटाक से लगा देते हैं टाइम का फ� तो 2 into U कितना है 5, sign 37 divide by 10, 2 5's are 10, cancel हो गया, sign 37, तो बच्चो 37 वाला triangle मैंने आपको बहुत बार बना किन्या कहा या है, यह होता है जब यह 37 degree होता है तो यहाँ पे 3 यहाँ पे 4 यहाँ पे 5 होता है 2 triangle famous है बार मैं हर वीडियो में दिखा रहा हूँ आपको 1 53 degree का इसमें सामने होता है 4 यहाँ पे 3 यहाँ पे 5 right angle triangle है 3 4 5 वाला अब sin 37 की value यहाँ से बोलो क्या होगी 3 बटे 5 हो जाएगी perpendicular upon hypotenuse 3 बटे 5 तो यह आपका time आ गया यानि 0.6 seconds height पूछिये बच्चों तो height is equals to u square sine square theta बराबर 2g यू कितना है 5 का square, sin 37 का square, divided by 2, into g की value 10, तो 25, sin 37 का square, यानि 3 by 5 into 3 by 5, divided by 2 into 10, 5 5s are 25 cancel, 9, बटे 20 is the maximum height. लास्ट पार्ट में क्या पूछा है आपसे रेंज, u square sine 2 theta by g, तो आप रेंज भी निकाल सकते हो, आइए, तो range is equals to u square sine 2 theta by g, है न, अब आप sine 2 theta हो क्या लिख सकते हो, u square 2 sine theta cos theta by g, u square यानि 5 into 2 into sine 37 multiplied by cos 37, डिवाइडेड बाई 10, 2 5s are 10, 10 cancel, 5 into sin 37 यहाँ से, 3 by 5, cos 37, 4 by 5, बेस अपॉन happiness, 5 cancel, 12 बटे, 5 meter is the range. तो यह basic सा सवाल हो गया, जिसमें आपको formula से सारे answers निकाल ले थे. इसी question में कि आपसे कहा ये चीज दिवन है express एक्सप्रेस इनिशियल एंड फाइनल विलोसिटी इन वेक्टर फॉर्म तो यह डाइग्राम जाते हैं यह मैंने वॉल को ऊपर फेका 5 से यह एंग्ल है साथ इस डिग्री तो इस तरफ कंपोनेंट कितना जाएगा पाइफ कॉस्ट 37 जो कितना हो जाएगा फॉर बाइफ तो यह फूर और इस तरफ component आएगा 5 sin 37, sin 37 कितना था? 3 by 5, तो 5 cancel, तो 3, तो initial velocity in x direction is 4, initial velocity in y direction is 3, कैसे किया समझ में आया कि नहीं? यह angle कितना है? 37, यह 5, 3, 4, ठीक है? अब यहीं से देख लो, जब यह चीज 5 होती है, तो vertical वाला 3 होता है, horizontal वाला 4 cos 37 कितना होगा 4 by 5 तो 4 by 5 लिखोगे cancel तो 4 आगे इसी तरह से ये यह वाला component यह वाला component 5 sin 37 5 sin 37 और sin 37 कितना होगा 3 by 5 तो यहाँ put कर दोगे 3 by 5 और यह कितना आजाएगा 3 अच्छा अब vector form मैं अगर इस velocity को मैं लिखूं, initial velocity को, तो x वाली 4 है, उसके आगे लगा दूँगा i cap, y वाली 3 है, उसके आगे लगा दूँगा j cap. तो यह हो गई initial velocity in vector form final velocity भी निकाल लिये तो बच्चों यह ball यहां से जाएगी और मालो यहां पे गिरी ठीक है थोड़ा खिच गया ऐसे enter की थी तो बच्चों एक velocity होगी ऐसे और एक velocity होगी ऐसे वाई की velocity decrease करते यहाँ पे वाई की velocity कितनी हो जाएगी 0, फिर increase करते यहाँ पे उतनी ही हो जाएगी जिस से फेका था, तो वाई में कितने से चला था, 3 से, तो यहाँ पे वाई की velocity कितनी हो जाएगी 3, this is the final velocity, तो अगर मैं final velocity की बात करू� इतना clear हो गया बच्चों, बहुत बढ़िया, अब इसी question में अगर मैं आप से पूछूं, इसी सवाल में अगर मैं आप से पूछूं, इस सवाल में आप से पूछूं, थोड़ा चेंज कर देते हैं, a ball is thrown with 50 meter per second at angle of projection 37 degree find velocity vector एंड स्पीड ऑफ पार्टिकल आफ्टर टू सेकंड्स ऑफ प्रोजेक्शन के दो सेकंड बाद आप ये च आइए देखते हैं, यह है, इसको मैंने