Cześć, z tej strony Artur. Dzisiaj zrobimy sobie wszystko o własnościach funkcji, czyli... Miejsca zerowe, dziedzina zbiór wartości. Powiemy sobie również o monotoniczności.
Kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje. Kiedy wartości są dodatnie, a kiedy... Ujemne x argumenty Jak wolisz Odcięte Y to wartości A inaczej że we Są też funkcje Różnowartościowe Parzyste nieparzyste Ale to na rozszerzenie się dowiesz No dobrze, to może chociaż dzisiaj zapamiętacie, czym są x i czym y. Może. Dajcie znać w komentarzu, czy się podobało, czy nie.
Mogłem się troszkę wyżyć artystycznie przy okazji dzisiaj. Co się dzieje? Więc własności funkcji.
Mamy taką funkcję f od x, którą tutaj wam narysowałem. Nasza niebieska funkcja. I zrobimy sobie na tym przykładzie, no, wszystkie takie własności podstawowe funkcji, właśnie jakie musicie umieć odczytywać z wykresu.
Pierwsza sprawa, od której trzeba sobie zacząć, jeśli chodzi o odczytywanie własności, to jest dziedzina funkcji. Dziedzinę oznaczamy albo dużą literką D, albo ewentualnie dużą literką D, D jak dziedzina, z zindeksowaną nazwą funkcji. Czyli jeżeli to jest funkcja...
funkcja f, bo ta f to oznacza, że ona się nazywa f, tak? Ma na imię f, można powiedzieć. No to jeżeli chcemy być bardzo precyzyjni, to możemy tutaj zindeksować też f, czyli dziedzina funkcji f.
To mamy wtedy na myśli. Jeżeli w zadaniu jest tylko jedna funkcja, to można sobie spokojnie po prostu dezostawić. Jeżeli kilka funkcji naraz, f, g, h, coś tam, coś tam, no to bardziej polecam ten zapis, będzie bardziej jednoznaczny, o której funkcji mówicie.
Dobra, i czym jest dziedzina funkcji? Dziedzina funkcji mówi nam o tym, jakie x pojawiają się na wykresie naszej funkcji, czyli innymi słowy... Są to takie liczby, które się pojawiają jako pierwsza spórzędna wszystkich punktów, które należą do tego wykresu funkcji, czyli wszystkich tych, wszystkich tych.
Jakie to są x? X są na osi poziomej. I żeby coś takiego zrobić, to my musimy, można powiedzieć, ten nasz wykres spłaszczyć, sprasować na oś x, czyli wziąć i zrzutować wszystkie punkty na naszą oś poziomą. Czyli jak ten punkcik zrzutujemy pionowo na oś, no to teoretycznie ten punkt jest niezamalowany, więc on...
ten nie należy, więc również tu się pojawi takie kółeczko. Natomiast teraz te punkty, te wszystkie punkciki tutaj, jakie zrzutujemy tutaj na oś naszą poziomą, no to tu się zrobi taka kreska. No to te wszystkie punkty się tu pojawią.
I teraz te punkty, które są tutaj na wykresie, wszystkie jak zrzutujemy tym razem w dół, sprasujemy to żelazkiem od góry na dół na oś x-ową. No. No to to będzie cały czas tak, tak, tak, aż do tego momentu, bo to też tu rzutujemy przecież.
Ten punkt nie należał, więc nie należy. Natomiast zauważcie, że ten punkt jak go zrzucimy, zrzucimy go w dół, no to on się nam tu pojawi. Czyli idealnie się tutaj tak zazębnią można.
na powiedzieć te nasze wykresy. Ja to zaraz zmienię kolejność warstw, żebyście widzieli na pewno o co chodzi. Czyli my tu tak naprawdę nie musimy żadnego kółeczka robić, tylko możemy to pociągnąć dalej, ze względu na to, że te dwa punkty się ze sobą zazębiają.
Od lewej strony nie należy, ale od prawej już należy. No i rzutujemy, rzutujemy, rzutujemy, rzutujemy, rzutujemy. Dotąd tego punktu nie ma, więc tego X-a też nie będzie, tak? No teoretycznie no jak, nie zrzutujemy tego punktu, bo go tu nie ma.
Lecimy, lecimy, lecimy. Ten punkt też, tak? Bo te to zrzucamy, te wszystkie punkty stąd zrzucamy tu na na dół.
Natomiast tego punktu nie ma, więc tu też zaznaczymy, że go nie ma. No i tu zauważcie, jest nagle taka linia o tutaj, na tej szerokości, że w ogóle nie ma nigdzie wykresu naszej funkcji. No to czyli tutaj też nie będzie x-ów, które tworzą ten wykres funkcji, także tu mamy przerwę i dopiero od tego punktu zaczniemy.
Co prawda on nie należy, no ale trzeba to też zaznaczyć i lecimy, lecimy aż dotąd. I to byśmy mogli tak w ten sposób sobie tak graficznie, czasami niektórzy tak wiem, że z was robią, graficznie byśmy mogli sobie oznaczyć tą naszą dziedzinę. I w takiej sytuacji odczytujemy, jakie to są x. No, fajnie by było sobie tutaj napisać, jakie x to było minus 6, to tu będzie minus 7. Tutaj będzie 2. Tu będzie 3. Tu będzie 4. 5, 6, 7. Tak, żeby nam było łatwiej to odczytać.
No to odczytujemy. Od minus 7 przedział otwarty, bo kółko niezamalowane. Jeżeli ktoś z was ma problemy z przedziałami, to tu trzymajcie link do mojego wcześniejszego materiału. Czyli od minus 7 przedział otwarty do... Dwójki, przedział otwarty, polecam średniki, a nie przecinki.
Suma, tak, bo tutaj jest przerwa. No można by było wyrzucić tą dwójkę, odjąć jako zbiór, ale możemy też przerwać i jako sumę znowu zrobić od dwójki otwartej, bo dwójka nie należy. aż do czwórki, przedział otwarty i potem znowu suma, jeszcze ten kawałek jest do dodania, od piątki do siódemki, piątka otwarta, siódemka domknięta. O, może tak bardziej, żeby było widać najpierw wykres. Tak, to jeszcze raz, żebyśmy sobie to opowiedzieli.
My ten wykres rzutujemy, to co jest na górze w dół, a to co jest na dole w górę. I jak my to ładnie sobie zrzutujemy, to to wyląduje idealnie na tej naszej żółtej dziedzinie. Muszę grafika zatrudnić, bo nie umiem tego zrobić jakoś sprawniej. No dobrze, kolejna rzecz to jest zbiór wartości.
Y to wartości, a inaczej rzędne. Czyli jeżeli zbiór wartości to zbiór Y, czyli innymi słowy robimy dokładnie to samo, tylko tym razem z Y tych punktów, czyli my się zastanawiamy jakie Y tworzą, pojawiają się innymi słowy na wykresie naszej funkcji. Jeżeli chodzi o zapis zbioru wartości, również mamy kilka rodzajów zapisywania zbioru wartości.
