Appunti di Algebra: Le Operazioni sui Polinomi

Introduzione all'Algebra

• Scopo principale: studio delle strutture algebriche (insiemi con operazioni definite).
• Operazioni principali: addizione, moltiplicazione, potenza, divisione nell'insieme dei polinomi.
• Le operazioni nei polinomi hanno le stesse proprietà dei numeri reali.

Monomi

Forma Normale del Monomio

• Un monomio è un prodotto di un coefficiente e potenze di variabili.
• Esempio:
  • Monomio: 3x^2y^7wx^1y^3z
  • Forma normale: 21wx^3y^4z
• Parte letterale: prodotto delle variabili.

Operazioni sui Monomi

• Multiplicazione: sempre possibile, il prodotto è un monomio.
• Grado del prodotto: somma dei gradi dei monomi.
• Divisione: possibile con divisori non nulli.
  • Esempio: 24x^3y^2z^5 ÷ 36xy^2 → Quoziente 2/3x^2z^5.
  • Esempio di divisione con variabile assente: 24x^3y^2z^5 ÷ 36x^7w → 2/3w^{-1}x^{-4}y^2z^5.

Potenze dei Monomi

• Si calcolano utilizzando le proprietà delle potenze.
• Esempio:
  • (2/3x^3y^2z^5)^3 = (2/3)^3 * x^9 * y^6 * z^{15}.
• Chiusura: l'insieme dei monomi è chiuso rispetto a moltiplicazione e potenza con esponente naturale, ma non rispetto a divisione e potenza con esponente negativo.*

Monomi Simili e Operazioni

• Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale.
• Due monomi sono opposti se simili e con coefficienti opposti.
• Somma di monomi: è un monomio solo se i monomi sono simili.
  • Esempio: 24x^3y^2z^5 + (-7x^3y^2z^5) = 17x^3y^2z^5.

Polinomi

Operazioni sui Polinomi

• Addizione: somma di termini simili, risultato è un polinomio.
• Prodotto di polinomi: somma di tutti i prodotti di termini dei due fattori.
  • Esempio: 3xy - 2x + y per x + 4y - 5.
• Divisione: può essere con resto.
  • Divisione con resto: a = q*b + r dove r ha grado minore del divisore.*

Esempio di Divisione

• x^3 - x^2 - 6 ÷ x^2 + 3:
  • Quoziente x - 1, resto -3x - 3.

Teorema del Resto e Teorema di Ruffini

• Teorema del Resto: se si divide P(x) per x-c, il resto è P(c).
• Teorema di Ruffini: P(x) è divisibile per x-c se e solo se P(c) = 0.
• Regola di Ruffini: metodo semplificato per calcolare il quoziente quando il divisore è monico.
  • Procedura: scrivere i coefficienti del dividendo e eseguire le operazioni definitive.

Esempio di Regola di Ruffini

• Divisione di 3x^3 - 5x + 7 ÷ x + 2:
  • Coefficienti: 3, 0, -5, 7
  • Resto: -7, Quoziente: 3x^2 - 6x + 7.