कैलकुलस और डेरिवेटिव की व्याख्या

है तो हेलो एंड वेलकम एवरोवन तो एक बार यार जल्दी से इस बार वॉइस चेक कर लो एटिंग अभी सब कुछ आपका भी होना चाहिए शुरू करते आज का सेशन ठीक है अब बताओ आप तो जल्दी से सभी लोग refresh कर लो शुरू करते हैं बहुत ज़ाधा important topic start होने वाला है और जब भी कुछ important start होता है तो जाहिर से बात है कि वहाँ पे कुछ ना कुछ hurdles आने तो सौभाविक है ना चलो जल्दी से आजाओ यार सभी लोग जल्दी से आजाओ कुछ important चीजें मैं आप चाहे वो calculus of real variables हो, चाहे वो calculus of complex variables हो, चाहे वो calculus of vector variables हो, हमेशा calculus को दो हिस्सों में आप divide कर सकते हैं, पहला हिस्सा जो होता वो होता आपका differential calculus का, और दूसरा हिस्सा जो होता वो होता integral calculus का, सही बात है, तो differential calculus और integral calculus को आए ये one by one पढ़ना start करते हैं, क्या हम लोग cover करने वाले हैं, आए देखते हैं, ठीक है, ready होना सभी लोग, copy pen लेके, पानी वानी लेके, ठीक है चलो, देखो differential calculus में सबसे पहले तीन important चीज़ें हम लोग discuss करने वाले हैं, लिमिट कंटिनिटी और डिफरेंचिबिलिटी उसके बाद मीन वैल्यू थिवरम के बारे में थोड़ी सी चर्चा करेंगे यह उतना ज्यादा इंपोर्टेंट नहीं होता बट फिर भी काफी इंपोर्टेंट होता है एलर सीरीज हम लोग पढ़ेंगे टेलर सीरीज पूछा भी था एप्लीकेशन और डेरिवेटिव से हर साल इक्टाम में क्वेश्चन आता ही आता है एप्लीकेशन और उससे भी exam में आपके questions पूछे जाते हैं तो partial derivative उतना जादा important नहीं है ठीक है बाकि फिर integral calculus से single integration पे question double और multiple integral पे question exam में बहुत important होते हैं हर साल double triple integration का equation पूछा ही जाता है चाहे वो आपका कहां से पूछेगा otherwise फिर उसको vector calculus से relate करके एक बार जल्दी से chat box में yes no इस no करके answer करो which is limits है न बोलो जल्दी बोलो, ओके, तो देखे सबसे पहले ना तीन important चीज़े हैं जो हम सभी लोगों को discuss करनी है, सबसे पहली चीज़ हमको discuss करनी है limits, continuity और difference, यहाँ पे दो चीज़ों पे आप लोग focus करने की कोशिश करियेगा, अगर हम बात करते है limits of a function की, तो सबसे पहले इस प्रेमीटी में हमेशा कैलकुल करना चाहते हैं फंक्शन की फ्रेंड लेटी हम लोग हमेशा कैलकुल करना चाहते फंक्शन की इतना ही इंपोर्टेंट यह भी है कि हम जब भी लिविट कंटिन्यूटी या डिफरेंटिविलिटी अगर मैं आप से पूछो कि continuity of a function बताईए, तो आप immediately मुझे से पूछना कि sir, कौन से point पे calculate करना है, ये तो आपने बताया ही नहीं, similarly अगर मैं आप से पूछता हूँ, कि differentiability एक function की calculate करके बताओ, तो आपका जवाब क्या होगा, आप पूछोगे, कि sir, कौन से point पे calculate करना है, यानि कि हम limit continuity और differentiability नहीं पढ़ना चाह रहे हैं, limit continuity and differentiability at a point, कोई भी function किसी point पे, कोई भी function किसी point पे, क्या continuity को exist करवा रहा है या नहीं करवा रहा है, कोई भी function किसी point पे differentiability को exist करवा भी रहा है या नहीं की करवा रहा है, क्या इतनी बात सभी लोगों को clear है, तो एक बार बताना, अगर मैं आपसे पूछता हूँ कि भाई जरा बताओ ये function differentiable है या नहीं, तो सबसे पहला सवाल आप मुझसे क्या पूछोगे, सबसे पहला सवाल आप मुझसे पूछोगे, कि सर कौन से point पे आप पूछ रहो, सबसे पहले उस point को बताईए, उसके बाद ही हम लोग आगे चर continuity of a function, मगर किसी point पे, differentiability of a function, किसी point पे, ये बात आप सभी लोग अपने दिवांग में अच्छी तरीका से बिठा के रखिये, ठीक है, चलो, अब ना कुछ important terminologies discuss करते हैं, जो calculus में regularly आपको देखने को मिलेंगी, जब भी आप calculus पढ़ोगे, तो कुछ ऐसे points हैं, कि किसी भी type के determinate form को हम लोग कैसे define करते हैं, डिटर्मिनेट फॉर्म क्या होता है आइए इसको समझने की कोशिश करते हैं देखिए सपोस मैं आपसे बोलता हूं कि फिफ्टीन बाइ थ्री 15 by 3 जो है यह कैसा फॉरमेट है तीन ऑप्शन अगर मैं आपको दूं कि जो यह 15 by 3 है यह डिटर्मिनेट फॉर्म है या फिर यह इन डिटर्मिनेट फॉर्म है या फिर यह अंडिफाइंड फॉर्म है ना तो जनरली तीन तरीके के फॉर्म्स आप लोगों को देखने को मिल तीसरा आपका होता है undefined और तीसरा आपका होता है indeterminate form, इन बीच में क्या basic difference होता है यही मैं आपको समझाने की कुछ कर रहा हूँ, यह तीनों नाम सभी को clear हो गया न, अगर आपसे कभी भी कोई form के बारे में पूछा जाएगा न, तीन तरीके के form होते हैं, determinate, undefined और indeterminate form जो लोग थोड़ा late join कर रहे हैं जल्दी से मैं उनको समझा दो कि मैंने अभी तक क्या discuss किया ठीक है starting में तो थोड़ा voice का glitch आ गया था जो लोग थोड़ा सा late जोड़ रहे हैं जल्दी से मैं आपको बता दो अभी तक मैंने क्या discuss किया मैंने बुला कि जब भी आप calculus पढ़ रहो तो अभी हम लोग calculus of real variables पढ़ना चाहें calculus of real variables में दो तरीके की चीज़ें हम लोग पढ़ेंगे एक differential और दूसरा integral differential calculus में limit continuity, differentiability पहले पढ़ेंगे फिर mean value theorem, फिर Taylor series, फिर application of derivative, फिर partial derivative चर्चा करेंगे इंटेग्रल में सिंगल इंटेग्रेशन डबल इंटेग्रेशन और ट्रिपल इंटेग्रेशन है तो आज सबसे जो टॉपिक हम लोग पढ़ने वाले हैं वह लिमिट कंटिन्यूटी और डिफरेंशिबली हमेशा एक फंक्शन की कैलकुलिट की जाती है और उस फंक्शन की जब आप लिमिट कंटिन्यूटी डिफरेंशिबली कैलकुलिट करो बेसिक टर्मिनोलॉजिस समझाने के कोशिश कर रहा हूं जनरली जब किसी नंबर को देखते हैं तो जो कोई नंबर होता है वह नंबर तीन तरीके के फॉर्म में डिवाइड होता है किसी भी नंबर को हम बोल सकते हैं कि वह नंबर डिटर्मिनेट फॉर्म का है या इंडिटर इंडिटर्मिनेट फॉर्म है या फिर अंडिफाइंड फॉर्म है तो इसका तरीका मैं आपको समझाता हूं आपसे पूछा गया है 15 पाइट रिक्षण को सॉल करिए आपको मिलेगा फॉर्म आप बस मुझे यह बता दो जब आप इस एक्सप्रेशन को सॉल करोगे एक्स की वैल्यू मिलेगी एक्स की वैल्यू मिलेगी या वह एक और यूनिक वैल्यू मिलेगी तो इसके बात है अगर इसकी सिंगल और यूनिक वैल्यू आपको मिल रही है तो आप बोल सकते हो कि जो ये 15 by 3 वाला form था, it is a alternate form, आई बात सबको समझ में, समझ गया न, alternate form का मतलब क्या है, yes, I think ये बहुत ज़ादा clear है, सबी लोग अच्छी तरीके से इसको समझ पा रहा है, similarly अगर मैं आपसे पूछता, by 0, अगर कोई पूछता है कि ये जो 15 by 0 है, ज़रा ये बताईए ये कैसा format है, तो अगर आप इसको सोचे, तो आप इसको ऐसा बोल सकते है, 15 by 0, तो आप x के बराबर कर लेते हैं, एक्स डॉट जीरो आप मुझे बताइए क्या एक्स की कोई ऐसी वैल्यू एक्सिस्ट कर सकती है तो एलएचेस और आरेचेस को बराबर कर दें आप लोग ऐसी कोई वैल्यू नहीं एलएचेस और आरेचेस को बराबर कर दें तो आप बोल सकते हैं वह बैल्यू ऑफ एक्स की वैल्यू एक्सिस्ट जब भी किसी पर्टिकुलर रेशन में आप उसको एक्स के बराबर करें और एक्स की कोई वैल्यू ही एक्सिस्ट ना करें तो ऐसे फॉर्मेट्स को बोला जाता है अन पाइंड करें अगला देखो अगर मैं आपसे बोलता कुछ ऐसा आपसे जरा बताओ कि कैसा फॉरमेट है जो वाला जो फॉरमेट है अगर आपसे मैं पूछूं यह कैसा फॉरमेट है तो फिर से तरीका भी है आपने लिखा जी रोबरा बर एक्स तो बिल्ट टू तो एक्स पर आप मुझे बता दीजिए क्या यहां पॉसिबल वैल्यूज ऑफ एक्स अ ले लो इन फाइन वेल्यू जो मिलेंगी जब भी किसी पर्टिकुलर रेशो करने के दौरान इन फाइन पॉसिबल वेल्यू आ जाए तो ऐसे फॉरमेट को बोला जाता है तरह बात सभी को बोलिए आया नामें जवाब दो तो अ कि अनुख लिया ना फॉरमेट कैसे डिफाइन करते हैं तो सीम चीज मैं देखिए जरा पर देखिए तो डिटर्मिनेट फॉर्म क्या होता है अगर ऐसा कोई रेशो मिल रहा है इक्वल टू एक्स कि आपने एक्स की वालों पांच मिल जाएगी तिंगल यूनिक वैल्यू मिल रही है तो जो 15 पाइट फ्री वाला रेशो है ना डिटर्मिनेट फॉर्म के बराबर अगर बड़े चलो वैसे देखो अंडिफाइंड वाला भी मैंने आपको समझा 15 बाइज यू बराबर एक्स इसी गुल टू इंटू एक्स तो सच वैल्यू ऑफ एक्स कैन एक्सिस्ट विच पीन्स यह जो फिट जी रो वाला रेशियो है हम इसको अंडिफाइंड बोल सकते हैं बहुत सारे लोग फिट जी रो को इन इंफानेट करते हैं तक समथिंग डिवाइडेड बाइज जी रोका फिर इंफानेट बोलते हैं कोई दिक्कत वाली बात तो नहीं ठीक है कुछ प्राणी अभी और भी है जिनको अभी वॉइस से रिलेटिड कुछ न अंडिफाइंट को इंफानेट भी आप बोल सकते हो, कोई प्राब्लम वाली बात नहीं है, ठीक है, आइए जरा आगे बढ़ते हैं, जरा देखे, सिमिलरली जो 0 by 0 वाला फॉर्मैट था, देखे यही चीज मैंने आपको समझाई, इसको आप 0 is equal to 0x लिख लो, x की infinite possible values आ जा� है ना हमें जो limits के दौरान discussion करना वो discussion करना है in determinate format, 0 by 0 का जो ratio होता है उसको आप लोग in determinate formats के तौर पे समझ सकते हो, ठीक है, आगे बढ़े, बोलो, ठीक है, clear है, बहुत ही शानदार, चलो, उसके अलावा थोड़ा सा basic discussion ये भी कर लेते हैं, concept of 0, कोई भी जो least non-negative number होता है उसके साथ सब कंसेप्ट ऑफ इनफिनिटी के आपका इनफिनिटी ने बटन सिंगॉलिक रिप्रेजेंटेशन अंडिफाइन नंबर इनफिनिटी के बहुत बड़ा नंबर हो गया है उसको infinity से represent कर लो, कोई बहुत चोटा number हो गया, उसको minus infinity से represent कर सकते हो, साथ के साथ आप यह भी notice करो, कि यह जो infinity होता है, यह algebraic rule को follow नहीं कर सकता, मतलब आप ऐसा नहीं बोल सकते, infinity plus infinity equal to 2 infinity, नहीं, infinity minus infinity equal to 0, जैसे आपको यह दिख रहा था, 1, 2, 3, 4, 5, 6, infinity तक, अगर हम इसको infinity तक add करते जाएंगे, तो क्या यह value आपको infinity मिलेगी, बताईए, एड करूंगा तो यह भी तो बहुत बड़ा नंबर हो गया तो इसको भी फिर हम लोग इनफिनिटी से रिप्रेसेंट करेंगे तो इनफिनिटी जनरली क्या होता है रिप्रेसेंटेशन होता है बहुत बड़े नंबर का ठीक है तो आप मुझे खुद बताइए यह और इन्फिनिटी में इन्फिनिटी को जोड़ दोगे तो एक इंसान है उसका ज्ञान का प्याला चलकी गया वन प्लस टू से देखिए बोल रहा सर यह रामानुजम तो इसका आंसर माइनस उन पर बारा चाहिए तो उपर वाले का बोल रहा है इसको इन्फिनिटी पत्ती लिखो इसको माइनस वन बार लिख दो यू क्या करोगे माइनस वन बार लिख के बताओ कि पीछे की कहानी आपको पता है बस आपने सुन लिया माइनस वन बार होता है तो बस यहां पर आकर आई ज्ञान तो दिखाना यह तो दिखाई देते हैं और आप तो यार विरादरी हो हमारे तो नहीं हो आप भी तो कम से कम आप ऐसा मत करो यह लोकिसी बिल्कुल सही बात है, minus 1 by 12 होना चाहिए, उसका चर्चन क्या है, क्या कहानी थी, वो एक अलग चर्चा का विशे है, किसी दिन अलग से उस पर डिटेल में चर्चा करेंगे, पर वो हमारे syllabus का part नहीं है, तो उसकी चर्चा आप भी नहीं करते हैं, जरा बताइए, क्या ये सार किसी भी तरीके के ratio को कितने formats में define कर सकते हो तीन, determinate, undefined और indeterminate format. उसमें से भी अगर हम देखे तो इन डिटर्मिट फॉरमेट जनरली जीरो बाई जीरो रिशियों को हम लोग बोलने की कोशिश करते हैं जीरो क्या होता है लीस्ट नॉ नेगेटिव नंबर जो बहुत बड़ा हो उसको सिंबॉलिक रिप्रेजेंटेशन इंफिनिटी से किया जाता है इंफिनिटी कभी भी अलजेब्रिक फॉलो नहीं करता है इंफिनिटी प्लस इंफिनिटी अगर आप लिखेंगे इंफिनिटी ह अभी के अभी मैं आपको इसको याद करवा देता हूँ, फिर मैं इस पे आदू, इस तरीके के indeterminate formats होते हैं, ओके, जरा देखिए, indeterminate formats, देखिए वो सारे के सारे formats, indeterminate formats होते हैं, इनको कि आप 0 by 0 के form में लिख सकते हो, इस form में लिख सकते हो, 0 by 0 के form में लिख सकते हो, तो आप सभी को बताओं का इंफिनिटी को आप जी रोबाई जी रोबाई जी झाल कि बहुत सारे इंफिनिटी इन फिनिटी के फॉरमेट्स होते आप इनको रैशनलाइज करोगे न खुद बखुद जीरो बाई जीरो के फॉरमें आ जाएंगे जब भी इंफिनिटी बनता है यह आपको इंडिकेशन भी देता है कि भाई मैं जीरो बाई जीरो फॉरमेट बनना चाहता हूं बस उसे रैशनलाइज आपको लिए ओके पांच में