Halo, selamat datang kembali di channel belajar matematika bersama Marvi Aryo. Pada video kali ini kita akan membahas cara menyelesaikan persoalan atau soal program linier dengan metode grafik. Langsung saja kita lihat soalnya, kita baca bersama-sama.
Perusahaan Rohul Purniture akan membuat meja dan kursi eksklusif. Untuk pembuatan 1 unit meja diperlukan waktu selama 4 jam. Untuk pembuatan 1 unit kursi diperlukan waktu 3 jam kerja. Setelah selesai dibuat, meja dan kursi tersebut kemudian dicat.
1 unit meja memerlukan waktu pengecatan 2 jam, sedangkan 1 unit kursi memerlukan waktu pengecatan 1 jam. Jumlah waktu yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam. jam per minggu, sedangkan jumlah waktu untuk pengecatan adalah 100 jam per minggu.
Setiap unit meja memberikan keuntungan sebesar 700 ribu rupiah, sedangkan satu unit kursi memberikan keuntungan 500 ribu rupiah. Berapa banyak meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum. Baik, untuk menyelesaikan persoalan program linear seperti ini, Maka yang pertama sekali harus kita lakukan adalah memahami soal dengan baik Lalu mengubah soal ini ke dalam model matematika Nah setiap persoalan program linier Selalu memiliki fungsi tujuan dan selalu memiliki fungsi kendala Fungsi tujuan maksudnya adalah sesuatu yang ingin diharapkan dari perusahaan Sesuai dengan persoalan Pada soal ini tujuan yang ingin dikejar oleh perusahaan adalah mencetak untung yang sebesar-besarnya Nah, itu terlihat dari kalimat terakhir. Berapa banyak meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum.
Oke, berarti sekarang kita akan memisalkan. Misalkan meja itu sebagai X atau banyaknya X. Kita tulis di sini ya.
Misalkan X itu adalah banyaknya meja. Sedangkan Y adalah banyaknya. Kursi.
Banyaknya ya. Tapi saya tulis simple saja. Meja, kursi. Ini menyatakan banyak meja. Y menyatakan banyak kursi.
Nah, dari sini kita tahu dia ingin memaksimumkan. Sehingga fungsi tujuannya. Oke, fungsi tujuan. Nah, fungsi tujuan itu adalah maksimumkan atau maksimalkan. Maksimalkan.
Z sama dengan, oke. Apa yang ingin dimaksimalkan? Yang ingin dimaksimalkan adalah keuntungan dari penjualan meja dan kursi.
Di soal kita tahu bahwa keuntungan satu meja adalah 700 ribu. Sehingga 700 ribu dikali dengan banyaknya meja yang ingin diproduksi. Lalu ditambah dengan keuntungan kursi, yaitu 500 ribu dikali banyaknya kursi yang diproduksi.
Ini maknanya adalah keuntungan yang diperoleh perusahaan adalah Z yang besarnya yaitu 700 ribu dikali banyaknya meja yang ingin diproduksi ditambah dengan 500 ribu dikali banyaknya kursi yang diproduksi. Nah maksimalkanlah Z ini. Kemudian untuk mencapai tujuan tersebut perusahaan ini memiliki beberapa kendala. Yang itu kita rumuskan ke dalam fungsi kendala. Apa kendalanya?
Kendalanya adalah waktu kerja. Di soal diketahui bahwa untuk pembuatan meja dan kursi itu ada dua tahapan. Yang pertama adalah tahap pembuatan dan yang kedua adalah tahap pengecatan. Untuk pembuatan satu unit meja itu diperlukan waktu 4 jam. Sedangkan untuk satu unit kursi diperlukan waktu 3 jam.
Sehingga kita tulis fungsi kendala yang pertama adalah 4 jam dikali banyaknya meja yang ingin dibuat. Itu ditambah 3 jam dikali banyaknya kursi yang dibuat. Lalu di sini disebutkan jumlah waktu yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240 jam.