फेका, अब इसकी speed कितनी है हमारी, 50 meter per second, angle कितना है, 37, तो इस बार इस तरफ कितना आ जाएगा, 40 आ जाएगा, इस तरफ कितना आ जाएगा, 30 आ जाएगा, कोई भी angle दिया हो, इधर cos theta, इधर उसका sin theta, यह तो बच्चों 2 सेकेंड बाद की कहानी के ही है एक काम करते हैं आफ्टर 2 सेकेंड्स तो आप मेरे को बताओ कौन सी स्पीड चेंज होगी कौन सी स्पीड चेंज नहीं होगी तो 2 सेकेंड के बाद x direction की speed तो अभी भी 40 meter per second होगी क्योंकि x की speed change नहीं हो रही जैसे मालो ये इसका motion है 2 second बाद वो कहीं यहाँ पहुचा तो x की speed तो अभी भी कितनी रहेगी 40 y की speed कुछ कम हो जाएगी y की speed घट रही है हो सकता हु यहाँ आ गया हु मुझे नहीं पता है एक approximation लिया अच्छा तो x की तो same है y की निकालने के लिए हम लगाते हैं y direction का motion क्योंकि y की speed घटे रही है और फिर बढ़ भी रही है तो initial velocity in y direction is 30 acceleration in y direction is minus g तो हमने लिखा minus 10 ठीक है टाइम कितना दिया हमको 2 seconds अब आपको final velocity निकालनी है y direction में 2 second के बाद तो आप apply कर दोगे, v is equals to u plus 80, u कितना है हमारा 30, a की value minus 10, t की जगह 2, 30 minus 20 कितना हुई, 10, तो यह कितनी आएगी, 10 कैसी आ रही, plus, मतलब इसी तरफ है, 30 से घटते 10 हुई है, भी यहीं पे है, तो velocity in y direction कितनी रहेगी, 10 meter per second, तो 2 second के बा� तो velocity vector x में 40 है, 40 i cap, y में 10 है, plus 10 j cap, और क्या पूछा है, speed of particle, अब बच्चों आपको ये तो पता होगा कि speed होती क्या है, magnitude of velocity, velocity का जो magnitude होता है, उसको speed बोलते हैं, इस vector का magnitude हम कैसे निकालते हैं, vector का magnitude निकालने के लिए, i वाले term का square, plus j वाले terms जो velocity का magnitude होगा वही क्या बनेगा speed बन जाएगा इसी question बच्चों आपसे और क्या पूछ सकता था in the same question they could have asked you find velocity vector and मालो आपसे ये पूछ दिया find velocity vector and and angle it makes with horizontal with horizontal ये velocity vector horizontal से कितना angle बना रहा जैसे यहाँ पर यह है velocity vector, तो यह angle कितना है, अब सोचने वाली बात है, क्या projectile motion में angle भी change होगा, बिलकुल होगा बच्चों, आप देख रहे हो यह चीज चोटी होगा, यह चीज उतनी है, तो यह थोड़ा इधर जुग जाएगा, बाई यह तो 40 ही रहा, यह तो देखो एंगल कम हो गया, पहले एंगल देखो क्या था, जादा था, हमसे ये एंगल पूछा है, ठीक है, तो हमें ये एंगल निकालना है बच्चो, तो ये कितना है हमारा, y direction में 10, x direction में 40, तो आप यहां से बोल दो, tan theta is equals to क्या होगा, vy बट यह भी हम कर सकते थे, बहुत बढ़िया बच्चों इसी सवाल मैं आपसे और क्या पूछ सकता था find displacement vector find displacement vector find displacement vector and displacement है एंड डिस्प्लेसमेंट आफ्टर टू सेकंड्स ऑफ प्रोजेक्शन डिस्प्लेसमेंट वेक्टर निकालिए और डिस्प्लेसमेंट आइए बच्चों तो यह रहा मोशन हमारा अगर हमसे कंप्लीट रास्ते में डिस्प्लेसमेंट पूछता तो यह तो दो सेकंड के बाद दो सेकंड आप देखा यहां आया तो पार्टिकल ठीक है तो उसे पूछा एक्स में कितना डिस्प्लेसमेंट और y में x में इतना आगे बड़ा है ठीक है और वाइट ना ऊपर गया है यह एक्स में आगे और वाइट में ऊपर हमें दोनों निकालने तो आइए दोनों displacement को अलग-अलग निकालते हैं, आइए x का निकालते हैं और y का निकालते हैं, x