Możemy zrobić to od pierwszych liter tej nazwy, czyli jeżeli zbiór wartości. wartości to możemy zrobić z w o może też być z w f żeby podkreślić że to jest funkcję f na przykład nie ma problemu natomiast jeszcze taka inna metoda która też się pojawia to czasami możemy zrobić że to jest f od d czy innymi słowy wartość funkcji dla całej dziedziny tak to byśmy rozumieli jakby to było g od x to to byśmy mieli g od d tak w ten sposób byśmy to wtedy zmienili natomiast ja zazwyczaj też używam z w łatwo zapamiętać zbiór wartości po prostu no dobra to już wytrwała się No i teraz zastanówmy się jak to teraz działa jeżeli robicie zbiór wartości, to wyobrażacie sobie, że ten cały wykres, jaki tam macie, to spłaszczacie na oś Y, czyli można powiedzieć rzutujecie wszystkie punkty na tą oś naszą pionową. Czyli ten punkcik zrzutujemy tutaj, tak? Wszystko, co jest na lewo rzutujemy w tą, co jest na prawo rzutujemy w tą i wszystko ma się nam pojawić tutaj ładnie na tej osi pionowej naszej.
No dobra, no to to, jak zrzutujemy, ten punkt nie należy, no ale on się tu pojawi i teraz ten punkt, wszystko leci tutaj na tą oś, tak? To będzie w ten sposób wyglądać. Tak samo teraz tak, ten punkt teoretycznie nie należy, więc tu by było otwarte, natomiast zauważcie, że tutaj i tutaj te dwa punkty, jak zrzutujemy sobie, polecą one na tą oś Y w poziomie idealnie, no to one spowodują, że to się nam zamaluje.
W zbiorze wartości, żeby Y należał do zbioru wartości, to wystarczy jeden, jeden punkcik, który ma daną wartość, czyli w tej sytuacji. Jeszcze raz, żebyśmy sobie to omówili. Ten punkt ma współrzędne minus 3,0, ale jego nie ma, bo jest kółko niezamalowane, więc 0 teoretycznie nie należy.
Natomiast ten punkt ma y równego 0 i ten jeszcze dodatkowo, więc jeżeli chociaż jeden ma, to nie ma problemu, nie robimy dziury w tym zbiorze wartości. Ok, czyli tu nie ma problemu, lecimy, lecimy, to wszystko się, to i to się, no one się tutaj dublują te punkty, ale to nie jest problem, tak samo to tutaj nam poleci. Tutaj lecą, tutaj lecą, tutaj lecą, więc to w ogóle się tutaj na pewno będzie pokrywać. Natomiast teraz jest pytanie, co w tym miejscu?
No bo tak, ten punkt nie należy, więc teoretycznie tutaj byśmy zrobili tak. Natomiast tu mamy w tym miejscu i w tym miejscu nieskończoną ilość punktów, które mają akurat wartość. To będzie 3 akurat, tak?
Czyli, tak jak mówiliśmy, wystarczy jeden punkt, który ma danego Y, żeby rzeczywiście dorzucić to do zbioru wartości. Czyli tu będzie przedział zamalowany. Teraz zauważcie, znowu jest paseczek.
A tu jest taki paseczek tym razem o poziomy, gdzie nie ma tu przecież nigdzie wykresu. Więc również w zbiorze wartości trzeba to wzgęścić. Zgadnijmy, że tych Y na tym pionie, można powiedzieć, na tym kawałku odtąd dotąd nie ma.
Tak? No bo nie ma tu żadnych, w tym paseczku nie ma nigdzie wykresu, więc nie ma żadnych punktów, które danego Y mają. Więc dopiero od tego miejsca, jeżeli punkt nie ma żadnego oznaczenia, no to wiadomo, że ten punkt należy, więc tutaj zrobimy sobie kółko zamalowane, lecimy do góry, lecimy do góry, to rzutujemy, to rzutujemy, to rzutujemy. Później od prawej rzutujemy, rzutujemy, rzutujemy.
No i tu znowu jest sytuacja, te dwa punkty niby nie należą, ale tu mamy nieskończoną ilość punktów pomiędzy... pomiędzy tymi punktami, które mają danego Y. Czyli w takim razie musimy to domalować.
Dobra, zrobię porządek na czysto już trochę. Czyli i tak byśmy to na czysto narysowali, zrzutowany ten wykres na oś pojonową, czyli Y, czyli rzędną. No i teraz trzeba to zapisać też.
Polecam sobie tutaj te Y opanować. No to tu będzie minus 3, tu będzie 3, tu będzie 4, 5, 6. No żeby łatwiej się odczytywało. Czyli nasz zbiór wartości to będzie od minus trójki otwartej do trójki domkniętej.
Suma, tak, bo lecimy od dołu do góry. Pamiętajcie, tak jak wam pokazują groty strzałek. One właśnie po to są, żeby wiedzieć w jaki sposób macie patrzeć na te osie i w jakiej kolejności odczytywać. Zawsze od mniejszej do większej oczywiście.
Czyli minus 3 do 3, później mamy jeszcze ten fragment od 4 do 6, czyli suma od 4 do 5 do 6 do 5. Polecam średniki, żeby tu było wszystko ładnie. No dobrze, tak, dziedzinę zbiór wartości mamy załatwione, no to myślę, że teraz możemy sobie powiedzieć o miejscach zerowych funkcji. O! Miejsce zer...
To są takie xy, dla których y, czyli wartość, jest równa 0. Czyli innymi słowy, zauważcie, że na przykład jakbym sobie wziął taki punkcik tutaj, to jakie on ma współrzędne? Najpierw x, później y, czyli tu jest 1, 2, 3. czyli on ma punkt, on ma służenne 3, a ponieważ tu jest y, no to na y, jeśli chodzi o w pionie, no to ma służenną 0, 3, 0. I jeżeli byśmy chcieli powiedzieć miejsce zerowe, no to to był sam ten, ta trójka, tak? Tylko to mają być takie p... punkty, takie x, które należą do naszego wykresu funkcji, tak?
Także no ten nas nie interesuje. Innymi słowy można powiedzieć, że to są takie x, dla których wykres funkcji przecina się z osią x po prostu, tak? Z tą naszą poziomą prostą, prostą odciętą.
Czyli, jakie miejsca są właśnie przecięcia? No pierwsze miejsce zerowe to by było, to by było to tutaj. Ile tu mamy?
No minus 5, to tu jest minus 6. Kolejne miejsce, gdzie byśmy się mogli pozastanawiać, czy tam nie jest czasem miejsce zerowe, to by było to miejsce, natomiast ponieważ ten punkt jest nieistotny. niezamalowany, więc oznacza, że nie należy do wykresu funkcji, więc również to nasze minus 3 nas nie interesuje w tym przypadku. No dobra, to gdzie jeszcze? No gdzie jeszcze?
