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Wellenfunktion und die Schrödinger-Gleichung

[Musik] so guten morgen willkommen zur dritten vorlesung heute beschäftigen wir uns mit wellenfunktion und der schrödinger gleichung wir hatten uns bisher mit amplituden beschäftigt mit übergangs amplituden wie man die zur unterscheidung nennen könnte das ein teilchen von einem punkt iks zu einem punkt oops i lon übergeht und in diesem werk übergeht ist all das versteckt was wir nicht verstehen wie genau ist das tut aber wir wissen wir können dafür eine amplitude ausrechnen aus der klassischen wirkung für ein teilchen und was wir auch spezifizieren müssen ist die zeitdauer die wir für den übergang brauchen und wir hatten uns das letzte mal elementar amplituden angeschaut und dann unter der voraussetzung dass alle möglichen pfade als integrierende alternativen aufkommen zwischen den beiden punkten hatten wir das pfad integral formuliert das werde ich noch mal kurz wiederholen und noch kurz etwas zum naja pseudo maß des fahrt integral sagen und dann wären wir aber etwas anderes tun bewerben dann amplituden die wir dann wellenfunktion nennen das wenn ich genau einführen werden wir nicht mehr berechnen aus dieser pfad integral definition denn die ist sehr sehr umständlich sondern wir werden zeigen dass man diese umständlich aber sehr anschauliche pfad integral definition der amplitude umwandeln kann in eine differentialgleichungen für die amplitude und diese differentialgleichungen das haben sie bestimmt alles schon mal gehört das ist die schrödinger gleichung das ist also keine andere quantenphysik das ist es keine andere theorie sondern es die gleiche theorie ist einfach das problem ein integral auszurechnen verwandelt in ein problem eine differentialgleichungen zu lösen und das ist natürlich sehr sehr praktisch aber bevor wir dorthin kommen möchte ich erst noch mal kurz einige worte sagen zum letzten mal ausgeschriebenen pfad integral und seine maß und des mars schreiben wenn anführungszeichen weil es im mathematischen sinne gar kein maß ist und das ist ein offenes problem wie das also ganz kurz zusammengefasst hatten wir uns letztes mal angeschaut amplituden übergangs amplituden nämlich für ein teilchen von einem punkt xa zu einem punkt xb im physikalischen raum zu gelangen und wir haben verabredet für diese vorlesung dass wir uns da einfach eine karte hernehmen des flachen nutrition raumes in der man das hat was man üblicherweise charakteristische koordinaten nennt oder was man etwas verfeinerten betrachtungsweise koordinaten nennt in denen die gamma symbole alle verschwinden für diejenigen von ihnen die die letzten zwei sätze nicht verstanden haben ignorieren sie die wir nehmen uns also hier den physikalischen orts raum und wir spezifizieren aber auch die zeitdauer und das letzte mal hatte ich einfach nur die differenz der zeiten notiert bei denen das teilchen losläuft und derzeit bei der das teilchen ankommt wir können die natürlich auch explizit notieren dann haben wir so eine amplitude hier und der ja doppelpunkt gleich gleich wie auch immer jetzt hatten wir dann das fahrrad integral formuliert und wir haben gesehen um eine solche amplitude auszurechnen und alle möglichen wege zwischen xa und xp als integrierende möglichkeiten zu nutzen hatten wir die zeit des kritisiert in großen viele schritte nicht die räumliche achsen des kritisiert sondern die zeitachse aber selbstverständlich eine solche diskriminierung die möchten wir dann wieder entfernen und wir hatten der einfachheit halber eine äquidistanz dies kritisieren oder weil es die zeit ist eine app wie temporäre dies kritisieren genommen aber am schluss wollen wir die entfernte wurde so ganz ganz kleine zeit schrittchen machen deswegen kam dass ein limes vor und dann kamen für jeden zeit schritt haben wir über alle möglichen positionen integriert also für den iren zeit schritt haben wir überall die icsi integriert die da aufkommen also dieses ihn läuft wirklich von 1 bis 10 bis endlich aber erinnern sich noch mal an diesen dieses bild mit dem rechenschieber mit den ganzen perlen die mit gummiseilen verbunden sind den anfangspunkt halte ich fest den endpunkt halte ich fest wie es will ich alle wege zwischen zwei festgehaltenen endpunkten das heißt ich fange erst nicht beim nullten schieber anzuschieben denn das ist fest kein soll beim ersten zweiten dritten und das ente halte ich auch wieder fest dass heißt die letzte integration läuft über xl1 welche die endpunkte festhalte das heißt wir haben hier bin ich das mal so formal auf schreiben darf nehmen wir ganz viele integrale mit der x1 x2 bis dx11 und es notiere ich jetzt einfach mal so aber es ist einfach bedeuten soll es ganz viele sind integrale hintereinander mit dx 1 bis 6 m - 1 ja also nicht erschrecken dass von diesem komischen summen symbol das war das und dann hatten wir eine normierung faktor den hatten wir a genannt den hatte ich davon enden genannt und ns die alles halt dieser diskret easy rungen etwas einziges reicher nennt man dna von apps i lon aber das epson hat direkt mit diesem dies kritisieren zu tun denn apps i lon ist also die gesamtzeit dauert die ich da hat unterteilt in endteile das ist unser epson ist unser kleiner zeit schritt jetzt auch delta t nennen können und für jeden faktor in kommt er nochmal hoch n vor also sehen schon dieses a ich hätte das steht im appstore nennen schreiben können da steht davon n hoch ein so ein bisschen einflussreicher von apps nur noch eng und ich hatte ihm noch nicht gesagt wie die alarmierungs faktor aussieht das hatte ich offen gelassen und übergehen müssen da offensichtlich noch etwas herausfinden denn bis jetzt haben wir nicht den blassesten schimmer aber das wären wir heute auch lernen der muss eine ganz bestimmte form haben und dann hatten wir danach oder das gehörte auch für elementar amplitude und diese elementare amplitude war ein oszillierende kern ein und dann hatten wir ein durch haag wer mal die klassische wirkung also sie nehmen die wirkung ihres systems und das ist die stelle an der ein geht in die übergangs amplitude was haben sie da schöne system welche masse hat denn ihr teilchen gibt es da ein potenzial in dem sich das teilchen bewegt welche ladung hat das teilchen die interagiert das mit eventuellen feldern sie wissen das ist alles in der klassischen wirkung codiert und es ist die magie des pfad integrales dass hier auf der rechten seite eine klassische konstruktion herr einstecken und auf der linken seite eine komplexe wertige größe heraus bekommen die die wahrscheinlichkeit amplitude ist sie in die antwort auf die fragen der quantenmechanik gibt ja und hier stand das es und dieses sc wissen die wirkung die können sie ausrechnen dass es ein funktional eines konkreten weges in der klassischen physik also irgendeinen weg an setzten den indes wirkung funktional ein und die wirkung spuckt ihn zu einem konkreten weg was aus eine reelle zahlen und zu einem anderen konkreten weg spuckt ihn die wirkung eine andere reale zahl aus in der klassischen physik ist nun das spielchen man konstruiert die wirkung man modelliert die wirkung so dass der vom physikalischen systemen genommene weg letztlich weiß ich aus der beobachtung weiß dass der ein stationärer punkt des funktional ist das heißt wenn ich diesen weg einsätze gleich zum beispiel die zahl acht aber wenn ich jetzt ein bisschen davon abweichen nur ein klein bisschen von diesem weg dann bleibt das in erster ordnung immer noch nacht ein weg der nicht klassisch genommen wird da kommt vielleicht fünf raus was weniger ist okay aber wenn ich ein bisschen variieren ändert sich das bereits im ersten ordnung damit ist es kein stationärer weg das ist in der klassischen physik und der klassische musik enthält die wirkung eine ganze menge informationen über lustige wege die nie genommen werden vom system die in der klassischen physik völlig nutzlos ist die liegt einfach brach aber hier nehmen wir durch dieses konstrukt ist so eine art integral über alle wege denken sie an den rechenschieber ja da gehen auch die absurdesten wege mit ein also in der quantenmechanik die volle wirkung 1 jetzt haben wir hier den weg aber schon diskret easy tja also unser weg der hier vorliegt der fängt ja mit x0 angehen wir mit diesem xa hier gleich setzen und dann haben wir für jeden zeit schritt haben wir alle möglichen positionen betrachtet -1 bis xl dass das wieder der end to xp wir haben hier bereits einen diskreditierten weg genommen und den können wir dann zum beispiel aus diesen teilen zusammensetzt indem wir das mit geraden zwischendrin verbinden ist eine möglichkeit man kann es auch anders machen spielt keine rolle und deswegen schreibe ich ihn nicht es von xt was soll ich sein wenn ich sage es von dem weg den die stückweise durch kleine geraden zusammen setzen indem sie von x0 bis xl gehen und dann geht auch hier die exponential funktion wieder zu ja und die aufgabe ist wenn sie die wirkung für das klassische system kennen dies kritisieren sie den weg dann kriegen sie hier eine folge von summen dann nehmen sie den grenzwert wenn er denn existiert und dazu müssen wir das iphone app so zu wählen dass es überhaupt konvergiert dazu kommen wir heute noch mal aber wenn sie das schaffen dann erhält man das objekt das uns interessiert nämlich die quantenmechanische übergangs amplitude ich habe es bis jetzt immer amplitude genannt wenn es jetzt vielleicht noch ein bisschen konkret die über ganz es geht von xa nach xp über im zeitintervall tb - ta warum will ich jetzt betonen dass ich übergangs amplitude heißt weil wir heute nochmal wellen oder überhaupt mal wellenfunktion definieren das sind auch amplituden ja aber da interessiert mich nicht mehr von wo ich komme da interessiert mich nur noch wo bin ich gerade seien keine übergangs amplitude sondern nur noch einer amplitude okay also man kann diese begriffe wenn man will so etwas verschärfen üblich ist es eigentlich das alles amplitude zu nennen nur gut so sie sehen schon diese rechte seite das ist ungefähr so attraktiv wie riemann integrale über oberen unter summen auszurechnen das ist nämlich sehr unattraktiv das macht keinen spaß es kommt noch schlimmer hinzu dass dieses konstrukt hier wo man da einfach da den weg für des kritisierten dass dann da hinten einsetzt das funktioniert in vielen problemen ganz gut in den anderen sagt man nein da müssen wir jetzt irgendwie anders interpolieren und dann wird es besser sie können das buch von kleinert reinschauen berliner physiker der mit filmen gearbeitet hat auf dieses zeugs und also das ist so ein dickes buch und bis sie da das wasserstoffatom gerechnet haben das ist ganz aufwendig okay was aber zu bemerken ist