direction में initial velocity कितनी है हमारी, तो हम बना लेते हैं फिर से diagram, 50 थी, 37 degree, तो इधर 50 cos 37 कितना आ रहा 40 इधर 50 sin 37 कितना आ रहा 30 तो x की 40 है और y की initially 30 है तो ये 40 acceleration in x direction 0 x में कोई acceleration रहता नहीं time कितना 2 seconds तो आप यहाँ से लगा दो s is equals to ut plus half 80 square s की जगह put करोगे आप x put कर दो displacement हमने x माना है u कितना है 40 time है 2 और ये term 0 हो जाएगा क्योंकि a 0 तो x में displacement कितना है 80 meter y में निकालना है बच्चों initial velocity in y direction is 30 acceleration in y direction is minus 10, time लिया 2 seconds apply कर दो s is equal to ut plus half a t square s की जगह रख दो इस बार y क्योंकि इसको y बोला है u कितना है 30 into time 2 plus half a की जगह minus 10 और t कितना है 2 का square 4 तो y कितना हो जाएगा 60 माइनस 20 तो वाइट के वालू कितनी आ गई 40 ठीक है कैकुलेट कर लोगे यू की जगह 30 टाइम की जगह 2 60 हाफ एक तो एक्स में डिस्प्लेसमेंट 80 है वाइड डिस्प्लेसमेंट 40 है तो अगर आप से डिस्प्लेसमेंट वेक्टर आर पूछ रहा displacement vector तो x में कितना है 80 तो हम बोलेंगे 80 i cap और y में कितना है 40 plus मतलब उपर की तरफ है तो 40 j क्या यह हो गया displacement vector 80 i क्लाब plus 40 j क्या फिर क्या पूछ रहा है and displacement भी निकालो तो बच्चों displacement का जो magnitude है वो निकाल सकते हैं यह vector है इसका magnitude निकालना है यानि mod r पूछ रहा है तो mod r under root 80 का square plus 40 क तो यह मैंने कुछ आपको इस तरह question कराए तो बच्चो फॉर्मले पे बेस कुछ और question क्या आ सकते हैं हमारे पास जरा उनको देख लीजे मालिजे हमसे कहा for a projectile motion from ground to ग्राउंड मतलब सेम होरिजन्टर लेवल पे H is equals to R find angle of projection ठीक है, मतलब किसी projectile motion की maximum height और range बराबर है, तो आप से कह रहा है, आप angle of projection निकालो, ठीक है बच्चों, तो h is equals to r, formula base है, h की जगा u square sine square theta बराबर 2g, r की जगा 2u, sorry, r की जगा u square sine 2 theta बराबर g, u square ने u square को मार दिया, g ने g को मार दिया, है तो साइन स्क्वेर थीटा बराबर टू और साइन टू थीटा को लिखेंगे टू साइन थीटा कॉस्ट थीटा साइन थीटा sin theta को भी मार दिया तो यह हो जाएगा sin theta बटे cos theta और यह 2 देखेंगे multiply 4 तो tan theta is equals to 4 तो angle of projection ऐसा है जिसका tan theta 4 है या बोल दो theta is equals to tan inverse 4 this is the angle of projection ठीक है अच्छा बच्चों, समझ में आया है, अब मान लो, इसी में एक question थोड़ा चेंज कर दू, कि for a projectile motion from ground to ground, if maximum height is 30 root 3 meter and horizontal range is 120 meter, find फाइंड इनिशियल विलोसिटी एंड एंगल ऑफ प्रोजेक्शन थीटा पूछा है और U पूछा है initial velocity and angle of projection ठीक है तो हमको दिया है height कितनी है 30 root 3 और हमको range बता रखी है कितनी है, कितनी range है, 120. आए दोनों के formulas put करते हैं, तो समझ में आएगा कि u और theta किस तरह से निकलेंगे. तो height का formula हो जाएगा u square sine square theta बराबर 2g is equals to 30 root 3. range का formula क्या है हमारा, u square sine 2 theta बराबर g is equals to 120. अब बच्चो तो यू करने का तरीका हम लोग बार सीख लिये हैं कि क्या लिख लें साइन 2 थीटा की जगा 2 साइन थीटा कॉस थीटा ठीक