Arkadaşlar merhabalar. 3D TYT konu anlatım defterimizde güzel bir konudayız. EBOB, ECOG. Aslında bu konuya yatırım yaptık. Bölme bölünebilme çalışarak, asal çarpanlara ayırma yaparak bu konuya yeterince yatırımımızı yapmış olduk.
Artık o bilgileri bu konuda kullanacağız. Hakikaten böyle ÖSYM'nin biliyorsunuz AYT'de de sorduğu konulardan bir tanesidir. Bu yüzden de bizim için iki anlamda da değerli.
Hem TYT açısından hem AYT açısından. Bir de AYT'de sorarken bölüyoruz. ÖSYM harfli sorulara dikkat ediyor. Tahmine dayalı gibi görünen ama iyi bir EBOB-EKOG bilgisi gereken sorular sorduğu için bu derslerimizde hepsine değineceğim arkadaşlar.
Şimdi ilk bakalım EBOB kavramıyla başlayalım. EBOB en büyük ortak bölen. 2 sayı, 3 sayı, 4 sayı fark etmez. Sıfırdan farklı 2 veya daha çok sayının. Bu arada EBOB-EKOG yaparken arkadaşlar sıfıra hesap etmeyeceğiz.
Niye biliyor musunuz? 0 çünkü her sayıya bölünüyor. O yüzden 0 olduğu zaman işin içinde EBOB-EKOK kavramını yıkar geçeriz. Düşünsenize 0 ile 8'in EBOB'u. Yani ne diyeceğiz?
8'dir tabii ki. Çünkü 0 8'e bölünür. 0, 8 ve 16'ın EBOB'u nedir?
Çünkü sorularda EBOB, ECOG yaparken aslında biz çokluklar, yani normal gerçek hayattaki ürünler üzerinden gittiğimiz için genel olarak sorularda da göreceksiniz bakın. Hep pozitif tam sayılar üzerinden gidiyoruz. Şimdi EBOB kavramını hemen söyleyelim. En büyük ortak bölen.
Örnek veriyorum bakın. 28 ile 14'ü düşünelim. Şimdi bu iki sayının bölenleri neler ortak bölenleri? Bir seferlik yazayım şöyle. 14, 7, sonra 2, 1. Bunun da işte ortak bölenlerini yazdım sadece.
14, 7, 2, 1. Bu bölenlerden en büyüğü hangisi? 14. Başka bir sayı düşünelim. İlla tam katı olmasın.
36 ve 24 düşünelim. Birbirinin katı değil bunlar. Bunların ortak bölenleri. 12, 6, sonra...
3, 2, 1. Gerçekten 24 ile bakın ortak bölenleri. 12, 6, 3, 2, 1. O zaman şunu görüyoruz işte. En büyük bölen hangisi geldi? 12. İşte bölenleri bunların birden fazla.
28 ile 14'ün ortak böleni 1'dir. Ortak böleni 2'dir. Ortak böleni 7'dir. Ortak böleni 14'tür.
Ama arkadaşlar dikkat edeceğimiz şey ne? En büyük ortak bölenleri 14'tür. 36, 24'ün de gördüğünüz gibi 12, 6, 3, 2, 1 hepsi ortak böleni ama en büyüğü 12. Biz böyle sorularda tek tek bunları bütün bölenlerini yazıp en büyüğü içlerinden mi seçeceğiz?
Hayır. Şöyle bir yöntemimiz var arkadaşlar. İki sayının ebobunu bulurken asal çarpanlarını ayırıyoruz. Görelim bakın. 36 ve 24. Bunu asal çarpanlarını ayır.
2'nin karesi, 3'ün karesi. Bunun asal çarpanlarını... 2 üzeri 3 çarpı 3 üzeri 1. Amacımız ortak bölen bulmak. O yüzden tabanları aynı olanlarla ilgileneceğiz. Zaten bu soruda ikisi de tabanları aynı.
Tabanları aynı olanların ortak olanlarını alacağım ya büyük olanı sakın alma. O zaman ortak olmamış olurlar. Bunda 2 üzeri 2 çarpını var.
Bunda 2 üzeri 3 çarpını var. Ne yapacağım? Küçük olanı alacağım.
Yani bunların ebobunda 2 üzeri 2 çarpını vardır diyeceğim. 3 üzeri 2 ve 3 üzeri 1'de de tabanı aynı olanın üstü küçük olanını tercih ediyorum. Sebep?
Sakın ismini aldanmayın. En büyük ortak bölen hocam üstü büyük mü alacağız? Hiç onunla alakası yok. O şununla ilgili. Bölenlerin en büyüğü manasında.
Üstü alırken ama ortaklık oluşturmak için ya eşit olanı ya da küçük olanı almalıyız ki birinde olan diğerinde olsun. Dolayısıyla bakın gerçekten bunların OBEP'i 12 geldi. Ben arada OBEP de diyorum. Şaşırmayın tamam mı? Eskiden çünkü biz ilkokulda bunlara OBEP derdik.
Ortaokulda OBEP derdik, lisede OBEP derdik. Sonra adı da işte EBOB oldu yani. Gelelim başka bir sayı örneği vereyim size. 72 ile 108'in bakalım OBEP'i neymiş?