dass die idee des pfad integral für mich über alle pfade zu summieren das ist eine sehr klare idee und das ist eine etwas vulgäre vielleicht technische implementierung dieser idee und man kann sich überlegen wie man das besser macht aber die physikalische bleibt die gleiche und wir könnten jetzt sehr viel zeit darauf verwenden und zu überlegen wie man diese definition auf einen größeren bereich von problemen erweitern kann ich hatte das schon angedeutet wenn sie das mit dem gewöhnlichen integral vergleichen da können sie auch ein riemann integral machen mit ober summen unter summen aber dann stellen sie fest viele funktionen sind gar nicht riemann integrierbar obwohl sie eigentlich ziemlich konkrete vorstellung davon haben was die fläche unter der kurve sein soll und dann erweitert man den integral begriff aber das integral ist immer noch die gleiche idee fläche unter der kurve erweitert man auf einen lebek integral ist dann eine technische sowie situation so was könnte man hier auch machen damit darum kümmern wir uns nicht denn heute werden wir statt diese rechte seite ausreichen werden wir hier mit beginnen und werden die schrödinger gleichung herleiten eine differentialgleichungen deren lösung uns dann auch die amplitude gibt und das ist einfach viel praktischer man kann einfach viel bessere differentialgleichungen lösen dass eine partielle differentialgleichungen als solche kruden was heißt gut und solche solche komplizierten definitionen austricksen ja also wir wandeln verwandeln dieses probleme ein anderes problem das andere problem hat dann nicht mehr diese erweiterungs problematik okay ich sollte noch hinzufügen daß sehr häufig wird dieser teil hier in der literatur geschrieben als da das fahrrad integral maß da benutzt man auch ein integral zeichen und dann macht man hier so ein geschwungenes großes d unserem kleine six und was man in diesem symbol meint ist ein integral über alle wege ja das kann nicht lange sagen also ich kann hier sagen dass das pfad integral über alle wege von xa bis xp also gebt ihr die endpunkte an also bat integral über alle wege von xa nach xp und ja das symbol muss sich erklären und sogar eine möglichkeit ist zu erklären ist durch das was da oben steht oder anders gesagt dieses mysterium mysteriöse integral über alle wege ist halt nur eine abkürzung für diesen komplizierten ausdruck ihr okay und in dieser schreibweise würde man dann wohl auch dieses ding hier da würde man diese diskriminierung nicht mehr genau nennen weil sie sehen hier wird die eeg nun endlich genommen da schreibt man aber es ist wirklich nur schreibweise sie sehen warum die hak wer er ist und da gebe ich jetzt einfach den gesamten weg an so als läge der indisch des kritisierten form vor und steht in der literatur das fahrrad integral von xa nach xp über alle pfade hoch wie durch hardware es als funktional von iks aber eigentlich können sie dieses objekt gar nicht getrennt von diesem objekt hinschreiben obwohl das hier so aussieht in dieser notation weil ja hier der limes erst genommen wird und hier dieses kritisieren noch drin steckt ja also wenn sie versuchen dieses ding wirklich alleine zu definieren da erleidet man schiffbruch der noch ist das eine sehr suggestiven notation aber sie müssen die eigentlich immer verwandeln in diese mutationen oder eben eine verfeinerung oder verbesserungen oder was auch immer davon um konkret das fahrrad integral auszurechnen ok also nur notation wir werden das kaum kaum benutzten aber dann wissen sie wo das in der literatur herkommt okay das ist das bad integral vom letzten mal und dieses ding hier rein dass hier da würde man vielleicht sagen das ist so eine art masters fahrt micra sowieso ein dx das maß des integrales ist dass das maß des fahrt integrales und es ist eben eine bemerkung wert dass das im streng mathematischen sinne gar kein maß ist ich kommentiere das später nochmal gibt soweit fragen noch zu dem oder zu letzte mal eine bemerkung ist es mir vielleicht noch wert sehen hier auf der linken seite da stehen diese anfangszeit und die endzeit und auf der rechten seite scheinen die gar nicht mehr auf zu tauchen das ist mindestens dubios aber was da tatsächlich passiert ist dass diese wirkung die ist ja für einen bestimmten weg mit festen endpunkten angegeben und wenn wir jetzt uns da machen wir hier noch eine eine gedankenlose auf den gedanken blase hat hier zu tun mit diesen angaben der zeiten was ich da hinten geschrieben habe diese wirkung oder hier unten schreibe ich immerhin die wirkung geben wir in der klassischen physik immer an als integral dt über eine ladefunktion die dann zb von xx punkt abhängt eigentlich von xv und aber dann will ich die aus der kurve iks erzeugen und dann schreibe ich hier im das ixs punkt und dies ist integral das hat für wege die ein anfang ein ende haben ist das natürlich das integral über die parameter des weges von tst b das heißt eigentlich müsste man bei der wirkung noch sagen ja wo fängt man welche parameter wert fange ich denn da an bei welchem höre ich auf dadurch dass ich den anfang seiner endpunkt in dieser diskriminierung drin habe habe ich diese information schon aber das hat ja mit diesen zeiten ta und tb zu tun ja also die tauchen auf der rechten seite sehr wohl auf ich habe es hier nur in der notation da drückt weil ich eben nicht genau hin geschrieben habe wie das fahrrad integral in schwung wie die wirkung wiederum als integral aus der branche funktion entsteht aber es steht auf der rechten seite man muss sich also keine gedanken machen dass die rechte seite in wirklichkeit unabhängig hiervon wäre sie ist es nicht okay gut so eine wichtige frage die er sowohl wichtig ist zum zum weiter rechnen von eurem ausrichtung von amplituden wenn man wirklich das fahrrad integral benutzt aber auch wichtig ist für unsere folgende herleitung der schrödinger gleichung ist eine kleine ein kleiner technischer einschub nämlich die frage wie kann ich eigentlich dass fahrt integral ausrechnen wenn ich statt eines weges von a nach b den weg in zwei teile zerteilt zu einer spezifizierten zeit ich kann ja fragen was ist die wahrscheinlichkeit dass sie von hier zur mensa kommen innerhalb der nächsten zwei stunden da die amplitude dafür ausreichend und kann aber willkürlich alle wege die ich dafür betrachten muss diese nehmen könnten ja über mond und dann nochmal zurück über moskau lanza mensa könnte ich beliebig zum zeitpunkt dreiviertelstunde von jetzt aus durchschneiden und das dann versuchen die gesamt amplitude zusammenzusetzen aus dem teil wegen zunächst mal ein bisschen eine willkürliche aktion aber werden sehen das ist sehr nützlich also wir beschäftigen uns jetzt kurz mit dem zusammensetzen von wegen und selbstverständlich könnten wir jetzt einfach den nicht dies kritisierten weg nehmen also die nicht zeit des kritisierten weg aber weil das natürlich gleich in der in dem fahrrad und egal verwenden wollen dann nehmen wir gleich einen diskreditierten weg also 60 x1 punkt punkt punkt bis xl - 1x ein bestimmter also jetzt im moment wirklich über links variiert oder integriert und ein bestimmter ein endzeit schritte in großen zeitschriften schritte des kritisierten weg also rechenschieber wird sohn so eingestellt und es gibt irgendein weg und genau den betrachten wir jetzt wird im moment kein weg geändert sind wir betrachten genau diesen weg so und dazu gehört dieses x0 schreibt nur so obendrüber x0 zum zeitpunkt null und dieses xn ist natürlich zum zeitpunkt tm und irgendwo zwischendrin ein xl ist immer zum zeitpunkt ti und wenn wir das diskret gemacht wie temporal gemacht haben dann ist die epe zeit ist natürlich t0 plus x dieses y denn das ypsilon ist tnt 0 durch und es läuft von 0 bis 10 das sind diese etui temporalen zeit punkte ok also wird nehmen uns einfach sowas her und und jetzt betrachten wir uns einen beliebigen zeitpunkt mitten drin aber einen festen beliebig aber fest ja sei weiterhin gut jetzt könnte ich meine beliebigen zeitpunkt neben der nicht auf die diskreditierung punkten liegt er gut wenn das so wäre würde ich einfach feiner dies kritisieren die sich dann beliebig nah dran bin der einfachheit halber weil wir eben sehr sehr groß machen können sage ich einfach ich meine jetzt ein die beiden zeitpunkt der schon in diesen diskreditierung enthalten ist irgendwo mittendrin nach sei weiterhin t nennen wir den denn die matte war aber einfach nur thema gleich der karten zeit schritt für und er soll jetzt wirklich mittendrin liegen also würde ich sagen für tag gleich eins also nicht gerade der anfangspunkt bis 1 - 1 also nicht gerade der endpunkt aber irgendein anderer derzeit schritte zwischendrin ja ein sehr gut dasteht schon zwischen 20 und tn liegender zeitpunkt so also hier können sie beliebig wählen aber wenn wir einmal gewählt haben schwupp haben wir den weg schnipp schnapp dort durchgeschnitten es ist völlig offensichtlich dann hat man zwei wege das ist immer noch der gleiche weg aber sie können ihn als zwei wege betrachten dann haben sie nämlich den ersten wegs 0 x1 bis xk -1 und xk sie sehen ja dass dieser zeitpunkt tb das ist der karte zeit schritt dazu gehört die karte position seit das ist der weg 1 ja gut und jetzt sind sie bei k angekommen aber der zweite weg der beginnt auch bei k s unternehmen das kann noch mal das ist ja nur ein endpunkt den haben sie dann wirklich doppelt gezählt oder sowas sondern von paris nach münchen fahren von münchner moskau ja gut dann ist die zweite fahrt von münchen am moskauer extra punkt um punkt bis xl - 1x das ist dann der weg 2 und natürlich wenn sie die hintereinander ausführen haben sie den ursprünglichen weg und dieser weg 1 der ist jetzt halt nicht in großen zeitschriften sondern ist in großkötz schritten geben und der dahinten der ist halt in großen schritten wir geben sie könnten hier natürlich wieder feinere untere teilung machen bis sie wieder endzeit schritte habe aber warum sollten wir das tun in - ist ja auch eine schöne zahlen so also es ist nichts passiert zu sehen haben das kritisierten genommen haben unterteil wir haben ein zwei wege ist alles vollkommen klar was wir jetzt einfach anschauen ist die amplitude nicht einfach eine neue tafel und jetzt nehme ich einfach wieder die amplitude des gesamt weges und rechner einfach links los war also eine der geschicktesten methoden irgendwas auszurechnen manchmal geht das nicht aber einer der geschicktesten methoden ist sie fangen links anschreiben lauter gleichheitszeichen kommen rechts raus und muss einfach stimmen ja also die allermeisten beweise dass nicht am besten so aufschreiben und wir gucken uns jetzt einfach die amplitude für den gesamt weg an das hat mir eben schon mal auf geschrieben also haben sie