देखिए वन टू दी पावर इंफिनिटी वन टू दी पावर पहला, दूसरा, तीसरा, चौता, पाचवा जनरली हमको याद रहता है, छटा, साथा हम लोग भूल जाते हैं, उसको याद करने का मैं सिंपल सा तरीका बताता हूँ, आप मुझे बताईए, कोई भी संख्या अगर मैं आपको दूँ, कोई भी नंबर आपको दूँ, और उसक नंबर इन डिटर्मेट फॉर्म आज के बाद याद हो जाएंगे बोलिए आप सभी लोगों को इन डिटर्मेट फॉर्म आज के बाद याद रहेंगे याद रहेंगे अब इसमें मैं थोड़ा सबो कर देता हूं ऐसा भी लिख सकते थे यह भी इन डिटर्मेट फॉर्म माइनस लगाकर भी कर सकते हो, माइनस लगाने के बाद भी वो indeterminate form है, माइनस से अगर multiply है, बेसिकली 14 indeterminate forms होते हैं, साथ अगर याद रखोगे, बाकी साथ याद रखना अपने आप बहुत simple है, correct है? है ओके एवरीवन फाइन लिखिए इसी चीज यहां पर लिखे विधि जल्दी से गो थ्रू कर लो यह सारे पॉइंट्स को तब इन परिवर्ण पर्म से फर्स्ट एक यह यादी रहता है सबको भी आद रह जाएगा आपको भी आपको याद रह जाएगा उस तो मैंने आपको बताई दिया पांच भी आद रहता है तब भी आद रहता है तो मैंने याद रखने का आ कि हमें दो ऐसे नंबर से जिनकी पावर 0 करने पर result आपको 1 नहीं मिलेगा बलकि वो indeterminate format कहलाई 0 की पावर infinity को 0 बोलेंगे non-indeterminate forms पर भी आते हैं ठीक है जैसे मैं आपको कितना भी पढ़ा लूँ कितना भी पढ़ा लूँ, कितना भी concept आपका clear करवा दूँ पच गए आसान उदाहरण तो हो नहीं सकता तो आप खुद के ऊपर अप्लाई करके देख लो आपक चलिए अब देखो अगले टॉपिक में क्या बोला जा रहा है एक बार इस चीज की करना इंपोर्टेंट है कन्वर्जन ऑफ एवरी इंडिटर्मेट फॉरमेट इंटू जीरो बाई जीरो फॉरमेट इतने भी इंडिटर्मेट फॉरमेट होते हैं अगर हम उसको अल्टिमेट जब भी हम लोग किसी नंबर को 0 by 0 के form में convert कर पाते हैं, यह बोल सकते हैं, यह इंडिटर्मिनेट है, correct है, चाहिए बात है, okay, इंडिटर्मिनेट कर लो इसको, चलो पूरा ही हटाना पड़ेगा अजरात में दस बजे आपका मेंटी के पूरा लीनर आप लोगों से अब और देखते हैं कि उसमें कौन टॉप करता है सभी कौन है, कल हो नहीं पाया में इंटिक्विज, मैं कल से मैं सेशन अगर से ले रहा हूँ, पहले तो मैं ऑफिस जाता था बट अभी एक दो दिन से मैं तबे थोड़ी टाइवल नहीं कर पा रहा हूँ, अगर से प्रॉब्लम इसको convert कर सकते हो 0 by 0 के form में चाहे rationalize करके या फिर अगर आप चाहो तो other methods भी होते हैं इसके वो question करते मैं आपको सिखाओंगा question करते आपको इसे सिखाओंगा कि कैसे आप infinity minus infinity को 0 by 0 के form में convert करें is it making sense for everyone? बोलिये यार जल्दी बोलो ठीक है आगे बढ़े? ओके चलो अब एक बार देख लेते हैं कि 1 to the power infinity को 0 power 0 को और infinity power 0 को आप 0 by 0 के form में कैसे convert कर सकते हो ठीक है तो जल्दी से ये मैं आपको quick समझा देता हूँ ये important नहीं है बस देख के एक बार समझ जाओ यहाँ सर ऐसा हो रहा है ये चिस हमें देख के समझ आ रही है देखते जाएए आप जरा बता दो Ln1 की value कितनी है, देखो LnY is equal to infinity into 0, या फिर LnY is equal to 0 by 0, और Y आपका आग्या power 0 by 0, यानि कि आपके दिवांग में यह भी आना चाहिए, सर, 0 by 0 indeterminate form तो होता ही होता है, बट क्या function of 0 by 0 भी indeterminate form होता है, absolute, यानि कि अगर इस पर 0 by 0 का form दिख रहा है, तो उसको भी हम लोग indeterminate form बोलेंगे, आप लोग अगरी करते हो इस बात पे, कि हाँ सर 1 to the power infinity को भी हम एक indeterminate form मान सकते हैं, क्योंकि कुछ ना कुछ करके इसको 0 by 0 में तो convert करी पार है, is it clear for everyone, absolutely, है न, similarly इसका देख लो, एक बार आपको logic समझ आ गया, यह बात ज़्यादा दिक्कत वाली बात है न, y is equal to 0 to the power 0 अगर आपको दिख रहा है, दोनों साइट ln लो, ln y is equal to ln 0 to the power 0, तो बाहर हो जाएगा, और ln 0 का मतलब आप सभी लोग जानते हो, minus, तो 0 into minus infinite, यह minus 0 by 0, और y is equal to, और minus, चाहिए बात है, simple सी बात है, similar logic आप यहाँ पे लगा लो, इन्टु पॉर 0 लिया, lny किया, तो ln इन्टु पॉर 0 आपका बाहर आ जाएगा, इन्टु, इन् manifest होगी produce होगी correct है बोलो हाई या नामें जवाब दो systematically एक चीज समझते हुए चलते हैं ultimately questions कैसे solve करने ये तो हमें सीखना है आगे बढ़ा जाए देखे कुछ ऐसे formats होते हैं जो non indeterminate formats होते हैं वो भी मैंने आप लोगों के लिए collect कियें पर देख लो इनको भी है ना जैसे infinity to the power infinity कि ग्यानी आदमी है कितना भी ग्यान बढ़ा दोगा वह ग्यानी ही रहेगा इन पर इन्फिनिटी विज्ञानी आद तो कितना भी आप ज्ञान देते रहोगे वह रहेगा तो जीरोई तो बाइन फिनिट रेवाइन नंबर ऊपर जीरो है आप कुछ रखते रहेगा इन टी बाइ जीरो पहले से बड़ा इसको जीरो से ट्रेड कर रहे तो इन पाकि मैंने आपको यह नॉन इंडिटर्मिनेट फॉरमेंट नॉन इंडिटर्मिनेट आप इनको जीरो पाइज जीरो के फॉरमेंट तो इंफीनिटी पॉर इंफीनिटी जो पावर इंफिनिटी हमेशा जी तो यह पूछ भी रहा था भी थोड़े दर पहले अगर हम जो कि पावर इंफिनिटी करेंगे तो क्या आएगा यह आएगा ना भाई समझ गए ओके तारी बातें समझ में आती जा रही है सभी लोगों को चलो अब एक काम करो एक काम करो थोड़ा सा डीप र दो घूट लगा लो जिंदगी के क्योंकि अब इसके बाद की जो जर्नी स्टार्ट होने जा रही है वहां से हम लोग लिमिट वगैरह ठीक, पी लो जो भी पी लो, लगा लिया सबने, चलो आ जो वापस, जरा देखे, सुनिये मेरी बात को, आज की क्लास में हम लोग पढ़ना चाह रहे हैं, limits के बारे में, limits of a function हम calculate करना चाहते हैं at a point, सबसे पहली चीज तो मैं आपको ये बता दू, अगर आप किसी particular function का, किसी particular point पे, limit calculate करना चाहते हो, तो वो जो limit है, और उस function का, पर जो फंक्शनल वैल्यू है यह आपस में बिल्कुल भी को रिलेटेड नहीं है क्या बोला मैंने शायद आपको पहली बार में समझ में नहीं है मैं यह बोलना चाहता हूं सब्सक्राइब करना चाहता हूं अगर मैं किसी फंक्शन की चैनल करना चाहता हूं इस तो लिमिट का सिंबल हो गया तो मैं इस फंक्शन का एक स्टेंडिंग टू चैनल करना चाहता हूं एक एस्पेक्ट इन लिए लोग फंक्शन का अ मैं x equal to a पे functional value calculate कर लूँ तो उपर वाली चीज इस function की x equal to a पे limit हुई नीचे वाली चीज इस function की x equal to a पे functional value हुई तो कितने लोगों को ये दो different चीजे सौन्ड में आ रही हैं कि सर अच्छा limit का मतलब है limit extending to fx और functional value का मतलब है x equal to a उठा के put कर दो उसमें तो मैं ये बोलना चाहता हूँ कि अगर आप किसी function की x equal to a पे limit calculate कर लो और उस इस फंक्शन की एपिल फंक्शनल वैल्यू कैलक्वेट कर दो इन दोनों का आपस में कोई को रिलेशन इन दोनों का आपस में कोई भी को रिलेशन नहीं यह कोई डिफरेंट चीज है यह कोई डिफरेंट तमच गए सभी लोग पर बात सभी को ना ओके है आप उसमें x equal to 0 put कर दोगे, answer आजाएगा कुछ ना कुछ, चाही बात है न, limit कैसे calculate करना है, वहीं तो हमें इस पूरे के पूरे chapter में सीखना है, तो पहला जो thought process आपको अपने दिवाग में build up करना है, वो ये build up करना है, कि अच्छा किसी function की x equal to a पे functional value एक different calculation होती है, different concept होता ह यह एफिक्स इग्ल्ड टू साइन एक्स पर एक्स का ग्राफ बना हुआ ग्राफ बना हुई मैंने आपको बनाकर दिया हुआ ठीक है यहां यह वैल्यू आपको वन दिख रही है और जो ग्राफ आप सभी भी तो यह पैसे नहीं है अगर मैं आपसे पूछता कि भाई इस फंक्शन की तरह एक्स इक्वल टू जीवर पर फंक्शनल वैल्यू बताइए तो क्या आप सभी लोग बेहचक अंसर वाला है आप आराम से सोच जाते जाओ एवरीवन न आप बोलते से कोई दिक्कत वाली बात ही नहीं ना तो आप बोलोगे सर x इकुल जो पर वैलू बना रही है बोलिए अब अगर मुझसे कोई पूछता इसी क्वेश्चन में जरा इसकी बताइए एक्स टेंडिंग टू अगर उसने मुझसे यह पूछता होता ना एक्स टेंडिंग टू जीरो एफेक्स पीस की तो यह थोड़ा सा टाइम लगता एक्स टेंडिंग टू जीरो एफेक्स पर इसकी वैल्यू कैलकुलेट करते हैं जो टाइम लगता जब भी हम लोग किसी फंक्शन की लिमिटिंग वैल्यू कैलकुले उस पर हमें दो चीजों का ध्यान रखना होगा, सबसे पहली चीज का ध्यान हम यहाँ पर यह रखेंगे, कि अगर हम extending to 0 पे यहाँ पे value calculate करना चाहते हैं, इस 0 पे पहुंचने, right direction से कर सकते थे, हम left direction से कर सकते थे, बताएगे, अगर आप right direction से करते जा रहे हो, करते जा रहे similarly इसकी x equal to 0 पे पहुँचने के लिए आप left से भी approach कर सकते थे आप approach करते इसकी 0 minus पे पहुँचने के लिए इसकी exactly 0 पे तो जाना नहीं है x tending to 0 उसने आपके लिए यहाँ पे भी अगर आप value calculate करते हैं यह value भी आपको 1 से थोड़ी सी कम मिलती है चलो तो एक चीज आप मुझे खुद से कैलकुलेट करके बताओ अगर मान लो इसी क्वेश्चन में इन क्वेश्चन में आपसे पूछा जाता है व्हाट इस द फंक्शनल वैल्यू ऑफ एफेक्स एड एक्स इक्वाल टू जी या इसका अंसर बेट लोग वन दे देते तो limiting value calculate करने के लिए सबसे पहले जो symbol use किया जाता है वो symbol ऐसा use कर जाएगा यह है limiting value calculate करने का symbol limit x tending to 0 अब जब भी आप limiting value calculate करते हो तो हमेशा दो चीजों पे इसकी value depend करती है सबसे पहला इसकी left hand limit कितनी है तो इसी function के जब भी हम left hand limit calculate करेंगे that to at x equal to 0 limit x tending to 0 minus आपको खुदी दिख रहा है कि जो आप limit x tending to 0 fx calculate कर रहे हो तो क्या ये value आपको 1 minus दिख रहे है बताईए absolutely similarly अगर हम इसकी right hand limit calculate करते हैं इस function की at x equal to 0 तो क्या ये value हमको 1 minus के बराबर ही दिख रहे है तो जो आपकी left hand limit है right hand limit है देखें क्या l की value m के बराबर आपको मिल रहे है अगर l की value आपको m के बराबर मिल रही है कि इस फंक्शन की लिमिट एक्सिस्ट कर रही कहां पर एक्सीवेल जो जीरो पर और उसकी वैल्यू कितनी है वन भी क्या इंपोर्टेंट टर्मिनोलॉजी कितने लोगों को क्लियर हुए बोलिए दो चीजों के बारे में मैंने आप सभी लोगों से left hand limit इस function की x equal to 0 पे कितनी है उसका symbol आप सभी लोगों को clear है limit x tending to 0 minus fx graph से आप सभी लोगों को दिखी रहे है जिरो minus पे इस function को अगर हम observe करें तो ये 1 से थोड़ा सा कमा रहा है उसको हम लोग 1 minus बोल सकते हैं similarly अगर हमसे कोई पाता कि इसकी right hand limit calculate करो at x equal to 0 वो हो जाता limit extending to minus fx और अगर आप 0 plus पे भी observe करते हैं ग्राफ आपका ऐसे decrease कर रहा है तो आपके जो left hand limit है वो भी 1 minus आ रही है जो भी right hand limit है वो भी 1 minus आ रही है क्योंकि दोनों बराबर आ रहे हैं हाँ graph को देखकर है ना graph आपको बना है मिला हुआ है just मैं आपको समझानी की कोई चार रहा हूँ कि क्या इन दोनों चीजों में आप difference identify कर पा रहे हैं नहीं कर ठीक है, तो देखो question में यही बोला जा रहा है, कि अगर आपने left hand limit calculate कर लिया, और right hand limit calculate कर लिया, तो अगर L की value M आ गई, तो आपका जो limit होगा, it will exist at x, आज के बाद आप कभी यह नहीं बोलोगे, लिमिट exist कर रहा है या नहीं कर रहा है, आपके साथ point भी बताओगे, आप point ठीक है चलो तो अगर हमसे पूछा जाता what is limit x tending to 0 fx तो क्या इसकी value हम लोग 1 minus बोल सकते थे बोलिए जरा सभी लोग everyone और last वाली चीज देखो क्या यही मैं आप लोगों को clear करने की कुछ functional value at a point has no relation at all with the limiting value at that point समझ गया न सभी लोग है ओ चलो जैसे मालू यह question है इसमें देखो function को से डिफाइन कर रखा है fx is equal to 2x by x equal to उसने खुद ही बोला है कि जब x not equal to 0 है तो 2 ले लेना x equal to 0 है तो 0 by 0 ले ठीक है तो आप मुझे बताइए अगर मैं आपसे पूछता इस function x equal to 0 पर functional value क्या है और अगर मैं आपसे पूछता what is fit x standing दोनों चीज है आप कैसे calculate करें चलो इसको साथ में कैलकुल करते हैं वन बाई वन सबसे पहला