अब ध्यान से देखो अगर मैं इसको डिवाइड कर दू, तो U2 cancel हो जाएगा, GG cancel हो जाएगा, और थीटा का term आ जाएगा, तो आप first equation को second से डिवाइड कर दो, first equation divided by second, तो इसको इससे डिवाइड करने का मतलब U2 sin2 theta upon 2G, इससे डिवाइट करोगे तो यह cross multiply जी अपन U2 2 sin theta cos theta is equals to 30 root 3 divided by 120, यहाँ से जी ने जी को मारा, U2 ने U2 को मारा, 1 sin theta से 1 sin theta मर गया, बचा क्या? sin theta upon cos theta और 2 to the 4 इस तरफ देखे 30 root 3 upon 120, 0 से 0 मरा, 3 वन जा 3, 3 वन जा 12, 4 से 4 मरा, sin theta by cos theta, tan theta is equals to root 3, अब बच्चो tan theta root 3 कब होता है, जब theta कितना हो, 60 degree, तो हमको angle of projection मिल चुका है, कितना है, 60 degree, अब आपको initial velocity निकालनी है, तो इन दोनों में से कोई भी formula यूज़ कर लो, इनिशियल velocity आ जाएगी चाहिए formula चलो मैं इसको use कर लेता हूँ first वाले formula को use कर लूँ मैं आइए, first वाले को use किया हमने, तो हो जाएगा, u square sin square 60 upon 2g is equals to 30 root 3, और g की value वही प्यारी सी 10 ले लेंगे हम, तो u square sin 60 होता है root 3 by 2, इसका square मतलब 3 by 4, sin 60, root 3 by 2, इसका square करेंगे तो 3 by 4, upon 2g into 10 is equals to 30, रूट थ्री नौ यू केट द वैल्यू आफ यू एस वेल समझ में आ गया होगा यहां से आपको यू की वैल्यू भी मिल जाएगी और थीटा की वैल्यू आपने कैसे निकाली दोनों को डिवाइड करके निकाले ठीक है बच्चों अच्छा मान लो की बात कर रहा है जो ground to ground है इस lecture में horizontal and vertical component horizontal और vertical component of initial velocity are, are let it be any horizontal and vertical 6 meter per second and 8 meter per second, okay, find, टाइम आफ लाइट मैक्सिमम हाइट एंड रेंज यह सवाल दिया आपको और एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन थीटा सब करिए तो अब यह सवाल क्या कह रहा है आपसे horizontal और vertical component दिया initial velocity का ठीक है यह initial velocity यू मानते थे हम angle theta इधर कितना u cos theta इधर कितना u sin theta ठीक तो हमसे बोल रहा है u cos theta horizontal कितना है 6 और वर्टिको का उपरेंड कितना है? 8, तो U sine theta 8, तो हमसे बोला है U cos theta is 6, U sine theta is 8, क्या निकालना है? Time of flight निकालना है, height निकालना है, R और theta, खटाक से निकलेगा, time of flight का formula बोलो, 2U sine theta बराबर G, तो 2 into u sine theta कितना है 8 बराबर g की value 10 निकलाया फिर क्या बोला है height निकालना है height का formula बोलो यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा बराबर 2 जी, इसको ऐसे लिख सकते हो, यू साइन थीटा का होल स्क्वेर बराबर 2 जी, यू साइन थीटा की वैल्यू कितनी है, 8, तो 8 का स्क्वेर अपन 2 इंटू 10 निकलाया, और क्या निकालना है, रेंज नि cos theta बराबर g, अब इसमें मैं एक काम करता हूँ, इसको ऐसे लिख दू, u sin theta, ध्यान से देखो, u sin theta, u cos theta, into 2 बराबर g, लिख सकता हूँ, u sin theta, u cos theta, into 2 बराबर g, u sine theta की value आपको given है 8 u cos theta की value आपको given है 6 2 divide by g की value 10 और इस तरह से आप रेंज हाइट या टाइम और फ्लाइट निकाल सकते हो अगर आपको इनीशल विलोसिटी का होरिजन्टल और वॉर्टिकल कंपोनेंट दिया हो तो ब यहाँ पर U2 2 sin theta cos theta, मैंने कहा एक को U sin theta, एक को U cos theta और values