72'nin asal çarpanlarına ayrılmış hali. 2 üzeri 3 çarpı 3 üzeri 2. 108'in asal çarpanlarına ayrılmış hali. 3 üzeri 3 çarpı 2 üzeri 2. Tabanları aynı olan 3'lerin üstü küçük olanını alıyorum.
Tabanları aynı olan sayıların... üstü küçük olanını alıyorum. Sebep?
Çünkü arkadaşlar ortak olsun diye fazla olan alınır mı hiç? Eşitlemek için az olana gitmemiz lazım. Tamam mı? Bu şekilde. Bunların da obebi 36 oldu.
Eğer oldu da size harfli sorduk. Ona bakalım şimdi. Harfli sormayayım da illa hep böyle eşit olmasın. Bir de hiç ortak bölenleri illa aynı olan tabanları olmasın. 40 ile 72'nin obebine bakalım bakın.
40 nedir? 2 üzeri 3 çarpı 5 üzeri 1. 72 nedir? 2 üzeri 3 çarpı 3 üzeri 2. Bak şimdi bunların obebine veya ebobu gördüğünüz gibi tabanı aynı olan. Tabanı aynı olanın üstü de aynı. Direkt al diye.
Şey direkt al tamam mı? Neyi alamam? 5'i alamam. Niye alamam?
3'ü alamam. Çünkü ortak değiller. Tabanları ortak olmayanları OBEP'te alamayız arkadaşlar.
Dolayısıyla bunların ikisinin EBOB'u 2 üzeri 3'den 8 geldi. Gerçekten 40 ve 72'nin en büyük bölenleri 8'dir. Şimdi o zaman sorumuza gelirsek. EBOB AB nedir diye sorulmuş. Tabanları aynı olanın hemen üstü büyük olanını al.
Tabanları aynı olanın hemen üstü küçük olanını al. Neden? EBOB yapıyoruz. Hedefimiz ne?
Ortaklıkta buluşturmak. O yüzden 2 üzeri 3'ü aldım. Büyüğü almadım.
Sonra tabanları aynı olandan 3 üzeri 4'ü alacağız. Tabanları aynı değil alamam. Tabanı aynı değil alamam. Cevabımız bu yüzden arkadaşlar ne olacak? B şıkkı.
Gelelim ECOG kavramına. ECOG'da neye dikkat edeceğiz arkadaşlar? Sıfırdan farklı olacak yine.
2 veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğü. Kat çıkmak gibi düşünün. Ortak kat ekok bu seçeceğimiz sayılardan ya büyük olur ya en iyi ihtimal bunlardan birine eşit olur. Görelim bakın.
16 ile 24'ün ekokunu bulalım. Bunların ekokunu bulurken şöyle düşünebilirsiniz. Nasıl düşüneceğim hocam ben bunların ekokunu? Demin hadi EBOB'da yaptığınız bölen olduğu için daha küçük. EBOB biraz daha küçükleri ifade eder.
OK'ekte, ekokta büyüye doğru gitmeyi, kat çıkmak gibi düşünün. Gerçekten en küçük ortak kat. Bunlara bölünen en küçük sayıyı bulmanız lazım. Eğer bildiğimiz sayılarsa tahmin usulü yaparsınız.
16 ve 24'ün ekoku 48'dir. E ben bunu böyle sürekli tahmin edecek miyim? Hayır.
Şunu düşünürüm. Abartarak bir şey söyleyeyim. Bunun katlarını düşünürüm. 16'nın katları 32 var.
Sonra 48 var. 2 katını aldım, 3 katını aldım, 4 katını alayım, 64 var, böyle gidiyor. Bunun katlarını al, 2 katı 48, 3 katı 72, 4 katı 96. Gördünüz mü?
Bunların ortak katlarının en küçüğü 48 geldi. Ortak, daha doğrusu katlarının en küçüğü, ortak katlarının en küçükü 48 geldi. Daha bunlar başka nerede buluşur?
96'da. Ama bu da ortak kat, bu da ortak kat. Ama bu en küçük ortak kat değil.
48 en küçük ortak kat. Böyle deneyerek mi bulacağız? Hayır.
Şunu yapacağız. Asal çarpanlarına ayırıyoruz. 2 üzeri 4. Bu ne? 2 üzeri 3 çarpı 3 üzeri 1. Tabanları aynı olanın bu sefer büyük üstlüsünü alıyoruz. Neden?
Daha büyük sayıya ulaşmak istiyoruz çünkü biz. İkisinde de var olan daha büyük sayıya o zaman 2 üzeri 4. Ortak olmayanı ekokta alıyoruz. Çünkü biz hedefimiz bunların ikisini birleştirip ortak kat çıkmak. O zaman tabanı aynı olmayanı direkt katabilirsiniz. İşte 3 üzeri 1 oldu.
Buradan da hakikaten 16 çarpı 3'ten gördüğünüz gibi ekoku 48 görmüş olduk. Burada zaten not olarak da yazdım. Tabanları aynı olandan üstü büyük veya eşit olanlardan birisini alacağız.
Tabanı olmayanlar direkt çarpıma dahil edilecek. Not olarak yazdım. Bunu not etmenize gerek yok. Şimdi bakalım. Burada ekok sorulmuş.
