Dans le même esprit que la vidéo précédente, nous allons reprendre ce même circuit RLC série, et au lieu de prendre comme tension de sortie celle au bord du condensateur, nous allons en faire un autre filtre, en prenant comme tension de sortie celle au bord de la résistance. Alors, qu'obtient-on qu'un filtre ? Nous pouvons... rapidement déterminer sa nature en examinant le comportement asymptotique de ses impédences, comme dans les vidéos précédentes. En effet, en basse fréquence, l'impédance de la bobine JωL tend vers 0, alors que l'impédance du condensateur, qui est égale à 1 sur jωc, elle tend vers l'infini.
Ceci signifie que la bobine est équivalente à un conducteur parfait, alors que le condensateur, lui, est équivalent à un isolant parfait, ou à un interrupteur ouvert. Dans ce cas limite, le condensateur ouvre le circuit, ce qui rend l'intensité du courant i nul, et par la loi d'Ohm, La tension entre les bornes de la résistance est nulle elle aussi. Notons-le ici.
En haute fréquence, ces limites s'inversent et par conséquent les rôles s'inversent. C'est maintenant la bobine qui est équivalente à un interrupteur ouvert et c'est elle qui ouvre le circuit. Dans cette limite encore, l'intensité du courant I est nulle et la tension S aux bornes de la résistance est nulle en conséquence. Récapitulons. Ce filtre ne laisse passer ni les hautes fréquences, ni les basses fréquences.
Ce n'est ni un passe-haut, ni un passe-bas. Il ne laisse passer aucune fréquence alors. Non, ces raisonnements sont valides dans le cas limite des très basses fréquences ou des très hautes fréquences seulement. Et ne s'appliquent pas donc au voisinage de cette fréquence caractéristique.
Donc, il existe un certain intervalle ici. une bande de fréquence où le filtre est passant. Donc on l'appelle filtre-passe-bande.
Petite remarque à rajouter entre parenthèses ici. Ces deux impédances ici sont purement imaginaires. Mais comme vous pouvez le constater ici, elles sont de signes opposés. L'impédance du condensateur étant négative. Leurs valeurs dépendent de ω et sont différentes en général.
Mais il existe une pulsation particulière pour laquelle elles sont exactement égales en valeur. C'est-à-dire module de ZL égale à module de ZC. Autrement dit, Lω égale à 1 sur ωC. Donc cette pulsation, elle est égale à, devinez, c'est simplement 1 sur racine de LC. C'est la fréquence propre ω0 du circuit.
Pour cette fréquence particulière, la bobine et le condensateur en série ont une impédance équivalente nulle. Ensemble, ils sont équivalents à un conducteur idéal, donc la tension totale ici est nulle. Nous déduisons donc que la tension S est égale à la tension d'entrée E.
Le filtre ici est parfaitement passant pour cette fréquence. Bien entendu, ces impédances ne sont pas nulles individuellement. C'est seulement leur impédance équivalente qui est nulle pour cette fréquence.
Alors, pour mieux connaître les propriétés de ce filtre, nous pouvons étudier sa fonction de transfert, h2jω, et ses diagrammes de Bolt. Nous allons faire un travail similaire à celui des filtres précédents. Si vous n'êtes pas familier avec ces notions, il vaudrait mieux que vous commenciez par les autres vidéos de la série. Alors la fonction de transfert étant par définition le rapport de la tension de sortie à celle de l'entrée, nous pouvons l'exprimer à partir d'un simple diviseur de tension. La proportion que représente S par rapport à E est la même que la proportion de cette impédance de sortie R, vue par S, à cette impédance de sortie E.
impétence totale vue par E, qui est la somme des trois impétences. Pour faire apparaître des termes adimensionnels, nous pouvons diviser le numérateur et dénominateur par R et voilà c'est la fonction de transfert de ce filtre. Elle me semble bien différente des autres fonctions de transfert.
Où sont les polynômes en jω ? Ah oui, pour avoir l'écriture polynomial dans le numérateur et le dénominateur, il suffit de les multiplier. par j oméga rc et voilà clairement il s'agit ici d'un filtre d'ordre 2 comme le laisse prévoir d'ailleurs le circuit lui-même qui est un circuit d'ordre 2 mais nous n'allons pas utiliser cette forme pour la fonction de transfert bien qu'elle soit tout à fait correcte et utile. Et pourquoi ? Parce que nous allons plutôt exploiter cette forme canonique de la fonction de transfert, dont l'écriture est un peu plus légère et symétrique.