उठा के रख दी, और क्या angle of projection theta, इससे इसको divide कर दो, divide करोगे तो U cancel, sin theta बटे cos theta is equals to 8 बटे 6, 2 4 जाए, 2 3 जा 6, यह कितना हो गया, tan theta is equals to 4 by 3, तो ऐसा triangle है, इस ये triangle कौन सा है पहचानते ही होंगे आप, जहाँ पे theta कितना होता है, 53 degree, tan theta 4 by 3, ये triangle पहचान रहे हैं कि नहीं, perpendicular, base, hypotenuse, ये theta कितना होता है, 53, so theta will be 53, और सारे answer आपने निकाल दिये, तो बच्चों ये कुछ basic तरह के सवाल थे जो projectile motion पे आते हैं जो बिना formulas के solve होंगे ठीक है बच्चों अब हम बात करते हैं range के बारे में रेंज के बारे में एक चर्चा, एक important topic, एक important बाते हमें करनी जरूरी है और वो ये है बच्चों कि range is same for two different angles of projection if U is same ठीक है, दो different angle of projection के लिए range same होती है, जब U same हो, और वो different angle होते हैं, एक होता है theta, तो दूसरा होता है 90 minus theta, ठीक है, इसका diagram आपको मैं दिखाता हूँ, समझ में आएगा, मालिजे मैंने U velocity से theta angle पे किसी चीज को project किया, ठीक है, तो उसकी range हुई मान लो उसी को मैं 90- थीटा पे प्रोजेक्ट करूँ, जैसे मान लो पहले मैंने 30 पे प्रोजेक्ट किया, तो फिर 90- 30 मतलब 60 पे प्रोजेक्ट किया, एक बार मैंने 30 पे प्रोजेक्ट किया, अब 60 एंग्ल डेफिनेटली अलग है, मैक्सिमम हाइड भी अलग-अलग है, 60 पे आप देख रहे होंगे मैक्सिमम हाइड ज़्यादा है, 30 पे कम, पर जो होरिजॉन्टल डिस्टेंस है, वो क्या आ रहा? सेम. तो ये एक important point आपको copy में डालना पड़ेगा कि range is same for two different angles of projection if U is same और वो different angle होंगे theta और 90 minus theta मतलब 30 degree पे जो range आएगी वही 60 पे आएगी या 20 degree पे जो range आएगी वही 70 पे आएगी या 10 degree पे जो range आएगी वही 80 पे आएगी या 15 degree पे जो range आएगी वही 75 पे आएगी बात समझ में आई कि range same होगी दो different angle of projection पे maximum height अलग है पर range देखो क्या आ रही है same आ रही है ठीक है तो यह एक important concept है इसको आप याद रखेंगे बच्चों range का formula बोलो रेंज का formula है u square sin 2 theta बराबर g, अब देखो ध्यान से, मैं एक बार theta की जगा theta put करूँगा, एक बार theta की जगा 90 minus theta, तो ये theta वाली कहानी हो गई, अब 90 minus theta, r is equals to u square sin 2 90 minus theta बराबर g, U square sine 180 minus 2 theta बराबर G अब साइन 180 माइनस टू थीटा विल बी साइन थीटा भाई साइन के अंदर अगर 180 माइनस एक्स लिखा है तो वह किसके आता है, sin x की equal आता है, तो यह कितना आएगा, u square sin 2 theta बराबर जी, तो आपने देखा, चाहे मैं यहाँ पर theta put करूँ, चाहे यहाँ पर 90 minus theta, range क्या आती है, same, तो range is same for two different angle of projection, for same velocity, initial velocity, if those angles are theta and, 90 minus theta, ठीक है, clear हो गया, but क्या चीज़ अलग होती है बच्चों इसमें, maximum height, याद रखना, range तो same हो और ठीक है इसके लिए हमें option दिया या तो under root 4 h1 h2 is equals to r या तो under root 2 h1 h2 is equals to r option C under root 4 4H1H2 is equals to R या option D 2 under root H1H2 is equals to R ऐसे option दिये और हम से कहा इसे solve करो तो हम क्या करते हैं एक बार मान लेते हैं theta पे height है H1 और 