हम लोग कैलकुल करते हैं यहां पर जो कैलकुल करने जा रहे हैं वह इस फंक्शन की एक्स इकॉल टू जीरो इसमें आप एक्स इकॉल टू जीरो उठाकर पूट कर दीजिए मिलेगा वाइस तो अगर फंक्शन की अगर हमें वैल्यू कैलकुलेट एक्स टेंडिंग तो इन वेल्यू तो आप डाइरेक्ट कैलकुलेट नहीं करते हैं आपको सब्सक्राइब करना पड़ेगा आपको करना पड़ेगा अ तो माइनस एक्स टेंडिंग टू माइनस अपने अब भी एक्स की वैल्यू जीरो माइनस हो जाए तो आप एफेक्स की वैल्यू क्या चूज कर सकते हो उसने खुद ही बोला है एक्स नॉट इक्वल जीरो पर इसकी वैल्यू हमेशा टू रहेगी एक्स नॉट तो क्या ये value आप 2 मान सकते थे, अच्छा इस case में जरा एक बार आप notice करिए, क्या आपको L की value M पराबर मिल रही है, अगर L की value M पराबर आपको देखें, क्या आप बोल सकते हैं, exist, बोलना काफी नहीं है, add, और वो limiting value आपको कितने बार देखें, क्या ये value आपको 2 मान सकते लिमिट एक्सिस्ट नहीं बोलना यार, पूरा कंसिट बोलना है, लिमिट एक्सिस्ट एट एक्सिकॉल डू जीरो, ना, सारा कंसिप्ट आपको बोलना है, उसके बाद ही यह माना जाएगा कि आपको यह कंसिप्ट में क्लारिटी मिल रही है, ठीक है, ओके, ठीक है, च वर्किंग प्रोसीजर क्या होता है या फिर उस पर हम लोग कैसे कमेंट कर सकते हैं ठीक है अब हम लोग थोड़ा-थोड़ा क्वेश्चन की तरफ चलने की कोशिश कर रहे हैं देखिए व्हाट इस द वर्किंग टू कैलकुलेट इमिट ऑफ फंक्शन एट पॉइंट अब से पहले देखिए इसमें क्या होगा इसमें आप लोगों को एक एंडिंग एफेक्स ऐसा कुछ पूछा जाएगा और बोलेगा कि यह कैलकुल करके बताइए इसकी वैल्यू कितनी है, step 1, step 1 में आपको calculate करना रहेगा, and तो कि short form में आप लोग क्या बोलते हो, LHL, LHL का full form क्या होता है, left hand limit, left hand limit के जब भी आप calculation करते हो, आपको मिल जाएगा, extending k minus, कहीं बार यह calculation direct करना possible होता है, कहीं बार, इसी calculation को थोड़ा सा हम लोग modify कर लेते हैं, देखो ऐसे सोचो, अगर आपने अंदर A-रख दिया, तो उसकी value A से कम हुई या A से ज़्यादा, तो मैं क्या कर सकता हूँ, इसको लिख देता हूँ A-H, ऐसा लिखा, और यहाँ पर H10, अगर तो A में से कोई छोटा सा positive number घटा दोगे, A-H आपको मिलेगा, step 2, step 2 होता है, R-HL की calculation, अगर आप R-HL की calculation करते हो, तो आपको मिल जाएगा, extend, अब आप खुछ से सोचो, वैल्यू अगर एसे थोड़ी ज्यादा हो गई तो लिमिट एच टेंडिंग तो फॉर्स अब इसके बाद बड़ी इंपॉर्टेंट चीज पाठोगी तो मैं बोल देता हूं एल और इसको मैं बोल देता हूं ठीक है तो कर लोगे सभी लोग फाइंड अब इसके बाद क्या करना होता है जरूर दे इस एक बोल्ड टू एम झाल अगर L की value M के बराबर हो गई, जहांपे, both L and M can be, can be finite और, बच गया न, अगर दोनों infinite आ रहा है तो भी चलेगा, और दोनों finite आ रहा है तो भी चलेगा, तो जब भी आप L equal to M करते हो ना, हो सकता L भी infinite आ जाए, लिमिट एक्सिस्ट करेगी, और हो सकता ये भी 5 आए, तब भी लिमिट एक्सिस्ट करेगी, तो अगर L की value M के बराबर आ गए, not necessarily कि ये finite हो, infinite हो, कुछ भी हो, बराबर आना चाहि� करें पॉइंट है इनफिनिटी को भी आप यहां पर कंसिडर करते हो इन इंपॉर्टेंट पॉइंट फॉर्स इफ एल ऑट इक्वल टू एम और फुथ एल एम फॉर्स ऑसिलेट ए कि या तो एक वेल्यू एम के बराबर ही ना है या तो हो सकता है यह दोनों ही क्या हो जाएं ऑसिलेटरी ऑसिलेटरी का मतलब क्या होता है दो मिनट में आपको समझा आप बोल सकते हो अब एक तो पहले थोड़ा सा दिमाग में अब्जॉब करूँ कौन-कौन से लिखे होगा ठीक है इसमें यह दो पॉइंट बहुत ज्यादा इंपोर्टेंट है वेरी इंपोर्टेंट कि आपका फानेट जो यहां पर लिखा हुआ था यहां पर ऑसिलेटरी का मतलब क्या होता है जैसे अगर मैं आपसे पूछो टाइम थीटा की थीटा एक्वल बोलोगे साइड थीटा की अगर थीटा एक्वल टो इंफिनिटी पर वैल्यू कैलकुलेट टाइम थीटा का ग्राफ अ आपको साइन थेटा का ग्राफ है आपका साइन थेटा वर्सिस थेटा, यह है आपका 1 और यह है आपका माइनस 1, यह वैल्यू 1 है और यह माइनस, अगर कोई मुझसे पूछता साइन थेटा का वैल्यू के तरीके, थेटा टेंडिंग टो इंफिरिटी पर जो भी वैल्यू आ वह पहली चीज तो फाइनाइट आएगा रहेगा तो माइनस वन से वन के बीच में ही है ना हमेशा फाइनाइट आएगा बट एक्जैक्टली आप बता सकते हो कि एक्जैक्टली वैल्यू कितनी आएगी तो जो यह वैल्यू आएगी इस विल फाइनाइट बट अन तो बात है यह फाइनाइट है उसके साथ अनसर्टन है ताकि साथ क्या यह वैल्यू माइनस वन से वन के ब तो जब भी ऐसे कोई possibility चाहती है ना, ऐसी values को हम बता जाता है, oscillate, तो भी value आएगी, वो पता तो नहीं है क्या है, यह पता finite है और uncertain है, बट minus 1 से 1 के बिछपर oscillate कर रही है, तो हम इसको oscillatory value भी बोलें, तहीं बात है, समझ गया ना इस बात को, ठीक है, तो हमेशा याद रखन तो L equal to M में दोनों finite हो सकते हैं, दोनों infinite हो सकते हैं और जब भी L और M के बराबर ना आए या फिर L या M में से कोई एक या दोनों oscillatory value के तरफ switch कर जाएं तब भी आप बोलते हो लिमिट एक जिस्ट नहीं चलेगा इस question का answer calculate करते हैं देखिये इस question को हमें solve करना है पुछा गया है, limit x tending to 0, 1 by x तो हमारे पास working procedure already है प्रसिदा कैलक्ट करना शुरू कर ले चल कैलक्ट करना शुरू कि एक्स्टेंडिंग टो वन बाइट तो मैंने लिखा एक्स्टेंडिंग तो वन अपन प्लस ना पर कर देता हूं एक अपन टो माइनेस एक करो ऐसे करोगे आप जी रो माइनेस है तो जो आप जी रो माइनेस यहां पर पूट करोगे वो 0-h के बराबर हो जा कि यह वैल्यू आपको यहां माइनेस इन एलएचल से भी को दिग्ञा माइनेस इन आरेचल आइए जरा कैलकुलिट करते हैं सब आरेचल प्लेस इस नॉट एक्सिस्ट ऐसा नहीं बोल लिमिट डॉजन ऑट एक्सिस्ट का कोई मतलब नहीं है आपको बोलना पड़ा नॉट एक्सिस्ट एक्सिस्ट पूरा स्टेटमेंट चलेगा तो डॉजन ऑट एक्सिस्ट मत बोले पूरा स्टेटमेंट बोलो बार-बार मैं आपको जरह एक बार इसके ग्राफ के भी चर्चा कर लो, 1 by x का ग्राफ I think आप सभी लोगों को आता ही होगा, कभी ना कभी आपने पढ़ा भी होगा, 1 by x के ग्राफ के बारे में, कि आपका x हो गया, कि आपका fx हो गया, ऐसे ही होता न, 1 by x का ग्राफ, correct, कि हो गया आपका x equal, देख तो minus पे, यह क्या है इसकी value, minus infinity, तो बिना graph के भी same चीज हमने identify करा, कि भाई इसकी जो left hand limit आनी चीज थे, minus infinity आनी चीज थे, और right hand limit इसकी plus infinity, यहने कि इस function के graph को अगर हम left से approach करते, और 0 के बिल्कुल करीब जाके खड़े हो जाते, तो value minus infinity, अगर इस particular graph को हम right से approach करते, और 0 के बिल्कुल करीब जाके खड़े हो जाते, तो value हमको plus infinity मिल रही हो, कि अब जगह ना इन चीजें मैथमेटिकली बता रहा है ग्राफ बना सकते हैं बट हर फंक्शन का ग्राफ बना पाना तो फॉसिबल नहीं होता है इस पर हम लोग फिर इस अपने टिकल कैलकुलेशन पर रिलाइव करते हैं अगले क्वेश्चन पर चलो यह रहा है ग्राफ पेशन इसमें फंक्शन दिया हुआ फेक्स इग्ल टो एक्स स्क्वेर बहुत सारे कंसर्ट की क्लास में एक लिए हो रखें फेक्स इग्ल टो वन बाइक्स स्क्वेर पूछा गया लिमिट एक्सटेंडिंग टो जी रोफिक्स की वाल्यू कैलकृपड करें तो चेज टाइप लिए लि अगे हाथ हम लोग आरेचल कैलकुलेट करने की कोई प्रत्यात है आरेचल कैलकुलेट करेंगे यहां से आपको मिल जाएगा लिमिट एक टेंड वन अपन प्लस एक फुल वैल्यू मिल जाएगी लिमिट एक टेंड वन बाइट एक और यहां से आपका एल आपका ठीक है देखो कि एल की वैल्यू पराबर आ दी अ भले ही दोनों finite हो, भले ही दोनों infinite हो, क्या ही फरक पड़ता है, कोई फरक नहीं पड़ता है, आप simply off, इसका काफी नहीं है, बताना पड़ेगा, आप कहा रहे हो, at, बोलिये, correct है, अब यह simple सा function है, इसका graph भी हम लोग बना सकते हैं, तो मैं इसका ग्राफ भी बना के आपको समझाएगा, ग्राफ कर रहा है सेमी, कर रहा है ये भी, तो ये वन बाई एक्स स्क्वेर का ग्राफ है, तो आपको याद रखने के लिए, फेक्स एक्स, वन बाई एक्स स्क्वेर का ये ग्राफ है, ये हो गया जीरो प्लस, और ये हो इस टेक्स टेंडिंग टू इमिट एक्स्टेंडिंग टू जीरो का मतलब क्या हो गया आप इमिट एक्स्टेंडिंग टू जीरो माइनस कैलकुल करोगे एलएट यानि कि इसी फंक्शन में आप लोग के करीब पहुंचने के लिए लेफ्ट हैंड साइड से आप जीरो के करीब पहुंचने की कोशिश करोगे जीरो माइनस पर पहुंचने के लिए इस इंफिलेंट इमिट एक्स्टेंडिंग टू जीरो प्लस यानि कि जब भी आप आरेचल की वैल्यू कैलकु वो value भी आपको कितने पर वैल्यू प्लस इंट्रेस्ट कर जाएगी एक्सीफिकल और वह लिमिटिंग वैल्यू होगी कितनी एक्सिस्ट कर जाएगी देट इस पर शुरू कि इस क्वेश्चन आप एक्स टेंडिंग टू बन बाई एक्स वे फॉर लिमिटिंग जब भी लिमिट एक्सिस्ट करें तो आप लिमिटिंग वैल्यू के बाद बता सकते हो जब लिमिट एक्सिस्ट नहीं लिमिट डॉस नॉट एक्स बोलो भाई आ रहा कुछ समझ में यह बहुत बेसिक लेवल पर हम लोग चीज़ें डिस्कस कर रहे हैं जहां पर बहुत कंफीशन होता है क्लारिटी नहीं होती वो मेरे कहाल से एक पॉइंट पर क्लारिटी हमारा बनना स्टार्ट हो रहा है हमारा सोचने का नजरिया कैसा होना चाहिए बाकी क्वेश्चन कैसे लगाने वो दिरे मैं आपको समझा रहा हूं एक चलो इस क्वेश्चन का अंसर बताओ इस क्वेश्चन को कैलकुरिट करते हैं आईए जरा इस क्वेश्चन को देखते हैं देखे पूछा है लिम कि आप पत्ती होती है इसको एच टेंडिंग टू एच टेंडिंग करेंगे फाइन वन अपन माइनस यह जाएगा साइन ऑफ आइन और यह आपका और अब बताओ अगर LHL ही oscillatory निकल गया, तो आपने से किसी लोग ऐसे जो RHL calculate करने के लिए जाएंगे, या फिर बोलेंगे कि सर अगर देखो LHL ही oscillatory निकल गया बात खतम करो यहीं पे, चुपचाप आप बस यह लिख दो, कि limit does not exist at x equal, बात समझाई सभी को, अगर LHL, RHL में से कोई एक भी oscillatory हो जाएंगे, या दोनों oscillatory आ जाएंगे, तो आप आग बंद करके लिख दो भाई लिमिट एक्सिस्ट नहीं करेगे बाद तो आई बात समझ में ना आसान है ओके तो अगला कोशिश करके बताओ ये कोशिश खुद से फॉल करिए और बताईए क्या आंसर आना चाहिए अभी तो आंसर बताओ कितना आना चाहिए, चलो यहाँ पे LHL की calculation करते हैं, लिमिट x tending to 0-cos 1 by x, आप बोलोगे 0-1 हमको कुछ नाँच में आता नहीं है, यह कर दिया cos 1 by 2 plus h, यहाँ से कर लिया limit h, 0 plus क्यों 0-कर दिया, कि एक कॉस माइनस थीटा तो कॉस थीटा ही हो जाएगा बास वन बाई एच यह भी आपका कॉस बचेगा तो गया ऑसिलेट ऑसिलेट अगर यह ऑसिलेट रियल आ गया कमेंट क्या दोग या अजय को नहीं पर एक अब भी लिमिट डॉट एक्जिस्ट वर्ड पर बताना कि कहां पर एक्जिस्ट नहीं पुणी की नहीं एक्जिस्ट अ यहां पर नहीं एक्सिस्ट करें तो उसी पॉइंट को आपको बताएं यह रहा है बात सभी को इसका कैलकुलेट करते हैं इस क्वेश्चन का आजो एल एच एल इमेट एक्स टेंडिंग टो माइनस एक्स साइन वन बाई यह क्या हो जाएगा इमेट एच टेंडिंग टो माइनस एच 1 upon minus overall ये expression आपका बचेगा h 1 by h equal to 0 आईए put कर दो जाएगा तो sin infinity तो oscillatory आएगा but sin infinity की value तो हमेशा finite आएगे ना minus 1 से 1 के बीच में यार, sin थीटा का आपके पास ग्राफ है, उस थीटा में अगर मैं infinity डाल भी देता हूँ, तो minus 1 से 1 के बीच में ही तो रहेगा, और अगर यह minus 1 से 1 के बीच में और 0 से multiply कर देता है, तो answer तो 0 ही हो जाएगा न, कह रहूँ, finite और uncertain है, मैं इस बात से agree कर रहा हूँ, मैं मना नही एक्सटेंडिंग ट� एक्स वन बाइट यह हो जाएगा एक्स टेंडिंग प्लस एक्स बेसिक वाले मेथेड आज की क्लास में आपको अच्छा यह हो जाएगा एक्स टेंडिंग एक्स वन बाइट यहां पर आइए सॉल करते हैं तो वैल्यू देखिए देखो क्या यहाँ पे L और M बराबर आ गए अगर L और M बराबर आ गए तो सबसे पहला statement आप यहाँ पे क्या दोगे सबसे पहला statement आप दोगे limit at x equal और अगर limit exist कर रही है तो limiting value जाओ भी तो कि जा रही है कि बात समझ में आ रही है टेटमेंट वगैरह में बहुत क्लारिटी मिल कब क्या बोलना है क्या नहीं बोलना है पूलो है अब हम दो चीजें सीख चुके चल्दी से एक बार मैं आपको क्लिक रिवाइज कर बाता हूं यह क्या-क्या चीजें अभी तक आप अंडेस्टेंट कर पाए हो देखिए अगर हम अभी तक के डिस्क्रेशन में देखें कुछ बेसिक चीजें सिर्फ और सिर्फ indeterminate forms की बात करें तो साथ तरीके के indeterminate forms थे हम सभी को clear होगे, उसके लावा कुछ non indeterminate formats भी थे जो कि हम आप देख के पहचान सकते हैं, limits के अगर हम लोग बात करते हैं कि हम limit calculate करना चाहते हैं