Une forme canonique ? Oui, rappelez-vous, bien que nous ne l'avons pas fait pour ce filtre, il est possible d'obtenir la fonction de transfert à partir de l'équation différentielle du circuit. Mettez la vidéo en pause si vous êtes curieux. La forme canonique a l'avantage de permettre l'identification de ces deux paramètres du filtre, à savoir le facteur de qualité Q et la position propre ω0. Bien sûr, on ne peut pas s'amuser à le faire à chaque fois.
Ce n'est pas le but, mais nous pouvons exploiter les formes canoniques fournies comme celle-ci. Donc en bref, la forme canonique nous permet d'exprimer rapidement Q et ω0, c'est ça ? Oui, tout à fait. Passons maintenant à l'identification. Ici, ces deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.
N'est-ce pas ? Donc nous voyons ici que Q sur ω0 est égal à L sur R. Et nous voyons aussi que Q fois ω0 doit être égal à 1 sur RC. En multipliant ces deux équations membre à membre, on élimine ω0, ce qui permet d'exprimer Q² comme ceci, puis... d'en déduire la valeur de Q qui est égale à 1 sur R racine de L sur C.
Et en divisant membre à membre, on élimine Q, ce qui permet d'exprimer ω0 au carré, puis d'en déduire ω0 qui est égale à 1 sur racine de LC. Tout comme pour le filtre passe-bas d'ordre 2 de la vidéo précédente, les deux paramètres qui seront intéressants dans l'étude du filtre passe-bande sont la pulsation propre et le facteur de qualité. Et pour garder une discussion... assez générale dans la suite nous utiliserons la pulsation réduite x qui est défini bien sûr par le rapport oméga sur oméga 0 la fonction de transfert prend alors la forme suivante h est égal à 1 sur 1 plus j fois q entre parenthèses x moins 1 sur x Pour tracer ces diagrammes de Bode, il faut passer par le comportement asymptotique du filtre. Il est très efficace ici de le faire à l'aide de la fonction de transfert.
En basse fréquence, la pulsation réduite x est très petite devant 1. Donc le terme qui domine dans cette somme est le 1 sur x. La fonction équivalente ici est simplement h égale à 1 sur moins jq fois 1 sur x. Et vous pouvez vérifier que ceci est égal à jx sur q. Maintenant, en haute fréquence, c'est le domaine où x est très grand devant 1. Ici, dans le dénominateur de la fonction de transfert, c'est le terme en x qui domine.
Les deux autres sont négligeables. Il reste alors h équivalent. Nous pouvons maintenant exploiter ces deux fonctions équivalentes pour déterminer les asymptotes dans les diagrammes de Bode. Commençons par le gain en décibels. Il est défini par G.
gdb égale à 20 fois log du module de H. Il suffit donc de remplacer à chaque fois H. En basse fréquence, le gain en décibels est équivalent à 20 fois log du module de Jx sur Q.
Le module de Jx sur Q. et tout simplement x sur q car le module de j est bien sûr égal à 1. Par les propriétés du log, nous pouvons écrire gdb de x égale à 20 fois log de x moins 20 log de q. Qu'avons-nous ici ? Une asymptote oblique.
Rappelez-vous, la variable sur le diagramme de Bode est plutôt log de x. Ceci est donc l'équation d'une droite, de pente positive, plus 20 décibels par décade, et d'ordonnée à l'origine. égal à moins 20 log de Q.
Qu'avons-nous maintenant en notre fréquence ? Le gain en décibels est équivalent à 20 fois log du module de 1 sur J XQ. Et ce module est égal à 1 sur J XQ.
x recul. Et par les propriétés du log, nous pouvons écrire gdb de x égale à moins 20 log de x moins 20 log de q. Une atroce asymptote oblique ? Oui, tout à fait, mais celle-ci est de pente négative, moins 20 dB par décade.
Et regardez bien ici, que voyez-vous ? C'est la même ordonnée à l'origine. Ah, elles sont 50 à l'origine.
Mieux que ça, elles sont symétriques par rapport à l'axe passant par l'origine. Eh oui, leurs pentes ont des valeurs égales, mais des signaux opposés. Elles ont la même ordonnée à l'origine, donc elles sont symétriques. Est-ce qu'on peut le vérifier sur le diagramme ?