von xa übergang zu xp wenn wir bei arbeit ta loslaufen und bei btb ankommen wir wissen genau wie das aussieht ich hatte es eben hin geschrieben da haben wir ja können da gerne machen den grenzwerten gegen unendlich davor und dann kam erst mal eine reihe von integralen und wie schreibe ich jetzt einfach mal ein bisschen mehr aus aber wir sehen das ist genau das gleiche integral die x1 bis zum die integral dx kam - 1 dann kommt das integral dx k dann kommt das integral die xk +1 bis zum integral dx n - 1 und es ist klar vorhin stand da integral von dx11 dxs -1 sie erinnern sich an die grenzen in dem produkt zeichen und hier habe ich einfach mal spaßeshalber in der mitte das dx k und seinen linken und seinen rechten nachbarn dabei geschrieben es ist klar dass wenn ich diesen weg gehe mir völlig egal ist wie das k gewählt ist weil all diese zwischen integration vorkommen ok also hier ist noch gar nichts passiert so weit ich schreibe nur das fahrrad integral von eben hin dann haben wir diesen faktor 1 durch a von y der uns so langsam im magen liegt weil wir das gefühl haben wir müssen nicht aber was ausrechnen aber wissen nie wie dieser faktor ist das wird sich gleich gleich im nächsten abschnitt klären naja und dann kommt die exponential funktion und wenn man jetzt noch mal daran denkt wie die wirkung definiert war über ein integral also ich möchte jetzt hier natürlich schreibe nie durch hardware und dann die wirkung von diesem dies kritisierten weg wolf hat am anfang da gestanden aber was ich jetzt tue ich mache mal erlaubt wenn man den spaß die wirken gleich zu schreiben als integral tb über gt und dann die la crash funktion die hängt von iks punkte und so weiter aber das heißt ja kaufen und selbst ist ein funktional von diesem weg und da setze ich jetzt einfach diesen des kritisierten weg von 60 bis xn den setze ich ein ja das ding ist das was wir vorher es von wegs 0 bis xl genannt haben und für die zwecke der jetzigen rechnung schreibe ich einfach diese wirkung aus als ein integral in diesen grenzen über die lacrosse funktion von den orten und den geschwindigkeiten aber weil die geschwindigkeit natürlich aus der orts kurve zu bekommen sind schreibe ich das auch als funktional also steht gar nichts neues da im vergleich zu gerade eben so weit so klar okay gut aber jetzt sehe ich natürlich da habe ich ein integral das geht von t a bis c b und jetzt möchte ich einfach nur spaßeshalber mein zeitpunkt wahrnehmen der irgend ein zwischenschritt 5x sk ist und ich kann doch das integral von tk auswerten plus das integral von ck stb ich kann den integrationsbereich einfach aufspalten man muss sich ein bisschen überlegen wenn das dann funktional ist hängt dass da jetzt nur von den ihks und den ersten ablagen vielleicht noch von zweite ableitung ab wenn die lage rasch funktion nur von xx punkt ab was in der klassischen mechanik zunächst mal das übliche ist man kann das so erweitern dann geht es alles gut und dann kann ich diesen ausdruck hier diesen gesamt ausdruck mit sicherheit schreiben als sexy durch haag wer das integral von ta nur bis zum zwischenschritt dt dann kommt die lacrosse funktion na ja und jetzt ist klar der weg ist jetzt nur noch der fonic 0 was ja das xa ist bis zum punkt xk nämlich zu dem ort der dieser zeit entspricht denn das integral wird ja nur bis dorthin ausgewertet und dann kommt ein plus integral aber eher hoch irgendwas plus irgendwas da kann ich natürlich die funktion erst mal zu gehen lassen und dann nochmal schreiben mal exponential funktion also des ex gesetz für die exponential funktion benutzen und dann hier von tks tb integrieren dt naja und lacrosse funktion und jetzt hier eben den weg von iks von xk bis zu xml zuge schweifte klamm aktion ist klar dass sie diese zerlegung des weges ist einfach weil das war die wirkung von integral ist dann kann ich das integral in summe zerlegen und dann eh hochablass bsa mal hoch b-plan so jetzt schauen wir noch mal bitte ja richtig das ist weil ich die endpunkte ja festhalten und diese integrationen stehen wollen von hier nach hier sie haben hier diesem rechenschieber sie haben auf jeder zwischen dings eine perle und die frage ist wie komme ich von fest vorgegebene mixa zuvor geben xp das heißt auf der nullten schiene und der enten schiene das ist nämlich gerade halten sie fest und wenn jetzt über alle wege zwischen diesen beiden festen punkten gehen dürfen sie natürlich diese festen punkte nicht ändern vermutet die dazwischen deswegen ist die erste integration auf der eins ebene und die letzte auf der n1 ebene das war die frage ja genau das ist das ist die und das ist eine sehr wichtige frage noch mal ich hatte es auch eben schon mal gesagt denn genau diese einsicht müssen wir genau jetzt noch mal rückwärts anschauen und ich schaue jetzt mal hier auf diese letzte exponential funktion sehen sie da geht der weg von xk bis xn richtig und jetzt wähle ich mir hier vorne nur diesen teil was ich werde ihnen aus ich betrachte nur diese folge von integral aber nicht das integral über dsk denn wenn ich eher hoch die wirkung von ck stb habe über ein weg der bei xk startet und bei xn endet und ich will jetzt raul will das jetzt mit der amplitude identifizieren dann gehört ist dieses integral hierüber mal hier alarmierungs faktor dann schreibe ich auch noch gleich hin maly hoch dass das kann ich wieder rückwärts übersetzen in einer amplitude muss dann aber nur über die zwischen punkte integrieren nämlich über die hier also ich mach das mal ein bisschen deutlicher hier steht 1 durch epson hochegger von epson hoch in diesen faktor den verbandlichen zwei einzelfaktoren ich wünschen da oben gleich weg das ist 1 durch a von exelon hoch k x 1 durch a von y hochegger einverstanden der da oben steht den kann ich wegwischen der defekt den darf ich natürlich so schreiben ok so und jetzt nehme ich nämlich diese kameraden dann nehme ich diesen faktor tag und ich nehme diese exponential funktion da hinten und ich kann natürlich diesen termin hier diesen gelben term dann kann ich direkt hier für die exponential funktion ziehen ist ja alles kumulativ und dieses entdeckt diese integral maße über die variablen xk plus 1 bis minus 1 die darf ich hier vorn schon nicht das ist ja hier die darf ich hier dran vorbei schieben weil dieses ding hängt ja gar nicht von diesen variablen ab sehen sie das also hab ich das alles dort vorbei schieben dh im endeffekt bleibt übrig limes entgegen und endlich außerdem müssen wir gleich noch gedanken machen dx11 der xk - 1 es bleibt aber auch noch übrig die schreibe ich noch mal extra hin der dx k sehen sie da bleibt auch noch übrig dann bleibt er übrig 1 durch von apps i lon hochkar nämlich der hier dann bleibt übrig ex von die durch hardware integral tk also dieses objekt hier de telegraaf funktional vom weg von x0 bis xk das bleibt alles stehen aber die ganzen restlichen gelben therme habe ich nach rechts geschoben und was ist es das ist nichts anderes als die amplitude von xk zu starten bis zu xl zu gehen in der zeit von tk bis ktb warum da weil ich über alle zwischen punkte von ex k+s -1 also im oberen teil des rechenschieber sich halte den xk fest habe ich über alle zwischen punkte wieder integriert ja gut das ist das eine und das andere ist wenn sie jetzt hier vorne drauf gucken hier drin in diesem weg x0 bis xk da wird ja das will ich jetzt das xk gar nicht mehr bewegen ich kann diese gelben hier ausschließlich dem xk kann ich an mdx kraft vorbei schieben und wenn ich das tue dann bleibt da noch übrig integral de xkr inneres integral über die orte zu der ich bei der zwischenzeitlich fest gewählt habe bin und dann passiert aber hier vorne dran genau das gleiche sind schon hier hinten hätte ich schreiben müssen zum dies kritisieren south des kritisiert level - k und was hier vorne passiert sie kriegen natürlich auch wieder die amplitude aber jetzt von null bis xk das heißt sie kriegen einmal die amplitude von 60 bis xk von den zeiten theater t0 wer das gleiche bis ca mal die amplitude von ex kgb von tk tb und alles was übrig bleibt weil sie den zeitpunkt tk den haben sie sich fest gewählt alles was übrig bleibt ist ein integral über alle möglichkeiten wo sie zu dieser gewählten zeit tk sein können und das ergibt ihnen dann die gesamt amplitude also kurz gesagt wenn sie wege zusammensetzen multiplizieren sich die einzel amplituden für den weg von 60 bis zum zwischen punkt in der tat zur verfügung dazu zur verfügung stehenden zeit für fest gewählten zeitpunkt tk mal der weg von zwischen punkt zum 1 punkt in der dann noch restliche zur verfügung stehenden zeit ohne dass sich die gesamtzeit dauer geändert hat aber es wäre ja verrückt wenn sie nicht über den mittelpunkt die orte dort dann noch nochmal integrieren müssen denn hier rechts konnten xk vor das haben wir nicht festgelegt nur das tk fest gewählt und links kommt gar kein xk vor und in der tat muss darüber integriert werden und die logik ist halt eben die das wenn sie jetzt also das können wir uns jetzt wieder vorstellen ja gedanken blase wenn sie hier die verschiedenen zeit dies kritisieren schritte haben also so ein bild mit dem ixs jahr und jetzt wollen sie von einem festen anfangspunkt zu einem festen endpunkt und wollen über alle wege gehen aber weil es ihnen gefällt haben sie sich eine zwischenzeit ausgedacht nämlich diese zwischenzeit tk für der sie die wege gern durchschneiden würden und dann ist klar ein beliebig sie können jetzt zu einem punkt xk hier gehen und können alle wege nach dort betrachten und dann von dort aus ausgehend wieder alle wege nach hier oben betrachten aber es ist klar damit kriegen sie nicht alle wege von hier nach hier denn was ihnen zum beispiel fehlt ist dieser weg richtig den können sie auch gar nicht bekommen wenn sie das xk festhalten sie müssen dann also auch noch alle wege über diesen anderen punkt nehmen und dann müssen sie noch mal alle wege nehmen die wieder über einen anderen xk punkt gehen nämlich die hier und so weiter und dann ist klar sie können diese einzel amplituden von hier zu einem xk punkt nehmen aber als nicht interferieren da alternative wenn sie also nicht schauen was zum zeitpunkt tk passiert die könnten detektor hinstellen dann haben sie keine interferieren alternativen mehr dann geht es anders aber wenn das wenn sie das nicht gucken und die zeit schnitt nur im kopf gemacht haben dann sehen sie kriegen sie alle wege indem sie die wege von hier bis zu einem bestimmten xk problem vor einem bestimmten extra dorthin aber am schluss dann noch mal den rechenschieber die tage hier hin und herschieben und alle alternativen aufsummieren deswegen bleibt dieses de xk übrig xn da ist richtig ich hatte also ich hatte irgendwie sowas wie