किसी function का किसी particular point पे, तो हमें एक बात में बहुत ज़्यादा clarity ह LHL निकालना पड़ता है, RHL निकालना पड़ता है, L और M को compare करना पड़ता है, अगर दोनों बराबर आ जाते हैं, भली दोनों finite हो या infinite हो, तो हम बोल देते हैं, हाँ भाई उस point पे limit exist करें, अगर L और M के बराबर नहीं आया, या फिर L और M में से कोई एक या दोनों अगर तो आप left से जाने की कोशिश करतो तो बिल्कुल उस point के करीब पहुँच के देख लो उस function के करीब जाके उसकी value कितनी है अगर दोनों बराबर आ जाते हैं तो limit exist करेगी और इस exist कर नहीं है साथ के साथ हम लोगों ने कुछ basic questions में LHL, RHL वाले concept अपलाई करके ये justify करने की कोशिश की उस function की उस point पे limit exist कर रही है या नहीं कर रही है अब जब हम actual exam में questions देखेंगे तो हमारी approach क्या होनी चाहिए उसके बारे में हम लोग चर्चा करना start करने वाले यहां तक अगर सारे points आपके clear हो गए हैं, सारी conceptual clarity मिल चुकी हैं, तो हम फिर exam में कैसे approach करने वाले हैं, इसकी चर्चा करना शुरू करते हैं, okay, done. जल्दी से एक बार डीब्रीट ले लो, पानी वानी पी लो, फिर शुरू करते हैं, बहुत ही ज़्यादा important discussion हम लोग यहाँ पर करने वाले, ओके, जड़ा देखे, एकजाम में जब भी आपके सामने limit के questions आएंगे, तो आपको question में LHL, RHL वाला concept लगाना है कि नहीं लगाना आएंगे तो उनके कुछ मेथड से जो मैं आपको समझाने की कोशिश कर रहा हूं एक होता है डायरेक्ट सब्सक्रिप्ट एक होता है डायरेक्ट सब्सक्रिप्ट आफ्टर फैक्टर कैंसल एक होता है बेसिक मेथड जो बेसिक मेथड आप यूज कर रहे थे ना कौन से पर आपको कुछ इंडिकेशन देगा तो आपको क्वेश्चन में ग्रेटेस्ट फंक्शन तो आपको प्रोडक्टर ना तो जब आपको क्वेश्चन में ग्रेटेस्ट पॉजिश दिखें तो आप समझ जाना कि वहां पर फिर आपको एलएचल और आरेचल अलग-अलग कैलकॉर्ट करना पड़ेगा उसके अलावा जो आपका एल हॉस्पिटल रूल होता है यह तो सबसे अधर इंपोर्टेंट होता है एल हॉस्पिटल रूल जब भी आप एक-एक करके इनको डिस्कस करना स्टार्ट करें ठीक है तो आपको आइडिया लग जाएगा क्वेश्चन देखते हैं आप समझ जाओगे कि भाई डायरेक्ट सब्सक्राइब कर रहे हैं या फिर कॉमन फैक्टर कैंसिलेशन करके डायरेक्ट अगर आपको किसी question में पूछा गया है calculate limit x tending to a fx अगर ऐसा पूछा गया है आप यह notice करो अगर यह आपका जो fx है यह polynomial है कोई sinusoidal function है log है exponential है तो यहाँ पे lhl, rhl अलग-अलग calculate करने के जरूरत नहीं है अगर आपसे ऐसे question पूछा आप fx को देखो जैसे आपने fx को देख तो आप LHL, RHL अलग-अलग मत calculate करो, यह function में limit की जो value वही उठा के put कर दो, अपने आप आपकी limiting में, समझ गया सबी लोग इस बात को, ठीक है, आई एक example करके देखते हैं, देखो जैसे मालो यह question पूछा गया हमसे, यह question हमसे पूछा गया, value बताई कितनी होगा, तो अब एक तरीका हो सकता था, कि limit के basic rule को हम follow करें, LHL अलग निकाले, RHL अलग निकाले, दोनों निकाल के compare करें, ज़रूरत नहीं है, जैसे आपने identify किया, कि भाई यह तो polynomial था, सीधा 1 उठा के यहाँ पे put कर दो, आपका answer 3 आ जाएगा, तो आप बोल सकते थे इस function की x tending to 1 पे limiting value कितनी आ जाएगा, अगर आप LHL निकालते तो भी 3 आ जाएगा, RHL निकालते तो भी 3 आ जाएगा, बराबर करने पे 3 आ जाएगा, तो आप लोग इस point को समझिए, कि आपन तो एक तरीका यह भी हो सकता था कि आप LHL अलग निकाले, आप RHL अलग निकाले, need ही नहीं उसको calculate करने के LHL, RHL अलग अलग, क्योंकि यहाँ पे एक exponential function दिख रहा था, आप सीधा उठा के इसको put करें, इस वाले में देखो, limit extending to x, sin x plus cos x, sinusoidal function था, x equal to 1 put कर दो, 1 cos, पर need है, तो, जब भी आपको जो function है वो polynomial अगर दिख रहा है या फिर exponential है फिर log दिख रहा है आप simply अपनी value उठाकर दें put कर दीजे आपको LHL, RHL equal to जो भी value मिलने वाले वो direct यहाँ पर दिख जाएगी ठीक है ओके चलो अब इसी से मिलता जुलता है एक format आपको और देखने को मिले एक्स माइनस टू अपने एक्स बोलिए ऐसा लिख सकते थे इस एक्सप्रेशन को लिख सकते थे जरा बताओ क्या यहां पर एक्स माइनस टू कैंसल हो जाएगा जैसे एक्स माइनस टू यह डायरेक्ट सब्सक्राइब पर आपके पास रेश्यू वाले क्वेश्चन आएंगे ना यहां पर आपको लग रहा है कि भाई में कुछ कॉमन फैक्टर कैंसल कर सकता हूं आपका यह पॉलिनमिल वाला पार्ट बन गया, x इकोल टू पूट कर दो आंसर आ गया, है न, ज़राई इस क्वेश्चन को देखिए, इस क्वेश्चन को सॉल करो, इसका आंसर बताओ कितना आंसर, तीम कंस्टिंप लगाईए, कॉमन फैक्टर वगैरा कैंसल करिये इसम एक्स टेंडिंग टो पन यहां पर बनाने के लिए बोल रहा है ठीक है मैं यहां से रूट एक्स कॉमन ले लेंगे अगर मैं रूट एक्स कॉमन ले लूंगा बचेगा तो क्यों आप इस पर एक्स आइनल एक तो बचेगा रूट एक्स का क्यों रूट एक यूज माइनस बीच फॉर्मला आप सभी को पता होता है आप इसको लिखे थे ए आइनस ए स्क्वेर इस पर इन इस पर इड बाइट एक्स फाइनेस और आपका कैंसिल जाएगा एक्स टेंडिंग टू फॉर्म पूर्व बीजे आपका आपको प्लस कर लो थी मिल जाएगा जिसको एक यूब फॉर्मुला लुट लु� चलो, आगे का कुछ discussion start करते हैं, ठीक है, तो ये तो दो बहुत basic method समझ आ गए, जहाँ पे हमने direct substitution सीख लिया, direct substitution के बाद हम लोगों ने सीखा, कि भाई common factor cancellation करने के बाद direct substitution कैसे कर लो, अब बहुत सारे ऐसे questions होंगे जहाँ पे आपको greatest integer function या फिर mod दिखा होगा, जहाँ पे आपको greatest integer function या mod से limits calculate करनी होगा, जब भी ऐसा कोई question दिखे जहाँ पे greatest integer function involve हो रहा है या फिर mod involve हो रहा है, वहाँ पे आपको लेफ्ट हैं लिमिट और राइट है लिमिट कैलकॉर्ट करने के अलावाद दूसरा कोई चारा नहीं रहेगा यह दोनों आप अलग-अलग कैलकॉर्ट कर लगाइए आप समझ में यहां पर ना आप कुछ भी नहीं कर सकते हो कोई तरीका नहीं लगा सकते हो कोई जी पाइज व्यूटर फॉरमेट लगा सकते कुछ भी ऐ जीएफ का मतलब होता है ग्रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन उसको आप लोग ऐसे डिफाइन कर दो एक्स इग्ल्ड क्या होता है इस इंटीजर कब एक्स इस ऑन और अब एक्स आपका जरूर होता है तब अब अ जैसे greatest integer function के form में अगर मैं आपसे पूछा हूँ जरा इसका बताइए greatest integer function क्या होगा यह symbol ही है greatest integer function का बताओ greatest integer function का greatest integer function का मतलब होता है immediate previous integer कि अगर अंदर वाला फंक्शन नोटीजर है और अगर अंदर वाला इंटीजर है तो इंटीजर इटसेल जैसे देखो 2.3 इमीडियेट होगा माइनस तीन माइनस टू पॉइंट थी से पीछे जाओगे तो यह वैल्यू तो माइनस तीन बताओ इंटीजर फंक्शन तो क्लारिटी मिल गई तो वह पर क्लारिटी है सभी को कैसे यह कैलकुल होता है ठीक है, बस इतनी सी knowledge required है, greatest integer function को, ठीक है, चलो, एक question आपको दे रखा है, पहला question मैं करवाता हूँ, इसके बाद वाला question आप करिए, देखिए, limit x tending to 0, greatest integer of x थी है, तो ये question देखते ही कितने लोगों को समझ में आ गया, कि सर इसमें तो LHL, RHL अलग-अलग ही calculate करना पड़े कुछ आपको ratio दिखा जहां पे cancellation दिख रहा है तो आप cancel करने के बाद direct substitution अगर यहाँ पे आपको ऐसे दिख रहा है तो आप क्या approach करोगे पहले आप LHL लगाने की कोई है LHL आपका हो जाएगा x 10 to minus function of x इसको आप लिख सकते थे limit h 10 to minus h मैंने आपको बताया था एक छोटी सी small positive quantity हो जाएगा तो इसके अंदर वाला जो data है 0 minus h कि यह वैल्यू फॉलिसी नेगेटिव हो जाएगी जो से अगर आप थोड़ा सा भी कम लेकर जाओगे तो ग्रेटेस्ट इंटीजर क्या करेगा तो इसके अंदर आपको माइनस जी पॉइंट वन चूज कर लेता हूं और माइनस जी पॉइंट वन का ग्रेटेजर यहां पर देखो जीरो माने से कोई पॉजिटिव क्वांटिटी घटार एग्जांपल के तौर पर एच को 0.1 मान लो थोड़ी दिर के लिए यह आपको मान चलेगा ठीक है इसको देखो वैल्यू कैलक्टर आर एचल हो जाएगा एक्सटेंट वेल्यू आपको मिलेगा एच टेंट तो तो हो जाएगा 0 प्लस है अब आप बताओ यह वैल्यू कितनी होगा एक चोड़ी सी स्मॉल पॉजिटिव पॉंटिटी है तो इमीडियर प्रीविस इंटीजर जो आप कैलकुल एडिवन कैसे आ जाएगा यार जी रोजाएगा ना रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन जी रोपॉइंट वन क्या हो जाएगा जी रो तो बताओ कि यहां पर एल और एम बराबर है एल और एम बराबर नहीं है देंगे अब पॉट ए यहां पर कि इतने लोगों को यह पॉइंट समझ में आया हां या नामें जवाब दो जल्दी से यार आया अगला प्रश्न करो कि इस क्वेश्चन को भी सॉल करते हैं आप भी करते हैं एल एच एल एमिट एक्स टेंडिंग टो वन पॉइंट फाइव माइनस एक कर दूंगा लिमिट एच एंडिंग टो वन पॉइंट फाइव माइनस अब एच टेंडिंग टो जीरो एक बहुत छोटी से 1.4 का greatest integer तो 1 ही मिलने वाला है चलिए जरा एक बार RHL की calculation करके यहां पर देखते हैं जब आप RHL की calculation करके देखोगे यहां 1.5 plus का greatest integer function x यह value मिल जाएगी h pending तो 1.5 plus h तो लिख पारो न आप लोग यह अंदर वाला function यह 1.5 को अंदर भेज दिया करो 1.5 plus हो गया 1.5 plus का मरला 1.5 plus h और h को यहां पर टेक तो कर लो अब बताओ एच का मतलब क्या हो गया बहुत छोटी सी स्पॉल पॉजिटिव कॉंटिटी बान लो यह 1.5 से 1.2 जाएगा मगर ग्रेटेस्ट इंटीचर लगने के बाद तो वन ही हो जाएगा ना क्या L बराबर M आ गया अगर L बराबर M आया तो पहले स्टेटमेंट आप क्या दोगे एट कहां पर और इतना ही काफी नहीं अब आपको लिखना पड़ेगा लिमिट हम लोग कैलकुलेट कर रहे थे वैलू असल में कितना है तो ग्रेटेस्ट इंटीजर दिखें मॉडल दिखें कोई ऑप्शन आपके अलावा आप उसको एलेचल आरेचल स्ट्रेटिफाइड किया बना कर सकते हैं करना ही पड़ेगा एलेचल आरेचल फिर जाने अगला क्वेश्चन करें एक्स क्वेश्चन यह क्वेश्चन करो इसका अंसर बताओ यहां पर क्वेश्चन में उसने बोल प्रैक्शनल पार्ट ऑफ एक्स आपको यह करके बता देता हूं प्रैक्शनल पार्ट ऑफ एक्स माइनस एक्स इंटीजर फंक्शन आपको था फ्रैक्शनल पार्ट ऑफ इस क्वेश्चन को सॉल करते हैं तो भी ग्रेटेस्ट इंटीजर में कंवर्ट करी लेते हैं इसको एक एक्सटेंडिंग वन माइनस एक्स माइनस इस रिंटी आफ एक तो जाएगा लिमिट एक्सटेंडिंग तो आप देखो पूट कर देते हैं वन माइनस का मतलब हो गया वन माइनस वन माइनस लिख पार हो ना सभी लोग यह देखो यहां पर वन माइनस करना है तो वन माइनस का मतलब वन माइनस हो गया और अंदर भी वन माइनस करना मतलब वन माइनस है अब जरा सोच कर देखो जब आप एक टेंडिंग पर डालोगे जाएगा वन माइनस यहां पर जो आप एक टेंडिंग लोगे वन माइनस जीवर मतलब वन से चोटी सी क्वांटिटी यूज मतलब मानकर जो पॉइंट नाइन होगा वह पॉइंट नाइन का ग्रेटेस्ट इंटीजर कितना हो जाएगा तो विल्जर तो मजबार हैं आप सभी लोग वन माइनस एच के अंदर एच को छोटी से स्मॉल पॉजिटिव क्वांटिटी तो आप इसमें पॉइंट कर दो 0.111111 माइनस जो पॉइंट वन के पॉइंट ने ग्रेटेस्ट इंटीजर उसका जी रो मिल जाएगा अ यह मिल जाएगा आपको आइए जरा इसका आरेचल एक्सटेंट अ अ अ अ अ अ अ अ अ अ अ वन प्लस एक्स यह हो जाएगा एच एंड वन प्लस एच आइनर्स इटेस्ट इन ऑफ वैल्यू पोट कर दो वन प्लस आइनर्स अब देखो एच पॉजिटिव क्वांटिटी वन पॉइंट वन इमेजिन करो रेटेस्ट इंच उसका वन आगे जीरो एल की वैल्यू एंड के बराबर आई एक वैल्यू एंड के बराबर नहीं आई तो आप क्या बोलोगे अ एडिट नॉट एग्जार पर एडिट पाठ लिए रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन या मॉड वाले क्वेश्चन सगर आते हैं आपको एलएचल आरेचल रखने के अलावा दूसरा कोई चारा नहीं अगले विशेष पर चले हाया नाम जवाब दीजिए जल्दी कि आज अगले सवाल पर चलो यह लो एक विशेष आपके लिए होमवर्क एक विशेष आपके लिए वो खर पर ट्राइड करके लाना एक्सटेंडिंग टो एंट्रोड पॉइंट फाइड वाला कि बाद वाले क्वेश्चन पर चलते हैं यह क्वेश्चन इसमें पहला कि अ कॉमन फैक्टर कैंसिलेशन के बाद डाइट सब्सक्राइब और तीसरा एलाईएफ टॉरी जीएफ और यह वाड़ वाला ओके चलो जरा इस क्वेश्चन को पहले मैं कर बाता हूं इसके बाद वाला क्वेश्चन आप ट्राइ करना देखो क्वेश्चन कैलकुलेशन करना स्टार्ट करेंगे तो जाएगा लिमिट एक्स्टेंडिंग तो अ कि माइनस पॉट इनवर्स लेटेस्ट इंटीजर पॉज यह वैल्यू हो जाएगी इमेट एच एंडिंग पॉट इनवर्स पॉज ऑफ तो