Itu yang tersedia, berarti tidak boleh lebih. Kalau tidak boleh lebih, berarti boleh kurang. Kalau boleh kurang, berarti 4 jam dikali banyak meja. Jadi, tambah 3 jam dikali banyaknya kursi, itu haruslah kurang dari 240 jam. Sehingga simbolnya adalah kurang dari atau sama dengan.
Karena ini menyatakan maksimal. Karena yang tersedia 240 jam. Tidak boleh lebih, tapi boleh kurang. Kemudian yang kedua, setelah pembuatan dilakukan, pengecatan. Untuk satu meja.
Itu kita butuh waktu pengecatan 2 jam. Sehingga kita tuliskan 2 jam dikali banyaknya meja ditambah 1 unit kursi memerlukan waktu 1 jam. Sehingga 2X ditambah 1Y, tapi kita tidak tulis satunya. Itu harus kurang dari 100 jam. Sama seperti tadi, waktu yang tersedia itu adalah 100 jam.
Berarti tidak boleh lebih dari 100. Oke, kemudian. adalah X lebih dari atau sama dengan 0 Y juga lebih dari atau sama dengan 0 maknanya apa? bahwa banyaknya kursi, banyaknya meja yang ingin dibuat dan banyaknya kursi yang ingin dibuat itu tidak mungkin negatif karena dia menyatakan banyak yang namanya banyak itu minimal adalah 0 0 bermakna tidak ada sehingga kalau nanti kita peroleh X nya 0 berarti meja tidak diproduksi Nah logika kan bisa mengatakan logika kita tidak mungkin kan banyaknya meja negatif 1. Sehingga ini adalah X lebih dari atau sama dengan 0, Y lebih dari atau sama dengan 0. Nah inilah fungsi tujuan dan fungsi kendala dari persoalan ini.
Jika sudah bisa menyelesaikan soal ini ke dalam model-model matematika seperti yang barusan kita lakukan, maka sebenarnya setengah dari langkah kita sudah selesai. Sekarang tinggal menyelesaikannya dengan metode grafik. Apa yang harus kita lakukan?
Yang pertama adalah menggambar fungsi kendala ini pada koordinat Cartesius. Caranya sebagai berikut. Pada fungsi kendala, kita punya dua fungsi.
Ini yang pertama, kemudian ini yang kedua. Untuk menggambarkannya, maka pertidak samaan itu kita ganti dulu menjadi P. Persamaan, kita lihat yang pertama. Yang pertama fungsinya adalah, atau persamaannya adalah 4X ditambah 3Y, kita jadikan sama dengan 240. Nah, untuk menggambarkannya, ya seperti biasa. Langkah pertama, kita misalkan X-nya sama dengan 0, maka kita peroleh 3Y.
Sama dengan, X-nya 0, 4 kali 0, 0, tambah 3Y. Berarti 3Y. 3Y sama dengan 240. Sehingga Y sama dengan 240 dibagi 3. Yaitu 80. Dari sini kita peroleh satu titik koordinat.
Yaitu X-nya 0 dan Y-nya 80. Sekarang Y-nya yang 0. Jika Y-nya 0, berarti 3 kali 0, 0. Yang sebelah ruas kiri tersisa adalah 4. 4X ya sehingga 4X itu sama dengan 240 X nya sama dengan 240 dibagi 4 yaitu 60 sehingga dari sini kita dapatkan titik 60,0 Oke selesai persamaan yang pertama sekarang kita lihat untuk persamaan yang kedua persamaan yang kedua adalah 2X ditambah Y sama dengan 100 Oke, sama seperti tadi, jika X-nya 0, maka 2 kali 0, 0 ditambah Y. Kita peroleh Y-nya sama dengan 100, sehingga titiknya adalah 0,100. Kemudian, jika Y-nya yang kita jadikan 0, maka kita peroleh 2X sama dengan 100, lalu X-nya sama dengan 50. Dari sini kita peroleh titik 50,0 Sudah dapat 4 titik 0,80, 60,0, 0,100, dan 50,0 Nah titik-titik ini kita gambarkan pada koordinat kartesius Oke, ini koordinat kartesiusnya.