90 minus theta पे मान लेते हैं height है H2 ठीक है तो different पे हमने height different मान ली अब H1 के लिए आप क्या लिख सकते हो आप लिख सकते हो u square sin square cos2 θ बराबर 2G, और h2 गले क्या लिख सकते हो, u2 sin2 कितना, 90-θ बराबर 2G, बचों ये क्या बन जाएगा, ये बन जाएगा, u2 sin2 90-θ is cos2 θ बराबर 2G, अब बचों range का formula क्या होगा, range तो दोनों case में क्या होगी, same, क्या हैगी, u square sin square sin 2 θ बराबर जी, अब sin 2 θ को हम क्या लिख सकते हैं, u square 2 sin θ cos θ बराबर जी लिख सकते हैं, इसको हम ऐसे भी लिख सकते हैं बच्चों, u sin θ into u cos θ into 2 बराबर जी, अब u sin θ की value यहां से निकालो, u sin θ कितना हो गया, root 2 g h1, इसी तरह से यहाँ से U cos theta कितना आएगा, 2GH2 उधर गया और root लग जाएगा, 2GH2, समझ में आ रहा है, वो square है न, तो U sin theta की जगह under root 2GH1, U cos यह जाएगा, under root 2GH2 multiplied by 2 बटे G, यहाँ से GG multiplied के root के बाहर आएगा, GG cancel, 2 और 2, तो root के अंदर और जी cancel हो गया, यह आ गया r, तो r is equals to under root 4, h1, h2, कौन सा option है, option a, ठीक, तो clear हो गया, इसी तरह से हमारी range पे एक और बात बड़ी important होती है, कि maximum range कब होगी, ठीक है, range हमारी maximum कब होगी, वैन will be the range, will be maximum, ठीक है जैसे मान लो हमारे long jump के competition होते हैं जिसमें एक athlete दौड़ता है दौड़ के कूदता है तो उसको ज़्यादा उचा नहीं कूदना उसको सबसे लंबा कूदना है ठीक है सबसे लंबा कूदने के लिए दो factor responsible होंगे अगर range का formula जिस एंगल पे कूदा, कम एंगल पे कूदे तो शायद कम रेंच हो, जादा पे शायद जादा, कहीं भी आप बीच में जादा, अभी हमें यह नहीं पता, जी तो कॉंस्टेंट रहेगा उसके ल दौड़कर तो इनसान जितनी स्पीड गेंस कर सकता है करेगा अपने मैक्सिमम एफर्ट से बाद में दिमाग लगा कि वो क्या चीज चेंज कर ले थीटा को ऐसा चेंज करे कि उसकी जो रेंज है वो कैसी आए मैक्सिमम जो वो long jump लेना चाहता है वो कैसी हो maximum theta की help से range उतनी ज़ादा होगी u जितना ज़ादा एंगिल अगर 45 डिगरी होगा तो रेंज हमारी कैसी होगी मैक्सिमम होगी बाब बोलोगे कैसे निकाला तो अगर आपने मेरा डिफरेंशियेशन का वीडियो देखा है तो बहुत अच्छी डी आर बाई डी थीटा की वैलू जीरो हो जहां पे डी वाई बाई डी एक्स जीरो होता है वो जगह मैक्सिमा की होती है यह हमने आपको बताया था तो इसको डिफरेंशेट कर लो विद रिस्पेक्ट टू थीटा तो डी आर बाई डी थीटा हम निकालेंगे और जी ऐजिटिस र जी रो हो जाए मतलब यू स्क्वेर कॉस्ट टू थीटा मल्टीप्लाइड बाई टू डिवाइड बाई जी इक्वल्स टू जीरो बच्चों यह पूरी quantity 0 तब होगी जब U 0 हो या तो यह 0 तो यह चीज 0 होगी तो cos 2 theta is equal to 0 अब cos 0 कब होता है 90 degree पे मतलब 2 theta की value कितनी होगी 90 मतलब theta कितना होगा 45 तो at 45 degree the range is maximum और वो एक बार ए और कब आती है जब angle of projection कितना ले ले? 45 degree, ground से, ground वाले case में तो बच्चों ये projectile motion की basic चीज़े बताई इसके बाद आता है कि projectile motion की जो path है, वो कैसी path है? तो projectile motion की बच्चों जो path है, वो है parabolic path कैसी path है? parabolic यह जो path लेता है projectile motion इस path को हम circular नहीं बोलते हैं parabolic बोलते हैं यह जो path है यह मैच में इस कर्व का नाम रखा गया है पैराबोलिक कर्व या प ठीक है पैराबोलिक या पैराबोला यह सर्किल नहीं है यह स्ट्रेट लाइन नहीं है यह पैराबोला का कर्व