माइनस पॉज माइनस थीटा के वैल्यू आप सभी को पता होती है जो जाएगा एच टेंड पॉट इनवर्स कि या फिर मैं यह आपको संपर्श को पास का ग्राफ हम सभी को पता होता है तक आपका ग्राफ ऐसे होता ना कि आपका ग्राफ करके देखिए जरूर वेल्यू है तो है वेल्यू है कि अब सिर्फ और सिर्फ इस पर फोकस करो इटेस्ट इंटीजर को थोड़ा भूल जाए फोकस आप जीरो माइनस एक जो माइनस एक तब क्यों गया तो कॉसेक्ट का फंक्शन है वहां पर वैल्यू कैल्टरेट करना चाहते हैं यह तो वह जीरो माइनस इस तरह मतलब द� अगर 0-8 तो यह तो यहां पर कहीं तो यह पर कहीं बोलो तो मैं यह बोल रहा हूं अभी ग्रेटेस्ट इंटीजर छोड़ो यह जो कॉस्ट और 0-8 आपको अंदर दिख रहा है क्या इसकी वैल्यू हमेशा जो भी आएगी अगर मैं देखो तो इस वैल्यू माइनेस पंके भी कि आप इसे बात में कर रहा हूं आप ऐसा मत सोचो कि हम लोग यहां पर किसी और फंक्शन की बात कर रहे हैं मैं आपको वापस समझ दो एक बार इस टाइप का क्वेश्चन पढ़ लो बाद फिर आप ऐसे पूछे तो हमेशा देखो डेटिस्ट इंटीजर के अंदर फंक्शन लिखा हुआ ना उसको देखने की कोशिश कर जो ब्रेटिस्ट इंटीजर के अंदर फंक्शन लिखा हुआ है उसकी वैल् अगर आप उसकी value एक बार exactly समझ गया है फिर उसके बाद उस पर greatest integer लगाना है तो अगर मुझसे कोई पूछता है cos of 0-h के बारे में आपका क्या ख्याल है तो मैं उसको यही बोलता है कि cos of 0-h के बारे में वाल्यू है वो 1 से तो कम ही है तो 0.9 के आप पास हम लोग उसको मान क के बराबर मिलती है नहीं मिलती है, greatest integer लगाने के बाद की मैं बात कर रहा हू तो दो चीजें हमेशा सोचना कि आगे ना application of derivative में भी same concept आपके सामने आएगा greatest integer जहां लगा हुआ उसको पहले भूल जाओ अंदर वाला जो function लिखा है पहले उसकी value देख लो उसकी value है क्या तो मेरी ख्याल से cos of 0-h value है वो 0.9 के असपास है और greatest integer अगर मैं लगा दू दो क्योंकि बराबर है आप सभी को पता है कॉट इनवर्स जीवर का मतलब क्या होता है भाई कितने लोगों को यह पर समझ में आ गया अच्छी तरीके से आया अब सिमिलर तरीके से एक बार आ रहे चल में भी इसको आपको मैं आरेचल में आपका हो जाएगा एक्स्टेंडिंग प्लस और इंवर्स फॉर आपका हो जाएगा यह वैल्यू आपको मिलेगा इस प्लस अब देखो यहां पर भी जो मैं बता रहा हूं वैसे लगा भूल जाते हैं थोड़े दिन को थोड़े दिन से निकाल देते हैं सिर्फ यह सोचते हैं कि आप जो का ग्राफ बनाया और जो प्लस था पर देखने की पोशिश की वैल्यू ऑब्जर्व करता तो मेरे आज जरूर पॉइंट नाइन के आसपास आती ना वन से थोड़ा सा कम आती और इसमें जैसे में ग्रेटेस्ट इंटीजर लगा दूंगा आप मुझे बताइए यह वैल्यू जो आपको यहां से दिख रही है और इन पर से आपको और इन पर यह जी अगर भी बाइट तो कि यहां पर इसकी वैल्यू एंड पराबर हुई अगर L की value M के बराबर हो गई, तो आप मुझे बताईए कि क्या आप ऐसा बोल रहे हैं, और वो limit है कितनी, आप बात समझ में, कि अगला क्वेश्चन करें तो बजे ना ग्रेटेस्ट इंटीजर हटा दो थोड़े देर के लिए अगला क्वेश्चन कर यहां ग्रेटेस्ट इंटीजर और लिमिट यहां पर जो उस यह x tending to pi by 2 वाली limit है, दो question और बचे हैं, दोनों question करते हैं, फिर आज का हमारा session complete होगा, यहाँ cos x का graph किसको नहीं बता होगा, क्या बात कर रहे हो, तो, कि आप नहीं पता आपको चाने एक्स हो गया कॉस एक्स हो गया वाइट एक्स प्लस यू वाइट इसका इक्वल इस क्वेश्चन को सॉल करते हैं ठीक है सबसे पहले यहां पर कैलकुल करते हैं एलएट आपको मिलेगा इमिट एक्स टेंडिंग पाइबाइट माइनस एन इन्वर्स ग्रेटेस्ट इंटर पर कि आप लिख सकते थे इस टेंडिंग टू तैन इंवर्स टेंडिंग टू टाइम इस अब आपको इसी कॉसेक्स फंक्शन की पाइ बाइ टू के अराउंड वैल्यूज चेक देखो अब सीमी चीज करना है बस इस बार आपका जो पॉइंट तो वह चेंज कि यह आपका बॉस एक्स और यह आपका एक्स आपका आई बाई तो ना तरह मुझे सुख से सोचकर बताना कॉमन सेंस से सोचकर बताना अभी मैं ग्रेटेस्ट इंटीजर को भूल जाता है पहले मैं इसकी बात करता हूं आई बाई टू माइनस एच का मतलब क्या हो गया यही तो थोड़ा सा पहले देखो तो होगा पाइ बाइ टू माइनस है, बोलो, ये जो पाइ बाइ टू माइनस है, ये वैल्यू, है तो 1 से 0 के बीच में, अगर ये वैल्यू 1 से 0 के बीच में है, तो मान लो थोड़े देर के लिए इसके वैल्यू 0.4 है, अगर ये वैल्यू 0.4 है, तो ग्रेटि इतना मुझे बताना है, मेरे कहांसे अब इस question में आपको जादा आसानी से सौन्चार होगा, अगर आपने पिछला question धन दिया हो तो, बात समझ में आ रही है, मैं क्या बोल रहा हूँ, cos pi by 2 minus h की बस value judge कर लो, cos x का graph बना है, pi by 2 minus h इसके पीछे आ गए, ये value देखी, ये value जाह पूरा का पूरा फंक्शन है अगर माने तो आ जाएगा टिमिलर तरीके से पर आर एक वेरी पॉटन पर एक वेशन आपके टीट में प्रोशन्स बन सकते हैं लिमिट से डायरेट क्वेश्चन बट एंटिन उपाद आपको अटका देगा एंटिन उपाद कि आप चलेगा नहीं आप लेता है पढ़ा दो पढ़ा दो पढ़ा दो पढ़ा दो पाई बाई टू प्लस एच पे जरा वैल्यू बताईए अब पाई बाई टू प्लस एच पे क्या हमें ये वाली वैल्यू कैलक्वेट करने देखिए ये जो भी वैल्यू है क्या है तो माइनस वन से लेता हूं अगर मैं इस लेता हूं लेने के बाद यह वैल्यू एंड फॉर्स इन लोग ऐसे जो समझ पा रहे हैं greatest integer के अंदर जो function लिखा हुआ है, बस उसी को observe करना है, पहले greatest integer को हटा देते हैं, यही देखते हैं, कि cos of pi by 2 plus h की value कितना है, graph बना हुआ है, pi by 2 plus h आप जाओगे, तो थोड़ा सा आपको pi by 2 के आगे निकलना पड़ेगा, pi by 2 plus h पे, वो minus 1, कोई भी random value choose कर लो, minus 1 से 0 के बीच के, मालो minus 0.5 ले लेते हो, greatest integer लगाते ही value क्या हो जाएगा, greatest integer लगाते ही value minus 1 हो जाएगी, tan verse minus 1 के बीच के बाद, तो देखो क्या यहां पर एलोरेम एक दूसरे के बराबर आ रहे हैं अगर एलोरेम बराबर नहीं आ रहे तो आप इसको चलिए लिखोगे इस पर कहां पर एक दूसरे बात समझ में ठीक है बहुत सिंपल है यार बस आपको थोड़ा सा इसमें लॉजिक लगाना आना चाहिए तो एक मॉड का भी क्वेश्चन कर लेते हैं कि हमारा आज का आखरी सबस्क्राइब तो बताओ मॉड दिखते ही कि आपको समझ में आ जाएगा हमें एलएचल और आरेचल वाला कंसेप्ट लेचेल के लिए x tending to 0 minus x minus times mod x divided by 7 mod x plus 5x जाएगा limit h tending to 0 to minus 2 times to minus mod divided by times to minus h 5 of to minus वैल्यू हो जाएगी इस पेंडिंग इस आइनेस टू अरे एक तो कोई छोटी सी पॉजिटिव क्वांटिटी है आप उसका मॉड अगर लेंगे तो मॉड लेने के बाद यह बचेगा एक छोटी सी पॉजिटिव क्वांटिटी में पॉइंट वन मांट माइनस पॉइंट वन का मॉड 0.1 हो जाएगा बचेगा नहीं बचे जाएगा आपका माइनस राइन ठीक है अ आप चल कैलकरेट कर दो वाले तो और आसान होगा एक्स माइनस एक्स 2 plus h 5 of h minus 2 minus 1 by पर कि इस टाइप की क्वेश्चन को कैसे अपरोच करना चाहिए, अगर इतनी बातों में clarity है तो हाँ या नामे एक बार जवाब दीजे, साथ के साथ आज की पूरी class अच्छे से revise करके आना कल की class में, कल से आपका L hospital सो एगरा start हो जाएगा, L hospital में भी मैं आपको bifurcation करके दिखा कल limit वाले concept को अच्छे से खतम करते हैं, फिर continuity, differentiability, सारे बहुत interesting हैं, सब में मैं आपको problem solving approach बताऊंगा, कि आपको exam में question कैसे जाके crack करना है, यही हमारे लिए सबस्ताद important है, thank you so much everyone, मिलते हैं फिर हम लोग आज रात में 10 बजे और कल फिर 4.

बोलिये यार जल्दी बोलो ठीक है आगे बढ़े? ओके चलो अब एक बार देख लेते हैं कि 1 to the power infinity को 0 power 0 को और infinity power 0 को आप 0 by 0 के form में कैसे convert कर सकते हो ठीक है तो जल्दी से ये मैं आपको quick समझा देता हूँ ये important नहीं है बस देख के एक बार समझ जाओ यहाँ सर ऐसा हो रहा है ये चिस हमें देख के समझ आ रही है देखते जाएए आप जरा बता दो Ln1 की value कितनी है, देखो LnY is equal to infinity into 0, या फिर LnY is equal to 0 by 0, और Y आपका आग्या power 0 by 0, यानि कि आपके दिवांग में यह भी आना चाहिए, सर, 0 by 0 indeterminate form तो होता ही होता है, बट क्या function of 0 by 0 भी indeterminate form होता है, absolute, यानि कि अगर इस पर 0 by 0 का form दिख रहा है, तो उसको भी हम लोग indeterminate form बोलेंगे, आप लोग अगरी करते हो इस बात पे, कि हाँ सर 1 to the power infinity को भी हम एक indeterminate form मान सकते हैं, क्योंकि कुछ ना कुछ करके इसको 0 by 0 में तो convert करी पार है, is it clear for everyone, absolutely, है न, similarly इसका देख लो, एक बार आपको logic समझ आ गया, यह बात ज़्यादा दिक्कत वाली बात है न, y is equal to 0 to the power 0 अगर आपको दिख रहा है, दोनों साइट ln लो, ln y is equal to ln 0 to the power 0, तो बाहर हो जाएगा, और ln 0 का मतलब आप सभी लोग जानते हो, minus, तो 0 into minus infinite, यह minus 0 by 0, और y is equal to, और minus, चाहिए बात है, simple सी बात है, similar logic आप यहाँ पे लगा लो, इन्टु पॉर 0 लिया, lny किया, तो ln इन्टु पॉर 0 आपका बाहर आ जाएगा, इन्टु, इन् manifest होगी produce होगी correct है बोलो हाई या नामें जवाब दो systematically एक चीज समझते हुए चलते हैं ultimately questions कैसे solve करने ये तो हमें सीखना है आगे बढ़ा जाए देखे कुछ ऐसे formats होते हैं जो non indeterminate formats होते हैं वो भी मैंने आप लोगों के लिए collect कियें पर देख लो इनको भी है ना जैसे infinity to the power infinity कि ग्यानी आदमी है कितना भी ग्यान बढ़ा दोगा वह ग्यानी ही रहेगा इन पर इन्फिनिटी विज्ञानी आद तो कितना भी आप ज्ञान देते रहोगे वह रहेगा तो जीरोई तो बाइन फिनिट रेवाइन नंबर ऊपर जीरो है आप कुछ रखते रहेगा इन टी बाइ जीरो पहले से बड़ा इसको जीरो से ट्रेड कर रहे तो इन पाकि मैंने आपको यह नॉन इंडिटर्मिनेट फॉरमेंट नॉन इंडिटर्मिनेट आप इनको जीरो पाइज जीरो के फॉरमेंट तो इंफीनिटी पॉर इंफीनिटी जो पावर इंफिनिटी हमेशा जी तो यह पूछ भी रहा था भी थोड़े दर पहले अगर हम जो कि पावर इंफिनिटी करेंगे तो क्या आएगा यह आएगा ना भाई समझ गए ओके तारी बातें समझ में आती जा रही है सभी लोगों को चलो अब एक काम करो एक काम करो थोड़ा सा डीप र दो घूट लगा लो जिंदगी के क्योंकि अब इसके बाद की जो जर्नी स्टार्ट होने जा रही है वहां से हम लोग लिमिट वगैरह ठीक, पी लो जो भी पी लो, लगा लिया सबने, चलो आ जो वापस, जरा देखे, सुनिये मेरी बात को, आज की क्लास में हम लोग पढ़ना चाह रहे हैं, limits के बारे में, limits of a function हम calculate करना चाहते हैं at a point, सबसे पहली चीज तो मैं आपको ये बता दू, अगर आप किसी particular function का, किसी particular point पे, limit calculate करना चाहते हो, तो वो जो limit है, और उस function का, पर जो फंक्शनल वैल्यू है यह आपस में बिल्कुल भी को रिलेटेड नहीं है क्या बोला मैंने शायद आपको पहली बार में समझ में नहीं है मैं यह बोलना चाहता हूं सब्सक्राइब करना चाहता हूं अगर मैं किसी फंक्शन की चैनल करना चाहता हूं इस तो लिमिट का सिंबल हो गया तो मैं इस फंक्शन का एक स्टेंडिंग टू चैनल करना चाहता हूं एक एस्पेक्ट इन लिए लोग फंक्शन का अ मैं x equal to a पे functional value calculate कर लूँ तो उपर वाली चीज इस function की x equal to a पे limit हुई नीचे वाली चीज इस function की x equal to a पे functional value हुई तो कितने लोगों को ये दो different चीजे सौन्ड में आ रही हैं कि सर अच्छा limit का मतलब है limit extending to fx और functional value का मतलब है x equal to a उठा के put कर दो उसमें तो मैं ये बोलना चाहता हूँ कि अगर आप किसी function की x equal to a पे limit calculate कर लो और उस इस फंक्शन की एपिल फंक्शनल वैल्यू कैलक्वेट कर दो इन दोनों का आपस में कोई को रिलेशन इन दोनों का आपस में कोई भी को रिलेशन नहीं यह कोई डिफरेंट चीज है यह कोई डिफरेंट तमच गए सभी लोग पर बात सभी को ना ओके है आप उसमें x equal to 0 put कर दोगे, answer आजाएगा कुछ ना कुछ, चाही बात है न, limit कैसे calculate करना है, वहीं तो हमें इस पूरे के पूरे chapter में सीखना है, तो पहला जो thought process आपको अपने दिवाग में build up करना है, वो ये build up करना है, कि अच्छा किसी function की x equal to a पे functional value एक different calculation होती है, different concept होता ह यह एफिक्स इग्ल्ड टू साइन एक्स पर एक्स का ग्राफ बना हुआ ग्राफ बना हुई मैंने आपको बनाकर दिया हुआ ठीक है