t0 ist ta und tns tb dass diese endpunkte diese setzung hatte ich gemacht habe sind wir der zeile xk bis xxl fx rx jha entschuldigen xxx b oder xml entschuldigung richtig nicht nicht t sondern xxx tt genau in ordnung vielen dank dankeschön genau so und das ist hier einfach die lektion wenn wir wege das hätten wir uns auch irgendwie denken können das ist so ist aus dem bild aber wir haben es diesmal einmal ganz ordentlich aufgeschrieben dabei noch mal geübt dass wir wirklich nur die zwischen punkte bei den amplituden darüber integrieren wir haben das einfach aufgespalten und hatten nicht nur unsere intuition benutzt die er hätte schiefgehen können wenn hier das funktional nicht so additiv wäre für eine zeit unter teilung ja wir haben uns wirklich bewiesen und das ist die anschauung dazu aber ist ziemlich ziemlich ziemlich logisch nord und wenn sie jetzt noch mal überlegen wenn ich also ab nicht interferieren de alternativen ab und gehe den weg oder den weg dann wird addiert die wahrscheinlichkeit amplitude wird addiert für alternativen und für hintereinander ausführung also dorthin und dann wieder dorthin werden die amplituden multipliziert ja es ist im prinzip wie bei wahrscheinlichkeit ja wenn sie die mit und verknüpfen dann kriegen sie ein produkt und wenn sie sie mit oder verknüpfen kriegen sie eine summe wenn es das junge ereignisse sind soweit sie wissen wir sind nicht auf diesem wahrscheinlichkeit level wir sind auf einer etwas verfeinerten stufen diesen wahrscheinlichkeit amplituden aber solange es sich um interferieren de wahrscheinlich denn handelt oder physikalisch gesagt solange wir nicht mit messapparaturen gucken was passiert so lange ist dann trotzdem die alternative durch plus zu berechnen aus der amplituden ebene und die hintereinander ausführung also die und verknüpfen sie gehen von dort nach dort und dann von dort weiter dieses ähnliches produkt auszurechnen es ist relativ einfach zu merken es ist ganz analog zur wahrscheinlichkeitsrechnung aber eben auf unserer verfeinerten wahrscheinlichkeit amplituden rechnung der eine etwas verfeinerte größe ist gegenüber der wahrscheinlichkeit also gar kein erstaunliches ergebnis aber immerhin hergeleitet mit unserer fleisch routen definition der summe über alle pfade aber das funktioniert ja schon mal ziemlich gut ja okay vielleicht notieren sie sich das persönlich als fazit die amplitude für den übergang ich schreibe es immerhin also ich quatsch ist noch darunter bevor ich den tafel wird also das gehört jetzt unter den rest fazit die amplitude für den übergang von zum zeitpunkt ta sie müssen immer sagen wann sind sie wo zu xp zum zeitpunkt tb über einen fest vorgegebenen punkt xk zum fest vor jedem zeitpunkt tk ist das produkt der amplituden ist das produkt von xfx ktk x fi von xk nach xpc ktb das produkt tralala der amplituden und sie sehen da fehlt jetzt in dieser formulierung das integral über xk das fehlt deswegen weil ich hier gesagt über ein fest vorgegebenen punkt xk zur fest vorgegebenen zeit tk haben was wir hier ausgerechnet hatten war halt einfach wenn der punkt nicht fest vorgegeben ist dann der jeder möglich aber wenn jeder möglich ist müssen wir natürlich die möglichkeiten aufsummieren wenn es sich um interferieren de alternativen handelt sich also nicht genauer gucken was passiert und das ist dann wieder diese formel ja also das ist wirklich dieses direkte produkt nur wenn sie die zwischen punkt nicht genau kennen dann dann nehmen sie das integral und überlegen sie noch mal kurz bei unserem doppel spalt experiment aber wenn sie jetzt noch mal naja als einschub kurz betrachten wenn sie hier das doppel spalt experiment noch mal her nehmen wie haben sie diese beiden spalte und dann wollen sie hier hinten hin und was wir jetzt schon ziemlich gut können wir können ja jetzt schon von einem punkt xa können wir schon sagen in einer bestimmten zeit was ist denn eigentlich die amplitude an diesem punkt hier anzukommen warum ja weil zwischendrin all diese diese alternativen interferieren sind warum sind die hier alle interferieren teer weil ich keine detektoren in diesem zwischenbereich z1 aufgestellt hat richtig nicht irgendwo detektoren hingestellt gut dann ist es wieder eine andere geschichte kenne ich nicht einfach über alle wege summieren weil die ja dann anders eingehen ja aber dieses ding hier die wahrscheinlichkeit amplitude von xfx b zu kommen das ist unser part integral dass wir gerade hin geschrieben haben aber sie sehen beim doppel spalt will ich dann wirklich sagen na ja ich gehe von xp xp und dann wieder von hier alle möglichen wege wie ich zu dem punkt xc komme ich will ja letztlich die amplitude von ixxat für xc zugehen ausrechnen und sie sehen jetzt beim doppel spalt hätte ich ja die andere möglichkeit ich könnte alle wege hier zum punkt xd mehr angucken oder sammer xp strich ja xp xp strich zehn angucken von dort wieder alle nach dort in diesen zwischenräumen kann ich diese amplituden aber sehr gut ausrechnen und dann würden sie eben gerade keine integral über diese punkte hier machen denn das teilchen kann jetzt schon gar nicht durch diesen punkt durchgehen dann würden sie also diese einzel amplituden ausrechnen aber statt über alle zwischen punkte zu summieren weil sie wissen da kann es gar nicht durchgehend machen sie ihn wirklich nur die summe über den plus den und kein integral mehr und dann müssten sie eigentlich in der gesamtgeschichte hier nehmen sie das produkt wir nehmen sie auch das produkt und diese beiden produkte addieren sie dann und dann müssten sie ja tatsächlich die übergangs amplitude von hier nach hier raus bekommen und dann müssten sie eigentlich das interferenzmuster rausbekommen okay also sie sehen wir haben jetzt so ganz elementare dinge berechnet uns immer überlegt was sind die interferieren alternativen wie setzen wir das zusammen wie kommen wir von dort nach dort und sie sehen jetzt hoffentlich so langsam land wie man tatsächlich diese größe ausrechnen die beim anfang da hatten okay gut alles ist nur ein einschub das machen wir dann als übungsaufgabe ich belasse es hier bei den elementaren elementen die für diese rechnung relevant sind okay wenn es an der stelle keine frage gibt ja xc ist einfach nur ein anderer punkt sein der punkt ab ja genau ich wollte dir nur unterschiedlich benennen des integral weil die dx weil es quasi meter sind für jedes dx haben sie ein faktor a von y und es muss wohl so sein dass diese normierung faktoren dann dimension behaftet sind um das auszugleichen damit im limit da keine dimension mehr da ist denn denn sie wollen ja einer amplitude haben der kann die keiner keine dimension haben sie vorher ein grenzwert genommen haben dann muss ja quasi jedes folgen glied muss ja die gleiche dimension haben und dann müssen sie die einfach wegnehmen das werden auch sehen dass es so ist okay aber gibt also das ist in diesem jahr von y versteckt und das rein numerisch werden nicht dimension smart gebe ich ihnen völlig recht ex ist nicht dimension behaftet denn die wirkung hat einheitsschule sekunden zeit mal energie haag wert aber auch zeit mal energie ist auch eine wirkung wirkungs quantum die gehen weg dann bleibt nun mal was einheiten los ist übrig wie es sich für die exponential funktion gehört denn er hoch irgendwas mit einheit haben sie dann die exponential reihe hätten sie die einheit bloß die einheit zum quadrat los die einheit hoch drei das addiert sich so schlecht auf also eher hoch einheiten los und hier haben sie meta meta meta dann muss dieses ding immer 1 durch meter sei also dieses objekt für jedes also das chaos an vielfach heiter von epson müsste eigentlich einzig meter sein das werden wir sehen ja so dann fühlen wir vor der pause noch das zentrale objekt der üblichen formulierung der quantenmechanik ein nämlich sogenannte wellenfunktion so sie können tatsächlich die wellenfunktion die wir einführen als funktion betrachten für alle belange dieser vorlesung und für sicherlich für alle belange des staatsexamens oder sonstiger geschichten aber es stimmt nicht die wellenfunktion ist keine funktion und das fällt ihnen so lange nicht auf wie sie meiner vereinfachung in dieser vorlesung folge leisten können nämlich im physikalischen von physikalischen raum und dem teil der sie interessiert eine karte zu wählen der die koordinaten so gewählt sind das die gamma symbole im nutrition raum als minuten den raum zeit alle verschwinden zumindest die räumlichen wenn sich eine mechanik vorlesung aus dem letzten semester erinnert das ist ein spezialfall ist gar nicht immer möglich aber wenn das möglich ist dann können sie ohne schaden die wellenfunktion die wir jetzt auch als funktion einführen dann ist alles in ordnung aber wehe wehe wehe das ist nicht möglich wir sind auf einem gründen raum wer sie wählen polar koordinaten sind auf dem flachen raum werden polar können das reichen sie brauchen gar nicht im gruppenraum zu gehen sondern versuchen quantenmechanischen polar koordinaten zu machen und das versucht man zu machen zum beispiel ein wasserstoffatom wenn man mit sicherheit nicht in katholischen koordinaten rechnen wir das problem der rotation zu mischen sie in sphärischen polar koordinaten www sie wollen im polar koordinaten gehen und sie versuchen dann diese quantifizierung auszuführen das geht schief und wenn man da hin schaut wo schiefgeht ganz am schluss stellt man fest donnerwetter die wellenfunktion ist gar keine funktion und was ist die sonst naja sie ist eine einschnitt eines zehn linien bündelt über dem raum bündel hatten sie im letzten semester mechanikers gehört hat aber kein tangential bündel oktanzahl bühne sondern an jedem punkt des raumes eine komplexe achse angeheftet und betrachten schnitte darin können sagen dass ja genau wie noch funktionen sie geben für jeden punkt und komplexe zu ja fast aber global ist es nicht so und sie können dann wieder einen linearen zusammenhang das kennen sie auch aus der mechanik aber auf dem kurt tangential bündelung tangential bündel einen linearen zusammenhang basteln und so weiter dann trinken sie das unter kontrolle aber ultimativ ist das objekt das in jedem wirklich absolut jedem lehrbuch wellenfunktion heißt ist eigentlich da keine funktion wenn sie sich nicht ganz willkürlich nur auf katholische koordinaten beschränken sie können diese bemerken uns alle wieder vergessen das ding heißt bei uns wellenfunktion wird auch so behandelt damit verschreiben wir uns aber auf gedeih und verderb diesen katholischen koordinaten die wir in der vorlesung hier jetzt zugrunde legen ok also es wird zur erläuterung falls sie später große theorie machen wollen und an der stelle verzweifeln das ist die richtung der lösung an der stelle