Oui, bien sûr. Voilà où se trouve l'origine sur ce type d'échelle, rappelez-vous. Prenons ici, pour l'exemple, la valeur Q égale à 10. L'ordonnée à l'origine est dans ce cas égale à moins 20 décibels. C'est ce point-là. Voilà.
Maintenant, une pente de moins 20 décibels par décade. Comment fait-on ? En avançant d'une décade, on doit descendre de moins 20 dB comme ceci. Et voilà l'asymptote en haute fréquence.
De même pour l'autre pente. En avançant d'une décade, on doit monter de plus 20 dB comme ceci. Et voilà. Elles sont bien symétriques. Maintenant la...
courbe du gain en décibels. Quelle allure a-t-elle ? Comment savoir s'il est au-dessus ou en-dessous de ses asymptotes ?
Il nous faut pour cela l'expression du gain en décibels, il est égal à 20 fois le log du module de H, que l'on remplace par l'alerte. ici donc le module de h ici c'est le module du numérateur qui est égal à 1 divisé par le module du dénominateur ici qui est la racine carrée du carré de la partie réelle qui est 1 plus le carré de la partie imaginaire qui est q² parenthèse x moins 1 sur x le taux au carré voilà l'expression du gain en décibels alors sa courbe est-elle croissante décroissante ou autre chose l'allure des asymptotes ici semble indiquer une courbe qui croît, puis décroît. Il semble donc qu'il y ait un maximum quelque part ici. Non ? Pour le vérifier, nous pouvons bien sûr étudier sa dérivée.
Mais il est possible ici de le déduire de cette expression. Regardez ici. Le gain GDB de x est maximal si ce terme dans le dénominateur est minimal.
puisqu'ici et là il n'y a que des constantes. Et ce terme, étant le carré d'un réel, est nécessairement positif ou nul. Et il se trouve que dans notre cas bien particulier, il est possible de constater sans calcul de dérivés, que la plus petite valeur que peut prendre ce terme est bel et bien la valeur 0. Oui, l'équation x moins 1 sur x au carré égal à 0 admet bien une solution.
Comme vous pouvez le voir ici, c'est x égal à 1. Récapitulons. Ce terme dans le dénominateur est minimal pour x égal à 1. Donc le gain admet un maximum pour x égal à 1. C'est à dire ici à l'origine sur x. sur l'échelle des fréquences.
Et quelle est maintenant la valeur de ce gain maximal ? Il suffit de remplacer x par 1, et on trouve le gain en décibels maximal égal à 20 fois log de 1 sur la racine de 1 plus 0, ce qui est égal à 0. Eh bien, le maximum du gain ne dépend pas du facteur de qualité, c'est une constante. C'est ce point-là sur le diagramme, et il reste là, fixe, qu'est-ce que c'est ? quelle que soit la valeur de Q. Insistant bien ici, ces deux asymptotes et leur point d'intersection dépendent bien de la valeur de Q.
Mais le maximum de gain, le sommet de la courbe, lui, reste fixe. Il est clair maintenant que l'allure de la courbe varie selon la valeur du paramètre Q. Commençons par exemple par la valeur Q égale à 0,1.
Voilà donc la position des deux asymptotes correspondantes. Traçons maintenant la courbe du gain en décibels. Rappelez-vous, l'une des propriétés les plus intéressantes du diagramme de Bode pour les filtres linéaires est que la courbe est pratiquement confondue avec ses asymptotes pour toutes ses valeurs. en haute fréquence et en basse fréquence.
Pourquoi ? En effet, tant que la fonction de transfert est une fraction polynomiale de jω, ce qui est le cas des filtres linéaires, comme ceci, alors en haute fréquence, elle est toujours équivalente à un certain monome en jω, c'est-à-dire une certaine puissance entière de jω, comme ceci. Et en basse fréquence, il en est de même. Donc le gain en dB corporel...
correspondant est de la forme pente fois log de x, plus une certaine ordonnée à l'origine, c'est-à-dire une droite, une asymptote. Bien sûr, selon les cas, la pente peut être nulle ou pas, l'ordonnée à l'origine aussi. Mais la courbe du gain en décibels est toujours équivalente à une droite en haute fréquence et une droite en basse fréquence. Retour à notre exemple.