यहां यह वैल्यू आपको वन दिख रही है और जो ग्राफ आप सभी भी तो यह पैसे नहीं है अगर मैं आपसे पूछता कि भाई इस फंक्शन की तरह एक्स इक्वल टू जीवर पर फंक्शनल वैल्यू बताइए तो क्या आप सभी लोग बेहचक अंसर वाला है आप आराम से सोच जाते जाओ एवरीवन न आप बोलते से कोई दिक्कत वाली बात ही नहीं ना तो आप बोलोगे सर x इकुल जो पर वैलू बना रही है बोलिए अब अगर मुझसे कोई पूछता इसी क्वेश्चन में जरा इसकी बताइए एक्स टेंडिंग टू अगर उसने मुझसे यह पूछता होता ना एक्स टेंडिंग टू जीरो एफेक्स पीस की तो यह थोड़ा सा टाइम लगता एक्स टेंडिंग टू जीरो एफेक्स पर इसकी वैल्यू कैलकुलेट करते हैं जो टाइम लगता जब भी हम लोग किसी फंक्शन की लिमिटिंग वैल्यू कैलकुले उस पर हमें दो चीजों का ध्यान रखना होगा, सबसे पहली चीज का ध्यान हम यहाँ पर यह रखेंगे, कि अगर हम extending to 0 पे यहाँ पे value calculate करना चाहते हैं, इस 0 पे पहुंचने, right direction से कर सकते थे, हम left direction से कर सकते थे, बताएगे, अगर आप right direction से करते जा रहे हो, करते जा रहे similarly इसकी x equal to 0 पे पहुँचने के लिए आप left से भी approach कर सकते थे आप approach करते इसकी 0 minus पे पहुँचने के लिए इसकी exactly 0 पे तो जाना नहीं है x tending to 0 उसने आपके लिए यहाँ पे भी अगर आप value calculate करते हैं यह value भी आपको 1 से थोड़ी सी कम मिलती है चलो तो एक चीज आप मुझे खुद से कैलकुलेट करके बताओ अगर मान लो इसी क्वेश्चन में इन क्वेश्चन में आपसे पूछा जाता है व्हाट इस द फंक्शनल वैल्यू ऑफ एफेक्स एड एक्स इक्वाल टू जी या इसका अंसर बेट लोग वन दे देते तो limiting value calculate करने के लिए सबसे पहले जो symbol use किया जाता है वो symbol ऐसा use कर जाएगा यह है limiting value calculate करने का symbol limit x tending to 0 अब जब भी आप limiting value calculate करते हो तो हमेशा दो चीजों पे इसकी value depend करती है सबसे पहला इसकी left hand limit कितनी है तो इसी function के जब भी हम left hand limit calculate करेंगे that to at x equal to 0 limit x tending to 0 minus आपको खुदी दिख रहा है कि जो आप limit x tending to 0 fx calculate कर रहे हो तो क्या ये value आपको 1 minus दिख रहे है बताईए absolutely similarly अगर हम इसकी right hand limit calculate करते हैं इस function की at x equal to 0 तो क्या ये value हमको 1 minus के बराबर ही दिख रहे है तो जो आपकी left hand limit है right hand limit है देखें क्या l की value m के बराबर आपको मिल रहे है अगर l की value आपको m के बराबर मिल रही है कि इस फंक्शन की लिमिट एक्सिस्ट कर रही कहां पर एक्सीवेल जो जीरो पर और उसकी वैल्यू कितनी है वन भी क्या इंपोर्टेंट टर्मिनोलॉजी कितने लोगों को क्लियर हुए बोलिए दो चीजों के बारे में मैंने आप सभी लोगों से left hand limit इस function की x equal to 0 पे कितनी है उसका symbol आप सभी लोगों को clear है limit x tending to 0 minus fx graph से आप सभी लोगों को दिखी रहे है जिरो minus पे इस function को अगर हम observe करें तो ये 1 से थोड़ा सा कमा रहा है उसको हम लोग 1 minus बोल सकते हैं similarly अगर हमसे कोई पाता कि इसकी right hand limit calculate करो at x equal to 0 वो हो जाता limit extending to minus fx और अगर आप 0 plus पे भी observe करते हैं ग्राफ आपका ऐसे decrease कर रहा है तो आपके जो left hand limit है वो भी 1 minus आ रही है जो भी right hand limit है वो भी 1 minus आ रही है क्योंकि दोनों बराबर आ रहे हैं हाँ graph को देखकर है ना graph आपको बना है मिला हुआ है just मैं आपको समझानी की कोई चार रहा हूँ कि क्या इन दोनों चीजों में आप difference identify कर पा रहे हैं नहीं कर ठीक है, तो देखो question में यही बोला जा रहा है, कि अगर आपने left hand limit calculate कर लिया, और right hand limit calculate कर लिया, तो अगर L की value M आ गई, तो आपका जो limit होगा, it will exist at x, आज के बाद आप कभी यह नहीं बोलोगे, लिमिट exist कर रहा है या नहीं कर रहा है, आपके साथ point भी बताओगे, आप point ठीक है चलो तो अगर हमसे पूछा जाता what is limit x tending to 0 fx तो क्या इसकी value हम लोग 1 minus बोल सकते थे बोलिए जरा सभी लोग everyone और last वाली चीज देखो क्या यही मैं आप लोगों को clear करने की कुछ functional value at a point has no relation at all with the limiting value at that point समझ गया न सभी लोग है ओ चलो जैसे मालू यह question है इसमें देखो function को से डिफाइन कर रखा है fx is equal to 2x by x equal to उसने खुद ही बोला है कि जब x not equal to 0 है तो 2 ले लेना x equal to 0 है तो 0 by 0 ले ठीक है तो आप मुझे बताइए अगर मैं आपसे पूछता इस function x equal to 0 पर functional value क्या है और अगर मैं आपसे पूछता what is fit x standing दोनों चीज है आप कैसे calculate करें चलो इसको साथ में कैलकुल करते हैं वन बाई वन सबसे पहला हम लोग कैलकुल करते हैं यहां पर जो कैलकुल करने जा रहे हैं वह इस फंक्शन की एक्स इकॉल टू जीरो इसमें आप एक्स इकॉल टू जीरो उठाकर पूट कर दीजिए मिलेगा वाइस तो अगर फंक्शन की अगर हमें वैल्यू कैलकुलेट एक्स टेंडिंग तो इन वेल्यू तो आप डाइरेक्ट कैलकुलेट नहीं करते हैं आपको सब्सक्राइब करना पड़ेगा आपको करना पड़ेगा अ तो माइनस एक्स टेंडिंग टू माइनस अपने अब भी एक्स की वैल्यू जीरो माइनस हो जाए तो आप एफेक्स की वैल्यू क्या चूज कर सकते हो उसने खुद ही बोला है एक्स नॉट इक्वल जीरो पर इसकी वैल्यू हमेशा टू रहेगी एक्स नॉट तो क्या ये value आप 2 मान सकते थे, अच्छा इस case में जरा एक बार आप notice करिए, क्या आपको L की value M पराबर मिल रही है, अगर L की value M पराबर आपको देखें, क्या आप बोल सकते हैं, exist, बोलना काफी नहीं है, add, और वो limiting value आपको कितने बार देखें, क्या ये value आपको 2 मान सकते लिमिट एक्सिस्ट नहीं बोलना यार, पूरा कंसिट बोलना है, लिमिट एक्सिस्ट एट एक्सिकॉल डू जीरो, ना, सारा कंसिप्ट आपको बोलना है, उसके बाद ही यह माना जाएगा कि आपको यह कंसिप्ट में क्लारिटी मिल रही है, ठीक है, ओके, ठीक है, च वर्किंग प्रोसीजर क्या होता है या फिर उस पर हम लोग कैसे कमेंट कर सकते हैं ठीक है अब हम लोग थोड़ा-थोड़ा क्वेश्चन की तरफ चलने की कोशिश कर रहे हैं देखिए व्हाट इस द वर्किंग टू कैलकुलेट इमिट ऑफ फंक्शन एट पॉइंट अब से पहले देखिए इसमें क्या होगा इसमें आप लोगों को एक एंडिंग एफेक्स ऐसा कुछ पूछा जाएगा और बोलेगा कि यह कैलकुल करके बताइए इसकी वैल्यू कितनी है, step 1, step 1 में आपको calculate करना रहेगा, and तो कि short form में आप लोग क्या बोलते हो, LHL, LHL का full form क्या होता है, left hand limit, left hand limit के जब भी आप calculation करते हो, आपको मिल जाएगा, extending k minus, कहीं बार यह calculation direct करना possible होता है, कहीं बार, इसी calculation को थोड़ा सा हम लोग modify कर लेते हैं, देखो ऐसे सोचो, अगर आपने अंदर A-रख दिया, तो उसकी value A से कम हुई या A से ज़्यादा, तो मैं क्या कर सकता हूँ, इसको लिख देता हूँ A-H, ऐसा लिखा, और यहाँ पर H10, अगर तो A में से कोई छोटा सा positive number घटा दोगे, A-H आपको मिलेगा, step 2, step 2 होता है, R-HL की calculation, अगर आप R-HL की calculation करते हो, तो आपको मिल जाएगा, extend, अब आप खुछ से सोचो, वैल्यू अगर एसे थोड़ी ज्यादा हो गई तो लिमिट एच टेंडिंग तो फॉर्स अब इसके बाद बड़ी इंपॉर्टेंट चीज पाठोगी तो मैं बोल देता हूं एल और इसको मैं बोल देता हूं ठीक है तो कर लोगे सभी लोग फाइंड अब इसके बाद क्या करना होता है जरूर दे इस एक बोल्ड टू एम झाल अगर L की value M के बराबर हो गई, जहांपे, both L and M can be, can be finite और, बच गया न, अगर दोनों infinite आ रहा है तो भी चलेगा, और दोनों finite आ रहा है तो भी चलेगा, तो जब भी आप L equal to M करते हो ना, हो सकता L भी infinite आ जाए, लिमिट एक्सिस्ट करेगी, और हो सकता ये भी 5 आए, तब भी लिमिट एक्सिस्ट करेगी, तो अगर L की value M के बराबर आ गए, not necessarily कि ये finite हो, infinite हो, कुछ भी हो, बराबर आना चाहि� करें पॉइंट है इनफिनिटी को भी आप यहां पर कंसिडर करते हो इन इंपॉर्टेंट पॉइंट फॉर्स इफ एल ऑट इक्वल टू एम और फुथ एल एम फॉर्स ऑसिलेट ए कि या तो एक वेल्यू एम के बराबर ही ना है या तो हो सकता है यह दोनों ही क्या हो जाएं ऑसिलेटरी ऑसिलेटरी का मतलब क्या होता है दो मिनट में आपको समझा आप बोल सकते हो अब एक तो पहले थोड़ा सा दिमाग में अब्जॉब करूँ कौन-कौन से लिखे होगा ठीक है इसमें यह दो पॉइंट बहुत ज्यादा इंपोर्टेंट है वेरी इंपोर्टेंट कि आपका फानेट जो यहां पर लिखा हुआ था यहां पर ऑसिलेटरी का मतलब क्या होता है जैसे अगर मैं आपसे पूछो टाइम थीटा की थीटा एक्वल बोलोगे साइड थीटा की अगर थीटा एक्वल टो इंफिनिटी पर वैल्यू कैलकुलेट टाइम थीटा का ग्राफ अ आपको साइन थेटा का ग्राफ है आपका साइन थेटा वर्सिस थेटा, यह है आपका 1 और यह है आपका माइनस 1, यह वैल्यू 1 है और यह माइनस, अगर कोई मुझसे पूछता साइन थेटा का वैल्यू के तरीके, थेटा टेंडिंग टो इंफिरिटी पर जो भी वैल्यू आ वह पहली चीज तो फाइनाइट आएगा रहेगा तो माइनस वन से वन के बीच में ही है ना हमेशा फाइनाइट आएगा बट एक्जैक्टली आप बता सकते हो कि एक्जैक्टली वैल्यू कितनी आएगी तो जो यह वैल्यू आएगी इस विल फाइनाइट बट अन तो बात है यह फाइनाइट है उसके साथ अनसर्टन है ताकि साथ क्या यह वैल्यू माइनस वन से वन के ब तो जब भी ऐसे कोई possibility चाहती है ना, ऐसी values को हम बता जाता है, oscillate, तो भी value आएगी, वो पता तो नहीं है क्या है, यह पता finite है और uncertain है, बट minus 1 से 1 के बिछपर oscillate कर रही है, तो हम इसको oscillatory value भी बोलें, तहीं बात है, समझ गया ना इस बात को, ठीक है, तो हमेशा याद रखन तो L equal to M में दोनों finite हो सकते हैं, दोनों infinite हो सकते हैं और जब भी L और M के बराबर ना आए या फिर L या M में से कोई एक या दोनों oscillatory value के तरफ switch कर जाएं तब भी आप बोलते हो लिमिट एक जिस्ट नहीं चलेगा इस question का answer calculate करते हैं देखिये इस question को हमें solve करना है पुछा गया है, limit x tending to 0, 1 by x तो हमारे पास working procedure already है प्रसिदा कैलक्ट करना शुरू कर ले चल कैलक्ट करना शुरू कि एक्स्टेंडिंग टो वन बाइट तो मैंने लिखा एक्स्टेंडिंग तो वन अपन प्लस ना पर कर देता हूं एक अपन टो माइनेस एक करो ऐसे करोगे आप जी रो माइनेस है तो जो आप जी रो माइनेस यहां पर पूट करोगे वो 0-h के बराबर हो जा कि यह वैल्यू आपको यहां माइनेस इन एलएचल से भी को दिग्ञा माइनेस इन आरेचल आइए जरा कैलकुलिट करते हैं सब आरेचल प्लेस इस नॉट एक्सिस्ट ऐसा नहीं बोल लिमिट डॉजन ऑट एक्सिस्ट का कोई मतलब नहीं है आपको बोलना पड़ा नॉट एक्सिस्ट एक्सिस्ट पूरा स्टेटमेंट चलेगा तो डॉजन ऑट एक्सिस्ट मत बोले पूरा स्टेटमेंट बोलो बार-बार मैं आपको जरह एक बार इसके ग्राफ के भी चर्चा कर लो, 1 by x का ग्राफ I think आप सभी लोगों को आता ही होगा, कभी ना कभी आपने पढ़ा भी होगा, 1 by x के ग्राफ के बारे में, कि आपका x हो गया, कि आपका fx हो गया, ऐसे ही होता न, 1 by x का ग्राफ, correct, कि हो गया आपका x equal, देख तो minus पे, यह क्या है इसकी value, minus infinity, तो बिना graph के भी same चीज हमने identify करा, कि भाई इसकी जो left hand limit आनी चीज थे, minus infinity आनी चीज थे, और right hand limit इसकी plus infinity, यहने कि इस function के graph को अगर हम left से approach करते, और 0 के बिल्कुल करीब जाके खड़े हो जाते, तो value minus infinity, अगर इस particular graph को हम right से approach करते, और 0 के बिल्कुल करीब जाके खड़े हो जाते, तो value हमको plus infinity मिल रही हो, कि अब जगह ना इन चीजें मैथमेटिकली बता रहा है ग्राफ बना सकते हैं बट हर फंक्शन का ग्राफ बना पाना तो फॉसिबल नहीं होता है इस पर हम लोग फिर इस अपने टिकल कैलकुलेशन पर रिलाइव करते हैं अगले क्वेश्चन पर चलो यह रहा है ग्राफ पेशन इसमें फंक्शन दिया हुआ फेक्स इग्ल टो एक्स स्क्वेर बहुत सारे कंसर्ट की क्लास में एक लिए हो रखें फेक्स इग्ल टो वन बाइक्स स्क्वेर पूछा गया लिमिट एक्सटेंडिंग टो जी रोफिक्स की वाल्यू कैलकृपड करें तो चेज टाइप लिए लि अगे हाथ हम लोग आरेचल कैलकुलेट करने की कोई प्रत्यात है आरेचल कैलकुलेट करेंगे यहां से आपको मिल जाएगा लिमिट एक टेंड वन अपन प्लस एक फुल वैल्यू मिल जाएगी लिमिट एक टेंड वन बाइट एक और यहां से आपका एल आपका ठीक है देखो कि एल की वैल्यू पराबर आ दी अ भले ही दोनों finite हो, भले ही दोनों infinite