Vorlesung 3: Wellenfunktion und die Schrödinger-Gleichung

Einführung

• Bisher Beschäftigung mit Amplituden und Übergangs-Amplituden
• Berechnung dieser Amplituden aus klassischer Wirkung
• Pfad-Integral formuliert
  • Nochmals Wiederholung und Diskussion des Pseudo-Maßes des Pfad-Integrals
  • Elementar-Amplituden eingeführt
• Ziel: Amplituden, genannt Wellenfunktionen, berechnen
  • Diese sollen aus der Pfad-Integral-Definition in Differentialgleichungen umgewandelt werden
  • Schrödinger-Gleichung als Ergebnis

Wiederholung Pfad-Integral

• Übertragung von einem Punkt $x_a$ zu einem Punkt $x_b$ im physikalischen Raum
• Zeitdauer des Übergangs spezifiziert
• Formalisierung durch Pfad-Integral
  • Integration über alle möglichen Wege zwischen $x_a$ und $x_b$
  • Diskretisierung der Zeit in kleine Schritte $\epsilon$
  • Integration über alle möglichen Positionen zu diesen Zeitpunkten

Amplituden und Wellenfunktionen

• Übergangs-Amplituden betrachtet und Pfad-Integral formuliert
  • Normierungsfaktor $A(\epsilon)$ noch offen
• Übergangs-Amplituden umgewandelt in Differentialgleichungen
  • Schrödinger-Gleichung
  • Umwandlung von Integral in Differentialgleichung ist praktisch

Detaillierte Berechnung des Pfad-Integrals und Normierung

• Betrachtung eines diskretisierten Weges
  • Feste Endpunkte, Integration über Zwischenpunkte
  • Diskretisierung: $orall i$, Integration über $x_i$
• Berechnung der Übergangs-Amplitude für einen Zeitabschnitt
  • $ ightarrow$ $1/A(\epsilon) imes \exp(i/h̵ S(x(t)))$
  • Anwendungen auf spezielle Probleme (Wasserstoffatom)
• Berechnung und Vereinfachung der Summe aller möglichen Pfade
  • Diskussion der Bedeutung der Konvergenz und Normierungsfaktoren

Zusammensetzen von Wegen

• Amplitude für den Übergang über einen festen Zwischenpunkt $x_k$ und festen Zwischenzeitpunkt $t_k$
  • Produkt der Amplituden für Teilwege

Wellendefinition und Dynamik

• Wellengleichung für die Wellenfunktion eingeführt
  • Mehrdimensionale Fälle gleich behandelt
• Dynamische Entwicklung der Wellenfunktion mit der Schrödinger-Gleichung
  • Ableitung der Schrödinger-Gleichung
  • Beziehung der Amplitude an einem späteren Zeitpunkt zum vorherigen Zustand

Schrödinger-Gleichung

• Unterschiedliche Lösungswege für verschiedene Potentiale
  • Einteilung für spezifische Fälle: Potenziale, Kopplungsmöglichkeiten
• Fazit: Schrödinger-Gleichung als zentrale Gleichung der Quantenmechanik

Finale Summierung und Herleitung

• Zusammenfassung aller wichtigen Punkte
  • Bedeutung des Normierungsfaktors und des Pfad-Integrals
  • Dynamische Fortsetzung der Wellenfunktion

Ausblick

• Überprüfen der Schrödinger-Gleichung für experimentelle Situationen (z.B. Doppelspaltexperiment)
  • Sicherstellen der Korrektheit und Relevanz für die Quantenmechanik