No jeszcze tu, jeszcze tu mamy punkcik i on jest zamalowany, czyli tutaj byśmy mieli na x, tam jest 5, 6, no to tu będzie 7, czyli to również będzie miejsce zerowe i to też będzie miejsce zerowe, natomiast to już miejscem zerowym nie jest, bo punkt niezamalowany. No i teraz jak to zapisywać? No jest dużo szkół na miejsca zerowe, no tak najbardziej profesjonalnie jakbyśmy mogli to zrobić, to napisać, że nasze Nasza funkcja f od x przyjmuje wartości równe 0 wtedy i tylko wtedy, gdy, bądź też można napisać dla, też będzie dobrze.
x należy i w klamerce wypisać, jakie te x tutaj są. No co, no minus 6 i 7. To by było tak super ekstra profesjonalnie. Natomiast jeszcze inne metody, no niektórzy piszą mz, tak? I po dwukropku wypisują, że minus 6 i 7 na przykład. Niektórzy piszą po prostu x 0 jako x, dla którego y jest równe 0. równy 0. Tak też się często oznacza miejsca zerowe i po prostu minus 6 i 7 już jakby bez tej całej zabawy.
O, bez tego, tak? No można też tak. Można po prostu po dwukropku, można napisać słownie miejsca zerowe. Natomiast tak jak ja polecam najbardziej, żeby na pewno nikt nie miał wątpliwości, co wy macie na myśli, to jak napiszecie coś takiego, to jak napiszecie coś takiego, to będzie super, hiper, ekstra profesjonalnie bym powiedział. Oczywiście, znowu, gdyby to była funkcja g, no to tu byśmy napisali g od x, równy 0. 0, tak?
Tu pilnujcie tej nazwy funkcji, żeby to się zgadzało ewentualnie. No dobra, miejsca zerowe za nami, no to co dalej? No to teraz możemy sobie powiedzieć o maksymalnej wartości funkcji i minimalnej wartości funkcji. O! Maksymalna, czyli inaczej największa, no już zróbmy może bardziej tak po polsku, bo bardziej chyba częściej macie, że największa, no największa maksymalna.
Ja już tutaj po prostu skrótem zaczynam lecieć. Największa wartość. Pamiętacie, że Y to wartości.
Więc jeżeli pamiętacie, to w takim razie, no mówimy o Y, czyli no tej osi pionowej. czyli największy, czyli tam ten najbardziej na górze, tak? No i teraz jaki jest najwyższy Y? No zauważcie, że tak naprawdę byśmy się nad tą szóstką tu pozastanawiali, nie?
Tylko tak, w tych miejscach jej nie ma, ale tutaj jest dużo punktów, które mają tą szósteczkę, tak? Nieskończenie wiele nawet bym powiedział, więc tak, maksymalna wartość będzie równa 6. I teraz jak to zapisać znowu? Możemy napisać, no to już kilka też jest opcji, ale żebyśmy sobie to rzeczywiście tutaj wszystko omówili, z czym możecie mieć do czynienia, no zazwyczaj piszemy Y z windek... tekst dolny max, no to y to wartość max, że maksymalna.
No ma sens. Niektórzy wolą jako f, czyli f max też tak można napisać. Tak, jeżeli oczywiście funkcja się nazywa f, a nie jakaś inna. No i piszemy wtedy, że jest równa ile? No jest równa u nas 6, tak?
No bo tu jest ta szósteczka, o. Natomiast dobrze jest też napisać dla jakiego x, jeżeli jest w poleceniu napisz jaka jest największa wartość i dla jakich argumentów. To w takiej sytuacji dobrze to zrobić, czyli wtedy...
wtedy i tylko wtedy, gdy x, no i teraz tak, jeżeli to jest w jednym miejscu, no to napiszemy równa się, natomiast zauważcie, że my tą szósteczkę to mamy odtąd dotąd, czyli dla jakich x-ów? Od tego x, który jest równy 2 i tu aż dotąd, aż do czwóreczki, tylko no bez dwójki i czwórki, tak? To będą przedziały otwarte, bo dla tych punktów nie, ale od dwójki do czwórki mamy tą szóstkę, tak? Czyli to trzeba by było w ten sposób zapisać, że x należy od dwójki do czwórki. O, tak byśmy to zapisali, okej?
No i tak robimy wartość największą. Duża podpowiedź, jak już zrobiliście zbiór wartości, no to zbiór wartości, no to największa to będzie ta największa ze zbioru wartości. Innej opcji nie ma, jeżeli to się nie będzie zgadzać, czyli ta liczba tu z tą, o ile ten przedział jest domknięty, to tak a propos zaraz sobie powiemy o innej sytuacji, to to musi być wartość największa.
Nie ma innej opcji. Skoro mieliśmy największą wartość, to możemy też mieć najmniejszą wartość. Zapisujemy to analogicznie, możemy napisać, że nasz y minimalna, czyli min, albo fmin, tak też można napisać. napisać.
O, jest Równa. No i teraz ile wynosi wartość najmniejsza w tym zadaniu naszym, co? No teoretycznie Y, który jest najbardziej na dole, czyli najmniejszy Y jaki jest, no to byśmy tutaj patrzyli, że to będzie to.
To by było niby minus 3. Ale jest problem. Jest problem, bo ten punkt przecież jest niezamalowany, czyli on nie należy, nie należy do naszego wykresu. Jego tam nie ma.
No to teoretycznie tu taki trochę wyżej, tak? Trochę wyżej. Czyli jakieś tam minus 2 i 9, 9, 7 na przykład. No tak, ale to nie możemy powiedzieć, że to jest najmniejsza wartość, bo zawsze możemy sobie zrobić minus 2, 9, 9, 8. A jeszcze tu coś dorzucić. Jest problem.
Nie jesteśmy w stanie stwierdzić tak jednoznacznie jako jedną liczbą, jaka to jest wartość. Wiemy, że to będzie wartość bliska minus 3 troszkę większa. Jeżeli, jeśli chodzi o największe wartości i najmniejsze wartości, jest taki punkt problematyczny, bym powiedział, czyli że wy nie jesteście w stanie napisać konkretnej liczby, tylko że jakaś bliska albo bardzo duża, bardzo mała, czyli na przykład jakby... ten wykres leciał też po prostu nieskończenie w dół, czyli wartość by była, no minus nieskończona można powiedzieć, jeśli chodzi o najmniejszą, to jeżeli nie jesteście w stanie stwierdzić tak konkretnie jaka to jest liczba, to po prostu piszemy, że nie istnieje coś takiego.
Nie istnieje wartość najmniejsza. O, takie coś. No dobra, tak gdyby ten wykres się tu nie kończył, tylko byłby tak, leciał tam dalej w dół, to również y by nie był najmniejszy, tylko tu by się zmieniła dziedzina, bo dziedzina by była wtedy, no nie od minus 7, tylko od minus nieskończoności, a zbiór wartości byłby od minus nieskończoności, tak?