Dikkat edin harfli verdik. Çünkü biraz alışın istiyorum bu harf muhabbetine. Yani ben istediğim için değil sınavda da.
Çünkü bize harfli soruyor arkadaşlar. Bakalım. Ekok yaparken neye dikkat edeceğiz? Üstü büyük olanı al taban aynıysa. O zaman A üzeri P.
D'lerde dikkat et. Hangisi büyük? P büyük. O zaman B üzeri P'ye al.
Tabanı aynı değil hocam. Direkt alacaksın. Tabanı aynı değil. Direkt alacaksın. Ekok yapıyoruz.
EBOB değil. İşte ekokumuz bu. Cevabımız hangisi oluyor o zaman bakalım bir. A üzeri P. B üzeri P.
Direkt D şıkkı. Hadi madem konu yapıyoruz ne olacak canım? EBOB'una da bakalım isteyenler için.
EBOB nedir? Tabanları aynı olanın küçük olanı. O zaman A üzeri Q bunun ebobu i çin yine tabanı aynı olandan üstü küçük olan B üzeri R. Eğer ebobunu sorsaydı cevap bu olacaktı. Hemen size bir şey daha söyleyeyim.
Harfli sorularda ne yapabiliriz? Örnek veriyorum size. 24 K ile 32 K'nın ekokunu bulur musunuz hocam dediniz. Yapıyorum.
Standart yine asal çarpanları ayırma. Özel bir şey değil. 2 üzeri 3. 3 üzeri 1 çarpı k.
Sonra buraya geliyorum. k 2 ve 3'den farklı bir sayı bu arada. 24k 32k. Onu da belirteyim. Kendim söyledim bunu.
2 üzeri 5k. EBOB'unu bulalım. A'ları ortak direkt alırım. Sonra 2 üzeri 3, 2 üzeri 5 tabanları aynı olandan üstü küçük olanı alırım.
ECOG'a gel şimdi. ECOG'da da tabanı aynı olanın üstü büyük olanını al. Eşit olmayanı direkt al. Ortak olan KK'yı da bir tanesini direkt al.
K üzeri 1. İşte size ECOG. Harfli sorular yaparsak bu şekilde artık arkadaşlar. Tabanlarına bakmanız yeterli.
Yani öğrettiğim formu tarife çevirmek sıkıntılı bir durum değil. Çok kullanacağız onu da belirteyim size. Hemen buraya bir ek daha yapalım sizinle. Diyelim ben size şunu söyledim. AB sayısının ebobu 4'tür dedim.
Bunu lütfen şöyle yazın. A sayısı 4K'dır. B sayısı 4T'dir. Birisi A birisi B. Peki K ve T ne hocam?
K ve T aralarında asal. Yani sonuçta OBEB'leri 4 olması lazım ve daha fazla olmaması gerekiyor ya. K ve T'nin kesinlikle ortak böleni olmaması lazım. Bu yüzden K ve T'nin aralarında asal olması bizim için çok değerli bir bilgi.
Bunu kullanacağız zaten sorularda. Şimdi gelelim sorumuza. Ekok AB36 olduğuna göre A artı B toplamının alabileceği en büyük değer ve en küçük değerin toplamı nedir denmiş. İki sayının ekoku arkadaşlar.
36 olduğuna göre ekok direkt büyük sayıya eşit olabilir. Nasıl olur peki bu? Şöyle söyleyebiliriz.
Büyük sayı küçük sayıya tam bölünüyorsa ekok büyük sayıdır. Örnek A 36 olursa B 18 olursa o kekleri 36 değil mi? Bunların ortak bölündüğü en küçük sayı 36'nın da 36, 18'in de 36. O yüzden hemen yazalım.
A, B'ye tam bölünüyorsa, bak kalansız bölünüyorsa bunlar birer tam sayı. Ekok A, B, A gelir. Eğer bunların ebobunu sorarsam ne gelecek? Küçük olan sayı.
O yüzden arkadaşlar tam bölen sayı eboptur. Tam bölünen sayı da ekoktur. Buna göre alabilecekleri en büyük değer birbirinden farklı demiş. Gönül ister 36, 36 yapayım 72 olsun.
Ama birbirinden farklı olduğuna göre birisini ekok al. Diğerini de bunun böleni bir sayı al. 36'ya en yakın 36'nın böleni ne? 18. En küçük değer için ne söyleyeceğiz? Önemli bir bilgi. İki sayı aralarında asalsa ekokları çarpımına eşittir.
O yüzden arkadaşlar burada da bu bilgiyi not edin. İki sayı aralarında asalsa çarpımları ekokları. Bu yüzden de çarpımları 36 olan birbirine yakın sayılar düşünün. Sebep toplamın küçük olması için sayıların birbirine yakın olması gerekiyordu.
Nerede öğrendik? Temel kavramlarda. O zaman 4 ve 9. Bakın gördüğünüz gibi. 4'ün ve 9'un ortak bölenleri yok. 4 ve 9'un buluştukları en küçük sayı o zaman ekokta nedir?
36'dır. Dolayısıyla toplamlarının alabileceği küçük değer 4 artı 9'dan 13 geldi. Büyük değer 36 artı 18'den 54 geldi. Cevabımız da bakın 67 olmuş oldu.