Nah, tadi kita punya 4 titik ya. Nah, dari persamaan yang pertama kita dapatkan titik 0,80. Kita gambarkan 0,80, maka titiknya di sini.
Kemudian yang satu lagi adalah 60,0, berarti titiknya di sini. Lalu kedua titik ini kita hubungkan, kita dapatkan garis ini. Kemudian dari persamaan kedua kita dapatkan... titik 0,100 berarti titiknya ada disini kemudian yang kedua 50,0 lebih kurang disini sekarang kita hubungkan kedua titik ini itu dia ya ini dari persamaan yang pertama ini garis ini kemudian garis yang ini dari persamaan yang kedua mana wilayahnya kita tes saja 0,100 0,0 kita masukkan 0,0 ke persamaannya Oke kita lihat lagi persamaannya tadi adalah 4X tambah 3Y Kalau kita masukkan titik 0,0 berarti disini 0 ditambah 0,0 0 itu kurang dari 240 Ya tadi kan mintanya yang kurang Sehingga wilayahnya adalah wilayah yang memuat titik 0,0 0,0 disini ya Berarti wilayah dari garis pertidak sama ini adalah yang mengarah ke 0,0. Sehingga kalau kita cari irisannya, daerah.
Nah ini dia. Ini disebut dengan daerah layak. Di sinilah kemungkinan penyelesaiannya yang ada di wilayah-wilayah ini.
Kenapa tidak menembus garis-garis ini? Kenapa tidak sampai ke sini? Kan sebenarnya bisa saja.
Tetapi tidak kita tuliskan Kenapa? Karena di sini tadi ada X lebih dari atau sama dengan 0 Dan Y lebih dari atau sama dengan 0 Oleh karena itu batasnya adalah sumbu X dan juga sumbu Y Daerah arsiran merah inilah yang menjadi titik-titik atau wilayah layaknya Di sini dari gambar ini kita bisa lihat bahwa ada 4 titik pojok Ya Titik yang pertama adalah titik 0,0. Kemudian titik 0,80.
Kemudian disini ada perpotongan. Antara persamaan pertama dan yang kedua. Kemudian satu lagi disini.
Kita kasih nama titik A. Kita kasih titik B. Titik C. Dan titik D. Oke, sekarang langkahnya adalah kita menguji.
Tapi sebelum kita uji, kita tentukan dulu koordinat masing-masing. Kalau A itu adalah 0,0. B 0,80. D 50,0.
Sedangkan C itu belum kita ketahui. Sehingga titik C itu harus kita cari dulu. Dengan cara eliminasi substitusi. Persamaan tadi apa?
Persamaan adalah 4X tambah 3Y sama dengan 240. Kita tulis ulang. 4X. Tambah 3Y sama dengan 240. Kemudian persamaan yang satu lagi adalah 2X tambah Y sama dengan 100. Oke, 2X tambah Y sama dengan 100. Nah, selesaikan ini dengan cara apa?
Dengan cara substitusi eliminasi. Oke, sekarang kita pakai eliminasi dulu. Yang atas kita ingin eliminasi X ya.
Sehingga yang atas kita kalikan dengan 1. Sedangkan yang di bawah kita kalikan dengan 2. Sehingga kita peroleh 4X tambah 3Y sama dengan 240. Kemudian yang bawah 2 kali 2, 4X. 2 kali Y, 2Y. Kemudian 2 kali 100, 200. Oke, kemudian kita kurangkan. 4X kurang 4X, 0. 3Y kurang 2Y itu Y 240 kurang 200 Dapatnya 40 Oke kita dapat nilai Y sama dengan 40 Kemudian kita Substitusi ke persamaan ini Yang lebih sederhana adalah Persamaan yang kedua 2X ditambah Y Y nya sudah dapat 40 40 sama dengan 100 lalu 2X Sama dengan 100 kurang 40, 60 Lalu Sehingga X sama dengan 30. Oke, X-nya 30, Y-nya 40. Berarti titik B, C ini adalah 30,40. Nah, sekarang manakah penyelesaiannya?