Taka by była różnica wtedy też. Natomiast ogólnie również wartości najmniejszej by nie było. No dobra, ale to nadal nie koniec, jeśli chodzi o nasze własności funkcji. Teraz się weźmy za monotoniczność funkcji.
No dobra, no to monotoniczność. No to pierwsza sprawa, czy ta funkcja jest monotoniczna? No nie jest.
Dlaczego? Bo tu sobie rośnie, później jest stała, później maleje, tutaj maleje, rośnie, jest... stała maleje.
Więc jeżeli rzeczywiście to nie jest takie ujednolicone, to możemy napisać od razu komentarz, że ta funkcja nie jest monotoniczna. Funkcja nie jest monotoniczna, o. Natomiast to, że nie jest monotoniczna, to niestety nie jest koniec tej roboty, bo musimy się teraz zastanowić, kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje. Czyli powiedzieć sobie o tak zwanych przedziałach monotoniczności w takim razie. Czyli przedziały monotoniczności nam mówią, okej, ona nie jest cała monotoniczna, ale dla jakich x jest rosnąca, dla jakich jest stała, a dla jakich jest malejąca.
No i teraz, żeby to... w jakiś sposób zapisać. Zacznijmy od funkcji rosnącej.
Funkcja rosnącą możemy oznaczyć taką symbolą, że nasze F jest rosnąca, czyli taka strzałeczka. Idąc w prawo idziemy do góry. I możemy napisać dla, albo wtedy i tylko wtedy, gdy, jeżeli chcemy być profesjonalni. Zrobimy wtedy i tylko wtedy, gdy. Nasz X należy.
No i teraz zastanówmy się, gdzie ta funkcja jest rosnąca. Rosnąca? No to tu będzie odtąd dotąd rosnąca.
Później będzie stała, to nie. Tu później, tu będzie rosnąca jeszcze. No i w sumie tyle. No i trzeba teraz te x odczytać.
Jakie tu są x? Minus 5, minus 6, to tu będzie minus 7, czyli ten x będzie należał od minus 7 do minus 5. I teraz ten punkt, on tutaj należy. I teraz według definicji monotoniczności... Teoretycznie ten x spełnia definicję funkcji rosnącej Więc teoretycznie minus 5 domykamy Ogólnie w monotoniczności te punkty, takie przejścia Tak jak tu macie nagle, że zaczyna być stała, później malejąca To te x dorzucamy do obu przedziałów Czyli do obu sytuacji, w obu sytuacjach domykamy Otwieramy wtedy, kiedy ewidentnie dany punkt Po prostu nie należy do wykresu funkcji I teraz tutaj jest jeszcze ta funkcja rosnąca Tu będzie minus 2, tu będzie 2 I teraz uwaga, na spokojnie Bo to jest To jest miejsce, gdzie często się popełnia błędy i nawet mi się kiedyś tam zdarzało odruchowo popełniać błąd.
Akurat w tej sytuacji by to nie był błąd, ale to zaraz sobie powiem dlaczego dokładnie. Bo jeżeli mówimy o monotoniczności i użyjecie teraz symbolu sumy, to wtedy macie na myśli, że ta funkcja jest rosnąca, ale patrząc tak sumarycznie na te przedziały. Ja akurat w tej sytuacji jest okej, ponieważ zarówno jak wybiorę sobie dowolnego x-a stąd i stąd, to zawsze mi wartość urośnie. No to akurat tutaj mógłbym zrobić sumę, natomiast i tak raczej nie polecam robić symbolu sumy, tylko robić jakiś średnik bądź napisać i na przykład. Czyli x należy od minus 7 do minus 5 oraz x będzie należał, czy tam możemy ograć, ok, ten przedział zrobić od razu, od minus 2, no minus 2 będzie należeć, bo to jest kraniec tego przedziału, więc domykamy zawsze, tak jak mówiłem, do dwójki otwartej, ale to ze względu na to, że ten punkt tu nie należał.
Dobra, zaraz sobie jeszcze wrócimy do tego, do tej sytuacji, ale to przy kolejnej rodzaju monotoniczności. Kolejna sprawa to jak funkcja rośnie, to może też być malejąca i funkcja jest malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy x będzie należał. No i gdzie jest funkcja malejąca? No tu jest malejąca.
I tu jest malejąca, nie? A, i tu jeszcze jest malejąca. O, o i tutaj jest już bardzo to istotne.
No zaraz sobie powiemy dlaczego. Dobra, to i dla jakich x-ów? Tu będzie, jak tam było minus 5, to tu jest minus 4, czyli od minus 4 do minus 3. Czyli minus 4 była taka, jakby i tu i tu należy ten punkt, czyli od minus 4 domkniętej aż do...
minus trójki. Otwartej. No i teraz właśnie.
Później jeszcze jest malująca przecież tutaj, czyli teoretycznie od minus trzech do minus dwóch. I jeszcze minus trójka jest domknięta, nie? W sensie, bo tu jest punkt należy.
To czemu my nie możemy zrobić tego w ten sposób, że no nie do minus trzech, tylko w ogóle od razu do minus dwóch. Możemy? No nie możemy właśnie zrobić, bo chodzi o to, że ona jest malująca, ale ona nie jest malująca jakby patrząc na te dwa przedziały naraz, na tego x, tak?
Bo żeby funkcja była malująca, w danym przedziale, to wybieracie sobie dwa dowolne punkty i zawsze ten punkt na prawo bardziej, musiała się obniżyć jego wartość. A jak ja bym sobie wybrał ten punkt i ten... to przecież mi funkcja urosła, poszła do góry, ten punkt poszedł do góry, tak jakby ta funkcja urosła, więc ona tu nie jest malejąca, więc ona nie jest malejąca w takim przedziale od minus 4 do 2, tylko ona jest osobno malejąca od minus 4 do minus 3, tak, bo tutaj wszystkie punkty rzeczywiście obniżają wartości idąc w prawą stronę i osobno jest malejąca od minus 3 do minus 2, tak, bo tu też na tym kawałku idąc w prawą stronę lecimy w dół, dlatego nie możemy tego robić, nie możemy tego zsumować, czyli dlatego też nie zsumowaliśmy.
Wsumujemy tych przedziałów tylko inaczej to zapisujemy średnikiem i przecinkiem. Będzie OK. Czyli od minus 4 do minus 3. Przedział otwarty, tak, bo tutaj jest otwarty. Średnik. I teraz kolejny przedział, gdzie ta funkcja jest jakby osobno malejąca, od minus 3 i minus 3 już jest domknięta, tak?
Bo ten punkt przecież należy, aż do minus 2 też domkniętej, bo przedział jakby tutaj jest, ten punkt należy, nie? No i jeszcze jest tu malejąca, no to tu również kolejny średnik. Tu jest 5, tu jest 6, to będzie od 6 do 7 i 6 należy i 7 należy, cyk, w ten sposób.