Bu şekilde böyle bir giriş sorusu yapmış olalım bununla ilgili. Sonucumuz tam bölen sayı ebubumuz tam bölünen sayının da... ekokumuz olduğunu atlamayın.
Örnek 24 ile 8'in ekoku nedir? 24'tür. 24 ile 8'in ebobu nedir?
8'dir. 16 ile 8'in ebobu nedir? 8'dir.
16 ile 8'in ekoku nedir? 16'dır. Peki 4 ile 4'ün ekoku ne?
Ben arada okek diyorum ya alışın. Okek o bebe eşittir arkadaşlar. Bunu da bilin. Bunları böyle özleyemek güzel aralara serpiştiriyor. Bilirseniz, ezberleyin manasına değil.
Bak söylüyorum sebepleriyle birlikte. Bilirseniz daha hızlı hatırlarsınız. Hızlı işlem yaparsınız.
Ben not ettim. Not ettirdim size. Şimdi buna gelelim. Zaten yazdırdım. Burada da görüyorsunuz.
A sayısı B sayısına tam bölünüyorsa. Ekokları A'dır. Ebopları B'dir.
Demin de görelim. İki sayının ebobu a ise birisi ak birisi at'dir. Ama burada neye dikkat edeceğiz? K ve t aralarında asal. Eğer aralarında asal olmazsa hocam ne olur?
Ebobu büyür. Ebobu o zaman a değil daha büyük bir sayı olur. Kesinlikle bu k ve t'nin aralarında asal olması ile ilgili sınavı bilemem.
Ama denemelerde kitaplarda çok güzel sorular olacak arkadaşlar. Şimdi gelelim tahmin sorusu ama mantıklı tahmin yapacağız. x, y, z pozitif tam sayılardır.
EBOB X, Y 6, EBOB X, Z 9 olduğuna göre X artı Y artı Z toplamının alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir? Birazcık düşünün ben de şimdi katkıda bulunayım. X arkadaşlar EBOB'ları bunların 6 ise X 6K. Y'de böyle 6T gibi bir sayıdır.
X ve Z'nin ebobu 9 ise o zaman X aynı zamanda farklı bir harf var. Sakın 9K deme çünkü artık farklı iki sayının ebobu verilmiş. Harfi değiştir. X o zaman 9M ve arkadaşlar Z'de buradan 9N diyelim.
Bir şey fark ettiniz mi? X hem 6'nın katı hem 9'un katı. Hem 6'nın hem 9'un katı olan bir sayı en az kaçın katıdır? 18'in katıdır.
O zaman A sayısına böyle 18C yazalım. Böyle yazdım tamam mı? Şimdi burada ne düşüneceğiz artık? 18C ile bu sayının o bebinin 6T demiştik.
Bu zaten problem değil ona girmeyeceğim bile. Y 6T olmaya devam ediyor. Y'de özel bir durum yok. Z'ye geldiğim zaman onda da özel bir durum yok.
9N. Gördüğünüz gibi burada EBOB'ları 6 olduğu için ve EBOB'ları 9 olduğu için ayrı ayrı. O zaman hem 6'ya bölünüyor hem 9'a bölünüyor. En küçük sayımız 18 o yüzden 18c dedim. X sayısına.
T sayısı zaten 6'ya bölündüğünü söylüyor. 6t dedim. Ve z sayısı içinde 9'a bölündüğü için 9 ne dedim.
Bunların alabileceği en küçük tam sayı değeri nedir? c'ye 1 ver 18. t'ye 1 ver 6. n'ye 1 ver 9. Böylece 18'i 9 daha 27. 6 daha 33 olmuş oldu. A 2 basamaklı bir doğal sayıdır demiş. Tamam.
EBOB A 480 12 olduğuna göre A sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır? Lütfen uğraşın sonra benim yöntemime bakın. A sayısı o zaman 12'nin katı.
480 zaten 12'nin 40 katı. Bunların arkadaşlar EBOB'ları 12 olmalı. Daha küçük olamaz daha büyük olamaz.
Ne demiştik? EBOB'da şu K ile 40 EBOB'ları daha farklı çıkmasın diye. Tek sebebi bu.
K ve 40'ın başka ortak böleni yok. Yazalım. Ortak böleni olmaması arkadaşlar aralarında asal demekti değil mi?
Birden başka ortak bölenleri yok. O zaman aralarında asal olduğuna göre K'ya kaç verebilirim? 1 verebilirim. 1 ile bütün sayılar aralarında asal. 2, 3 verebilirim.
40 ile 3 arasında asal. 9 verebilirim. Pardon atlamayayım sıralı gideyim. 7 verebilirim. 9 verebilirim.
40 ile 9 aralarında asal. Yalnız bu iş sıkıntılı yere doğru gidiyor. 12K 3 basamaklı oldu 9'u geri sildim.
Yoksa böyle giderdi. 9 verirdim, 11 verirdim, 13 verirdim, 17 verirdim. Ta ki 37'ye kadar giderdim.
Ama nerede durdum? Beni durduran ne oldu? 1, 3, 7. Çünkü A sayımız 2 basamaklı. Buna göre alabileceği değerlerimiz 12 çarpı 1'den 12, 12 çarpı 3'den 36 ve 12 çarpı 7'den... Maksimum 84. Bu şekilde 3 farklı sayı geldi.
