І так, для того, щоб почати наш курс, нам потрібно розглянути перелік позначень. Це основні позначення, які будемо використовувати протягом нашого курсу, і взагалі позначення, з якими працює сучасна математика. Перші три позначення це логічні зв'язки. Перша з них це заперечення логічного виразу, тобто не ставиться… для того, щоб заперечити певне твердження.
Наприклад, сьогодні четверта. Якщо я ставлю перед цим твердженням «не», то я отримую твердження «сьогодні не четверг», тобто заперечення. Відповідно, також використовується логічна зв'язка «і», тобто коли наступають дві події, і перша, і друга. А також логічна зв'язка «або». Наступила перша подія або друга подія.
Наступне позначення це позначення логічного слідування. Тобто, з першого твердження логічно слідує друге твердження або випливає з нього. П'ята зв'язка це логічна рівносильність.
Тобто… Це фактично позначення логічної зв'язки випливає в обидві сторони. Тобто, з першого слідує друге, і з другого логічно слідує перше. Тобто, фактично ми маємо ось таку ситуацію. З А слідує Б, і з Б слідує А.
Це є логічна зв'язка рівносильності. Ось таке позначення будемо використовувати для порожньої множини, що це ми сьогодні надамо визначення. І для означення певного об'єкту ми будемо використовувати ось таке позначення, двокрапка дорівнює, це надання рівності.
Наприклад, ми будемо використовувати певні величини і для того, щоб... Математичною мовою їх визначити, використовуємо ось такий символ. Наступні позначення. В матеріалах, які я вам буду надавати, використовується початок і кінець доведення тверджень, теорем. Також використовуються квантори математичні, їх два основних.
Це квантор загальності. який читається для будь-якого, і квантор існування читається, як існує. Якщо за квантором існування йде знак оклику, то це означає, що існує єдиний елемент, який відповідає певному твердьому.
Як вони застосовуються? Наприклад, розглянемо запис прикладі 0. які читаються наступним чином. Для будь-якого х виконується твердження Т від х. Тобто, яке б ми х не обрали, справедливим є Т від х. Існує х, для якого виконується Т від х, означає, що існує хоча б один такий елемент х, для якого буде справедливе твердження.
Якщо ми, наприклад, додамо зв'язку Н, В цьому випадку ми отримаємо, наприклад, ось таке твердження, що не існує х, яке б задовільняло Т від х. Тобто ми можемо також використовувати різні логічні зв'язки. Або не існує.
що задовільняє твердженню Т від Х і, наприклад, ще якомусь твердженню П від Х. Тобто, за допомогою логічних зв'язок ми можемо формулювати різні математичні твердження. Якщо ви з ними були ще не знайомі, то я думаю, що до кінця вересня ви з ними вже добре познайомитесь і будете використовувати наші дисципліни.
До переліку позначень є запитання? Ні. Немає. Рухаємося далі.
Єдине, я вас забула попереджити, я користуюсь безкоштовною версією Zoom, тому через 40 хвилин в нас буде перерви, коли закінчиться сесія. Це означає, що через 40 хвилин конференція вимкнеться, я записую відео, воно формується... Близько п'яти хвилин, фактично, це є перерва між півпарами.
Після того ви знову заходите за цим самим посиланням і чекаєте, поки почнеться конференція. Тобто, друга півпара на 40 хвилин. Добре?
Так. Щоб ви не лякались, просто перезаходите за тим самим посиланням. Так.
І питання перше, розділ першого. яке називається «Основні позначення» і «Математичні поняття», ми розглядаємо множини, підмножини і операції над множинами. Значить, видатний німецький математик, засновник теорії множин, Георг Кантор надав таке неформальне означення поняттю «множини». Тобто, підмножиною ми розуміємо об'єднання в одне ціле, зібраних на основі певної ознаки об'єктів, які можна відрізнити один від одного.
Що це означає? Тобто, це означення не є математично строгим, оскільки воно апелює до інших поняттів, які, наприклад, раніше були невизначені. Ну, наприклад, що таке ознаки об'єктів і як ми їх можемо відрізняти один від одного? Саме тому таку теорію... Вважають наївною теорією, проте основні поняття можна звести до наступних.
По-перше, множина може складатись з будь-яких об'єктів. Головне, щоб вони відрізнялись одне від одного. Тобто в множині не можуть міститись однакові елементи. Кожну множину ми однозначно будемо визначати набором елементів, які в ній знаходяться.
А також ще одне зауваження. Якщо ми будемо задавати певну властивість, то ця властивість буде однозначно визначати множину об'єктів, яку ми задаємо. Множину, як правило, позначають фігурними дужками, якщо задають її через певну властивість. Тобто, у нас, наприклад, задано множину... які належать всі такі елементи х, для яких використовується властивість П від х.
Або множину можна задавати, якщо зрозуміло, про яку множину йде мова, великими латинськими літерами. При належність елементу х маленьке до множини х велике позначається наступним чином. за допомогою символу приналежності, як українська літера «є». І читається воно, як «х» належить множині х великим. Або навпаки можна записати церівносильний запис.