Ya, penyelesaiannya kita uji gitu ya. Sekarang titik uji. Titik ujinya ada 4 tadi.
Titik A, titik B, titik C, titik D. Titik A tadi 0,0, 0,0, B tadi adalah 0,80, titik C yang barusan kita cari 30,40, sedangkan titik D adalah 50,0. Nah, titik-titik itu kita lihat dari koordinat ini tadi ya. Nah, 0,0, 0,80, 30,40, lalu 50,0.
Lalu kita uji ke mana? Kita uji ke fungsi maksimal yang kita punya sebelumnya. Oke, ini dia ya.
Fungsinya 700.000X ditambah 500.000Y. Nah, titik uji ya. Di sini tadi fungsi tujuan kita ya. Fungsi tujuan kita tadi itu adalah 700.000X ditambah 500.000Y.
Nah, ini dia. Sekarang kita tinggal substitusi nih. 0,0 kalau kita substitusi ke sini, ganti X-nya dengan 0, Y-nya dengan 0, maka kita dapatkan nilai Z-nya, itu adalah 0. Oke ya, nilai Z-nya, yang ini akan kita dapatkan 0. Lalu yang ini, X-nya 0, berarti 700 ribu dikali 0, 0, lalu 500 ribu dikali 80. Nah untuk kemudahan perhitungan, ya ini boleh saja kita anggap sebagai 5. Nah ini 7, ini... 5 tidak masalah tapi yang penting konsisten untuk semua titik uji kita kalikan 7 dengan 5 oke coba kita kali 5 saja berarti 80 kali 5 400 oke disini kita dapatkan nilai 400 kalau mau dikali langsung dengan 700 ribu atau 500 ribu boleh? boleh ini hanya untuk kemudahan perhitungan sekarang 30 kali 7 itu adalah 210 ditambah 5 dikali 40 adalah 200. Sehingga kalau ditambah hasilnya adalah 410. Sekarang 50 kali 7. 350. 0 dikali 5. 0 ya.
Nah dari sini kita dapatkan. Jika A maka fungsi tujuannya 0. Jika kita pilih titik B fungsi tujuannya 400. Jika C 410, jika D 350. Dari sini kita bisa lihat bahwa nilai maksimal itu adalah 410. Kapan itu terjadi? Jika kita memilih titik C.
Titik C itu apa? Maknanya adalah X-nya 30, Y-nya 40. X tadi itu apa? X tadi itu adalah banyaknya meja dan 40 itu adalah Y. Y itu adalah banyaknya kursi. Sehingga jawaban dari persoalan tadi, kita kembali ke pertanyaannya.
Oke, berapa banyak meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan perusahaan maksimum? Jawabannya adalah, banyaknya meja itu adalah 30, sedangkan banyaknya kursi yang harus dibuat adalah 40. Berapakah keuntungan yang diperoleh? Keuntungan yang diperoleh adalah 410. Nah ini kalau tadi kita kali 5 sama 7 ya Nah sekarang tinggal menambahkan 0 nya 5 Oke jawabannya adalah Meja 30 unit dan kursi 40 unit Oke demikian saja untuk penyelesaian soal program linear kali ini Kita akan bahas contoh-contoh soal program linear yang lain yang tingkat kesulitannya lebih tinggi dari yang sekarang ini.
Selamat menyaksikan video berikutnya. Jika merasa bermanfaat silahkan klik like, komen, subscribe dan jangan lupa di-share. Jika ada pertanyaan silahkan ditanyakan di kolom komentar.
Terima kasih, sampai jumpa pada video berikutnya.