Własności funkcji - Podstawy

Wprowadzenie do zagadnień

• Własności funkcji: miejsca zerowe, dziedzina, zbiór wartości
• Monotoniczność: kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje
• Wartości dodatnie i ujemne
• Funkcje różnowartościowe, parzyste, nieparzyste (rozszerzenie)

Dziedzina funkcji

• Oznaczenie dziedziny: ( D ) lub ( D_f )
• Dziedzina to zbiór wszystkich x, które pojawiają się na wykresie
• Metoda odczytywania dziedziny: rzutowanie wykresu na oś x

Zbiór wartości

• Zbiór wartości to zbiór wszystkich y, które pojawiają się na wykresie
• Oznaczenia: ( ZW ) lub ( ZW_f )
• Metoda odczytywania: rzutowanie na oś y

Miejsca zerowe

• Punkt, gdzie funkcja przecina oś x
• Zapisywanie miejsc zerowych: ( f(x) = 0 ) dla ( x \in { ... } )

Wartości największe i najmniejsze

• Wartość największa ( y_{max} )
• Wartość najmniejsza ( y_{min} )
• Jeżeli nie można określić, to „nie istnieje”

Monotoniczność funkcji

• Funkcja rosnąca, malejąca, stała
• Definicje i przedziały monotoniczności
• Nie używamy sum, chyba że funkcja jest globalnie monotoniczna

Wartości dodatnie i ujemne

• ( f(x) > 0 ) lub ( f(x) < 0 )
• Odczytywane na podstawie położenia wykresu względem osi x

Punkty przecięcia z osiami

• Punkty przecięcia z osią x (( OX )) i osią y (( OY ))

Rozszerzenie: Funkcje różnowartościowe, parzyste, nieparzyste

• Funkcja różnowartościowa: każdy x ma inny y
• Funkcja parzysta: symetria względem osi y
• Funkcja nieparzysta: środek symetrii w punkcie (0,0)

Przykłady i ćwiczenia

Przykład własności funkcji G

1. Dziedzina: odczytana z wykresu, uwzględniając rzutowanie
2. Zbiór wartości: uwzględnia wszystkie y, które wykres obejmuje
3. Miejsca zerowe: gdzie wykres przecina oś x
4. Największa i najmniejsza wartość: odczytana z osi y
5. Monotoniczność: przedziały, gdzie funkcja rośnie, maleje, jest stała
6. Wartości dodatnie i ujemne: określone przez położenie względem osi x
7. Punkty przecięcia z osiami: współrzędne punktów przecięcia
8. Rozszerzenie: analiza parzystości i różnowartościowości

Przykłady: Funkcje monotoniczne i nieparzyste

• Analiza funkcji rosnącej
• Funkcja jako przykład nieparzystej

Zadanie końcowe

• Odczytanie zbioru wartości i parzystości z narysowanego wykresu

Podsumowanie

• Dyskusja nad własnościami funkcji, pytania i dodatkowe przykłady
• Kluczowe pojęcia: x to argumenty (odcięte), y to wartości (rzędne)