Давайте для прикладу розглянемо множину А великим. Ця множина представляє собою латинську абетку. Як бачите, оскільки... Розмір множини доволі великий, щоб не перераховувати всі елементи, ми можемо використовувати три крапки.
В цьому випадку ми з вами розуміємо, про яку множину йдемо. Множини також можна позначати латинськими літерами з індексами і безпосередньо перераховувати їх елементи. Елементами множини можуть бути будь-які об'єкти, в тому числі і геометричні фігури.
Крім того... студенти можуть утворювати множину, тобто студенти однієї групи утворюють множину, студенти потоку утворюють множину. Вас можна об'єднати за певною ознакою, і крім того, ви всі відрізняєтесь один від одного. В прикладі 1.1 наведено також елементи 1.1.2.3, які також... записано в об'єднанні.
Проте це не множина, оскільки тут містяться два однакових елементи, це дві одинички. Таку сукупність, як правило, називають сімейством. Тому, ще раз, в множині всі елементи можна відрізнити один від одного. Означення перше, дуже важливе.
По-перше, множина. А буде називатись підмноженою множини B і позначатись ось таким чином за допомогою знаку приналежності, проте без середньої квалишки. Тобто А є підмноженою множини B або B містить в собі А в якості підмножини, якщо виконується наступна умова.
Для будь-яких елементів... Х. Якщо Х є елементом множини А, то Х буде елементом множини В.
Тобто, фактично, ось це означення, що А є підмноженою множини В, ми можемо записати ось таким чином. Це і буде наше означення. Якщо множина А є підмноженою множини В, і при цьому множини не рівні, то в такому випадку множину А будемо називати власною, підмножиною множини В. Дуже важливим є поняття порожньої множини, тобто такої множини, яка не містить жодного елементу. В теорії множин вважають, що будь-яка множина містить в собі порожню підмножину В.
порожню множину в якості підмножини. Крім того, кожна множина є підмножиною самої себе. Тобто, для кожної множини ми можемо виділити дві підмножини, які є невласними підмножинами, тобто порожня множина і сама множина. Решта підмножин, вони будуть власними, тобто вони будуть... під множинами певної множини, але їх елементи, кількість елементів, не буде співпадати з кількістю елементів більшої множини.
Давайте подивимось приклад. Ще одне означення і потім вже приклад. Значить, означення рівності множин. Визначається через означення підмножини.
Тобто, множини А і В будуть рівними між собою тоді і тільки тоді, коли А є підмножиною множини В, а В є підмножиною множини А. Тобто, фактично, коли ми говоримо, що множина А дорівнює множині В, то це фактично означає, що множина А входить до множини В, а множина В входить до множини А. Зокрема, на цьому означенні оґрунтується доведення рівності для багатьох випадків, для множин. В прикладі наведено класичні множини.
Значить, перша множина Н Це множина натуральних чисел. Ми завжди будемо таким чином позначати множину натуральних чисел. Множина натуральних чисел складається з яких елементів? Вона завжди починається з одинички, так? Далі.
Один, два, три і так далі, і до нескінченості. Множина натуральних чисел, в свою чергу, є підмножиною множини цілих чисел. Множина цілих чисел складається з чисел 0, плюс-мінус 1, плюс-мінус 2, і так до нескінченності.
Наступна множина це множина раціональних чисел. Множина раціональних чисел представляє собою всі дроби, які можна представити у вигляді скінченного дробу. Це числа виду m поділити на n, де m представляє собою ціле число, а n представляє собою натуральне число.
При такому означенні знаменник дробу ніколи не перетворюється на 0, а знак раціонального числа визначається знаком чисельника дробу. Множина r Це множина дійсних чисел. Тобто це всі числа від мінусної скінченності до плюсної скінченності. І множина С це множина комплексних чисел, які ми можемо визначити ось таким чином, як А плюс Б помножене на І, де А і Б представляють собою дійсні числа.
Таким чином. Ми з вами знаємо, що множина цілих чисел містить в собі множину натуральних чисел. Саме це і записано в прикладі 1, що множина натуральних чисел є підмноженою множини цілих чисел, в той час як множина цілих чисел є підмноженою множини раціональних чисел і так далі.
Проте це не виключає того, що, наприклад, множина натуральних чисел є підмноженою множини раціональних чисел. раціональних чисел, або множина цілих чисел є підмноженою множини комплексних чисел. Це те, що стосується підмножин. Позначення основних множин, наведені в прикладі 1, у нас будуть зберігатись протягом всього курсу. Наступне означення.
Булана множини називається множина всіх підмножин множини А і позначається як двійочка в степені імені множини, тобто 2 в степені А. А також використовується означення як Б від А, де Б означає булеан. Для прикладу. Ми з вами можемо розглянути множину А, яка складається з трьох елементів.
Один, два, три. Ну і що це? Тоді булеаном є множина, яка містить всі підмножини множини А.
По-перше, підмножиною множини А є порожня множина, тому ми її включаємо до булеану. Крім того... Ну і що це?