Pour compléter le traçage ici, dans cette petite région au voisinage de l'origine, Nous savons que la courbe y passe par son maximum. Et voilà donc son allure. Pour cette valeur du paramètre Q, la courbe est entièrement en dessous de ses asymptotes. Et elle est concave pour tout X. En allant vers les grandes valeurs de Q, que voyons-nous ?
La courbe est plus proche de ses asymptotes. Et à partir de cette valeur de Q, la courbe se retrouve au-dessus de ses asymptotes. Maintenant, elle est concave au centre. mais convexes en haute fréquence et basse fréquence.
Vous pouvez le vérifier en calculant la dérivée seconde du gain et en discutant, selon la valeur de Q, l'existence ou non de points d'inflexion. En allant vers les grandes valeurs de Q, le maximum commence à prendre la forme d'un pic de plus en plus prononcé. D'où vient-il ?
En fait, en réexaminant bien le circuit, la tension de sortie S est au bord de la résistance. Ce pic correspond alors au phénomène de résonance d'intensité, c'est-à-dire au phénomène de la résonance de puissance. Comme nous l'avons signalé dans la vidéo précédente, ce bouton qui permet de changer la valeur de Q, pour ce circuit RLC en particulier, pourrait par exemple être une résistance de valeur réglable. En augmentant la valeur de R, tout en laissant la valeur de Q, laissant L et C fixes, la valeur du facteur de qualité diminue, par exemple. Mais attention, cela peut être différent dans d'autres circuits.
Passons maintenant rapidement au calcul de Φ, le déphasage du signal de sortie par rapport au signal d'entrée. Il est donné par l'argument de la fonction de transfert, donc il nous suffit de remplacer H par son expression, que nous avons établie précédemment. Nous pouvons exploiter les fonctions équivalentes.
à H en basse fréquence et haute fréquence déjà établie les voilà en basse fréquence H est équivalente à un nombre imaginaire pur Jx sur Q donc son argument est égal à plus Pi sur 2 la courbe de phi admets ici donc une asymptote horizontale comme ceci et une autre fréquence H est un nombre imaginaire pur 1 sur Jx sur Q d'argument donc égal à à moins pi sur 2, à cause de ce signe moins ici. La courbe de phi admet donc ici une autre asymptote horizontale, comme ceci. En particulier, en x égale 1, à la résonance, l'expression nous donne h égale 1. Donc son argument est nul, c'est-à-dire phi de 1 égale à 0. Ceci nous permet de placer ce point ici, qui se trouve être aussi un centre de symétrie pour...
toute la courbe. Et voilà le diagramme de Bode du déphasage. Au début de la vidéo, nous avons montré que ce filtre ne laisse passer ni les basses fréquences, ni les hautes fréquences.
Dans quel domaine de fréquence est-il passant alors ? Pour préciser sa bande passante, on dit, nous devons déterminer ses fréquences de coupure. Ses fréquences de coupure ?
Oui, il en a deux, nous allons le prouver. En fait, par définition, le filtre est passant si son gain en décibels ne descend pas. pas plus que 3 décibels en dessous du gain maximal. Autrement dit le filtre est passant si son gain est supérieur ou égal à gdbmax moins 3 décibels. Si le gain est inférieur à cette valeur le filtre est non passant.
Donc graphiquement, voilà le gain maximal. Voilà la barre à moins 3 dB en dessous du maximum. Donc pour toutes ces fréquences, le filtre est considéré passant. Cet intervalle de fréquence est appelée bande passante du filtre. Et ces deux fréquences, qui le séparent du domaine non passant, sont appelées fréquences de coupure.
La courbe monte une fois et descend une fois en passant. en franchissant cette ligne dans deux fois, ce qui montre l'existence de deux fréquences de coupure ici. Peut-on retrouver leurs expressions par le calcul ?
Oui, il suffit d'utiliser la définition usuelle. Le gain à la coupure en xc, fréquence réduite de la coupure, doit être égal à gmax sur racine 2. Il suffit ici de remplacer l'expression du gain, c'est-à-dire le module de h ici, pour faire attention, Donc c'est 1 sur la racine de 1 plus Q au carré. Parenthèse, et on remplace ici X par XC.
XC c'est notre inconnu ici. Et tout ceci, qui est le gain, il doit être égal. au gain maximal, le gain maximal ici, le module de H maximal à la résonance est égal à 1, divisé par la racine de 2. Donc voilà l'équation à résoudre.
