Tam Diferansiyel Denklemler

1. Derece Diferansiyellerin Çözüm Yöntemleri

• 1. derece diferansiyeller üzerinde çalışıyoruz.
• Şu ana kadar ayrılabilir diferansiyel denklemleri ve integral çarpanı metodunu işledik.
• Şimdi tam diferansiyel denklemler konusunu inceleyeceğiz.

2. Tam Diferansiyel Denklemler

• Tam diferansiyel denklemler belirli bir formatta verilmiş diferansiyel denklemlerdir.
• Format:
  mdx + ndy = 0
• Bu formata getirilmiş diferansiyel denklemlerde belirli bir şart sağlanmalıdır.

3. Tam Diferansiyel Kontrolü

• Diferansiyeli tam olup olmadığını kontrol etmek için:
  • M'nin y'ye göre kısmi türevi alınmalıdır.
  • N'nin x'e göre kısmi türevi alınmalıdır.
  • Eğer bu iki türev birbirine eşitse diferansiyel denklem tamdır.

4. Kısmi Türev Tanımı

• Kısmi türev, yalnızca verilen değişkenin türevini alarak diğer değişkenleri sabit kabul etmek demektir.

5. Tam Diferansiyel Çözümü

• Eğer diferansiyel denklem tam ise:
  • M dx ve N dy'nin integralleri aynı sonucu vermelidir.
• İki integralin sonucu birbirine eşit olmalıdır.

6. Örnek: Tam Diferansiyel Çözümü

• Örnek Denklem:
  2xy - 9x^2 dx + (2y + x + 1) dy = 0
• M = 2xy - 9x^2 ve N = 2y + x + 1
  • M'nin y'ye göre türevi: 2x
  • N'nin x'e göre türevi: 2x
• İki türev eşit olduğu için bu diferansiyel denklem tamdır.

7. İntegral Hesaplama

1. M'nin integralini al:

   • x'e göre integral:
     • (2xy - 9x^2) dx = x^2y - 3x^3 + C_y

2. N'nin integralini al:

   • y'ye göre integral:
     • (2y + x + 1) dy = y^2 + xy + C_x

3. Sonuçların Eşitliği:

   • x^2y - 3x^3 + C_y = y^2 + xy + C_x

8. Başlangıç Koşulu

• Örnek Denklem için başlangıç koşulu:
  y(0) = 2
• Başlangıç koşulunu uygula:
  • C'yi bulmak için denklemi düzenle.

9. Sonuç

• Çözüm:
  • x^2y + 4x - 6y = C
• C'nin değeri başlangıç koşulu ile bulunur ve çözüm elde edilir.

10. Gelecek Dersi

• Gelecek derste integral çarpanı ile tam olmayan diferansiyel denklemler üzerinde durulacak.