En büyük ortak böleni 5 olan x ve y tam sayıları için x bölüye 2 bölü 3 eşitliği veriliyor. Buna göre x artı y toplamı kaçtır denmiş. Bunlar bizim için çok değerli sorular arkadaşlar. Bunu biz hep kullanacağız şu ECOG'da, EBOB'da öğrettiğim şeyleri. Oran orantı yaparken bile kullanacağız bak.
Burayı o yüzden dikkatlice dinleyin. Kendinizi iyi verin buraya. Şimdi EBOB'ları... 5 olduğuna göre o zaman bir kere normal şartlarda orantı gereği ne öğrendik?
X 2K'dır. Y'de 3K'dır değil mi? O zaman arkadaşlar bunların EBOB'u 5 ise aslında sana mesajım şu.
K 5'miş. Çünkü EBOB dediğimiz ortak bölenlerin en büyüğü. 2 ve 3'ün ortak böleni 1. Demek ki EBOB nereden geliyor? Buradan. K'da o zaman mecburen 5 olacak.
Gerçekten X 10 geldi. Y'de 15 geldi. Toplamları da 25 oldu.
Çünkü hatırlar mısınız demin size konu anlatırken şöyle bir giriş yapmıştım şurada. Neredeydi o? Harfli marfli bir şeyler yazmıştım sanki.
Böyle deyince de insan hani bulamaz ya. Böyle bu kadar bahsedersin. Hayda ben kendi hayalimde mi anlattım orayı?
Harf verdim bunların. Bakın burada. Görüyor musunuz?
Bu sayıların OBEB'lerini yaparken ne demiştik işte? K da OBEB'e dahil değil mi? O yüzden buraya şimdi geri gelirsek.
Nerede sorumuz? Buradayız. Burada o zaman neyi görmüş olduk arkadaşlar? Gerçekten K orada OBEB'imiz olacak.
Böylece birisi 10 birisi 15 geldi. Gelelim şimdi buraya. ABB pozitif tam sayılardır. A4B, ECOKB, EVOPAB 240. Birisi diğerinin 4 katı. Bakın şimdi.
Birisi 4B birisi B. Doğal olarak artık aslında şunu görebiliyoruz. Ezbere bile gerek yok.
Bunların obepleri ne oldu? gerçekten B oldu. Küçük olan sayı oldu.
Bak tam bölen sayı EBOB'dur. ECOG'u ne olur? ECOG'u da büyük sayı oldu.
Bak o da 4B. Örnek 36 ile 9 gibi düşün. EBOB 9, ECOG 36. O zaman ECOG AB 4B.
EBOB AB B 240. 5B eşittir 240. B'ye arkada şlar 48 geldi. O zaman A eksi B. Neyi bulacağız buradan? Birisi 4B idi. Birisi de B idi.
Farkları ne oldu? 3B. B'yi de 48 bulduğumuz için farkları 144'müş.
Şimdi ne demiş? Ekok AB, EBOB AB çarpımları AB'ye eşit. Bu kuralı ta ortaokulda falan bile öğrenmiş olabilirsiniz. İki sayının ekokları. Ama 3 için geçerli değil bu.
Sadece bu iki sayı için geçerli. İki sayının ekokuyla EBOB'unu çarparsanız... çarpımlarını elde ediyorsunuz.
Hiç matah bir şey değil. Hiç özel bir durum değil. Böyle ispata gerek duyulacak kadar bile basit bir ��ey arkadaşlar. Tamam mı?
Duyulmayacak kadar basit bir şey. Çünkü zaten biz o tabanı büyük olanı alıyoruz sonra tabanı küçük oluyoruz ya tamamen işte ondan dolayı çarpımların eşit geliyor. Örnek vereyim bakın.
2 üzeri 3, 3 üzeri 2 sayısıyla 2 üzeri 1, 3 üzeri 1 ve 5 üzeri 2 sayısının ekokunu bulalım sonra A çarpı B'yi bulalım. Bak. Ekok dediğim şey zaten üstü büyük olanı al.
Sonra üstü büyük olanı al. Eşit olmayanı direkt al. Bu ekok. Bak şimdi olaya. Bu bir sonuç zaten şey değil.
Bazı şeyler çıkarımdır. Biz size uzun uzun anlatana kadar çıkarım halini veririz sizi böyle yormamak için. EBOB'a gel şimdi. EBOB ne?
2 üzeri 1 çarpı 3 üzeri 1. Şimdi dikkat et lütfen. Buradan artık sayıların çarpımına gideceğiz. 2 üzeri 3 ile 2 üzeri 1 ne yapar?
Tabanları aynı üstlerin toplama. Tabanları aynı üstleri topla. 5 üzeri 2. Gerçekten bu sayıları çarp. Çarp bak.
2 üzeri 4. 3 üzeri 3. 5 üzeri 2 geldi. İşte sonucumuz bu. Biz bunu fark ettiğimiz için size diyoruz ki bak evop ve ekok arasında böyle bir ilişki var artık bunu bil. Çarpımları evop ekokun da çarpımına eşit.
Bu bir. İkincisi iki sayı aralarında asalsa çarpımları konunun başında söyledim aslında. Ekoklarına eşit arkadaşlar. Neden? Kural gereği artık kuralı gördük.