है बच्चों पैराबोला के कर्व ऐसे होते हैं मैथ्स में या तो ऐसा कोई कर्व बना हो या तो ऐ जो हमारा projectile motion है इसकी जो path होती है, वो path कैसी होती है? Parabolic. तो यार देख के तो decide नहीं करना चाहिए ना, क्योंकि हम science पढ़ रहे हैं, physics पढ़ रहे हैं, देख के decide तो circle भी हो सकता है, ना. तो इसके लिए हमें condition है, जो देखनी पढ़ेगी. और बच्चों parabola की जो condition होती है वो होती है y square is proportional to x दिखाना पड़ेगा y square is proportional to x parabola का जो equation होता है उसमें एक term y square का होना चाहिए एक term x का होना चाहिए जो parabolic equation बनती है तो ideal equation होती है y square is equal to 4ax तो इस form में अगर projectile की equation को हम express कर सके तो projectile parabolic होगा नहीं कर पाए तो parabolic नहीं होगा तो हमें कुछ इस form में projectile की equation को लाना है क पूरे टॉपिक को बच्चो जो नाम किताब में देते हैं, वो देते हैं equation of trajectory. क्या नाम देते हैं? equation of trajectory. trajectory का मतलब होता है path. एक्वेजिन आफ ट्रेजेक्टरी वह होती है जो वाई और एक्स को रिलेट करें कि भी कोई भी पार्टिकल मोशन कर रहा है उसके वाई 2x है, तो माल लो जब x में 1 meter चलेगा, तो y में 2 meter चलेगा, x में 3 चलेगा तो y में 6 चलेगा तो ऐसी equation बनाकर देना जो particle के x और y को relate करे और बताए कि उसकी path कैसी है उसको बोलते है equation of trajectory equation of trajectory में बच्चों time का term नहीं होता no term of t या time ताइम का टर्म नहीं होता, इसमें सिर्फ हम y और x को relate करते हैं, कि जब x इतना होगा तो y कितना, या जब y इतना होगा तो x कितना, मतलब projectile motion में से हमको time को हटाना है, और y और x को relate करना है एक normal सा projectile motion हम ले लेते हैं initial velocity मान लेते हैं u angle मान लेते हैं theta मान लेते हैं t time बाद particle यहां पहुचा कितने time बाद? t time बाद particle यहां पहुचा तो x में आगे बढ़ा x y में उपर गया y अब हमें y और x को relate करना है इस point तक तो motion को consider करो x direction में और y direction में initial velocity in x direction कितनी होगी बच्चों u cos theta initial velocity in y direction कितनी होगी यू साइन थीटा, एस्कलेशन इन एक्स डिरेक्शन कितना है? जीरो, एस्कलेशन इन याद डिरेक्शन है? माइनस जी, कितने टाइम तक चले टी, अपलाई कर दो दोनों तरफ, S is equals to U T plus half A T square, यहाँ S की ज S is equals to U T plus half A T square, S की जगा कितना रखोगे, Y, Y में displacement, U की जगा U sine theta, T की जगा T, plus half A की जगा minus G multiplied by T square, अब इन दोनों को आपको relate करना है, और इसमें से क्या हटाना है, time, time को eliminate करना है, time को eliminate, तो यहाँ से हम T की value निकाल लें, T is equals to, x बराबर u cos theta और t की इस value को यहाँ पे put कर दे, काम खतम, t की value यहाँ put करोगे, y और x का relation मिल जाएगा, तो आएए t की value put करते हैं और y और x का relation देखते हैं, ठीक है, तो y is equals to क्या बना है, u sin theta multiplied by t, t की जगह x upon u cos theta, प्लस यहां पर माइनस लगा है तो माइनस हा�� जी टी स्क्वेर टी की जगह एक्स स्क्वेर अपन यू स्क्वेर कॉस square थीटा ठीक है टी का स्क्वेर एक्स स्क्वेर अपन यू स्क्वेर कॉस्ट पेटीटा यू ने यू को मारा वाइस इक्वेल्स x sin theta upon cos theta tan theta minus half g x square upon u square cos