brauchen wir nicht so also ich entferne die anführungszeichen wieder die wahl nur für meine kleine brandrede gerade wichtig ja ab jetzt sind die wieder entfernt allen funktionen also grob gesagt wellen funktionen sind wahrscheinlichkeit amplituden bei denen man vergessen hat und man kann natürlich absichtlich vergessen dass beziehungsweise ignoriert vergessen hat bzw ignoriert bzw nie wusste nie wusste von wo aus und das stelle ich in anführungszeichen von wo aus der übergang erfolgt ist also ist ein bisschen mysteriös ich versucht es nochmal hier klar zu machen wir jetzt hier immer mit ihm mit xa mit unserem teilchen starten und wir fragen was ist denn die amplitude an einem punkt den ich jetzt nur noch ickx und das da soll quasi eine achse seines die x-achse ja ja sagen da es ist gleich null und als x1 als extrem - also asics kann irgendwo auf dieser achse sich bewegen und sie können ja schon die frage stellen was ist die amplitude dafür dass das teilchen bei xa startet bei iks landet in einer zeit groß t ja und wenn sie sagen ich gucke mir das an was ist die amplitude bei xa zu starten bei ex zu landen zum zeitpunkt wenn der zeitpunkt des starts die aber für eine frage kann ich mir stellen oder also machen wir hier die kanone hinstelle macht gar keinen doppelspeichen einfach einen schirm und da frage ich mich was die amplitude und wenn da nichts dazwischen ist ms geräten so hätte ich auch die wahrscheinlichkeit dass teilchen der xa staaten und bei ex landet wie verdi gegeben nur als absolut betrags quadrat dieser amplitude richtig ok selbstverständlich wenn ich auf diesen punkt hier und gucke den kann ich jetzt auch ex nennen gestrichen jetzt ein anderer punkt ist aber dass die idee ist immer noch dieses dieses die wahrscheinlichkeit hier zu langen wäre das absolut betrags quadrat von xa landstrich hat er sich nehmen die gleiche zeit ich gebe immer die gleiche zeit aber ich laden die hier am anderen punkt so jetzt könnte es aber doch sein und der punkt ist das wird man ja sehen wenn man wird hier ein einschlags muster feststellen bzw die amplitude wird sein wie sie ist und jetzt könnte es ja sein dass ich keinen blassen schimmer hat wo das teilchen her kam also wenn ich jetzt zum beispiel hier ein detektor schirm aus diesem tisch mache und guckt da drauf und guckt da jetzt waren irgendwelche teilchen da einschlagen da war jetzt ein elektron ja wo kamen bisher kamen das von der sonne oder kam das aus der ecke weiß ich gar nicht genau ich sehe nur mit glück ich sehe da sind diese ist dieses anschlags muster und des einschlags muster ist natürlich schon das absolut betrags quadrat von diesem fi dass über diese six variiert das heißt wenn sich hier gucken wie sich das einschlags muster verändert man verändern sie natürlich nur diese six hier muss ich mal geld nur diese six bewegt sich alles andere bleibt irgendwie gleich gut man könnte auch sagen sie wissen gar nicht wie lange das geflogen ist es nach über die zeit integrieren was auch immer aber im prinzip können sie sich das angucken und jetzt ist aber natürlich klar wenn hier gar keinen schirm steht ich habe jetzt gar kein einschlags muster sondern da ist einfach nichts das ist ein gedachter schirm ohne mesz apparat dann kann ich natürlich frage ja was ist denn dann hier hinten die amplitude und würde sagen ja gut das wissen wir inzwischen ich kann von hier nach hier gehen auf allen möglichen wegen kriege ich meine amplitude ich kann jetzt von hier nach da hinten gehen auf allen möglichen gegen ja und da kriege ich wieder meine amplitude ich muss sie so zusammensetzen okay wenn ich jetzt wirklich von hier nach da muss ich die über alle zwischen punkte hier zusammensetzen richtig ich könnte jetzt auch von hier nach hier gehen irgendwelche weg und dann hier weitergehen muss darüber integrieren aber es ist ihnen sobald sie die amplitude hier wissen ist ihnen egal wo sie herkamen dann nehmen sie einfach diese ampel hude und multiplizieren die mit dieser amplitude und sie wissen und wo sie landen richtig den aprikosen multiplizieren sich das haben wir gerade eben gesehen das heißt sobald sie mal hier die amplitude für jeden punkt wissen können sie eigentlich vergessen wo das vorher kamen sie brauchen es auch gar nicht zu wissen vielleicht sähe diese amplitude anders aus wenn sie von hier kämen das ist sogar sehr wahrscheinlich dass die amplitude hier dann anders aussieht aber gut dann sind sie anders aus oder sie nehmen die und kombinieren sie mit der amplitude und kriegen ja endergebnis also kurz gesagt es macht häufig sind gar nicht mehr wissen zu wollen wo es herkommt da kann ich natürlich nicht mehr ausreichen da kann ich nur noch annehmen ist sieht so aus aber einfach nur die amplituden hin zu schreiben und das ist die idee der wellenfunktion sie ignorieren was vorher war definition die wellenfunktion das ist ein objekt das heißt kleinvieh und lassen kurz ein bisschen platz das geht vom r hoch drei und natürlich kann es vom eher hoch 10 je nachdem was ich schön für sie kein problem haben aber vom physikalischen raum vom r hoch drei wohin naja in die komplexen zahlen es solch einer amplitude sein und es ist so definiert dass sie zu diesem ort xfx weg da was auch immer assoziieren sie eine amplitude großvieh das kann von irgendwo herkommen das könnte zb von einem xa kommen und sie gehen zu diesem punkt iks sie starten in irgendeinem zeitpunkt ta wie auch immer geben bis zu einem zeitpunkt t und sie sehen dieses ixia von dem die wellenfunktion abhängt das ist diese six dieses thema und xa ist eigentlich egal also sie kommen von dort lang legen sie eine funktion wenn sie von woanders her kommen kriegen sie halt eine andere funktion es gibt verschiedene wellen funktionen die sie hier haben könnten und welches ist hängt natürlich von der geschichte ab als sie ignorieren die geschichte aber sie ignorieren nicht den effekt der geschichte ich muss nicht wissen wo meine urgroßmutter sich rum eben hat um zu wissen dass mein vater geboren wurde ja also der effekt ist da und ich habe die gene die ich habe meine urgroßmutter dort war wo sie war ja sie wissen schon also das hat dann schon diesen effekt aber ich muss es nicht wissen das ist der punkt und jetzt sehen sie aber was ich schon irgendwie müssen muss ist wie viel später und in der tat die wellenfunktion sehen eine funktion ist ja immer hat das objekt und wenn ich dann was einsätze habe ich den funktions wert aber das objekt da ist der funktioniert noch nicht eingesetzt aber dieses themas setzt sich schon ein ich habe eine wellenfunktion zum zeitpunkt tee und diese zuordnung heißt ja nichts anderes als dass man hier definiert dieses ding ist dann viel von xcom ag aber die funktion ist nur viel und das thema sich aber auch geben weil ich die wellenfunktion nur über den ort variieren lassen ich hab dann zum anderen zum späteren zeitpunkt eine neue wellenfunktion nämlich viel von offener zloty strich okay das ist die wellenfunktion und wie sie sehen notiere ich da gar nicht mehr wann ich von wo komme es könnte auch irgendwas anderes hier rechts drüben stehen ich sagen ich notiere nur noch das ergebnis wie ist die amplitude überall hier das ist die idee okay das ist die wellenfunktion und weil die wellenfunktion aber eine wahrscheinlichkeit amplitude ist oder aus einer wahrscheinlichkeit am klose gebaut werden kann kann ich auch wellen funktionen in der zeit weiterentwickeln indem ich unsere produkt formel benutzt und das wollen wir doch noch hin schreiben da machen wir pause also wenn sie die schrödinger gleichung schon mal gesehen haben in experimentalphysik oder irgendwo ja dieses kleine ski das ist die wellenfunktion der schrödinger gleichung vorkommt und die schrödinger gleichung verbindet dann auch die orts abhängigkeit mit der zeit abhängigkeit der wellenfunktion an der ströer gleichen kommen partielle ableitung nach den orts koordinaten vor und aber auch eine ableitung nach dieser zeit okay aber dazu kommen wir die leiten wenn ihr mich hier die schrödinger gleichung so beobachtung ja was die beobachtung ich will irgendwie ausrechnen was ist ihnen die wellenfunktion an einem punkt oops i lon zu einem zeitpunkt und da sagen wir an einem punkt iks wer zu einem zeitpunkt icsc wer das ding will ich ausreichend von ex quer quer und naja ich kann sagen diese wellenfunktion das ist irgendwie übergang irgend eines teilchens wäre von einem teilchen reden das ist für irgend eins aber irgend eins ist es schon ich weiß es noch nicht aber ich nehme alles ist irgend eins dass ich von irgendeinem xa zu meinem punkt ex-paar gekommen bin bei t ha starten zu diesem zeitpunkt thema also kurz gesagt ich weiß wenn ich welcher punkt ist aber irgendeiner ist es und dem substituiert hier ja für geeignete für geeignete xatar als die idee wenn ich wirklich nur ein teilchen hab dann muss es ja zum zeitpunkt muss es nicht aber ich könnte eine präparation gehabt haben dass es von dorther kommt wenn das aber so ist dann kann ich ja einen beliebigen zwischen zeitpunkt einführen und wenn ich mal tee und also hier beliebiger zwischen zeitpunkt zwischen zeitpunkt t den denke ich mir einfach den führe ich ein und da ich aber nicht weiß wo ich bei dem zwischen zeitpunkt thema muss ich über alle die zu diesem thema gehören integrieren die nähe ist einfach nur dx und weiß dann diese amplitude muss sein die von xa zu diesem zwischen zeitpunkt gekommen zu sein ausgehend von ta zu diesem zwischen paar zeitpunkt eh mal von diesem zwischen punkt iks weiter gelaufen zu sein bis zu meinem endpunkt x-bow wobei ich natürlich bei der zwischenzeit t start um er im zeit tv aufhören meint dass das wollte ich das haben ja das wollte ich haben denn dieses ding hier da vergesse ich jetzt wieder die anfangs punkte xatar das ist eine wellenfunktion die mir zu dem zeitpunkt von zwischen zeitpunkt gibt die wahrscheinlichkeit amplitude am punkt iks zu sein und was ich hier raus ablese ist dass ich die wellenfunktion rekonstruieren kann zu einem späteren zeitpunkt war größer t daraus folgt für einen zeitpunkt größer tee kann ich die wellenfunktion konstruieren als das integral die xxx sba dp stb aus der wellenfunktion zum zeitpunkt t das heißt wenn sie die wellenfunktion zum zeitpunkt erkennen können sie die wellenfunktion zu einem späteren zeitpunkt voll konfigurierbar umstiegsplan nicht xd sie müssen die für jede six kennen damit sie integrieren und sie kriegen sie aber auch wieder für jede six bar aus deswegen geht er ist ja also das ist die wellenfunktion zum zeitpunkt an einem beliebigen punkt der funktions mit einem nebenpunkt exba können sie auf diese weise konstruieren aus der vollen kenntnis der wellenfunktion zu einem früheren zeitpunkt ist genau das bild