Yani ebop çarpı ekok neye eşit? A çarpı B. İki sayı aralarında asalsa ebopları birdir. Ortak böleni sadece birdir. E doğal olarak ekoka ne kaldı?
Çarpımları. Müthiş bir şey değilmiş yani. Eboplarının zaten biri olduğunu söyledik. Bir de ekstra hani bunu da koydum ki bazen sorulabiliyor diye.
Ekstra bir bilgi. İki sayı ardaşık çift sayıysa ebopları nedir? İki.
Ekokları nedir? Sayıların çarpımının yarısı. Gerçekten görelim harfle göstereyim.
Bir sayımız 2K olsun. Diğer sayımız da 2K artı 2. Şimdi bu 2 çarpı K, bu 2 çarpı K artı 1. Al bakalım bunların ebobunu. K ve K artı 1. Ardaşık sayıların neydi?
Ortak böleni 1. Neden? 2 ardaşık sayının asla ortak böleni olmaz. Bunlar aynı sayıya sadece 1'de bölünürler.
Dolayısıyla... K ve K artı 1'in OB1 1. 2 ve 2'nin OB1 2. Gerçekten bakın 2K ve 2K artı 2'nin OB1 2 geldi. Okeklerine bakalım şimdi.
Ortak olanı direkt aldım. 2 üzeri 1, 2 üzeri 1. Tabanları aynı olduğu için. Ortak olmayanı da direkt aldım. Gerçekten bu sayıların normalde çarpımları budur. 2K çarpı 2 çarpı K artı 1'dir.
Çarpımları. Okeklerine bu çarpımın yarısı geldi gerçekten. O yüzden buraya yazdım bak. Ekokları çarpımlarının yarısı. Müthiş bir kural değil.
Fark edebilirsin de defterinde not olsun diye. Bakalım. A ve B pozitif tam sayılardır.
EBOB AB6, EKOK AB60, A artı B42. Bunu merakla nasıl yapacağınızı bekliyorum. Keşke canlı yapsaydık da. Nasıl yaptın, nasıl yaptın diye sorsaydım.
Tabi yorumlarda söyleyebilirsiniz. Bu arada çekinmeyin lütfen. Ve lütfen arkadaşlar hata yapmaktan hep klişedir ya korkmayın.
YouTube'a özel hiç korkmayın. Çünkü beni YouTube'dan takip eden arkadaşlarımız bilir. Kanaldan, Eyüp Bey'den.
Ben bazen o matematik yorumlarını dikkate alarak yeni soru oluşturuyorum. Bazı soruları güncelliyorum. Eklemeler çıkarmalar yapıyorum.
Diyorum ki hani mesela bu arkadaş burada hata yapmış. Bunu öğretelim. Aslında hata yapmanız beni besliyor. Beni beslediği için doğal olarak size geri dönüş yaptığımdan size de katkısı oluyor. Yanlış yapmazsanız.
Bize hiç soru sormazsanız o zaman şöyle oluyor. Demek ki anlıyorlar ki ben yoluma devam edeyim. Ama anlamadığınız her şey bizde yeni bir sinyal çıkıyor. Aa bak burayı hiç ben öyle düşünmedim.
Sonuçta ben hep doğruyu düşünüyorum ya bir nevi. Yanlışı düşünemediğim için senin yanlış düşünebileceğin şeyleri de bazen düşünemeyebilirim. Ama bu YouTube'da olmanın faydası, bir sürü öğrenciyle bu zamana kadar uğraşmanın faydası bir yerde... düşebileceğiniz hataları öngörebiliyoruz. Ama her insan farklı bir dünya.
Öyle bir hata yaparsanız ki bundan sonra derim bak bunu da öğreteyim ben. Aklınızda bulunsun. Şimdi EBOB AB 6 demek birisi 6K demek benim için birisi 6T. Ben çözdünüz ve şu an benim çözümümü izlediğinizi düşünüyorum. Benim çözümümü bir güzelce izleyin bakalım.
ECOG'ları da 60'mış. Burada o zaman 6K ve 6T'nin EBOB'ı nedir? K ve T aralarında asaldı değil mi? EBOB'ları 6 olduğu için.
ECOG neydi? Tabanları aynı olanların üstü büyük alımını al ama zaten eşit 6'yı direkt al. Eşit olmayanları ortak olmayanları direkt kat. O zaman o kekimiz bu. O bebemiz zaten 6. Bakın o kekimiz 6KT ise 6KT'ye atmış 6'lar sadeleşti.
KT'ye ne geldi? 10. K ve T'nin aralarında asal olduğuna dikkat edin ama tamam mı? Bunlar aralarında asal. Ne işimizle yarayacak hocam bu?
A gördüğün yere 6K yazacaksın. Sonra bak D'ye gördüğün yere 6T yazacaksın. 6 parantezinde K artı T eşittir 42 diyeceksin.
Sadeleştirince K artı T 7 gelecek. K ve T aralarında asal sayı çarpımları da 10. O zaman buna uygun ne var arkadaşlar? 2 ve 5. Başka hiçbir sayı yok değil mi? Çarpımları 10 olan aralarında asal toplamları 7 olan sayı düşünün. 1 6 tut çarpımları 10 değil.
3 4 aralarında asal çarpımları 10 değil. 2 5 tuttu. Demek ki arkadaşlar...
