Uji Deret Positif: Uji Rasio

Pengantar

• Uji rasio digunakan untuk menentukan kekonvergenan atau kedivergenan suatu deret.
• Diberikan deret ( a_n ) yang merupakan deret positif.
• Diperiksa limit ( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \rho ).
• Tiga kemungkinan:
  • ( \rho < 1 ): deret konvergen.
  • ( \rho > 1 ): deret divergen.
  • ( \rho = 1 ): tidak dapat disimpulkan, butuh uji deret lain.

Langkah Uji Rasio

• Cari ( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} ).
• Analisis nilai dari ( \rho ) sesuai dengan kriteria.

Contoh 1: Deret ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!} )_

• Tentukan ( a_n = \frac{3^n}{n!} ) dan ( a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} ).
• Hitung ( \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}/(n+1)!}{3^n/n!} ).
  • Sederhanakan: ( \frac{3^{n+1}}{3^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = 3 \cdot \frac{1}{n+1} ).
  • Hasil limit: ( \lim_{n \to \infty} 3 \cdot \frac{1}{n+1} = 0 ).
• Karena ( \rho = 0 < 1 ), deret konvergen._

Contoh 2: Deret ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^2} )_

• Tentukan ( a_n = \frac{3^n}{n^2} ) dan ( a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2} ).
• Hitung ( \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}/(n+1)^2}{3^n/n^2} ).
  • Sederhanakan: ( \frac{3^{n+1}}{3^n} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} = 3 \cdot \frac{n^2}{n^2 + 2n + 1} ).
  • Hasil limit: ( 3 \cdot 1 = 3 ).
• Karena ( \rho = 3 > 1 ), deret divergen.

Kesimpulan

• Uji rasio efektif untuk menentukan konvergensi atau divergensi deret dengan syarat ( \rho \neq 1 ).
• Jika ( \rho = 1 ), gunakan uji deret lain untuk menentukan konvergensi.