tam diferansiyel denklemler 1 derece diferansiyellerin çözüm yöntemidir 1 derece diferansiyeller de şimdiye kadar ayrılabilir diferansiyel denklemleri işledik integral çarpanı metodunu işledik çarpanı metodu Şimdi de 3ün yöntemimiz olan tam diferansiyel denklemler ve çözümünü inceleyeceğiz tam diferansiyel denklemler diferansiyel denklemin belirli bir formatta verilmiş halinde bir şartın gerçekleşmesini ister 1 derece diferansiyelin belli bir verilmiş halinde dedik bu hal nedir şudur mdx + ndy = 0 diferansiyel denklem dy ve DX biçiminde ayrılmış ve D DX önünde bir katsayı D y'nin önünde bir katsayı haline getirildiğinde tam alıp olmadığını kontrol için bir yöntemimiz var İstediğimiz her an bir diferansiyeli bu formata getirebiliriz bir örneğini vereceğim Ondan sonra Burada konuştuklarımı devam edeceğiz genellikle bize bu formatta verip tam diferansiyelleri çözmemizi isterler Ama bu formatta verilmediğinde de biz bu formata getirip tam diferansiyelleri çözmeyi dene şimdi y'nin türevi bunun katsayısı 2x olsun burada 3x K - Y + 1 olsun buradaki y'nin türevi yerine dy / DX yazarsak 3x K - Y + 1 DX ile bu tarafı çarparsak 2x dy = 3x K - Y + 1 DX aynı tarafa toplarsak 3x K - - Y + 1 DX bunu bu tarafa alırsak arayı Art yapıp eksiyi bu 2 x'in önüne alırsak dy = 0 Alın size işte M Burası n de burası M DX ndy formatına getirdik bütün 1 derece diferansiyelleri istediğimiz an yin yerine dy / DX yazarak bu formata getirebiliriz Tamam şimdi bu formata getirilmiş bir diferansiyel denklem 1 derece diferansiyel denklem Eğer ki şu şartı sağlarsa DX önündeki m'nin yani X'in önündeki m'nin Y'ye göre kısmi türevi alınacak Y'ye göre kısmi türevi alındığında bu y'nin önündeki n'nin x'e göre kısmi türevi alındığında Eğer ki bu ikisi birbirine eşit çıkarsa diferansiyel tamdır denir diferansiyel tamdır denir yani bu diferansiyel denklem tam diferansiyel denklemdir şimdi kısmi türevin ne olduğunu hatırlıyoruz diye ümit edelim burada kısmi türev şudur Y'ye göre normal türev şu şekilde yazılır DM / dy kısmi türev ise Çengelli bir şekilde yazılır şu şekil ile Bunun anlamı kısmi türevde sadece ylila sadece gidip ylin türevini alacağız m'nin içindeki onların türevlerini alacağız diğer bütün harfleri sabit sayı kabul edeceğiz Burada da n'nin içindeki sadece X'in türevini alacağız diğer harfleri sabit sayı kabul edeceğiz diferansiyel denklem tam çıktı diyelim bundan sonraki adım ne olacak peki diferansiyel denklem tam olunca Yani bu şu şart sağlandığında diferansiyel denklem tam olunca Buradaki en başlangıç halindeki M DX integrali ve buradaki n d y'nin integrali aynı sonucu üretirler aynıdır biz bu Bunların aynı olmasından çözüme ulaşacağız iki integralin sonucu birbiriyle aynı olacak Biz de diferansiyel denklemin çözümüne bu ikisinin aynı olmasından ulaşacağız tam diferansiyeller en kolay diferansiyel denklem çözme tekniklerinden birisidir Tabii türev ve integrale belli düzeyde hakim isek bir diferansiyel tam çıkarsa yani m'nin Y'ye göre türevi n'nin x'e göre türevine eşit çıkarsa bu başlangıçtaki mx' integral sonucu nd y'nin integral sonucuna eşit çıkmak zorundadır ve bu her bir integralin sonucu bize diferansiyel