हो, क्या ही फरक पड़ता है, कोई फरक नहीं पड़ता है, आप simply off, इसका काफी नहीं है, बताना पड़ेगा, आप कहा रहे हो, at, बोलिये, correct है, अब यह simple सा function है, इसका graph भी हम लोग बना सकते हैं, तो मैं इसका ग्राफ भी बना के आपको समझाएगा, ग्राफ कर रहा है सेमी, कर रहा है ये भी, तो ये वन बाई एक्स स्क्वेर का ग्राफ है, तो आपको याद रखने के लिए, फेक्स एक्स, वन बाई एक्स स्क्वेर का ये ग्राफ है, ये हो गया जीरो प्लस, और ये हो इस टेक्स टेंडिंग टू इमिट एक्स्टेंडिंग टू जीरो का मतलब क्या हो गया आप इमिट एक्स्टेंडिंग टू जीरो माइनस कैलकुल करोगे एलएट यानि कि इसी फंक्शन में आप लोग के करीब पहुंचने के लिए लेफ्ट हैंड साइड से आप जीरो के करीब पहुंचने की कोशिश करोगे जीरो माइनस पर पहुंचने के लिए इस इंफिलेंट इमिट एक्स्टेंडिंग टू जीरो प्लस यानि कि जब भी आप आरेचल की वैल्यू कैलकु वो value भी आपको कितने पर वैल्यू प्लस इंट्रेस्ट कर जाएगी एक्सीफिकल और वह लिमिटिंग वैल्यू होगी कितनी एक्सिस्ट कर जाएगी देट इस पर शुरू कि इस क्वेश्चन आप एक्स टेंडिंग टू बन बाई एक्स वे फॉर लिमिटिंग जब भी लिमिट एक्सिस्ट करें तो आप लिमिटिंग वैल्यू के बाद बता सकते हो जब लिमिट एक्सिस्ट नहीं लिमिट डॉस नॉट एक्स बोलो भाई आ रहा कुछ समझ में यह बहुत बेसिक लेवल पर हम लोग चीज़ें डिस्कस कर रहे हैं जहां पर बहुत कंफीशन होता है क्लारिटी नहीं होती वो मेरे कहाल से एक पॉइंट पर क्लारिटी हमारा बनना स्टार्ट हो रहा है हमारा सोचने का नजरिया कैसा होना चाहिए बाकी क्वेश्चन कैसे लगाने वो दिरे मैं आपको समझा रहा हूं एक चलो इस क्वेश्चन का अंसर बताओ इस क्वेश्चन को कैलकुरिट करते हैं आईए जरा इस क्वेश्चन को देखते हैं देखे पूछा है लिम कि आप पत्ती होती है इसको एच टेंडिंग टू एच टेंडिंग करेंगे फाइन वन अपन माइनस यह जाएगा साइन ऑफ आइन और यह आपका और अब बताओ अगर LHL ही oscillatory निकल गया, तो आपने से किसी लोग ऐसे जो RHL calculate करने के लिए जाएंगे, या फिर बोलेंगे कि सर अगर देखो LHL ही oscillatory निकल गया बात खतम करो यहीं पे, चुपचाप आप बस यह लिख दो, कि limit does not exist at x equal, बात समझाई सभी को, अगर LHL, RHL में से कोई एक भी oscillatory हो जाएंगे, या दोनों oscillatory आ जाएंगे, तो आप आग बंद करके लिख दो भाई लिमिट एक्सिस्ट नहीं करेगे बाद तो आई बात समझ में ना आसान है ओके तो अगला कोशिश करके बताओ ये कोशिश खुद से फॉल करिए और बताईए क्या आंसर आना चाहिए अभी तो आंसर बताओ कितना आना चाहिए, चलो यहाँ पे LHL की calculation करते हैं, लिमिट x tending to 0-cos 1 by x, आप बोलोगे 0-1 हमको कुछ नाँच में आता नहीं है, यह कर दिया cos 1 by 2 plus h, यहाँ से कर लिया limit h, 0 plus क्यों 0-कर दिया, कि एक कॉस माइनस थीटा तो कॉस थीटा ही हो जाएगा बास वन बाई एच यह भी आपका कॉस बचेगा तो गया ऑसिलेट ऑसिलेट अगर यह ऑसिलेट रियल आ गया कमेंट क्या दोग या अजय को नहीं पर एक अब भी लिमिट डॉट एक्जिस्ट वर्ड पर बताना कि कहां पर एक्जिस्ट नहीं पुणी की नहीं एक्जिस्ट अ यहां पर नहीं एक्सिस्ट करें तो उसी पॉइंट को आपको बताएं यह रहा है बात सभी को इसका कैलकुलेट करते हैं इस क्वेश्चन का आजो एल एच एल इमेट एक्स टेंडिंग टो माइनस एक्स साइन वन बाई यह क्या हो जाएगा इमेट एच टेंडिंग टो माइनस एच 1 upon minus overall ये expression आपका बचेगा h 1 by h equal to 0 आईए put कर दो जाएगा तो sin infinity तो oscillatory आएगा but sin infinity की value तो हमेशा finite आएगे ना minus 1 से 1 के बीच में यार, sin थीटा का आपके पास ग्राफ है, उस थीटा में अगर मैं infinity डाल भी देता हूँ, तो minus 1 से 1 के बीच में ही तो रहेगा, और अगर यह minus 1 से 1 के बीच में और 0 से multiply कर देता है, तो answer तो 0 ही हो जाएगा न, कह रहूँ, finite और uncertain है, मैं इस बात से agree कर रहा हूँ, मैं मना नही एक्सटेंडिंग ट� एक्स वन बाइट यह हो जाएगा एक्स टेंडिंग प्लस एक्स बेसिक वाले मेथेड आज की क्लास में आपको अच्छा यह हो जाएगा एक्स टेंडिंग एक्स वन बाइट यहां पर आइए सॉल करते हैं तो वैल्यू देखिए देखो क्या यहाँ पे L और M बराबर आ गए अगर L और M बराबर आ गए तो सबसे पहला statement आप यहाँ पे क्या दोगे सबसे पहला statement आप दोगे limit at x equal और अगर limit exist कर रही है तो limiting value जाओ भी तो कि जा रही है कि बात समझ में आ रही है टेटमेंट वगैरह में बहुत क्लारिटी मिल कब क्या बोलना है क्या नहीं बोलना है पूलो है अब हम दो चीजें सीख चुके चल्दी से एक बार मैं आपको क्लिक रिवाइज कर बाता हूं यह क्या-क्या चीजें अभी तक आप अंडेस्टेंट कर पाए हो देखिए अगर हम अभी तक के डिस्क्रेशन में देखें कुछ बेसिक चीजें सिर्फ और सिर्फ indeterminate forms की बात करें तो साथ तरीके के indeterminate forms थे हम सभी को clear होगे, उसके लावा कुछ non indeterminate formats भी थे जो कि हम आप देख के पहचान सकते हैं, limits के अगर हम लोग बात करते हैं कि हम limit calculate करना चाहते हैं किसी function का किसी particular point पे, तो हमें एक बात में बहुत ज़्यादा clarity ह LHL निकालना पड़ता है, RHL निकालना पड़ता है, L और M को compare करना पड़ता है, अगर दोनों बराबर आ जाते हैं, भली दोनों finite हो या infinite हो, तो हम बोल देते हैं, हाँ भाई उस point पे limit exist करें, अगर L और M के बराबर नहीं आया, या फिर L और M में से कोई एक या दोनों अगर तो आप left से जाने की कोशिश करतो तो बिल्कुल उस point के करीब पहुँच के देख लो उस function के करीब जाके उसकी value कितनी है अगर दोनों बराबर आ जाते हैं तो limit exist करेगी और इस exist कर नहीं है साथ के साथ हम लोगों ने कुछ basic questions में LHL, RHL वाले concept अपलाई करके ये justify करने की कोशिश की उस function की उस point पे limit exist कर रही है या नहीं कर रही है अब जब हम actual exam में questions देखेंगे तो हमारी approach क्या होनी चाहिए उसके बारे में हम लोग चर्चा करना start करने वाले यहां तक अगर सारे points आपके clear हो गए हैं, सारी conceptual clarity मिल चुकी हैं, तो हम फिर exam में कैसे approach करने वाले हैं, इसकी चर्चा करना शुरू करते हैं, okay, done. जल्दी से एक बार डीब्रीट ले लो, पानी वानी पी लो, फिर शुरू करते हैं, बहुत ही ज़्यादा important discussion हम लोग यहाँ पर करने वाले, ओके, जड़ा देखे, एकजाम में जब भी आपके सामने limit के questions आएंगे, तो आपको question में LHL, RHL वाला concept लगाना है कि नहीं लगाना आएंगे तो उनके कुछ मेथड से जो मैं आपको समझाने की कोशिश कर रहा हूं एक होता है डायरेक्ट सब्सक्रिप्ट एक होता है डायरेक्ट सब्सक्रिप्ट आफ्टर फैक्टर कैंसल एक होता है बेसिक मेथड जो बेसिक मेथड आप यूज कर रहे थे ना कौन से पर आपको कुछ इंडिकेशन देगा तो आपको क्वेश्चन में ग्रेटेस्ट फंक्शन तो आपको प्रोडक्टर ना तो जब आपको क्वेश्चन में ग्रेटेस्ट पॉजिश दिखें तो आप समझ जाना कि वहां पर फिर आपको एलएचल और आरेचल अलग-अलग कैलकॉर्ट करना पड़ेगा उसके अलावा जो आपका एल हॉस्पिटल रूल होता है यह तो सबसे अधर इंपोर्टेंट होता है एल हॉस्पिटल रूल जब भी आप एक-एक करके इनको डिस्कस करना स्टार्ट करें ठीक है तो आपको आइडिया लग जाएगा क्वेश्चन देखते हैं आप समझ जाओगे कि भाई डायरेक्ट सब्सक्राइब कर रहे हैं या फिर कॉमन फैक्टर कैंसिलेशन करके डायरेक्ट अगर आपको किसी question में पूछा गया है calculate limit x tending to a fx अगर ऐसा पूछा गया है आप यह notice करो अगर यह आपका जो fx है यह polynomial है कोई sinusoidal function है log है exponential है तो यहाँ पे lhl, rhl अलग-अलग calculate करने के जरूरत नहीं है अगर आपसे ऐसे question पूछा आप fx को देखो जैसे आपने fx को देख तो आप LHL, RHL अलग-अलग मत calculate करो, यह function में limit की जो value वही उठा के put कर दो, अपने आप आपकी limiting में, समझ गया सबी लोग इस बात को, ठीक है, आई एक example करके देखते हैं, देखो जैसे मालो यह question पूछा गया हमसे, यह question हमसे पूछा गया, value बताई कितनी होगा, तो अब एक तरीका हो सकता था, कि limit के basic rule को हम follow करें, LHL अलग निकाले, RHL अलग निकाले, दोनों निकाल के compare करें, ज़रूरत नहीं है, जैसे आपने identify किया, कि भाई यह तो polynomial था, सीधा 1 उठा के यहाँ पे put कर दो, आपका answer 3 आ जाएगा, तो आप बोल सकते थे इस function की x tending to 1 पे limiting value कितनी आ जाएगा, अगर आप LHL निकालते तो भी 3 आ जाएगा, RHL निकालते तो भी 3 आ जाएगा, बराबर करने पे 3 आ जाएगा, तो आप लोग इस point को समझिए, कि आपन तो एक तरीका यह भी हो सकता था कि आप LHL अलग निकाले, आप RHL अलग निकाले, need ही नहीं उसको calculate करने के LHL, RHL अलग अलग, क्योंकि यहाँ पे एक exponential function दिख रहा था, आप सीधा उठा के इसको put करें, इस वाले में देखो, limit extending to x, sin x plus cos x, sinusoidal function था, x equal to 1 put कर दो, 1 cos, पर need है, तो, जब भी आपको जो function है वो polynomial अगर दिख रहा है या फिर exponential है फिर log दिख रहा है आप simply अपनी value उठाकर दें put कर दीजे आपको LHL, RHL equal to जो भी value मिलने वाले वो direct यहाँ पर दिख जाएगी ठीक है ओके चलो अब इसी से मिलता जुलता है एक format आपको और देखने को मिले एक्स माइनस टू अपने एक्स बोलिए ऐसा लिख सकते थे इस एक्सप्रेशन को लिख सकते थे जरा बताओ क्या यहां पर एक्स माइनस टू कैंसल हो जाएगा जैसे एक्स माइनस टू यह डायरेक्ट सब्सक्राइब पर आपके पास रेश्यू वाले क्वेश्चन आएंगे ना यहां पर आपको लग रहा है कि भाई में कुछ कॉमन फैक्टर कैंसल कर सकता हूं आपका यह पॉलिनमिल वाला पार्ट बन गया, x इकोल टू पूट कर दो आंसर आ गया, है न, ज़राई इस क्वेश्चन को देखिए, इस क्वेश्चन को सॉल करो, इसका आंसर बताओ कितना आंसर, तीम कंस्टिंप लगाईए, कॉमन फैक्टर वगैरा कैंसल करिये इसम एक्स टेंडिंग टो पन यहां पर बनाने के लिए बोल रहा है ठीक है मैं यहां से रूट एक्स कॉमन ले लेंगे अगर मैं रूट एक्स कॉमन ले लूंगा बचेगा तो क्यों आप इस पर एक्स आइनल एक तो बचेगा रूट एक्स का क्यों रूट एक यूज माइनस बीच फॉर्मला आप सभी को पता होता है आप इसको लिखे थे ए आइनस ए स्क्वेर इस पर इन इस पर इड बाइट एक्स फाइनेस और आपका कैंसिल जाएगा एक्स टेंडिंग टू फॉर्म पूर्व बीजे आपका आपको प्लस कर लो थी मिल जाएगा जिसको एक यूब फॉर्मुला लुट लु� चलो, आगे का कुछ discussion start करते हैं, ठीक है, तो ये तो दो बहुत basic method समझ आ गए, जहाँ पे हमने direct substitution सीख लिया, direct substitution के बाद हम लोगों ने सीखा, कि भाई common factor cancellation करने के बाद direct substitution कैसे कर लो, अब बहुत सारे ऐसे questions होंगे जहाँ पे आपको greatest integer function या फिर mod दिखा होगा, जहाँ पे आपको greatest integer function या mod से limits calculate करनी होगा, जब भी ऐसा कोई question दिखे जहाँ पे greatest integer function involve हो रहा है या फिर mod involve हो रहा है, वहाँ पे आपको लेफ्ट हैं लिमिट और राइट है लिमिट कैलकॉर्ट करने के अलावाद दूसरा कोई चारा नहीं रहेगा यह दोनों आप अलग-अलग कैलकॉर्ट कर लगाइए आप समझ में यहां पर ना आप कुछ भी नहीं कर सकते हो कोई तरीका नहीं लगा सकते हो कोई जी पाइज व्यूटर फॉरमेट लगा सकते कुछ भी ऐ जीएफ का मतलब होता है ग्रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन उसको आप लोग ऐसे डिफाइन कर दो एक्स इग्ल्ड क्या होता है इस इंटीजर कब एक्स इस ऑन और अब एक्स आपका जरूर होता है तब अब अ जैसे greatest integer function के form में अगर मैं आपसे पूछा हूँ जरा इसका बताइए greatest integer function क्या होगा यह symbol ही है greatest integer function का बताओ greatest integer function का greatest integer function का मतलब होता है immediate previous integer कि अगर अंदर वाला फंक्शन नोटीजर है और अगर अंदर वाला इंटीजर है तो इंटीजर इटसेल जैसे देखो 2.3 इमीडियेट होगा माइनस तीन माइनस टू पॉइंट थी से पीछे जाओगे तो यह वैल्यू तो माइनस तीन बताओ इंटीजर फंक्शन तो क्लारिटी मिल गई तो वह पर क्लारिटी है सभी को कैसे यह कैलकुल होता है ठीक है, बस इतनी सी knowledge required है, greatest integer function को, ठीक है, चलो, एक question आपको दे रखा है, पहला question मैं करवाता हूँ, इसके बाद वाला question आप करिए, देखिए, limit x tending to 0, greatest integer of x थी है, तो ये question देखते ही कितने लोगों को समझ में आ गया, कि सर इसमें तो LHL, RHL अलग-अलग ही calculate करना पड़े कुछ आपको ratio दिखा जहां पे cancellation दिख रहा है तो आप cancel करने के बाद direct