A veya B bir tanesi A mesela olsun. Bilerek o yüzden mutlak değer dedim. Hata yapmayın diye.
Hangisinin büyük hangisinin küçük olduğunu bilmiyorum. O zaman A arkadaşlar 6 çarpı 2'den 12 olsun. B'de 6 çarpı 5'den 30 olsun. Gerçekten bakın bunların ekoklarının 60. EBOB'larının da 6 olduğunu gördük.
Farklarına gelirsek 30-12'den 18 geldi. Buna da zaten bir yıldız koymuştum. Şöyle üzerinden geçelim.
Gelelim buraya. ne demişim? A1 pozitif tam sayı olmak üzere ekok A eksi 4 A artı 4 A eksi x 80. EBOB A artı 4 A eksi 2 2. Ne kullanabiliriz burada bir düşünün bakalım. Tabii ki formül.
Çünkü sayıların ekoklarını ve eboplarını vermişim. Sayıları da harfli olsa bile tek bilinmeyenini vermişim. Ben burada direkt ezber o formüle giderim.
Çarpımları bu şekilde ebop ile ekokunun çarpımına eşit. bana bilerek vermiş bir nevi ekok ve babunu. Dolayısıyla buradan 160 a artı 4 çarpı a eksi 2. İkinci derece denklem çözmek istemiyorum. Yorumum şu olacak. Çarpımları 160 olan aralarında da 6 fark olan.
a artı 4 a eksi 2'den 6 büyük. Hangi iki sayımız var? 16 ve 10. Demek ki a buradan 12 imiş arkadaşlar. Bu şekilde bakın çarpım değerlerini bulurken tam sayılarda biraz daha deneme yapma şansımız var.
Ardışık 2 pozitif çift sayının ekoku ebobunun 20 katına eşittir. Bakalım şimdi ardışık 2 sayı 2k ve 2k artı 2'dir değil mi? Birisi çift sayı öbürü de çift sayı ve çift sayılar ikişer ikişer artar.
Bu 2 çarpı k bu 2 parantezinde k artı 1. Şimdi neyi soruyordu bize? Ebobu. Ebobu zaten bunun nedir? Doğal olarak. Tabii ki 2'dir.
Sebep? K ve K artı 1 ardaşık sayı. Ardaşık 2 sayının EBOB'u 1'dir.
Aralarında asaldır. ECOG'a gel. ECOG'da ortak olan 2'nin direkt kendisini al. Sonra K çarpı K artı 1'de ECOG'umuz bu.
Böylece 2 çarpı K çarpı K artı 1. Neyin 40 katı şey 20 katıymış? EBOB'un. Bak yerine yazdım.
Bunlar gitti. Buradan da K çarpı K artı 1 ne geldi? 20. K nedir burada?
Ardışık iş sayını çarpım 4 şey 20 ise birisi 4'tür. K4 ise sayılarımızdan biri ilk kere 4'ten 8. Sayılardan biri de arkadaşlar 10 olmuş oldu. Toplamları da bakın 18 geldi. Bu şekilde biraz da böyle OBEP ekok bilgisini kullanın istiyorum.
Ben böyle çözmek istedim soruyu bu yüzden. Şimdi verdiğim bir bilgiyi burada kullanacağız. Bakın ekok A24 eksi. 3A.
EBOB A 24-3A'yı eşit. Ne zaman ECOG EBOB'a eşit olur? Sayılar birbirinin aynı sayısı. Çünkü normalde ECOG kat çıkmak, EBOB'da bir nevi bölmek. O zaman birisi aşağıda birisi yukarıda şey eşit olmaz.
Eşit olunca eşit olur. Aynı olunca eşit olur. Dolayısıyla A sayısıyla 24-3A aynı olursa 4A eşittir 24'ten.
A6 gelir. Hakikaten kontrol edelim bak. 6-6.
ECOG 6-6 ne? Kendisi 6. EvoPalt 6'lı kendisi. Dolayısıyla yerine yazarsak artık ECOG 6-7 EBOB 6 7. Ardışık sayıların EBOB'u 1'dir. Ardışık sayılar aralarında salı olduğu için çarpımları ECOG'dur arkadaşlar. X ve Y birer doğal sayıdır.
EBOB'ları 4 çarpımları 288 X artı Y'nin alabileceği kaç fark değer vardır? Bunlar çok basit görünen ama benim çok değer verdiğim sorular. Şundan emin olabilirsiniz.
Bu kitabı oluştururken aslında bizim kaygı... gayelerimizden bir tanesi de şu arkadaşlar. Bu kitabı çözdüğünde aslında sen bir tane soru bankası çözüyormuş gibi oluyorsun.
Fark ettiniz mi? Buraya kadar geldiyseniz. Ve artık şu olmayacak. Soru bankasına geçtiğinde hocam aşırı afalladım ya. Konu anlatırken ne güzel.
Anlatırken hocam her şeyi anlıyoruz. Ama soru bankasına geçince çok problem yaşıyoruz. Biraz ortadan kaldırmak da amacımız.
İnşallah bunun da olabileceğine inanıyorum. Çünkü her ayrıntıyı vererek biraz oralara da yatırım yapıyoruz. Çünkü Konu anlatım biraz soru bankasına yatırım. Soru bankası denemeye yatırım. Deneme de zaten doğal olarak gerçek sınava yatırım.