denklemin çözümünü vermektedir şimdi Bir örnek üzerinden bu konuştuklarımızı daha iyi bir şekilde anlayalım 2x y - 9x k DX + 2y + x k + 1 dy = 0 diferansiyelin Çözümü nedir bize çok açık bir şekilde DX D y'yi ayırıp da vermiş zaten bu formatta bir diferansiyel denklem verildiği an ya bu bir tam diferansiyel mi diye denemeliyiz DX önündeki kısma M diyoruz D y'nin önündeki kısma n diyoruz m'nin X'in önündeki kısmın Y'ye göre kısmi türevini alıyoruz alalım bakalım Y'ye göre kısmi türev alıyorsak Sadece gidip ylila 2x y'de yli bir ifade var y'nin türevi 1 eder 2x kalır - 9x kareye gittik yli Hiçbir ifade yok bu sabit sayı kabul edilir türevi 0'dır yani buradaki 2x y - 9x karenin türevi 2x edebildi geçelim buraya n'nin y x'e göre y'nin önündekinin x'e göre kısmi türevini alıyoruz Sadece gidip x'li kısımların türevini alacağız 2 y'nin türevi 0'dır Çünkü hiç xli bir şey yok x karenin türevi 2x ir 1in türevi de 0'dır bu ikisi birbirine eşit çıktı m'nin Y'ye göre türevi n'nin x'e göre türevine eşit çıktı bu diferans tam diferansiyel bir adım kontrolümüz sağlandı bu diferansiyel denklem tam diferansiyeli tam diferansiyel olduğu zaman 2in adıma geçeceğiz şu kalemimizin rengini değiştirerek devam edelim şimdi bu diferansiyel denklem tam çıktıysa şun alıyoruz bunun integrali 2xy - 9x K DX eşittir bir de şunun integrali bu ikisinin integralleri birbirine eşit çıkmalı 2y + x k + 1 dy Eğer ki diferansiyel denklem tam çıkarsa bunun integral sonucu ile bunun integral sonucu birbirine eşit çıkmalıdır fikir tamamen budur çözümde şimdi başlayalım x'e göre integral alıyoruz 2 ve y burada sabit kabul edilir sadece X'in integralini alırız x'in integrali x k / 2 eder 2x k / 2y 2 ve y sabit kabul edildiği için sadece gittik X'in integralini aldık buraya geldik - 9x kare bunun integrali X'in üssünü bir arttıracağız oluşan üse böleceğiz - 9x K / 3 + burada C demiyoruz İşte bu tam diferansiyel çözmenin özel cli hali geliyor buraya CY diyoruz C'nin ne olduğunu alttakini de çözdükten sonra konuşacağız x'e göre integral aldığımızda çıkan sabite CY diyeceğiz Şurayı bir düzgün halde yazalım Şuradaki 2'er birbirini götürür x k y buradaki 9 ile 3 birbirini götürür - 3x K + CY şimdi alttakine gelirsek alttakini de Y'ye göre integral alıyoruz 2 y'nin integrali Y K / 2 olacağından direkt y kare sonucunu verir x karenin integrali x kare sabit bir sayı kabul edilir Y'ye göre yanına sadece bir tane y atarız integral alırken sabit sayıların integrali alınırken yanına y konulur Y'ye göre integral alıyorsak 1in integrali de direkt y olur burada da integral sonucundaki ciz CX olacak Burada Düzgünce bir daha yaza gerek yok zaten Gayet düzgün yazdık şimdi CX ve CY nedir buradaki CY alttaki integral sonucunda alttaki integral sonucunda integral sonucunda sadece Y'ye bağlı olan terimlere eşittir sadece Y'ye bağlı terimlere eşittir Bu ikisinin eşit çıkmasını bu şekilde sağlıyoruz buradaki CY sadece Y'ye bağlı olan terimlere bakarsak bir y kare var bir de y var demek ki cym y k + yd şimdi cxe gelirsek CX ise üstteki integral sonucunda integral sonucunda sadece x'e bağlı terimlerdir terimlere eşittir şimdi üstteki denkleme bakarsak