I dlatego to, o czym mówiłem, może teraz sobie wrócimy do tej sytuacji właśnie przy funkcji rosnącej. Na upartego mógłbym akurat tutaj zrobić sumę, czyli potraktować to całościowo, bo zauważcie, że jakie bym dowolne punkty na tych dwóch kawałkach nie wybrał, to zawsze mi rzeczywiście wartość urośnie. Weźmy ten i weźmy ten, to mi też tu funkcja urosła, nie? Poleciała wartość do góry. Natomiast to jest akurat taki specyficzny przypadek, gdzie można by to z symbolem sumy zrobić.
Natomiast i tak ogólnie polecam, jeżeli to nie jest to stały kawałek, tylko po kawałku, to jak najbardziej można po prostu zapamiętać na stałe, że będzie średnik. Nikt się tutaj raczej was tu za taki zapis nie będzie czepiać. To jest dość specyficzna sytuacja. Nie ma raczej problemu. No i jeszcze mamy jeden rodzaj funkcji i jeszcze może być funkcja stała.
Czyli funkcja stała z taką kreseczką poziomą. Wtedy i tylko. wtedy, gdy x należy i stała jest tu, i stała jest tu, i stała jest tu.
No to tutaj już ewidentnie nie można tego z sumą zrobić, no bo przecież żeby ona była, przecież tutaj na przykład wezmę punkt stąd i stąd, to mi przecież y urósł, czyli jakby funkcja się zrobiła rosnąca, a nie stała, nie? Czyli tak nie możemy zrobić. Czyli x należy, to będzie od minus 5 też domkniętej, do minus 4 też domkniętej, tak? Skrajne x domykamy tu i tu. No i później od 2 do 4, tu były kółka nie zamalowane, to ze względu na to, że po prostu te punkty nie należą do wykresu, czyli średnik od 2 otwartej do 4 otwartej.
No i teraz jeszcze ten kawałek. To tu mamy od piątki otwartej, bo punkt nie należy, do szóstki już domkniętej. O, mamy załatwioną monotoniczność funkcji. Tu jeszcze poprawię, tak, mówię, tutaj można by było wyjątkowo zrobić sumę, ale róbcie te średniki, będzie bezpiecznie, przynajmniej wam niechcący tam źle nie wyjdzie, okej? Monotoniczność to jest taka wyjątkowa sprawa, gdzie rzeczywiście nie używamy symbolu sumy z przedziałów.
Dobra, no i teraz jeszcze należy tutaj robić takie różne rzeczy typu kiedy wartości są dodatnie, a kiedy ujemne, czyli innymi słowy y, tak? No to zróbmy sobie teraz wartości dodatnie. Jak to możemy zapisać?
Możemy zapisać y, możemy zapisać f od x. załóżmy, niech będzie f od x, jest większy od zera wtedy i tylko wtedy, gdy. Tak można to zapisać profesjonalnie, bym powiedział. Czyli nad czym my się zastanawiamy?
Y dodatnie, czyli wszystko te punkty, które są w tej górnej części układu. układów współrzędnych, te wszystkie punkciki mają Y jakieś dodatnie. Tu jest na przykład 4, tu jest na przykład 1, tu będzie gdzieś jedna druga, tu będzie 6. Te wszystkie punkciki, które są powyżej osi X mają wartości dodatnie. No i teraz pytanie, dla jakich X-ów Y są dodatnie?
No można powiedzieć, że ten fragment wykresu jest powyżej tej osi, ten jest powyżej, tak? I ten jest powyżej. No i to trzeba odczytać.
Czyli tu mamy co? Minus 6 będzie, minus 4, minus 3, czyli tu będzie minus 3, tu mamy 2, tu mamy... 4, to mamy 5, 6, tu jest 7. Czyli możemy napisać, że wartości są dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x będzie należał.
No i teraz dodatnie, nie nieujemne, czyli 0 nas nie interesuje, czyli miejsca zerowe wszystkie wyrzucamy stąd, tak? No bo nie bądź równe tu 0. Gdyby było, że kiedy są na przykład nieujemne, no to wtedy trzeba dorzucić miejsca zerowe dodatkowo. Czyli od minus 6 otwartej do...
No i teraz zauważcie, w sumie do minus 3 otwarty. Ten punkt należy, więc można to domknąć ładnie, czyli to się tak ładnie zazębi i te wartości dodatnie, więc lecimy, lecimy. Możemy zrobić aż do dwójki, suma od dwójki do czwórki, tak, to będzie ten fragment. No i później tu są jeszcze dodatnie, czyli od piątki do siódemki, czyli suma od piątki do siódemki.
Tu nie ma problemu, tu sumujemy te przedziały normalnie, okej? No to skoro wartości dodatnie, to mogą być jeszcze wartości ujemne, czyli innymi słowy nasz f będzie jakie? No f od x musi być mniejsze od zera, tak? Wtedy i tylko wtedy, gdy x będzie należał.
Czyli tam gdzie nasz wykres jest poniżej osi, akurat jest tylko tutaj, czyli będzie minus 7 do minus 6 i minus 7 nie należy, bo punkt nie należał, od minus 7 do minus 6 przedział otwarty i nic więcej. I to tyle jeśli chodzi o wartości dodatnie i ujemne. Można tu oczywiście jeszcze bawić się w jakieś inne własności, może jedna sobie po... bo wiemy, na przykład możecie mieć pytanie, dla jakich argumentów wartości funkcji są na przykład większe bądź równe 3? Takie pytanie byśmy zrobili, dobra?
Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe bądź równe 3? 3. Takie jest pytanie, więc jak my sobie to wyobrażamy? Mam nadzieję, że pamiętacie.
X-y argumenty, jak wolisz, odcięte. Y-ki to wartości, a inaczej zemne. Także w takiej sytuacji wiemy, że argumenty X wartości Y, czyli tak z polskiego na nasze, to dla jakich X-ów Y-ki są większe bądź równe 3?
Czyli my możemy napisać, że Y, a inaczej F od X, bo F od X to jest to samo co Y, czyli byśmy to zapisali sobie tak. tak profesjonalnie, że nasze f od x ma być jakie? Większe bądź równe, czyli większe bądź równe 3 wtedy i tylko wtedy, gdy x, no i x będzie należał.
Tak? No bo dla jakich argumentów, czyli dla jakich x-ów? No jak to sobie zobrazować? Większe bądź równe 3. Bierzemy sobie tą trójeczkę, szukamy na osi tej naszej pionowej, czyli naszym y, tu jest trójeczka. I najłatwiej jest zrobić tak, że rysujemy sobie na tej trójeczce taką prostą poziomą.