Підмножинами також будуть кожний елемент окремо, тобто 1, як підмножина 2, як підмножина 3, а також решта сполучень з множини елементів. Наприклад, всі можливі сполучення по два елементи є підмножинами множини А, тобто 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3. Таким чином... Буліан для множини А з трьох елементів представляє собою множину, яка містить, в свою чергу, вже вісім елементів. Чи є запитання до попередніх означень?
Можна випрос? Ірраціональні значення не використовуються? Ірраціональні числа використовуються в нашому курсі, проте, наприклад, ви знаєте, що множина ірраціональних чисел не містять спільних елементів, правда?
Тому, в принципі, якщо ми для множини ірраціональних чисел будемо використовувати літеру «і», то ми можемо написати, що множина ірраціональних чисел є підмноженою… Множини дійсних чисел і підмноженої множини комплексних чисел. Ми з вами будемо доволі детально розглядати основу побудови множини дійсних чисел. Тому ми ще будемо розглядати і раціональні, і ірраціональні числа, і більш детально розглядати. Ще запитання. Що таке булаант множини?
Булаант це множина всіх його підмножень. Давайте розглянемо ще тоді якийсь приклад. Наприклад, я візьму множину А1, яка буде містити літери А, Б і трикутничок. Що буде булаантом такої множини?
По-перше, була Ампу означається як 2 в степені А1 і представляє собою всі можливі підмножини нашої множини А1. Порожня множина є підмножиною будь-якої підмножини, тому я запишу сюди також порожню множину. Потім підмножиною А1 буде також множина... яка буде містити один елемент А.
Тобто я правильно розумію, це елементи, які можна змішувати, або просто вони по одному, правильно? Це підмножини. Ну, фактично...
Всі, які можуть бути, правильно? Варіанти... Всі варіанти, так.
З цих трьох, все зрозуміло, дякую. Дивіться, наприклад, підмножина А, ну, або множина, яка містить лише один елемент А маленьке, є підмножиною множини АВ трикутнича, правда? За означенням, що будь-який елемент, що належить цій множині, також належить множині А1.
Тобто всі можливі варіанти, які можуть існувати, всі можливі підмножини, множини А1. Це одноелементні множини, а також усі різні сполучення цих елементів. Крім того, сама множина є підмножиною самої себе. Ми про це також говоримо.
Так, все, дякую. Так, рухаємося далі. Ми з вами зараз розглянемо декілька означень, які дозволяють нам визначати операції над множинами. Перша операція це доповнення множини А в множину Х.
Воно позначається як А з лінією зверху. І за означенням доповнення множини А нісить всі такі елементи з множини Х, що не належать множині А. Якщо ми з вами будемо використовувати діаграми Ейлера для ілюстрації операції над множинами, то, наприклад, множину Х, яка містить Всю можливу сукупність об'єктів задачі, яку ми розглядаємо, я можу зобразити у вигляді квадрата. А множину А у вигляді певної області в цій множині Х.
Тоді доповненням множини А в Х буде вся заштрихована область, тобто всі елементи, які не належать множині Х. Оце і буде. наше доповнення множини А. Наступне означення це об'єднання множин.
Об'єднання множин називається множина, яка позначається через символ union об'єднання, і яка… складається з тих елементів з множини Х, що належать або множині А, або множині В. Для того, щоб наглядно продемонструвати об'єднання множин, я знову ж таки можу використати загальну множину Х і довільне розташування елементів множин А і В. Тоді на діаграмі Ейлера для об'єднання множин А і Б за означенням будуть належати всі елементи з заштрихованої області, тобто всі елементи, які належать множині А або множині Б.
Причому ті елементи, які одночасно належать множині А і множині Б, ми будемо враховувати лише один раз. Наприклад, якщо я розгляну множину А, яка складається з елементів 1, 2, 3, а множину В таку, що складається з елементів 2, 4, 6, 8, то в такому випадку об'єднання множин А і В буде 1, 3, 4, 2, 6, 8. Тобто всі елементи, які належать і першій множині, і другій, двійка враховується лише один раз. Наступне означення. Множин називається множина, яка представляє собою ті елементи множини Х, що належать одночасно і множині А, і множині В. При цьому перетин множин позначається як перевернути символ об'єднання.
Значить, на діаграмі Ейлера ми, відповідно, для перетину множин А і В Отримаємо наступну область. Тобто, якщо ми маємо використовувати тільки ті елементи, що належать А і належать Б, то ми спочатку можемо виділити ті елементи, які належать в множині А, потім ті елементи, які належать в множині Б, і тоді область з подвійним штрихуванням це і є наш перетин. множин, оскільки в ній містяться ті елементи, що належать і множині А, і множині Б одночасно.
Тобто, якщо повернемося до попереднього прикладу, коли А було 1, 2, 3, а Б 2, 4, 6, 8, то ми отримаємо для перетину лише одноелементну множину, що буде містити двійку. Означення наступне. Значить, різницею множин називається множина, яка містить лише ті елементи з множини Х, які належать множині А і не належать множині В.
Означається.