substitution अगर यहाँ पे आपको ऐसे दिख रहा है तो आप क्या approach करोगे पहले आप LHL लगाने की कोई है LHL आपका हो जाएगा x 10 to minus function of x इसको आप लिख सकते थे limit h 10 to minus h मैंने आपको बताया था एक छोटी सी small positive quantity हो जाएगा तो इसके अंदर वाला जो data है 0 minus h कि यह वैल्यू फॉलिसी नेगेटिव हो जाएगी जो से अगर आप थोड़ा सा भी कम लेकर जाओगे तो ग्रेटेस्ट इंटीजर क्या करेगा तो इसके अंदर आपको माइनस जी पॉइंट वन चूज कर लेता हूं और माइनस जी पॉइंट वन का ग्रेटेजर यहां पर देखो जीरो माने से कोई पॉजिटिव क्वांटिटी घटार एग्जांपल के तौर पर एच को 0.1 मान लो थोड़ी दिर के लिए यह आपको मान चलेगा ठीक है इसको देखो वैल्यू कैलक्टर आर एचल हो जाएगा एक्सटेंट वेल्यू आपको मिलेगा एच टेंट तो तो हो जाएगा 0 प्लस है अब आप बताओ यह वैल्यू कितनी होगा एक चोड़ी सी स्मॉल पॉजिटिव पॉंटिटी है तो इमीडियर प्रीविस इंटीजर जो आप कैलकुल एडिवन कैसे आ जाएगा यार जी रोजाएगा ना रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन जी रोपॉइंट वन क्या हो जाएगा जी रो तो बताओ कि यहां पर एल और एम बराबर है एल और एम बराबर नहीं है देंगे अब पॉट ए यहां पर कि इतने लोगों को यह पॉइंट समझ में आया हां या नामें जवाब दो जल्दी से यार आया अगला प्रश्न करो कि इस क्वेश्चन को भी सॉल करते हैं आप भी करते हैं एल एच एल एमिट एक्स टेंडिंग टो वन पॉइंट फाइव माइनस एक कर दूंगा लिमिट एच एंडिंग टो वन पॉइंट फाइव माइनस अब एच टेंडिंग टो जीरो एक बहुत छोटी से 1.4 का greatest integer तो 1 ही मिलने वाला है चलिए जरा एक बार RHL की calculation करके यहां पर देखते हैं जब आप RHL की calculation करके देखोगे यहां 1.5 plus का greatest integer function x यह value मिल जाएगी h pending तो 1.5 plus h तो लिख पारो न आप लोग यह अंदर वाला function यह 1.5 को अंदर भेज दिया करो 1.5 plus हो गया 1.5 plus का मरला 1.5 plus h और h को यहां पर टेक तो कर लो अब बताओ एच का मतलब क्या हो गया बहुत छोटी सी स्पॉल पॉजिटिव कॉंटिटी बान लो यह 1.5 से 1.2 जाएगा मगर ग्रेटेस्ट इंटीचर लगने के बाद तो वन ही हो जाएगा ना क्या L बराबर M आ गया अगर L बराबर M आया तो पहले स्टेटमेंट आप क्या दोगे एट कहां पर और इतना ही काफी नहीं अब आपको लिखना पड़ेगा लिमिट हम लोग कैलकुलेट कर रहे थे वैलू असल में कितना है तो ग्रेटेस्ट इंटीजर दिखें मॉडल दिखें कोई ऑप्शन आपके अलावा आप उसको एलेचल आरेचल स्ट्रेटिफाइड किया बना कर सकते हैं करना ही पड़ेगा एलेचल आरेचल फिर जाने अगला क्वेश्चन करें एक्स क्वेश्चन यह क्वेश्चन करो इसका अंसर बताओ यहां पर क्वेश्चन में उसने बोल प्रैक्शनल पार्ट ऑफ एक्स आपको यह करके बता देता हूं प्रैक्शनल पार्ट ऑफ एक्स माइनस एक्स इंटीजर फंक्शन आपको था फ्रैक्शनल पार्ट ऑफ इस क्वेश्चन को सॉल करते हैं तो भी ग्रेटेस्ट इंटीजर में कंवर्ट करी लेते हैं इसको एक एक्सटेंडिंग वन माइनस एक्स माइनस इस रिंटी आफ एक तो जाएगा लिमिट एक्सटेंडिंग तो आप देखो पूट कर देते हैं वन माइनस का मतलब हो गया वन माइनस वन माइनस लिख पार हो ना सभी लोग यह देखो यहां पर वन माइनस करना है तो वन माइनस का मतलब वन माइनस हो गया और अंदर भी वन माइनस करना मतलब वन माइनस है अब जरा सोच कर देखो जब आप एक टेंडिंग पर डालोगे जाएगा वन माइनस यहां पर जो आप एक टेंडिंग लोगे वन माइनस जीवर मतलब वन से चोटी सी क्वांटिटी यूज मतलब मानकर जो पॉइंट नाइन होगा वह पॉइंट नाइन का ग्रेटेस्ट इंटीजर कितना हो जाएगा तो विल्जर तो मजबार हैं आप सभी लोग वन माइनस एच के अंदर एच को छोटी से स्मॉल पॉजिटिव क्वांटिटी तो आप इसमें पॉइंट कर दो 0.111111 माइनस जो पॉइंट वन के पॉइंट ने ग्रेटेस्ट इंटीजर उसका जी रो मिल जाएगा अ यह मिल जाएगा आपको आइए जरा इसका आरेचल एक्सटेंट अ अ अ अ अ अ अ अ अ अ अ वन प्लस एक्स यह हो जाएगा एच एंड वन प्लस एच आइनर्स इटेस्ट इन ऑफ वैल्यू पोट कर दो वन प्लस आइनर्स अब देखो एच पॉजिटिव क्वांटिटी वन पॉइंट वन इमेजिन करो रेटेस्ट इंच उसका वन आगे जीरो एल की वैल्यू एंड के बराबर आई एक वैल्यू एंड के बराबर नहीं आई तो आप क्या बोलोगे अ एडिट नॉट एग्जार पर एडिट पाठ लिए रेटेस्ट इंटीजर फंक्शन या मॉड वाले क्वेश्चन सगर आते हैं आपको एलएचल आरेचल रखने के अलावा दूसरा कोई चारा नहीं अगले विशेष पर चले हाया नाम जवाब दीजिए जल्दी कि आज अगले सवाल पर चलो यह लो एक विशेष आपके लिए होमवर्क एक विशेष आपके लिए वो खर पर ट्राइड करके लाना एक्सटेंडिंग टो एंट्रोड पॉइंट फाइड वाला कि बाद वाले क्वेश्चन पर चलते हैं यह क्वेश्चन इसमें पहला कि अ कॉमन फैक्टर कैंसिलेशन के बाद डाइट सब्सक्राइब और तीसरा एलाईएफ टॉरी जीएफ और यह वाड़ वाला ओके चलो जरा इस क्वेश्चन को पहले मैं कर बाता हूं इसके बाद वाला क्वेश्चन आप ट्राइ करना देखो क्वेश्चन कैलकुलेशन करना स्टार्ट करेंगे तो जाएगा लिमिट एक्स्टेंडिंग तो अ कि माइनस पॉट इनवर्स लेटेस्ट इंटीजर पॉज यह वैल्यू हो जाएगी इमेट एच एंडिंग पॉट इनवर्स पॉज ऑफ तो माइनस पॉज माइनस थीटा के वैल्यू आप सभी को पता होती है जो जाएगा एच टेंड पॉट इनवर्स कि या फिर मैं यह आपको संपर्श को पास का ग्राफ हम सभी को पता होता है तक आपका ग्राफ ऐसे होता ना कि आपका ग्राफ करके देखिए जरूर वेल्यू है तो है वेल्यू है कि अब सिर्फ और सिर्फ इस पर फोकस करो इटेस्ट इंटीजर को थोड़ा भूल जाए फोकस आप जीरो माइनस एक जो माइनस एक तब क्यों गया तो कॉसेक्ट का फंक्शन है वहां पर वैल्यू कैल्टरेट करना चाहते हैं यह तो वह जीरो माइनस इस तरह मतलब द� अगर 0-8 तो यह तो यहां पर कहीं तो यह पर कहीं बोलो तो मैं यह बोल रहा हूं अभी ग्रेटेस्ट इंटीजर छोड़ो यह जो कॉस्ट और 0-8 आपको अंदर दिख रहा है क्या इसकी वैल्यू हमेशा जो भी आएगी अगर मैं देखो तो इस वैल्यू माइनेस पंके भी कि आप इसे बात में कर रहा हूं आप ऐसा मत सोचो कि हम लोग यहां पर किसी और फंक्शन की बात कर रहे हैं मैं आपको वापस समझ दो एक बार इस टाइप का क्वेश्चन पढ़ लो बाद फिर आप ऐसे पूछे तो हमेशा देखो डेटिस्ट इंटीजर के अंदर फंक्शन लिखा हुआ ना उसको देखने की कोशिश कर जो ब्रेटिस्ट इंटीजर के अंदर फंक्शन लिखा हुआ है उसकी वैल् अगर आप उसकी value एक बार exactly समझ गया है फिर उसके बाद उस पर greatest integer लगाना है तो अगर मुझसे कोई पूछता है cos of 0-h के बारे में आपका क्या ख्याल है तो मैं उसको यही बोलता है कि cos of 0-h के बारे में वाल्यू है वो 1 से तो कम ही है तो 0.9 के आप पास हम लोग उसको मान क के बराबर मिलती है नहीं मिलती है, greatest integer लगाने के बाद की मैं बात कर रहा हू तो दो चीजें हमेशा सोचना कि आगे ना application of derivative में भी same concept आपके सामने आएगा greatest integer जहां लगा हुआ उसको पहले भूल जाओ अंदर वाला जो function लिखा है पहले उसकी value देख लो उसकी value है क्या तो मेरी ख्याल से cos of 0-h value है वो 0.9 के असपास है और greatest integer अगर मैं लगा दू दो क्योंकि बराबर है आप सभी को पता है कॉट इनवर्स जीवर का मतलब क्या होता है भाई कितने लोगों को यह पर समझ में आ गया अच्छी तरीके से आया अब सिमिलर तरीके से एक बार आ रहे चल में भी इसको आपको मैं आरेचल में आपका हो जाएगा एक्स्टेंडिंग प्लस और इंवर्स फॉर आपका हो जाएगा यह वैल्यू आपको मिलेगा इस प्लस अब देखो यहां पर भी जो मैं बता रहा हूं वैसे लगा भूल जाते हैं थोड़े दिन को थोड़े दिन से निकाल देते हैं सिर्फ यह सोचते हैं कि आप जो का ग्राफ बनाया और जो प्लस था पर देखने की पोशिश की वैल्यू ऑब्जर्व करता तो मेरे आज जरूर पॉइंट नाइन के आसपास आती ना वन से थोड़ा सा कम आती और इसमें जैसे में ग्रेटेस्ट इंटीजर लगा दूंगा आप मुझे बताइए यह वैल्यू जो आपको यहां से दिख रही है और इन पर से आपको और इन पर यह जी अगर भी बाइट तो कि यहां पर इसकी वैल्यू एंड पराबर हुई अगर L की value M के बराबर हो गई, तो आप मुझे बताईए कि क्या आप ऐसा बोल रहे हैं, और वो limit है कितनी, आप बात समझ में, कि अगला क्वेश्चन करें तो बजे ना ग्रेटेस्ट इंटीजर हटा दो थोड़े देर के लिए अगला क्वेश्चन कर यहां ग्रेटेस्ट इंटीजर और लिमिट यहां पर जो उस यह x tending to pi by 2 वाली limit है, दो question और बचे हैं, दोनों question करते हैं, फिर आज का हमारा session complete होगा, यहाँ cos x का graph किसको नहीं बता होगा, क्या बात कर रहे हो, तो, कि आप नहीं पता आपको चाने एक्स हो गया कॉस एक्स हो गया वाइट एक्स प्लस यू वाइट इसका इक्वल इस क्वेश्चन को सॉल करते हैं ठीक है सबसे पहले यहां पर कैलकुल करते हैं एलएट आपको मिलेगा इमिट एक्स टेंडिंग पाइबाइट माइनस एन इन्वर्स ग्रेटेस्ट इंटर पर कि आप लिख सकते थे इस टेंडिंग टू तैन इंवर्स टेंडिंग टू टाइम इस अब आपको इसी कॉसेक्स फंक्शन की पाइ बाइ टू के अराउंड वैल्यूज चेक देखो अब सीमी चीज करना है बस इस बार आपका जो पॉइंट तो वह चेंज कि यह आपका बॉस एक्स और यह आपका एक्स आपका आई बाई तो ना तरह मुझे सुख से सोचकर बताना कॉमन सेंस से सोचकर बताना अभी मैं ग्रेटेस्ट इंटीजर को भूल जाता है पहले मैं इसकी बात करता हूं आई बाई टू माइनस एच का मतलब क्या हो गया यही तो थोड़ा सा पहले देखो तो होगा पाइ बाइ टू माइनस है, बोलो, ये जो पाइ बाइ टू माइनस है, ये वैल्यू, है तो 1 से 0 के बीच में, अगर ये वैल्यू 1 से 0 के बीच में है, तो मान लो थोड़े देर के लिए इसके वैल्यू 0.4 है, अगर ये वैल्यू 0.4 है, तो ग्रेटि इतना मुझे बताना है, मेरे कहांसे अब इस question में आपको जादा आसानी से सौन्चार होगा, अगर आपने पिछला question धन दिया हो तो, बात समझ में आ रही है, मैं क्या बोल रहा हूँ, cos pi by 2 minus h की बस value judge कर लो, cos x का graph बना है, pi by 2 minus h इसके पीछे आ गए, ये value देखी, ये value जाह पूरा का पूरा फंक्शन है अगर माने तो आ जाएगा टिमिलर तरीके से पर आर एक वेरी पॉटन पर एक वेशन आपके टीट में प्रोशन्स बन सकते हैं लिमिट से डायरेट क्वेश्चन बट एंटिन उपाद आपको अटका देगा एंटिन उपाद कि आप चलेगा नहीं आप लेता है पढ़ा दो पढ़ा दो पढ़ा दो पढ़ा दो पाई बाई टू प्लस एच पे जरा वैल्यू बताईए अब पाई बाई टू प्लस एच पे क्या हमें ये वाली वैल्यू कैलक्वेट करने देखिए ये जो भी वैल्यू है क्या है तो माइनस वन से लेता हूं अगर मैं इस लेता हूं लेने के बाद यह वैल्यू एंड फॉर्स इन लोग ऐसे जो समझ पा रहे हैं greatest integer के अंदर जो function लिखा हुआ है, बस उसी को observe करना है, पहले greatest integer को हटा देते हैं, यही देखते हैं, कि cos of pi by 2 plus h की value कितना है, graph बना हुआ है, pi by 2 plus h आप जाओगे, तो थोड़ा सा आपको pi by 2 के आगे निकलना पड़ेगा, pi by 2 plus h पे, वो minus 1, कोई भी random value choose कर लो, minus 1 से 0 के बीच के, मालो minus 0.5 ले लेते हो, greatest integer लगाते ही value क्या हो जाएगा, greatest integer लगाते ही value minus 1 हो जाएगी, tan verse minus 1 के बीच के बाद, तो देखो क्या यहां पर एलोरेम एक दूसरे के बराबर आ रहे हैं अगर एलोरेम बराबर नहीं आ रहे तो आप इसको चलिए लिखोगे इस पर कहां पर एक दूसरे बात समझ में ठीक है बहुत सिंपल है यार बस आपको थोड़ा सा इसमें लॉजिक लगाना आना चाहिए तो एक मॉड का भी क्वेश्चन कर लेते हैं कि हमारा आज का आखरी सबस्क्राइब तो बताओ मॉड दिखते ही कि आपको समझ में आ जाएगा हमें एलएचल और आरेचल वाला कंसेप्ट लेचेल के लिए x tending to 0 minus x minus times mod x divided by 7 mod x plus 5x जाएगा limit h tending to 0 to minus 2 times to minus mod divided by times to minus h 5 of to minus वैल्यू हो जाएगी इस पेंडिंग इस आइनेस टू अरे एक तो कोई छोटी सी पॉजिटिव क्वांटिटी है आप उसका मॉड अगर लेंगे तो मॉड लेने के बाद यह बचेगा एक छोटी सी पॉजिटिव क्वांटिटी में पॉइंट वन मांट माइनस पॉइंट वन का मॉड 0.1 हो जाएगा बचेगा नहीं बचे जाएगा आपका माइनस राइन ठीक है अ आप चल कैलकरेट कर दो वाले तो और आसान होगा एक्स माइनस एक्स 2 plus h 5 of h minus 2 minus 1 by पर कि इस टाइप की क्वेश्चन को कैसे अपरोच करना चाहिए, अगर इतनी बातों में clarity है तो हाँ या नामे एक बार जवाब दीजे, साथ के साथ आज की पूरी class अच्छे से revise करके आना कल की class में, कल से आपका L hospital सो एगरा start हो जाएगा, L hospital में भी मैं आपको bifurcation करके दिखा कल limit वाले concept को अच्छे से खतम करते हैं, फिर continuity, differentiability, सारे बहुत interesting हैं, सब में मैं आपको problem solving approach बताऊंगा, कि आपको exam में question कैसे जाके crack करना है, यही हमारे लिए सबस्ताद important है, thank you so much everyone, मिलते हैं फिर हम लोग आज रात में 10 बजे और कल फिर 4.

Transcript for:कैलकुलस और डेरिवेटिव की व्याख्या

Transcript for:
कैलकुलस और डेरिवेटिव की व्याख्या