O, i teraz interesują nas takie x, dla których wykres funkcji, można powiedzieć, skoro f od x ma być większe, równe 3, czyli nas interesują takie x, które, no ja może to troszkę przestawię, na których wykres funkcji jest powyżej tej naszej prostej, tej prostej żółtej, bądź ewentualnie wykres, który się idealnie pokrywa z tą prostą, tak? No dobra, okej, no to sobie to może jakoś oznaczymy, gdzie to będzie. Zauważcie, że tak, powyżej tej prostej to jest na pewno cały ten fragment. To wszystko jest powyżej. powyżej, nie?
Natomiast to, co się jeszcze pokrywa, bo tu jest bądź równe, tak? O to chodzi. Gdyby nie było bądź równe, to tylko ten fiaragm by nas interesował, nie? To jeszcze tu mamy kawałek, gdzie to się idealnie pokrywa i tu się pokrywa, natomiast tu jest kółko niezamalowane, żeby nam to nie zginęło. Czyli my możemy napisać, w takim razie dla jakich x-ów to się dzieje?
No tutaj mamy minus 5, tu jest minus 4, tu jest później kawałek przerwy, tu będzie minus 3, tu jest znowu 2, tu jest 4, tu jest 5, tu jest 6. Czyli x musi należeć w takiej sytuacji od... Minus 5 domknięty to będzie, no bo dla minus 5 jest idealnie wartość 3, także jest ok. Do minus 4 również domknięty, bo przecież w tym miejscu jest też punkcik, a tam y jest równy 3. I później powyżej.
Powyżej no to odtąd, tak? Odtąd, no z tymi, tą dziurą dotąd. Czyli można powiedzieć od minus 3, czyli tutaj już suma normalnie mówię.
Tylko w monotoniczności jest problem. Od minus 3 domknięty, bo punkt należał aż do 2. 2 wyrzucamy, więc otwieramy i jeszcze raz od 2 do 4, a potem od 5 otwarty do 6 domknięty, bo dla 6 jest idealnie 3. A od razu, bo ja już tu któryś raz tak samo piszę, to od minus 3 do 4 i ta 2. dwójka otwarta z dwóch stron, to można by równie napisać od minus 3 do 4 z wyłączeniem dwójki. Tak też by to można było zapisać. Tak, żebyście wiedzieli na 100% jak to działa.
Ale to jest taki przykład, no tutaj możecie mieć inne zadanie. No może być dla jakich argumentów wartości funkcji są mniejsze niż na przykład minus 2. To tu by było minus 2. Rysujecie się z prostą. mniejsze, czyli tylko ten fragment by nas interesował, tak?
Czyli tu x byłby od tam minus 7 do, ciężko powiedzieć, tu chyba 1 trzecia jakaś będzie, czyli od minus 6 i 2 trzecich by tak wyszło, nie? Przedział otwarty. Natomiast, no to już oczywiście wszystkich przypadków nie jesteśmy w stanie zrobić, no ale tak, żebyście zrozumieli o co w tym chodzi.
No i jeszcze ostatnia sprawa chyba, o której warto powiedzieć, to są dłużenne punktów przed... Przecięcie się wykresu z osiami, ok? No to to na deser sobie zrobimy punkty z osiami.
No i teraz najpierw mamy na przykład oś, no nie ma znaczenia kolejność, załóżmy z osią poziomą, no i oś poziomą nazywamy osią X, oś X, ale można też mówić, że to jest oś OX. Tak się po prostu przyjęło, że w ten sposób się oznacza, tylko dużymi literami wtedy. Także tak albo tak, no jak tam chcecie. Oś OX, no i współrzędne, to mają być punkty, czyli to mają być obie współrzędne punktów przecięcia. No to jakie mamy punkty przecięcia z osią X?
No tu mamy punkt. Tu mamy punkt, a tego nie ma, bo jest otwarty. No to tutaj x jest minus 6, czyli nasz pierwszy jakiś punkt. No możemy je sobie jakoś nazwać, no albo nie, no nie ma problemu.
Załóżmy punkt P1 niech będzie. P1 będzie miało współrzędną minus 6, no i wiadomo, że 0, bo y musi być 0, a punkt P2, tak, tu jest nasz punkt P1, tu będzie nasz punkt. punkt P2, tak sobie możemy to nazwać, może być A, może być B, można w ogóle tego nie nazywać, tylko napisać same współrzędne, też będzie dobrze.
P2, no to 5, 6, no to tu jest 7, czyli 7 na X, ale 0 na Y, bo wiadomo, że 0, jeżeli oś o X, to Y będzie 0, trochę odwrotnie niż oś, jak oś o X, to Y 0, jak oś o Y, to X 0, tak? Jakby to się trochę tak zamienia. No i teraz oś Y, tak, czyli z osią Y, czyli inaczej z osią OY, tak, to punkt przecięcia z osią OY to jest ten miejsce, no i ten jakiś punkt P3 sobie możemy podpisać, P3, no i jaki on ma współrzędny, no X-owa musi być 0, bo z osią OY to X0, a Y jest równy 5, czyli 0 i 5, cyk. No i to już chyba wszystko, no można by tu jeszcze wspomnieć o tym, że ta funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ani nie jest różnowartościowa. To też sobie szybko jeszcze powiemy.
Funkcja nie jest różnowartościowa. Co to oznacza? To oznacza tak graficznie, że jest takie miejsce, że jak sobie przejdziemy jakąś prostą poziomą, o, jak sobie przejdziemy gdzieś prostą poziomą idealnie, o, na przykład tu, to mamy w dwóch miejscach przecięcie się z wykresem.
Jeżeli jest chociaż jedno takie miejsce, gdzie jak poprowadzicie sobie prostą poziomą, to przecięcie się więcej niż jednej miejscu z wykresem, to ta funkcja już nie jest różnowartościowa. A nie graficznie, jeżeli dla każdego x jest inny y, to jest różnowartościowa. Jeżeli są chociaż w jednym miejscu gdzieś, że dla dwóch różnych x albo większej ilości y jest taki sam, to wtedy funkcja nie jest już różnowartościowa. Ta funkcja nie jest różnowartościowa, natomiast przykład funkcji, która by była różnowartościowa, no to by była na przykład taka funkcja. Tak tu, gdzie byśmy nie przecięli się o tak w prostą, to przetniemy się tylko w jednym punkcie.
nie ma takiego miejsca, gdzie się przetniemy w dwóch albo w większej ilości, więc ta funkcja byłaby już różnowartościowa jak najbardziej. Czyli ma różne wartości wszędzie, no o to chodzi, no taka nazwa, no. Jeszcze to, o czym można by wspomnieć, to, że ta funkcja nie jest na przykład parzysta. Funkcja nie jest parzysta, o.
Co to znaczy funkcja parzysta? Funkcja parzysta to jest taka, kiedy wartość funkcji dla ujemnych x-ów, w sensie dla przeciwnych x-ów, jest równa tyle samo, co wartość funkcji dla takiego samego, tylko dodatniego x-a można powiedzieć. I ogólnie działa to wtedy w ten sposób, że ten wykres funkcji musi być symetryczny względem osi y. Czyli jakbyście tu postawili lustro, to musi być odbicie lustrzane.