sadece x'e bağlı şu var CX - 3x kür CX ve c'ler yerine yazdığımızda iki integral sonucu artık birbirlerini eşit hale gelirler 3ün ve son adımımı geliyoruz buradaki CX ve c'ler dediğim gibi yerine yazdığımızda bu integralin sonucuyla bu integralin sonucu birbirine eşittir Bu integraller herhangi birinin sonucu bizim diferansiyel denklemin çözümüdür ister alttakini alıp çözüm olarak yazacağız ister üsttekini alıp çözüm olarak yazacağız keyfimize kalmış bir şey zaten keyfimize kalmasa da İkisi de birbiriyle eşit y k + x ky + y cxi zaten - 3x K bulduk - 3x K ve en kritik adımlardan biri geliyor eş C diyerek çözüm yazılır bu birinci çözümün Yazım şeklidir veya Bunun yerine bu hocanın keyfine kalmıştır ama ikisi de doğru kabul edilir fxy = direkt şu kısmı yazarız y k + x k y + y - 3x k + c ister 2 çözümü ister 1 çözümü yazın yaptıklarımızı bir tekrar ed olursak baştan itibaren öncelikle bu formatta verilen bir diferansiyelde biz bu bu formatta verilen bir diferansiyelde tam diferansiyel mi diye kontrol ettik tam diferansiyel çıktı tam diferansiyel çıkması Bu ilk dxi kısmın integralinin dli kısmın integralini eşit olmasını sağlıyor bize bunların integraller aldığımızda CY ve CX koyduk sabitlerin Bu ikisinin sonucunun birbirine eşit olması için CY cxinst.exe daha zorlu bir örnek alalım 2y kare e üzeri x y k DX + 2xy e üzeri x y k d eş 0 diferansiyelini çözünüz şu kalemin rengini maviye çevirelim şimdi diferansiyel denklemin verilme haline baktığımızda burasının M burasının n olduğunu görüyoruz DX xin katsayısına M diyoruz yinin katsayısına n diyoruz m'nin X'in önündekinin Y'ye göre kısmi türevini alacağız şimdi Y'ye göre kısmi türev alacağız Ama burası da yli bu E'nin üstü de yli işte burada çarpımın türevi vardır birincinin türevi Y'ye göre türev alıyoruz 4y x e üzer x y k + 2y kareyi olduğu gibi yazıyoruz incinin türevi e üzer x karenin türevi e üzeri x y karenin türevi e'li ifade Aynen yazılır çarpı üzerinin türevi Y'ye göre türev aldığımız için y karenin türevini alacağız 2x y şunu bir düzgünce yazacak olursak 4y e üzeri x y k + Şuradaki 2xy ile 2y kareyi çarparsak 4 x y k y k e üzeri x y k bakalım şimdi ikinciye n'nin y'nin önündekinin x'e göre türevini alacağız Şimdi burada x'e göre türev aldığımıza göre yine çarpımın türevi var Çünkü burası x'li E'nin üstü de x'li birinci olarak 2x y ifadesini düşünelim birincinin türevi 2x y'nin x'e göre türevini alırsak X'in türevi 1 eder 2y kalır 2y x e üzer x y k + burada birinciyi olduğu gibi yazıyoruz Şimdi 2xy x e'li kısma geldik e x y k çp e Aynen yaz çarpı üssünün türevi üssünün türevini yazıyoruz xin türevi 1 eder y kare kalır Bunu da düzenleyecek olursak 2y e 2y e üzeri x y kare Art buradaki y kare ile burayı çarparsak 2x y kü B üzeri x y kare baktığımız zaman birbirlerine eşit çıkmadılar Bunlar tam diferansiyel değil o yüzden bu soruyu burada Böylece bırakıyoruz tam diferansiyel Diye yazmıştım ben örneği ama tam diferansiyel çıkmadı diferansiyeller tam olmadığında integral çarpanı bulma metodu kullanacağız Ama bu videomuzda değil bir sonraki videomuzda diferansiyel tam çıkmazsa Acaba bir integral çarpanı bulup da tam hale getirebilir miyiz