Şimdi buna göre arkadaşlar. EBOB X'ye 4 ise hemen ben yazıyorum. X sayısına 4K'de. Y sayısına da 4T'de tamam mı?
Bu EBOB'ları 4 olduğunu gösteriyor. K ve T aralarında asal. Bunların kesinlikle ortak bölünüşü sadece 1. Şimdi çarpımlarına gel.
4K çarpı 4T. 288S. K, T nedir?
188'i 4'e böl, 72'i 4'e böl, 18. K çarpı T, 18 geldi. Ne diyorduk? A ve T öyle sayılar ki aralarında asal aman ona göre seç.
Buna göre ikisi arasında asal sayılar çarpımları 18 ise 1, 18, 1'i 1 olabilir. Bu 1. 2, aralarında asal 2 ve 9 olabilir. Başka ihtimal yok.
Neden? 18'in çarpanları 1, 2, 3, 6, 9 ve 18 kendisi. 18 çarpı 1 oldu. 2 çarpı 9 oldu. 3 çarpı 6 aralarında sal değil.
K'ya 3 T'ye de 6 verirsem bu iş patlar. Dolayısıyla toplamın alabileceği 2 değer geldi. Birisi 19 birisi de arkadaşlar 11. Cevabımız B şıkkı.
Aklına soru işareti takılanlar için söylüyorum. Anlayan geçebilir. Hocam neden 3 ve 6 vermiyoruz diyenler için gösteriyorum.
Bak şimdi olaya. K'ya 3 verirsem 12. K'ya 6 verirsem 24. Bak bakalım 24 ve 12'nin ebobu 4 mü? 12 değil mi? Yani k ve t'yi aralarında asal seçmezsen ebobu kendi kendine yeni bir ebob üretmiş oluyorsun ve yanlışa gidiyorsun. O yüzden buna dikkat edeceğiz.
Bu dersin son sorusuna geldik şimdi. a, b, c pozitif tam sayılardır. 8a artı 3, 10b artı 3, 15c artı 3 olduğuna göre a sayısının alabileceği en küçük değerin rakamlar toplamı kaçtır?
Şimdi arkadaşlar. Şimdi bu sayının 8 ile bölümünden de 10 ile bölümünden de 15 ile bölümünden de kalan 3'miş. Bu sana neyi anlatıyor biliyor musun? Hem 8 hem 10 hem 15 ile bölümünden kalan 3 ise bunların ekoklarından da kalan 3'tür. 8, 10 ve 15'in ekoku ne?
O yüzden arkadaşlar a sayısı 120'nin katından 3 fazla olan bir sayıdır. Bu şekilde sonuçta şöyle düşünün bak. Buna itiraz edenler olursa soruyu bir yapalım ondan sonra da söyleyeyim. K o zaman burada en az kaçtır?
Bakayım bir. A sayısının alabileceği en küçük değerin rakamları toplamı. Şimdi aslında burada pozitif tam sayı demiş. O zaman bir kere buraya 0 veremem.
A, B, C pozitif tam sayılarsa demek ki A kesinlikle 3'den büyük değil mi? Örnek. A'ya 1 versem 11 yapıyor bak öyle düşün. A'ya işte 1 versem 13 yapıyor. C'ye 1 versem 18 yapıyor.
Doğal olarak A sayısı K'ya 0 veremem 3 olamazmış. Verebileceğimiz en küçük sayı K'ya 1 verdiğimizde 123 oldu. Bunun rakamları toplamına geldi 16. Şey 6 pardon.
Bu hocam nereden geliyor derseniz çok basit aslında. Normal ben size kalansız verseydim. Burada bakın.
Bir sayı hem 8'in katı hem 10'un katı hem 15'in katı. Bu ne demek? hem 8'e bölünüyor.
Hem 10'a bölünüyor. Hem 15'e bölünüyor. Yani ekokları olan 120'nin katıdır.
Örnek veriyorum bu sayı 120 de olabilir. 240 de olabilir. Çünkü 120'de 8'e 10-15'e bölünüyor.
240'de 8'e 10-15'e bölünüyor. Ama ben en küçüğünü istediğim için cevap 120 derim. Kalan olduğunda da bir şey fark etmiyor. Merak etmeyin.
Sebebini söyleyeyim. Her taraftan 3 çıkarırsan 8A, 10B, 15C artık içiniz rahat etmiştir değil mi? Al 3'ü A'nın yanına A'nın 3 eksiği bunların o keki olduğuna göre A'da bunların o kekinin 3 fazlası oldu arkadaşlar.
Bu şekilde söyleyebiliriz. Burada yapacağımız yorum bu. Geldiği noktada...
O fazlalık olan sayıyı sol tarafa at. Diğerlerinin ortak katını bul. Mevzumuz buydu arkadaşlar.
Böylece bu dersi bitirdik. Dersimizin devamında neye bakacağız? Evo Pekok problemlerine. Şu ilkokuldan beri biraz dert olan kısma. Hazır olun.
Güzelce dinlemek için. Beyninizde hazırlayın arkadaşlar. Diğer derste o takıldığınız yerlere devam edeceğiz.
Görüşmek üzere. İyi çalışmalar.