das ich da oben gebracht wenn sie hier auf dieser ersten achse nach diesem schraffierten bereich die wellenfunktion kennen können sie die wellen funktionen zu einem späteren zeitpunkt an allen orten wieder konstruieren sie hier mit dieser übergangs amplitude multiplizieren also kurz gesagt die wellenfunktion gibt ihnen ganz gut an was ganz gute gibt ihnen die anfangsbedingungen um die wellenfunktion später auszurechnen zu einem späteren zeitpunkt und was ist das wenn ich weiß wie etwas jetzt ist und ich kann ausrechnen wie es dann nachher ist in der dynamik ja gott braucht es nicht der allwissende gott der das ganze universum auf einmal sieht in raum und zeit der muss nicht irgendwie gucken wo ist was ist denn morgen irgendwer muss nicht ausreichen weil es morgen irgendwo der guckt einfach auf seinen raum zeit und sagt da ist es also erst mal klassisch gesehen aber menschen wir brauchen dynamik gott braucht keine dynamik aber menschen brauchen dynamik wir müssen aus kenntnis von einem zustand von einer situation von daten jetzt müssen wir die daten morgen ausrechnen können und es stellt sich raus ich kann ignorieren wo die daten heute herkamen ich musste nur wissen und kandidaten morgen ausrechnen das ist ganz gut stellen sie sich mal vor es wäre nicht so dass ich ignoriere könnte wo die daten heute herkommen ich habe die daten heute vielleicht nehmen sie an oder was auch immer man kann sie morgen ausrechnen wenn ich wissen müsste wo die daten heute her kommen müsste ich ja quasi sagen wir mal urknall modell also müsste ich am anfang des universums wissen wie die daten waren um überhaupt die daten morgen zu verstehen aber es reicht die ganze geschichte zu ignorieren nur zu wissen was heute ist und von heute auf morgen weiter rechnen zu können wenn das nicht so wäre hätten wir schwierigkeiten physik zu machen und in der quantenmechanik bleibt ist so und wenn man den übergangs amplituden rechnet hätte man befürchten dass man wissen musste wie es ganz ganz am anfang im universum aussah aber diese wellen funktions konstruktion die zeigt die macht das nicht denn sie zeigt dass sich das ignorieren kann und trotzdem aus daten heute nämlich aus wahrscheinlichkeit amplituden heute die wahrscheinlichkeit amplituden morgen ausrechnen kann und was wir nach der pause machen um zwanzig nach ich zeige ihnen wie man aus dem pfad integral die differentialgleichungen extrahiert die diese wellenfunktion beherrscht und wenn sie dann lösen für die verschiedenen fälle trügen sie die vorhersagen der quantenmechanik also bitte pünktlich 20 nach so dann kommen wir jetzt zum kulminationspunkt der heutigen vorlesung wir bereit nämlich jetzt die schrödinger gleichung her und ihm diese herleitung werden wir feststellen wie dieser normierung faktor aussehen muss das heißt dieser abschnitt dient zwei zielen also viertens schrödinger gleichung für wellenfunktion wir hatten eben diese beziehung hergeleitet also eher wir erinnern uns erinnern uns daran dass die wellenfunktion an einem punkt den ich jetzt mal xp nenne zum zeitpunkt tb die konnte ich ausrechnen aus der wellenfunktion zu einem früheren zeitpunkt in dem hier ein eine übergangs amplitude viel gebastelt habe von xa nach xb ta nach tb und hier einfach die wellenfunktion xatar schon gewusst habe und ich muss dann aber hier noch über die xa integrieren das war unsere formel für dieses weiterentwickeln in der zeit ja ich brauche also dieses integral über den raum und hier dann doch diese übergangs amplitude aber wir möchten jetzt diese ganze formel frei machen von der übergangs amplitude und nur noch eine bedingung an die wellenfunktion selbst stellen und selbstverständlich werden wir da alles nutzen was wir bisher gelernt haben nämlich zb wenig dieses objekt hier diese übergangs amplitude durch ein pfad integral ausdrücke und die idee ist jetzt lassen sie uns versuchen eine differentialgleichungen dafür herzuleiten und wenn sie eine differentialgleichungen herleiten da wollen sie immer ein objekt anschauen ist eine frage ok dann wollen sie immer das objekt anschauen und im klein bisschen später anschauen und dann vergleichen und nun haben wir aber doch schon diese diskreten gibt jetzt ein problem oder gut bitte jetzt haben wir schon diese diskreten zeit schritte und deswegen betrachten wir das ganze jetzt für einen spezialfall für den spezialfall dass dieser zweite zeitpunkt nur um einen diskreten zeit schritt von dem ersten zeitpunkt abweicht wir nehmen jetzt einen dieser kleinen diskreten zeit schritte die wir die ganze zeit betrachtet haben und die idee ist natürlich weil wir nachher sucht das enden groß machen wird das epson beliebig klein also wir können jetzt diese üblichen physik physiker spielchen spielen des exils klein wir können das y quadrat vernachlässigen auf jeden fall so beliebig klein machen und so weiter wir schauen uns das alle für diesen fall an und was dann dasteht ich schreibe die formel da oben noch mal hin ist ganz nützlich das einmal sauber hin zu schreiben wir gucken jetzt immer noch auf den punkt xp aber eben zu zeitpunkt k+s psion und wenn ich dann auf der rechten seite dann einsetze dann bekomme ich hier rechts integral dx das stand ja da so und jetzt werde ich gleich mal dieses objekt hier ersetzen durch das zugehörige pfad integrale okay und wie ging das ich muss von anfangspunkt zum endpunkt gehen und muss dann das integral laut der integrale hin schreiben die x1 dx zwei bis sechs cent - einst richtig aber nur über diese zwischen punkte muss sich integrieren nicht über die festgehaltenen endpunkte richtig denn in einen rechenschieber aber wenn ich doch nur einen aps i lon schritt weit gegangen bin dann ist der nullpunkt ist der anfangspunkt da wird nix integriert aber der nächste punkt nach demnächst einfach den ersten psion zeit schritt ist ja schon der endpunkt richtig das heißt wie viele zwischen integral habe ich denn da gar keins mehr das heißt hier stünde im prinzip integral dx 1 bis 6 m aber weil ich nur ein diss kritisiert schritt weiter gehe ich sollte es hier vermerken das ist nur ein bis kritisieren schritt weil ich nur ein diss kritisiert schritt weitergehe stehe gar keine integrale mehr und alles was dann noch steht ist der nominierungs faktor von y hoch wie viele hoch n hoch anzahl der disc kritisieren schritte habe aber nur einen diskreditierung schritt gemacht also von mir aus hoch- 1 machen wir keinen strich damit sich für eine ableitung aus sieht ja ja und dann steht da ex durch haag wer und was steht da ja da steht dass die wirkung aber die wirkung ist ja ein integral und zwar ist integral von tb tb ist k+s i lon richtig diesen diskriminierungs schritt weiter mal die tt aus dem wirkungs integral und dann steht da die funktion aber ich schreibe hier noch als funktional hin von diesem weg aber der weg ist jetzt ziemlich kurz der weg geht wirklich nur x0 ist xa bis zu xp ja er hat wirklich nur zwei punkte dieser weg es gibt gar keine zwischen punkte weil ich nur einen dies kritisieren schritt weit gegangen bin richtig und fertig und wie gesagt hier wo nicht steht ja schreibe ich einfach mal keine zwischenschritte und keine zwischenschritte übersetzt sich hier in keine integrale über die positionen zwischen den anfangs in den endpunkten damit haben wir uns die sache schon ziemlich erleichtert aber weil wir auch eine differentialgleichungen wollen macht es auch sinn wir gehen so ein kleines stückchen so kurz wie möglich so ja gut das steht da naja natürlich vielen dank vielen vielen dank genau wir haben den anfangs den endpunkt das haben wir schon ersetzt xp bleiben ja sehr gut vielen fehlern von xatar so also soweit ist eigentlich gar nichts passiert wir haben nur genutzt was wir wissen so wie machen wir jetzt an dieser stelle weiter jetzt schauen wir uns als nächstes an ob wir hier vielleicht doch die intec das integral hier auch noch loswerden können und dann sagt man er wie will man das los wenn da steht also eine allgemeine lage rasch funktion aber probieren was mal ist gleich integral dx a x 1 durch den immer noch unbekannten nominierungs faktor x ext die durch quer ja aber jetzt das ist ein integral über ein ganz kleines stückchen und diese integrale oder das ganz kleines stückchen über eine stetige funktion überprüfen sondern stetig da kann ich ja quasi wirklich einfach die höhe des rechtecks machen wie im riemann integral das heißt ich nehme einfach die intervall breite x der funktions wert entweder am linken rand oder am rechten rand oder in der mitte genau das mache ich schreibe das sich in idyllischer quer und sag einfach die intervall breite ist nämlich einfach mal apps i lon das ist schon die breite des rechtecks und jetzt nämlich noch den wert von 11 und wenn wir jetzt mal sagen dass l hängt jetzt als funktion ab von xx punkt da muss ich jetzt den funktions wert von iks irgendwie bestimmen die kann ich am linken intervall hand nehmen am rechten intervall rand wahrscheinlich die beste lösung ist wenn du funktionen in wiso verläuft sie in der mitte zu nehmen dann steht es hier ein bisschen über das rechteck und hier ein bisschen drunter dann ist es ziemlich genau klar also werde ich einfach das ixs ersetzen durch xxp halbe das ist die idee dahinter hier ist wenn sie eine funktion haben die irgendwie so verläuft und sie integrieren die aber nur über ein kurzes stückchen der breite y dann nehmen sie den funktions wert in der mitte dann haben sich hier ein bisschen unterschätzt und hier ein bisschen überschätzt aber das ist ziemlich gut wenn es sind ziemlich klein ist richtig genau das machen wir es schon ist ziemlich klein nämlich beliebig klein das ist dass die abhängigkeit von dem ixs über integriert x y breite aber das hängt ja auch von der geschwindigkeit ab comics punkt aber wenn sie auf zwei orte haben in der katholischen karte nah beisammen ja was ist denn dann das ixs punkt das ist einfach die durchschnittsgeschwindigkeit was ist die durchschnittsgeschwindigkeit naja das ist zielort wie im pathetischen koordinaten - anfangs ort geteilt durch delta t aber delta t es unser y richtig denn wir haben das zeit schrittchen y gemacht der ort hat sich geändert um xx ist delta es durch delta t die durch auf einen kleinen zeit in der wall ist die durchschnittsgeschwindigkeit so gut wie die geschwindigkeit ja das ist die idee ja fertig noch klammer zu und dann kommt wieder viel von xatar und jetzt machen wir noch ein bisschen konkreter und da werde ich ihnen auf der übungs auf dem übungsplatz dann andere beispiel nehmen jetzt nehmen wir mal ganz konkret ein teilchen der masse m teilchen masse m im potenzial v potenzial v und was bedeutet dass er das bedeutet dass die lacrosse funktion ist m halben in einer dimension dem gleich 