square theta ये आया y और x का relation इसी को बोलते हैं equation of trajectory equation of trajectory बहुत बेटर होगा आपको याद हो जाए y is equals to x tan theta minus half g x square upon u square cos square theta अब इस equation देखो y का term भी है और x square का term भी है मतलब ये कौन सी equation है parabola अगर y और x होते सिर्फ y और x होते तो straight line अगर y square और x square होते तो circle अब y और x square निकले तो parabola, वैसे कुछ और भी condition है पर आपको exam में वो show नहीं करनी है, ये equation of trajectory है, किसकी, projectile की, y is equals to x tan theta minus half gx square upon 2u square cos square theta, निकालने का तरीका, x direction का motion, y का motion, time की value निकाल के यहाँ put कर दो, exam में ये बहुत आता है, बहुत important path है, ठीक है, तो आपको अ� और उसकी जो equation है तो वो है y is equals to x tan theta minus half g x square upon u square cos square theta this is the equation of trajectory for a projectile motion यह derive करने को exam में पूछता है तो आप derive कर लेंगे time के term को हटाना है x और y के motion को consider करना t time तक time की value x वाले इसमें निकाल के वाले में पोट कर देना अब इस पर क्वेश्चन क्या बनता है क्वेश्चन ऐसे बनता है कि मान लो एक equation है y is equals to ax minus bx square अब आपसे बोला दिस इस दिए क्वेश्चन फॉर प्रोजेक्टाइल motion this is the equation for what for projectile motion for what projectile motion after which I find initial velocity angle of projection take a up to you put up थीटा पूछा, आपसे कहा initial velocity निकालिये, angle of projection, आपसे कहा time of flight निकालिये, आपसे कहा maximum height निकालिये, आपसे कहा range निकालिये, तो बच्चों क्या करो, इसको आप एक ideal equation से compare कर दो, तो x के साथ क्या लिखा है, tan theta, मतलब एक इसके equal हो जाएगा tan theta के फिर b को x square के साथ जितने terms हैं उसको b से equate कर दो मतलब b is equals to half g u square cos square theta यह मिल गया अब आपको यहां से u निकालना है कैसे निकालोगे यहां से देखो tan theta का मतलब sin theta बराबर cos theta is equals to a बोल सकते हैं यहां से यह दर गया तो u square is equals to g upon 2B cos square theta यह आएगा अच्छा अब क्या करें हम देखो tan theta किसके equal है एक यहाँ एक triangle बनाओ इसको बोलो theta tan theta क्या होता है tan theta होता है perpendicular upon base तो हम बोल सकते है tan theta is equal to a by 1 यहाँ से यह कितना आ जाएगा बनते हो under root a square plus 1 up g upon 2b कॉस्ट स्क्वेयर थीटा यहां से कॉस्ट थीटा की वैलू बताओ कितनी होगी वन अपन अंडर रूट ए स्क्वेयर प्लस वन कॉस्ट स्क्वेयर थीटा है तो वन अपन ए स्क्वेयर प्लस वन तो यह जी इंटू ए स्क्वेयर प्लस वन अपन ट� तो U square 2 sin theta cos theta by G या maximum height एक बार U और theta आ गया तो सारे काम हो जाएंगे कैसे निकाला समझ में आया A को इस से compare किया तो tan theta एक equal आया फिर मैंने क्या बोला tan theta is perpendicular upon base यहां triangle बनाया A by 1 is 1 to the root A square plus 1 तो बच्चों इस तरह से equation of trajectory question solve करते हैं ये projectile motion का बड़ा ही basic lecture था और starting थी ठीक है अब अगले videos भी projectile पे आएंगे जिसमें किसी height से ball को फेकेंगे किसी height से ball को फेका, ऐसे नीचे गिरी, ऐसे, ठीक है, ground से