Nawet wam pokażę, ewidentnie jak to obrócimy w poziomie, to to nie jest to samo, co było. Powinienem teraz po obróceniu dostać dokładnie taki sam wykres, jaki był, a nie jest, więc ona nie jest parzysta. Okej? No i jeszcze jedna rzecz, można powiedzieć, czy funkcja jest nieparzysta, a ta funkcja nie jest nieparzysta.
To nie jest to samo. Funkcja nie jest nieparzysta. Teraz kiedy funkcja jest nieparzysta?
Funkcja jest nieparzysta wtedy, kiedy f, czyli wartość funkcji dla przeciwnego x, daje tyle samo co minus wartość dla x po prostu zwykłego na plusie. Jeśli chodzi o wykres funkcji, to polega to na tym, żeby takie coś się działo, to wykres funkcji musi mieć środek symetrii w półkątce. w punkcie 0,0, czyli w początku układu współrzędnych. A zauważcie, czyli innymi słowy, a gdybym to odkręcił 180 stopni, bo to tak działa środek symetrii, czyli jeżeli obrócicie względem 0,0 o 180 stopni wykres, no to powinien się pokryć z tym, co było wcześniej i się nie pokrywa, także to nie działa. Tak?
Przykład funkcji, która by tak zadziałała, to to jest taka funkcja, o, załóżmy, że na przykład macie, na przykład byście mieli cyk, cyk, cyk, cyk, cyk, cyk, cyk, cyk. To by miało oś symetrii, bo jeżeli byście to obrócili 180 stopni, ten cały wykres, to dokładnie dostaniecie taki sam wykres. Wtedy to będzie funkcja nieparzysta.
Zaraz sobie jeszcze szybko o jakichś przykładach powiemy. No to teraz jako takie podsumowanie, jeżeli macie załóżmy zadanie wyznacz własności funkcji, to co wy tak naprawdę musicie wyznaczyć, okej? No to pierwsza sprawa to jest dziedzina, którą trzeba zrobić.
Druga sprawa to jest zbiór wartości, jak najbardziej. Trzecia sprawa to są miejsca zdrowe funkcji. Czwarta sprawa, powiedzmy sobie wartość największa i najmniejsza, to jakby liczę jako jedna sprawa. Piąta sprawa to jest określenie monotoniczności funkcji. Czyli czy ona jest monotoniczna, czy nie jest, a jeżeli nie jest, to przedziały monotoniczności trzeba wyznaczyć.
Kolejna sprawa to wartości dodatnie i ujemne, to również sobie złączymy to jako jeden punkcik. Punkty przecięcia funkcji z osiami, no to to też trzeba obowiązkowo podać jako własności funkcji. Oczywiście te punkty możecie mieszać ze sobą, w sumie najłatwiej by było to wrzucić na przykład po miejscach zerowych, też by można było, nie ma to znaczenia oczywiście.
I to są takie podstawowe 7 punktów myślę, że do zapamiętania. fajna liczba, natomiast cała reszta, czyli na przykład funkcja różnowartościowa, parzysta, nieparzysta, no to to jest załóżmy, to jest załóżmy taki punkcik ósmy, ale z gwiazdką, ja tu mówię bardziej o rozszerzeniu, bo tu na rozszerzeniu o takich rzeczach ewentualnie będziecie mówić, a jeśli chodzi o to pytanie, dla jakich argumentów wartości funkcji są jakieś, no to to może być jako dodatkowe pytanie w zadaniu jakimś, tak? Jeżeli mówimy o podstawowych własnościach funkcji, no to zamykamy się tutaj, w tym miejscu, tak? Nie będziecie nam specjalnie mówić, że kiedy funkcja ma...
ma jakie wartości, bo to można nieskończoność robić, tak? Ale po to zrobiliśmy ten przykład, żebyście też wiedzieli, jak będzie takie pytanie do wykresu funkcji, no, jak, w jaki sposób, to odczytujemy, nie? Teraz tak na speedzie proponuję zrobić właśnie własności funkcji jakiejś takiej nowej g, już tak na szybko, bez kolorów, ale tak, żebyśmy sobie to szybciutko przećwiczyli. Czyli pierwsza sprawa to będzie dziedzina funkcji, tak, 1, dziedzina, czyli d.
No, możemy napisać tym razem funkcję g, nie ma problemu. Jakie x tworzą wykres tej funkcji? Widać, że on się tu nie urywa, czyli to leci od minus nieskończoności aż do, tu mamy minus 4 i tu jest później minus 3, czyli od minus nieskończoności do minus 4 przedział otwarty, czyli suma od minus trójki domknięty.
Wykres leci, leci, leci aż dotąd, czyli tutaj jest trójeczka, czyli do trójki domknięty. Suma i później zaczyna się znowu od czwórki, czyli od czwórki otwartej do nieskończoności. To będzie dziedzina, to teraz zbiór wartości, czyli ZW niech będzie.
tym razem, czyli patrzymy na y. Od dołu to widać, że ten wykres leci tam od nieskończenie w dół, czyli będzie leciał od minus nieskończoności aż dotąd, bo tu mamy nagle kawałek. Mamy nagle urwanie, czyli tu jest minus 2, czyli od minus nieskończoności do minus 2, przedział otwarty, suma.
No i znowu wykres się zaczyna tutaj, czyli od 0 domkniętego, bo jest przecież dla minus 3 i 3 jest przecież 0. Czyli od 0 domkniętego aż tak naprawdę dotąd, czyli do tej piątki, piątka domknięta, bo mamy nieskończoną ilość punktów. No dobrze, trzeci punkt to są miejsca zerowe, czyli napiszemy sobie nie f tylko g, czyli nasze g od x będzie równe 0 wtedy i tylko wtedy gdy. I teraz dla jakich x to będzie?
No widać, że miejsce zerowe jest tutaj i tutaj, czyli dla minus 3 i 3, w klamersy wymieniamy minus 3 i 3. No to lecimy teraz dalej, czyli czwarty punkt wartości największy i najmniejszy załóżmy, czyli napiszemy sobie, że nasz y będzie najmniejszy min. Jest? Nie jest, bo wykres się nie urywa, czyli y min nie istnieje, piszemy sobie. Natomiast y max, czyli nasza wartość maksymalna jest?
No jest, najwyżej jest tutaj na 5, czyli jest równe 5 i dopiszemy dla jakich argumentów, czyli... czyli wtedy i tylko wtedy, gdy, gdy x będzie należał. No i o... Odtąd dotąd, czyli od minus dwóch do dwóch.
Od minus dwójki domkniętej do dwójki domkniętej. Cyk. Piąty punkt, czyli monotoniczność funkcji.
Czy ta funkcja jest monotoniczna? Nie jest, bo rośnie stała maleje, czyli nie jest taka sama wszędzie. Czyli g od x nie jest monotoniczna.