1 1 1 dimensionale problem da ist die lacrosse funktion im halben punkt quadrat - v von iks das kennen sie nach 11 von xx punkt ist der kinetischen einhalb mv quadrat weil wir hier in einer dimension sind müssen uns um mitträgt nicht kümmern um alles also einfach quadrat - v von ex kennen sie alle ja so wenn wir das für den konkreten fall betrachten also setzt sich die übergangs amplitude für ein walfisch ausrechnen der sich der rotiert sondern für einen punkt teilchen im potenzial v dann können wir es noch ein bisschen konkreter machen und konkret macht spaß dx 1 durch a von apps malek wir sehen schon lacrosse funktion ist eine summe da ist eh hoch summe aha da mache ich kann ich das für die beiden banden er hoch kann ich separat machen da steht ex y durch zwei hardware ich habe einfach dieses im halbe damit genommen x.com tricks punkt ist unserer nähe in unserer ernährung das xp - xa durch y in klammern zum quadrat das nimmt diesen termin hoch das kann ich natürlich mal ex von schreiben jetzt kommt - das steht aber dass da davor da steht also - y durch hardware vvv von war es eine hv von diesem mittelpunkt den haben wir es jetzt halt nunmal eingehandelt diesen mittelpunkt weil wir so besonders genau sein wollten da steht da und dann steht hinten dran viel von xatar ja so ungefähr sieht es aus aber das sieht irgendwie immer berechenbarer aus weil hier steht die xa dass irgendwas quadratisch mixa ja da ist noch eine hässliche funktionen dazwischen da guckt man ja es wird immer und immer hübscher okay jetzt verschlankt ich mal die notation ein bisschen ich nenne jetzt xp nenne ich einfach ickx und ta nenne ich tee und xa der xa nämlich y können jetzt sagen was ist das für eine komische zusammenrottung aber gut ist einfach kurz notation okay wir tun nichts anderes als die objekte anders benennen und wenn ich das tue und ich schreibe was ich da zuvor hatte gut das ist jetzt relativ einfach das ist von xcom ag + y ist gleich integral die y dem xy geworden 1 durch iphone-apps i lon malek von y m durch zwei hardware und hier steht jetzt y/y durch y in klammern zum quadrat malek und da steht exil on durch hardware v von xy halbe schweifte lama zu und vieh von y ok so das ist jetzt mal unser erster zwischenschritt hier mit dem arbeiten wir gleich weiter gibts ne frage bis hierher so und jetzt schauen wir uns diesen ausdruck mal ganz scharf an und insbesondere schauen wir uns hier oben moment noch mal mit der runter vielleicht und insbesondere schauen wir uns jetzt mal hier diesen ersten diese erste exponential funktion an dass ich soll ja vorgegeben sein ich mich diese größe ausrechenbar iks also wenn ich nicht schon konkrete six ausreichen will habe ich das hier festgehalten was aber nicht festgehalten ist dass y denn über ypsilantis und jetzt ist dass da irgendwie sowas mit iks der unterschied zwischen xy zum quadrat aber der ist auch ein ita vor das heißt es ist ein tag der die ganze zeit oszilliert geht immer so im komplexen einheitspreis und wenn man sich das genau anguckt für xy die weit auseinander liegen wo also die differenz groß ist wenn das y sehr sehr groß wie zum beispiel gegenüber dem xk dann ändert sich dieser kam einfach nur so wie sich das das y ändert also ein bisschen ändert ändert sich dieser tage ein bisschen aber hier wenn ich das y ein bisschen ändern durch das quadrat oszilliert dieser term wie wild und wenn wir dann so ist dann im nächsten moment ist also ein exponent der sohn so dann verträgt wir erwarten zumindest das für diesen gesamt integral welche über die y integriere fast nur beiträge kommen wo das ixs von dem y/y von enix sich gar nicht so arg unterscheidet also nur wenn die differenz klein ist oszilliert das so langsam dass die summenden im integral positiv interferieren also wirklich einen beitrag liefern denn wenn ich da weit weg bin dann oszilliert das so stark dass ein abschluss eines - das plus 1 -1 das dass sich das quasi wieder gegenseitig weg lebt das kann besonders scharfes argument aber es motiviert uns anzuschauen und dann gucken auch gleich ob das geht es motiviert uns also erster x-factor fasziniert sehr stark für xy sehr groß betrachte dadurch motiviert betrachtet y als plus etwa also als schreibe das y als eine abweichung von iks um etwa und an dieser stelle nehmen wir noch gar nicht an dass etwa klein ist aber dass natürlich der nächste schritt der dann kommt wir wollen nur obst betrachten die von dem ixs wenig abweichen denn das werden die wesentlichen beiträge zu diesem integral sein ob es wirklich so ist sehen wir gleich das ist auf jeden fall die motivation das anzugucken wir kriegen nämlich daraus dann folgende ist es aber einfach nur ein umschreiben es ist eigentlich noch gar nichts passiert nix von typo3 wenngleich exposure ist aber nix is fix weil ich links sagen ich möchte mich für ein konkretes ausrechnen dann ist es die y wird zum dr das maß dann steht da 1 durch y y dann kommt eh hoch exelon exelon durch zwei haag wer und was kommt dann kommt xy das ist aber in etwa xy - etwa aber etwa quadrat durch y quadrat da kann ich also dieses y hier weg machen dann bleibt das y unten übrig und dann steht hier einfach nur noch in etwa quadrat richtig richtig und da hinten steht ex voll und er steht - y durch hardware v von xy aus xy ist xx plus etwa ist also 2x plus etwa aber alles halbe ist ex plus etwa halbe schweifte klammer zu und hinten steht wieder viel von y y von t können sie schreiben als fix plus etwa von tee naja sagen wir alles ausdrücklich decix auf der linken seite und durch die integrations variable etwa besonders viel ist noch nicht passiert und jetzt können wir dieses oszillation argument noch mal diskutieren dieser tag wird wenig oszillieren für oszilliert nur schwach und trägt damit dann bei sie wird nur schwach für ja für was wenn etwa ungefähr von der ordnung wurzel aus zwei hardware oder ohne das 2h quer durch m ist also für etwas von dieser ordnung oszilliert es nur schwach und dafür trägt es bei das heißt aber wenn wir therme in der ordnung y behalten wollen dann ist unsere idee kleiner zeit schritt therme in der ordnung y behalten müssen werte in der ordnung etwa quadrat behalten um konsistent zu sein also hieraus folgt wenn wir wie gedacht von anfang an wie gedacht therme linear in y behalten was natürlich hier implizieren soll höhere ordnung sterne werfen wir wechseln behalten dann müssen wir auch wegen dieser überlegung therme quadratisch also bis zu quadratisch in etwa halten und die werden wesentlich beitragen genau das tun wir ok also ist die überlegung an dieser stelle und das ist ja dieses typische infiniti sie mal argument das könnte man auch anders machen die man gleich mal ableitet und so aber das gibt dann genau das ja gut und wenn wir das tun dann kriegen wir das folgende das ist dann gleich integral de ta 1 micha von y x so jetzt hab ich zwar gesagt der behalten therme höchstens quadratischen etwa und wenn sie jetzt diese funktion expandieren bringen sie den 01 in etwa expandieren jürgen thamm einsplus den linearen thermometer quadrat volt durch epson plus da geht es so weiter aber den kann das ja immer so währungs sachen ist es ganz geschickt den jetzt mal zunächst noch nicht zu nähern sondern exakt mitzunehmen da werden einfach unseren träger integrale gleich ganz einfach ok sehen lassen da einfach stehen obwohl wir den schon eher an könnten aber nähern können heißt ja nicht nähern müssen der bleibt erst mal so stehen wir da steht aber hier hinten den kern das gucken uns gleich an wir machen nämlich jetzt hier die funktion da machen wir jetzt der 0 term ist ne 1 dann kommt der lineare term der iss - y durch hardware vvx plus etwa halbe was da steht aber wenn sich das anschauen der ist ja schon linear in y und jetzt könnten sie das v in dem etwa expandieren damit kämen sie den alten ordnung staff auf onyx plus den ersten ordnung ist ernährt amal die ableitung von vxl einstellen wer exil on malta aber das ist schon zu viel das ist ja schon apps i lon hoch drei halbe den wollten wir gar nicht mehr mitnehmen das heißt an dieser stelle benutze ich schon im ehrung und kann einfach v fonic schreiben und dann kommen natürlich nur noch höhere ordnungs therme aus der exponential reihe in ebbs i lon die lasse ich alle weg also dieses ding ist einfach das zu der nehrung die wir nehmen wollten und es steht hier hinten dran auch das vieh und das expandieren wir jetzt aber wirklich in y da haben wir nämlich viel von iks an der stelle t plus x die ableitung von vier schreibe es mit dieser hässlichen schreibweise ableitung von vieh nach dem ixs argument an der stelle ickx und e-plus einhalb mal etwa quadrat ableitung von vieh nach iks aber die zweite ableitung an der stelle x-te und dann hören wir auf weil wir insgesamt höchstens etwa quadrat angucken wollen und dann müssen wir gucken was in dem produkt überhaupt noch übrig bleibt aber es kann aber nicht dieses fiel von expocentre expandiere in etwa dann kriege ich diese therme wollte ordnung ersten zwei toren nach der täler entwicklung ist klar so das allererste was wir jetzt tun wir gucken uns jetzt mal auf der linken und der rechten seite den nullten ordnung star man also haben ob seeon und etwas aber wir wollen nur bis linear in etwa und höchstens quadratisch in linie ein eps von höchstens quadratischen etwa gehen aber äpfel mal etwa wer auch schon zu viel und was wir jetzt tun wir gucken uns jetzt mal die linke und die rechte seite in ebbs i lon expandiert an also betrachte schulter und erster ordnung in y auf linker und rechter seite gut das ist ganz einfach das ist viel von iks an der stelle t + y x die ableitung von finaki an der stelle höhere ordnung gucken wir uns nicht alles linke seite tele expandiert den ypsilon bis zu dieser ordnung und jetzt auf der rechten seite gucke ich mir das an hahahahaha habe ich noch dieses delta integrale ja das muss ich gleich noch verarzten aber das steht auf jeden fall mal integral de ta 1 durch a von apps in london kennen wir immer noch nicht dann steht da dieses ding ex von gm durch zwei hardware apps i lon etwa quadrat steht uns ziemlich im weg aber jetzt werden wir die nullten ordnungs term angucken was trägt denn dazu nullten ordnungsamt eine da kann ich aus der zweiten klammer die einst nehmen mal 1 ok und aus der zweiten klammer dass viel von xcom at und mehr kann ich nicht nehmen weil alles andere schon im wlan etwa davor hat oder in y stets war hier auch in y drin aber sie wissen epson etwa quadrat das da gibt auch nullten ordnungs beitrag den gucken uns gleich an den lasse ich aber mal soweit stehen das ist also das hier plus integral de ta jetzt schreibe ich schon wieder 1 durch a von epson onexim durch hardware zwei hardware y