Donc ce terme doit être égal à 2, donc ce terme doit être égal à 1. Ici, à partir de cette expression, nous avons deux cas. Ou bien Q fois X moins 1 sur X est égal à 1, soit elle est égale à moins 1. Donc il s'agit ici de deux équations à résoudre. Pour avoir une équation plus familière ici, il suffit de multiplier par XC toute l'équation, membre à membre. Puis on peut réarranger un peu l'écriture, comme ça.
Que voyez-vous ici ? Ce sont deux équations. deux équations du second degré à résoudre. Donc il faut commencer par le discriminant déjà. Alors le discriminant, il est le même pour les deux équations, puisqu'ici vous avez B².
Ces deux équations, en fait, elles ont le même discriminant, Δ égale à 1 plus 4Q², vous pouvez le vérifier. Et ce discriminant, il est strictement positif. Donc il existe deux solutions pour chaque équation.
Voilà les deux solutions pour la première équation, avec un signe moins ici, Et voilà la solution pour la seconde équation avec un signe plus ici. Il ne faut pas oublier que nous cherchons des fréquences qui sont positives par définition. Donc parmi ces quatre solutions possibles, deux sont nécessairement négatives et sont à rejeter. Ce sont ces deux fréquences-là qu'il faut rejeter.
Et voilà nos deux fréquences de coupure. Pour obtenir des pulsations de coupure, il suffit de multiplier par ω0. Voilà donc nos deux fréquences de coupure.
de pulsation de coupure oméga c1 et oméga c2 alors maintenant quelle est la largeur de la bande passant nous allons la noter delta oméga et elle correspond simplement à la différence entre les deux pulsations de coupure en valeur absolue en faisant la simplification nous trouvons que delta oméga est égal à oméga 0 divisé par q voilà un résultat simple et bien remarquable pour ce filtre la largeur de sa bande bande passante est inversement proportionnelle à son facteur de qualité. Autrement dit, plus la valeur de Q est grande, plus la bande passante est petite et plus le filtre est sélectif alors. Il ne laisse passer qu'un petit domaine de fréquence. Inversement, en diminuant Q, la bande passante s'élargit et le filtre devient moins sélectif en laissant passer de plus en plus de fréquence.
Une petite remarque, la bande passante est-elle centrée en oméga 0 ? En fait, non. D'après les expressions de ces deux pulsations de coupure, elles se trouvent de part et d'autre de ω0, mais l'écart entre ω2 et ω0 n'est pas égal à l'écart entre ω0 et ω1.
Sauf pour les grandes valeurs de Q. Vous pouvez vérifier que pour des valeurs assez grandes de Q, par exemple Q égale à 5, vous pouvez voir ici que l'écart est négligeable. Nous avons une bande passante qui est presque centrée sur ω0.
Nous avons une bande passante qui est presque centrée sur ω0. Nous voilà donc avec ce filtre qui est un passebande pour mieux illustrer son comportement supposant qu'à l'entrée nous avons un signal qui est formé d'une superposition de plusieurs signaux sinusoïdaux. Ça existe ce type de signal dans le monde ?
Oui, nous en dirons plus dans la vidéo réservée à la description des spectres de signaux. Mais revenons ici à notre exemple. Ce signal comporte plusieurs signaux sinusoïdaux de fréquence 1 kHz, 3 kHz.
5 kHz, etc. Et voilà son allure sur l'oscilloscope. Si le filtre passe-bande ici est conçu de sorte que sa fréquence propre, F0, soit égale à 3 kHz, et si sa bande passante est suffisante, petite, c'est à dire filtrée assez sélective, alors c'est seulement cette composante du signal qui se trouve dans la bande passante et c'est seulement elle que l'on retrouve à la sortie.
Les deux autres composantes sont atténuées. Dans ce cas, le signal de sortie est quasiment sinusoïdal de fréquence 3 kHz. Voilà donc de manière simplifiée comment fonctionne un filtre passe-bande.
Mais avez-vous remarqué que dans toute l'étude des filtres que nous avons menés jusqu'après, nous n'avons considéré que des signaux sinusoïdaux. Ces signaux ont-ils une importance particulière ? Nous examinerons ces questions dans les prochaines vidéos de la série. Si vous avez aimé celle-ci, vous pouvez nous aider avec un like ou un commentaire, mieux encore la partager avec vos amis.
Un grand merci pour nous avoir suivis.