diye araştıracağız ama bu videomuzun konusu o değil Şimdi bu soruyu burada noktalayalım çünkü bu tam bir diferansiyel çıkmadı Şimdi bir sonraki sorumuza geçelim Bir Başka soruya 2x y kare + 4 + 2x kare y - 6 y türev eş 0 diferansiyelini çözünüz hadi buna bir de başlangıç koşulu dağıtalım y 0 e 2 olsun Şimdi bu verilen formata baktığımızda tam istediğimiz formatta değil buradaki y'nin türevini dy / DX görür ve tüm denklemi DX ile çarparsak istediğimiz format gelecek 2x K 2x y k + 4 DX + 2x k y - 6 dy eş 0 oldu yani Şuradaki y türev yerine dy / DX yazıp bütün denklemi DX ile çarparsak tam olarak karşımıza bu gelir şimdi burası M Burası n bakalım diferansiyel imiz tam mı Birinci Adım diferansiyel denklem tam mı deniyoruz m'nin X'in katsayısı olan m'nin Y'ye göre türevini alıyoruz kısmi türevini burada y karenin türevi 2y eder 4 4'ün türevi ise 0 eder n'nin x'e göre türevini alıyoruz y'nin katsayısı olan kısmın x'e göre buradaki 2x karenin türevi 2 başa geçeceği için 4x olur Bir de yanında y var 4x y olur buradaki - 6'nın türevi 0'dır Bu ikisi birbirine eşit çıktığı için eşitler diferansiyel tam diferans diferansiyel denklem tam olduğuna göre ikinci adıma geçebiliriz şu kısmın integrali bu kısmın integral ne eşit olmak zorundadır diferansiyelin tam olmasının bize söylediği şey budur başka bir şey değil bunun integrali bunun integral eşit olacak 2x 2x k y - 6 dy ilkinin x'e göre integralini alırsak burada x'li kısmımız var x k / 2 eder O 2x K / 2 y k bunların 3ü beraber bir terim sadece xin integralini aldık değerleri sabit + buradaki 4'ün integrali 4x + CY x'e göre integral aldığımızda sabite CY diyorduk Y'ye göre aldığımızda ise CX diyorduk burada Y'ye göre integral alıyoruz Şuradaki yin integrali alınacak 2x K Y K / 2 - 6'nın integrali 6y + CX şunları bir düzenlerse buradaki 2er birbirini götürür x kare y k + 4x + CY aşağıdakini düzenlerse 2'er birbirini götürdü x k y k - 6y + CX CY aşağıdaki sadece Y'ye bağlı olan terimde o da şu cym - 6y CX imiz yukarıda sadece x'e bağlı olan terim cximage ikisi de aynı Herhangi birini alıp yazacağız üsttekini alıp yazıyorum Bu sefer alttakini de yazabilirdim x k y k + 4x C'yi - 6y bulmuştuk - 6y = C biçiminde çözümü yazarız şimdi Normalde çözümümüz burada bitti ama başlangıç koşul vardı ne demiştik başlangıç koşuluna bir alalım onu da y0 2 demişiz y 0 2 x'e 0 verdiğimizde Y2 çıkar demek bu x yerine 0 y yerine 2 koyuyoruz 0 eder Burası x yerine 0 koyuyoruz Burası da 0 eder y yerine 2 koyuyoruz -12 = c c = -1 olarak bulundu en sona da x k y k + 4x - 6y = -12 diferansiyel denklemin çözümü budur şimdi bir diferansiyel tam çıktığında integrallerin birbirine eşitliği üzerinden diferansiyel denklemi çözüyoruz bu videomuzu burada noktalayan sonraki videomuzda tam çıkmayan diferansiyeller tam çıkmayan diferansiyeller integral çarpanı aranır panı aranır integral çarpanı Bulabilirsek tam yapabilecek şekilde yine Bu yöntemle çözüme ulaşabileceği ama integral çarpanı bulamazsak demek ki tam diferansiyel ile Çözüm çözüm mümkün değildir diye geçeceğiz bir sonraki videomuz integral çarpanı yardımıyla tam diferansiyelleri çözme olacak Buradaki videomuzu burada noktalı