r quadrat so und jetzt kommen die linearen therme linear wären also in epson linear das etwas aber eine wurzel aus epson muss ich mitnehmen dann nehme ich erst einmal diesen nämlich erstmal diesen y tern hier also klammer auf - i lon durchquert v von x-men es auf jeden fall term linear in y aber dann kann ich da hinten die nicht mehr nehmen da kann ich nur noch nehmen viel von xcom at und dann kann ich dann noch mal die eins nehmen und da noch diese beiden etwa therme also plus integral die ex von gm durch zwei hardware apps i lon etwa quadrat x naja da kommt etwa mal defi nach dx plus etwa quadrat halbe mal die 24 nach dx quadrat genau also diese diese integrale habe ich hier und das etwa das geht von minus eins bis plus denn ich kann ja dann beliebig abweichen so und was ich jetzt mache ist scharf gucken und scharf gucken führt auf die tatsache dass hier dieser ausdruck die integrations variable taucht ihr hier drin gar nicht auf das heißt ich kann einfach diesen vor faktor auswerten und wenn man das scharf drauf guckt und schreibt dass ihm noch hier unten hin und korrigiert da natürlich auf ein minus hier bei 1 -1 ich es nie und ich ignoriere mal dass hier eine imaginäre einheit steht dann ist es einfach ein geiles integral - alpha mal etwa quadratfuss integriert hier vorne also das iphone apps dann kann ich natürlich auch ausziehen das heißt es ist 1 durch a von apps i lon mal jetzt kommt dieses integral und das ist die wurzel aus zwei camps ion die durch m nämlich durch alpha das einzige was man sich überlegen muss ist warum das mit demi auch noch so funktioniert aber das glauben sie mir jetzt einfach das kann man ausrechnen das kann man zeigen was genau man will es gar nicht so einfach aber dieses integral wehrten sich zudem aus und dann steht noch viel von xcom at jetzt gehe ich hier mit diesen integralen weiter sie sehen hier kommt noch mal genauso ein faktor vor das eigentlich genau das integral das da vorne steht ja da steht also auch 1 durch a von y mal dass ein star von apps i lon mal die wurzel 2 ph quer apps lonnie durch m ja das ist richtig das steht aber noch einmal - y durch hartz iv von iks und hinten wird es jetzt noch weiter interessant wie gesagt es geht von - endlich bis plus unendlich dass da ist eine gerade funktion das etwa ist eine ungerade funktion dieser erste teil wird unter dem integral rausfallen weil sie eine ungerade funktion über den symmetrischen integrationsbereich integrieren was ihr euch hier ein faktor 1 durch auch von exelon vergessen und das gibt einen faktor plus oder minus vergessen mit nachdrucken + y durch mm x t24 durch die iks quadrat von iks und das ist einfach nur dass de ta integral ausgewählte jetzt sehen sie warum ich das nicht schon entwickelt habe weil ich einfach diese integrale relativ leicht ausrechnen kann so jetzt sagen sie rogers kritisch schrecklich aus aber wir beobachten noch was wir beobachten dass der neue ordnung star der unabhängig ist von y das heißt unabhängig von dem limit von großen das ist nur auf der rechten seite nur dieser therme also dieses vieh von xt dieser faktor der muss eins sein denn hier steht eine eins davor dann muss vor dem und abgeleiteten vieh und hab ich auch dass viel von extrem vergessen muss nur eins stehen das heißt hier raus lesen wir ab der normierung faktor von apps i lon der es exakt dieser ausschuss ist die wurzel aus 2 ph quer apps konnten durch im wenn das nicht so wäre wäre unsere rechnung schon in der nullten ordnung falsch das darf nicht sein also letztlich sobald wir uns diese fahrt integral geschichte für einen einzelnen zeit schritt angucken lernen wir wie der normierung facto aussehen muss wenn es überhaupt nur konvergieren kann aber wenn dieser ausdruck a gleich stehen da ist dann hebt sich das hier ja auch gleich wieder gegen das hier weg dann ist es dort der gleiche vor faktor richtig das heißt was wir hier insgesamt lernen ist die neue ordnung ist hier die neue ordnung wenn ich die normierung faktor so wähle abgehakt die lineare ordnung in y ist zeit ableitung von vieh muss dann gleich der linearen ordnung in apps sollen hier drüben seinen sehen die lineare ordnung im y ist dieser tag und dieser term das heißt dass hier kommt aus der nullten ordnungs gleichung und dann folgt aber insgesamt das defi durch die idee von xmt und ich weiß hier der faktor der ersten ordnung ist muss gleich sein ich schreibe die rechte seite hin - ich habe mal mit dem karmann muss gleich sein plus hardware apps ii lonnie durch mm x t24 durch dx quadrat an der stelle ickx und tee - y durch hardware entschuldige epson seitlich weg machen weil ich sie links auch schon weg gemacht haben ich betrachte jetzt nur noch die ordnung linear in y ich kann ja ordnung für ordnung die linke und die rechte seite vergleichen das gleiche - sie durchquert auf onyx also dass da kommt aus der ersten ordnung und ordnung alte ordnung linke und rechte seite vergleichen und das ding hier kommt aus der ersten ordnung ja allemal die gleichung so anguckt was man da üblicherweise tut aber das ist reine kosmetik und wie sie gleich und kennen sie kennen auch news aktion als es gleich einmal du vielleicht weniger als elf durch m gleich awo das natürlich trivial genau das gleiche ist aber der übliche exakte wiedererkennungseffekt setzt ein bei dieser gleichung wenn ich sie noch mit ihk multipliziere aber das darf ich natürlich also diese gleichen die ich da raus bekommen habt die gelten muss weil wir einfach das fahrrad integral verwendet haben die gleichung die für die wellenfunktion raus kommt also diese amplitude die einfach sagt was jetzt ist und was im nächsten moment sein wird und ignoranz dessen was vorher war wenn ich die mit ihk multipliziere bekomme ich die hak wer demnach dtv erst ableiten dann auswerten xt ist gleich mit - i multi multiplizieren gibt denn ein - mag wer kommt noch 1 vortag wert draht und irgendwo habe ich eine zwei verriegelt sehen sie da oben da hatte ich hinten das etwa quadrat halbe stehen will sie da oben der zeile etwa quadrat halbe und diese einhalb die habe ich vergessen mit in die nächste zeile zu nehmen das heißt hier oben also im eifer des gefechts eben habe ich diese einhalb nicht mit hier nach unten genommen okay die habe ich da vergessen als macht ja nix die schreibe ich jetzt einfach dazu hier steht sie okay vorne dann steht da nämlich tatsächlich - haag wer quadrat durch 2 m und dann kommt da die zweite ableitung nach dem ort d2 nach dx quadrat angewendet auf fiel erst zwei mal ableiten dann auswerten an der stelle ickx und tee mit ihm multipliziert - e-mail ist aber + + und mit hardware haben wir auch multipliziert also einfach + v von iks und darum habe ich schon wieder was vergessen nach diesem v steht nämlich noch ein viel haben wir hier viel von xcom ag ja und diese gleichung ist die ganz berühmte schrödinger gleichung das ist also die schrödinger gleichung ja und von unserer herleitung her für ein teilchen der masse en masse klein m in einer raum dimension im potenzial oder wenn sie die negativen gradienten dieses potenzials nehmen können sie auch sagen im kraftfeld im potenzial v das ist das ding und wenn sie jetzt ein eindimensionales problem haben mit einem potenzial und haben ein teilchen der masse m und haben nicht relativistische physik denn dafür ist es gemacht dabei ist dass die gleichung die differentialgleichungen für vieh die sie lösen müssen dass eine lineare differentialgleichungen es später noch beschäftigen da kommt dass in jedem termin kommt dass viel linear vor müssen sie die für viele das hängt natürlich auch von der form des potenzials schon manche potenzial ist es ganz schwierig kann es nur numerisch machen für an und so dass die nato-politik potenzial es ist ein kinderspiel sie müssen diese gleichung lösen und was bekommen sie dann sie bekommen dann die wellenfunktion zu jedem zeitpunkt aber jetzt differentialgleichungen ist werden sie anfangs daten vorgeben müssen und weil sie in der zeit entwickeln wollen interessiert sie welche ordnung hat die in der zeit in der zeit hat die erster ordnung ist die erster ordnung das heißt sie brauchen wirklich nur die wellenfunktion am anfang vorzugehen nicht etwa noch ihre ableitung oder sowas zu nie wellenfunktion am anfang und dann können sie die wellenfunktion zum späteren zeitpunkt ausrechnen das heißt es ist die dynamik der schrödinger gleichung und wie sie sehen verbindet diese gleichung die zeit ableitungen mit den orts ableitung oder anders gesagt wie sich diese wellenfunktion also die amplitude dafür irgendwo zu sein in der zeit ändert hängt davon ab wie sie sich im ort ändert wie sie im ort anders ist impliziert wie sie sich in der zeit ändert und was müssen sie machen wenn ich sage ja jetzt interessiert mich aber die schrödinger gleichen verein teilchen der masse min drei raumdimensionen im potenzial v was müssen sie mit der herleitung machen so ging ein dass wir eine dimension benutzt haben na ja als ich die wirkung aufgeschrieben haben in seiner branche verstanden halbe x.com draht und drei dimensionen wäre das x.org quadratisch zeitpunkt quadrat richtig ja genau und was wäre wenn ich sage nicht in einem potenzial frau sondern es koppelt an ein elektromagnetisches potenzial naja da müssen sie in der lacrosse funktion in der wirkung diesen kopplungs term dazu schreiben und dann lernen sie wie die ströer gleich und aussieht für ein geladenes teilchen dieser kopplung stermann hat die ladung enthält wenn ein elektromagnetisches potenzial da ist packen wir alles auf übungsplatz und dann gingen sie immer wieder die schrödinger gleichung in der jeweilig jeweils wichtigen form ja bestimmt die übrigens einteilung ja genau gute frage es sieht so aus zwei leute haben angegeben freitag können die wirklich nur freitag wer hat s angegeben freitag sie und wären auch okay können sie nur freitag ok dann hätten wir die übungsgruppe mit zwei leuten können wir machen aber es ist sehr ineffizient oder es gibt donnerstags leute die freitags kommen wollen sehr unwahrscheinlich gut wir werden schauen wenn es gar nicht anders geht müssen wir das machen wir haben auch drei übungsleiter aber gut ok also verallgemeinerungen hiervon dadurch dass wir eine andere lage funktion wählen und das nächste mal werden uns mit der frage beschäftigen jetzt wo wir die normierung faktor kennen aus dieser rechnung nächstes mal beschäftigen uns mit der frage löst denn das so normierte pfad integral tatsächlich unser doppel spalt problemen denn wenn sie das nicht täten wäre das zwar eine sehr schöne gleichung aber völlig irrelevant also müssen wir quasi unser grund postulat mindestens an unseren experimenten cruces noch mal überprüfen und das kommt dann am dankeschön [Musik]