Można ten komentarz zrobić. No to w takim razie przedziały monotoniczności. Czyli nasza funkcja g jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy x będzie należał. No i gdzie jest rosnąca?
Jest tu rosnąca i jest tu rosnąca. tu rosnąca, tak? Czyli najpierw jest rosnąca od minus nieskończoności do minus czwórki, przedział otwarty i tu robimy średnik i teraz tu od minus trzech dotąd, czyli do minus dwóch, czyli domknięty minus trzy do minus dwóch, też domknięty.
Dobra, no to nasza funkcja g, kiedy jest malejąca, wtedy i tylko wtedy, gdy x należy. No i malejąca, malejąca jest tu, malejąca jest tu, dobra, dobra, czyli tu będzie od dwójki Tak, tu jest dwójka do trójki, czyli od dwójki domkniętej do trójki domkniętej. Średnik i odtąd do to i do, no gdzieś tam dalej leci, czyli od czwórki otwartej do nieskończoności. Tu jest wyjątek, można by zrobić to z sumą, no bo rzeczywiście ta funkcja tu rosła, a tu malała. Natomiast zostawimy sobie za średnikiem, nie ma problemu.
No i jeszcze funkcja stała jest, jest, czyli funkcja stała jest tylko wtedy, gdy x będzie należał odtąd dotąd, czyli od minus dwóch do dwóch, czyli od minus dwójki do dwójki, cyk. Monotoniczność załatwiona, okej, no to tu może punkt szósty sobie zrobimy, czyli wartości dodatnie, wartości ujemne, czyli nasze g od x, kiedy jest dodatnie, no dodatnie jest odtąd dotąd, czyli od minus trzech do trzech, ale bez tych naszych trójeczek, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy x należy. od minus 3 do 3. A natomiast g od x jest ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy x będzie należał.
No i to będzie tu i tu. Czyli od minus nieskończoności do minus 4, jak tak patrzę. Od minus nieskończoności do minus 4. Suma od 4 do nieskończoności.
Cyk. A mi ta nieskończoność źle wyszła. Cyk.
No dobra. No i punkt 7, no to przecięcia z osiami. No załóżmy oś o x najpierw.
Oś o x to jest tutaj i tutaj. Czyli w takim razie to będzie minus 3, 0. To będzie pierwszy punkt. A drugi to będzie 3, 0. Okej? No i oś o Y, oś o Y, no to tu mamy w tym miejscu, czyli to będzie punkt 0. w pięć współrzędnych cyklu. No i teraz jeszcze sobie zróbmy tak dla rozszerzenia punkt ósmy, bo tu rzeczywiście można coś powiedzieć o parzystości, nieparzystości i różnowartościowości, ponieważ możemy na przykład tu narysować prostym i ona się przetnie w dwóch miejscach z wykresem, a nie w jednym, więc funkcja nie jest różnowartościowa.
To po pierwsze, czy funkcja jest parzysta? Funkcja jest parzysta, bo zauważcie, że ma idealnie oś symetrii na Y, jakbyśmy to sobie mieli. To wam pokażę.
Jeżeli weźmiemy ten wykres i go obrócimy w poziomie, to dostajemy dokładnie to samo, nie? to jest dokładnie ten sam wykres, czyli jest oś symetrii zachowana na osi Y, czyli w takim razie ta funkcja jest parzysta. Funkcja jest parzysta.
Czy jest nieparzysta? Czyli jeżeli obrócimy to o 180 stopni, tylko to by tak wyglądało, to dostaniemy to samo. Nie, nie dostaniemy tego samego, tak że ona nie jest nieparzysta.
Tak, taka uwaga, to, że na przykład funkcja jest parzysta, nie oznacza, że musi być nieparzysta, tak? To nie jest ze sobą związane w ogóle. No i to tyle, jeśli chodzi o własności tej funkcji. No dobra, i tu już nie będziemy sobie opisywać, że tak powiem, wszystkich własności, tylko chciałem wam pokazać jeszcze jakąś inną funkcję, która na przykład cała jest monotoniczna. Czyli ta funkcja, na przykład jeśli chodzi o monotoniczność, bo już nie będziemy tych wszystkich innych rzeczy robić, cała ta funkcja jest rosnąca, zauważcie, tak?
Nie ma problemu. Wszędzie idziemy do góry i nawet... Nawet pomiędzy tymi fragmentami, jak wybierzemy dowolne dwa punkty, to też wartość nam urośnie. Czyli cała ta funkcja jest na przykład rosnąca. Dodatkowa sprawa to jest przykład funkcji, która jest już nieparzysta.
Zauważcie, że jeżeli ja sobie obrócę wykres tej funkcji 180 stopni, czyli 4 razy 45 stopni. Raz, dwa, trzy, cztery. Dostałem dokładnie to samo.
Raz, dwa, trzy, cztery. Obróciłem to o 180 stopni i wylądowałem na tym samym miejscu względem punktu 0,0. Czyli to oznacza, że ta funkcja jest, jest jaka?
Nieparzysta. Tak to co mówiliśmy, funkcja nieparzysta to taka, że dla na przykład ujemnego x, na przykład dla minus dwójki, zauważcie, tu mamy minus 3. A dla dwójki jest 3, czyli wartość funkcji dla ujemnego x jest tyle samo co minus dla... dodatniego, tak? Zgadza się. A na koniec przykład funkcji, która jest zarówno nieparzysta, jak i parzysta, czyli ma oś symetrii na oś Y, jak i również ma środek symetrii w punkcie 0,0.
I ogólnie mogę wam powiedzieć, że to jakby nie, że jest jedyna funkcja, która taka jest, ale wszystkie te funkcje muszą bazować na funkcji stałej leżącej na oś X-owej. Bo zauważcie po pierwsze, jeżeli ja sobie to odwrócę w poziomie, no to jest dokładnie to samo. Czyli jest zachowana...
symetria względem naszej osi tutaj y, tak? Natomiast druga sprawa, jak ja to obrócę 180 stopni względem początku układu służynnych, czyli raz, dwa, trzy, cztery, tak? To dostaliśmy dokładnie ten sam wykres. No z grubsza powinno coś się przesunęło. Raz, dwa, trzy, cztery.
Ta funkcja jest parzysta i nieparzysta naraz. Takie cudo. Ale to dla rozszerzenia. No dobrze i dla tych, którzy dotrwali do końca naszych wszystkich własności funkcji, jak jakie rzeczywiście musicie znać, jeśli chodzi po prostu o maturę swoją również.
Napiszcie w komentarzu, jaki jest zbiór wartości tej funkcji, którą tutaj narysowałem. To po pierwsze. A po drugie napiszcie, czy ta funkcja, czy jest parzysta, czy jest nieparzysta.
I pamiętajcie na koniec... X-y argumenty, jak wolisz, odcięte. Y-ki to wartości, a inaczej żene. Miłego dnia życzę i do usłyszenia.
Wartościowe, parzyste, nieparzyste, ale to na rozszerzeniu się dowiesz.